任務(wù)群（五）解析幾何任務(wù)1直線方程[核心整合]1．兩直線位置關(guān)系、距離公式兩條直線平行和垂直的充要條件兩個(gè)距離公式(1)斜截式：若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.(2)一般式：若直線l1和l2的方程分別是A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0(1)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0).(2)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的求解方法若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對(duì)稱軸l.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).3．常用結(jié)論(1)點(diǎn)P(x0，y0)，P1(y0＋a，x0－a)關(guān)于直線x－y－a＝0對(duì)稱；點(diǎn)P(x0，y0)，P2(－y0＋a，－x0＋a)關(guān)于直線x＋y－a＝0對(duì)稱．(2)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(3)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(4)兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0).[例1](1)已知直線l1：ax＋3y－6＝0，直線l2：2x＋(a－1)y－4＝0，則“l(fā)1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A(－3，0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)B(－1，1)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝1，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A．eq\r(5)B．3C．eq\r(13)D．5(3)直線l過(guò)點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_(kāi)____________．[延伸探究](1)若本例(3)中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．(2)若將本例(3)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的取值范圍．[規(guī)律總結(jié)](1)求直線方程的兩種方法(2)兩直線的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù)．若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.(1)兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為()A．4B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(5\r(13),26)D．eq\f(7\r(10),20)(2)如圖，已知兩點(diǎn)A(22，0)，B(0，11)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB上的點(diǎn)M反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB上的點(diǎn)N反射后又回到點(diǎn)P，則直線MN的一般式方程為_(kāi)_____________．任務(wù)2圓的方程[核心整合][例2](1)已知直線3x＋4y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)T(0，1)，圓心C在直線x－y＝0上，則圓C的方程為()A．(x－3)2＋(y－3)2＝13B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25(2)(一題多解)過(guò)四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_____________．[規(guī)律總結(jié)]求圓的方程的兩種方法幾何法通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.(1)已知點(diǎn)A(2，－1)，B(4，3)，C(－1，2)，其中一點(diǎn)在圓E內(nèi)，一點(diǎn)在圓E上，一點(diǎn)在圓E外，則圓E的方程可能是________．(答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可)(2)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(kāi)_____________．任務(wù)3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[核心整合]1．若點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2＝r2(r>0)上，則圓C在點(diǎn)P處的切線方程為x0x＋y0y＝r2.2．若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線長(zhǎng)d＝eq\r((x0－a)2＋(y0－b)2－r2).3．過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則|PT|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).角度1直線與圓的位置關(guān)系[例3](1)過(guò)點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4)D．eq\f(\r(6),4)(2)已知直線l：(m＋2)x－(m＋1)y－1＝0與圓O：x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_______.(3)已知直線l：x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值______．[規(guī)律總結(jié)](1)求解圓的弦長(zhǎng)的3種方法關(guān)系法根據(jù)半徑、弦心距、弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，得三者間的關(guān)系為r2＝d2＋eq\f(l2,4)(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)公式法根據(jù)公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)距離法聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解(2)直線與圓相切問(wèn)題的解題策略①直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．②過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)時(shí)，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算．角度2圓與圓的位置關(guān)系[例4](多選)已知圓C1：x2＋y2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0),P，Q分別是圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，則()A．若圓C1與圓C2無(wú)公共點(diǎn)，則0<r<4B．當(dāng)r＝5時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為6x－8y－1＝0C．當(dāng)r＝2時(shí)，|PQ|的取值范圍為[2，8]D．當(dāng)r＝3時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則∠APB不可能等于eq\f(π,2)[規(guī)律總結(jié)](1)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法；(2)兩個(gè)圓的公切線條數(shù)取決于兩圓的位置關(guān)系，要注意二者的相互轉(zhuǎn)化；(3)兩圓相交求公共弦方程時(shí)，可通過(guò)兩圓的方程相減，消去二次項(xiàng)得到關(guān)于x，y的一次式；求兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng)時(shí)，將上述得到的公共弦看作其中一個(gè)圓的弦，進(jìn)而利用半徑、弦長(zhǎng)和弦心距的關(guān)系式r2＝d2＋(eq\f(l,2))2求弦長(zhǎng)．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]3.