第1頁(yè)|共2頁(yè)2002年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式;;正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線長(zhǎng)球體的體積公式其中表示球的半徑．一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)42．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，則的值是（）(A)(B)(C)(D)3．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）(A)(B)(C)(D)4．個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為的球，記其體積為，表面積為，則（）(A)(B)(C)(D)5．已知某曲線的參數(shù)方程是，若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，長(zhǎng)度單位不便變，建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是（）(A)(B) (C)6．給定四條曲線：①，②，③，④．其中與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（）(A)①②③(B)②③④(C)①②④(D)①③④7．已知，，且．若，則的最大值是（）(A)6(B)5(C)4(D)38．若，則的值為（）(A)3(B)-3(C)-2(D)9．12名學(xué)生分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（）(A)種(B)種(C)種(D)種10．設(shè)命題：“直四棱柱中，平面與對(duì)角面垂直”；命題乙：“直四棱柱是正方體”，那么，甲是乙的（）(A)充分必要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)即非充分又非必要條件11．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是（）(A)(B)(C)(D)12．如圖所示，是定義在上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對(duì)中任意的和，任意，恒成立”的只有（）(A)(B)(C)(D)二．填空題：13．從大到小的順序是．14．等差數(shù)列，中，，公差不為零，且恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于．15．關(guān)于直角在平面內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是的角．其中正確的序號(hào)是．（注：把你認(rèn)為正確判斷的序號(hào)都填上）．16．已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓的兩條切線，，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值為．三．解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．17．解不等式18．如圖，在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交與兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為與，且，兩底面間的距離為．（1）求側(cè)面與底面所成二面角的大?。唬?）證明：；（3）在估側(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式來(lái)計(jì)算，已知它的體積公式是試判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面．）19．?dāng)?shù)列由下列條件確定：，．（1）證明：對(duì)，總有；（2）證明：對(duì)，總有；（3）若數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值．20．在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡(jiǎn)單模型問(wèn)題：用計(jì)算機(jī)求個(gè)不同的數(shù)的和，計(jì)算開(kāi)始前，個(gè)數(shù)存貯在臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù)．計(jì)算開(kāi)始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作．為了用盡可能少的單位時(shí)間，即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1221（1）當(dāng)時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？把你設(shè)計(jì)的方法填入下表機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1234（2）當(dāng)時(shí)，要使所有機(jī)器都得到，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要求證明）21．已知，，是的三個(gè)頂點(diǎn)．（1）寫(xiě)出的重心，外心，垂心的坐標(biāo)，并證明三點(diǎn)共線；（2）當(dāng)直線與平行時(shí)，求頂點(diǎn)的軌跡．22．已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的都滿足：．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和

參考解答

說(shuō)明：一.本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。二.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。三.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一.選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分。1.B 2.D 3.B 4.C 5.D6.D 7.C 8.A 9.A 10.C11.B 12.A二.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分。13.14.415.（1）（2）（3）（4）（5）16.

三.解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.本小題主要考查不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力，滿分12分。解：原不等式因?yàn)橛只蚧蚧蚧蛩?，原不等式組因此，原不等式的解集為18.本小題主要考查直線、平面的位置關(guān)系，考查不等式的基本知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，滿分12分。（1）解：過(guò)作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)作,垂足為Ｇ平面ABCD//平面，，為所求二面角的平面角過(guò)作，垂足為H，由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形為等腰梯形又，即所求二面角的大小為（2）證明：AB、CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB//CD又CD是面ABCD與面CDEF的交線AB//面CDEFEF是面ABFE與面CDEF的交線AB//EFAB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外EF//面ABCD（3）證明：，19.本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、不等式等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力，滿分12分。（1）證明：由及可歸納證明（沒(méi)有證明過(guò)程不扣分）從而有所以，當(dāng)時(shí)，成立（2）證法一：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以故?dāng)時(shí)，成立證法二：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋怨十?dāng)時(shí)，成立（3）解：記，則，且由得即由，解得故20.本小題主要考查運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，分析和解決科學(xué)問(wèn)題的能力，滿分12分（1）解：當(dāng)時(shí)，只用2個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算方法之一如下：（2）解：當(dāng)時(shí)，至少需要7個(gè)單位時(shí)間才能完成計(jì)算21.本小題主要考查直線與橢圓等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分13分（1）解：由三頂點(diǎn)坐標(biāo)O（0，0），B（1，0），C（b，c）（），可求得重心G（，），外心F（，），垂心H（，）當(dāng)時(shí)，G、F、H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，故三點(diǎn)共線當(dāng)時(shí)，設(shè)G、H所在直線的斜率為，F(xiàn)、G所在直線的斜率為因?yàn)樗裕珿、F、H三點(diǎn)共線綜上可得，G、F、H三點(diǎn)共線（2）解：若FH//OB，由，得（，）配方得，即即（，）所以，頂點(diǎn)C的軌跡是中心在（，0），長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，且短軸在軸上的橢圓，除去（0，0），（1，0），（，），（，）四點(diǎn)22.本小題主要考查函數(shù)與數(shù)列等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分13分（1）解：因?yàn)樗裕?）是奇函數(shù)證明：因?yàn)樗?/p>