(1)已知直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝eq\r(14)，則|k|＝()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\r(2)D．2(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，3)作斜率為－2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓C：(x－3)2＋(y－2)2＝r2(r>0)相切，則r＝________.(3)(多選)已知圓C1：x2＋y2＝9與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列說(shuō)法正確的是()A．C1與C2的公切線恰有4條B．C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0C．C1與C2相交弦的弦長(zhǎng)為eq\f(12,5)D．若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|max＝12強(qiáng)化拓展(四)隱形圓問(wèn)題【編者按】在解決某些解析幾何問(wèn)題時(shí)，題設(shè)條件看似與圓無(wú)關(guān)，但通過(guò)對(duì)題目條件的分析、轉(zhuǎn)化后，會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，進(jìn)而可得出圓的方程，再利用圓的知識(shí)求解，我們一般稱這類問(wèn)題為隱形圓問(wèn)題．角度1利用圓的定義或幾何性質(zhì)確定隱形圓[例1](1)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，點(diǎn)A(－1，0)，B(1，2)，則圓C上使得|PA|2＋|PB|2＝12成立的點(diǎn)P有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)(2)舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)．若ON＝DN＝1，MN＝3，AB＝4，則|MA|的最小值為_(kāi)_________．[規(guī)律總結(jié)](1)由圓的定義，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓；(2)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝λ(λ為常數(shù))，則P點(diǎn)的軌跡是圓；(3)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2＋|PB|2是定值，則P點(diǎn)的軌跡是圓．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.已知點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤4，則點(diǎn)P到直線3x－y＋1＝0距離的最小值為_(kāi)_______．角度2由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓[例2]已知圓C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圓C上存在點(diǎn)P使得PA⊥PB，則r的取值范圍為()A．(0，5]B．[5，15]C．[10，15]D．[15，＋∞)[規(guī)律總結(jié)]由圓的性質(zhì)可知，圓周角為直角，所以已知PA⊥PB或∠APB＝90°(A、B為定點(diǎn))，則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓．注意有時(shí)候軌跡中要?jiǎng)h除不滿足條件的點(diǎn)．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－6，－2)，B(4，－2).若直線kx－y＋8k－2＝0(k∈R)上存在點(diǎn)M(x0，y0)滿足∠AMB＝90°，則實(shí)數(shù)k的一個(gè)可能取值是_________.角度3阿波羅尼斯圓[例3]數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MO|，得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是阿氏圓C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線l：y＝k(x－1)＋b與圓C恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A．[－eq\f(\r(13),3)，eq\f(\r(13),3)]B．[－eq\f(\r(14),3)，eq\f(\r(14),3)]C．[－eq\f(\r(15),3)，eq\f(\r(15),3)]D．[－eq\f(4,3)，eq\f(4,3)][規(guī)律總結(jié)]“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]3.已知點(diǎn)A(－1，0)，B(－4，0)，C(－4，3)，動(dòng)點(diǎn)P，Q滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(|QA|,|QB|)＝eq\f(1,2)，則|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[1，16]B．[6，14]C．[4，16]D．[eq\r(3)，3eq\r(5)]任務(wù)4圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程[核心整合]1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).[例1](1)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝()A．7B．6C．5D．4(2)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)A(0，6eq\r(6))，當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為()A．36eq\r(6)B．24eq\r(6)C．18eq\r(6)D．12eq\r(6)(3)已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，則|PO|＝()A．eq\f(2,5)B．eq\f(\r(30),2)C．eq\f(3,5)D．eq\f(\r(35),2)[規(guī)律總結(jié)](1)應(yīng)用圓錐曲線的定義時(shí)，要注意關(guān)鍵條件．如雙曲線定義中的“絕對(duì)值”，橢圓和雙曲線定義中的定值與兩定點(diǎn)間距離的關(guān)系，拋物線定義中定點(diǎn)不在定直線上等；(2)在橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)三角形中，常利用正弦定理、余弦定理結(jié)合橢圓(雙曲線)的定義，運(yùn)用平方的關(guān)系，建立|PF1|±|PF2|與|PF1|·|PF2|的關(guān)系；(3)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：先定型，后計(jì)算．“定型”，即確定曲線焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置，從而確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；“計(jì)算”則是根據(jù)題目條件，利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.(1)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)(－eq\r(5)，0)的距離比到焦點(diǎn)(eq\r(5)，0)的距離大b，則該雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．eq\f(x2,2)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,2)＝1D．x2－eq\f(y2,4)＝1(2)(多選)已知定圓M：(x－1)2＋y2＝16，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)．若線段PA的中垂線交直線PM于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能為()A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓(3)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝m與y軸的交點(diǎn)為A，與拋物線C的交點(diǎn)為B，且|BF|＝eq\f(3,2)|AB|，則m的值是________.任務(wù)5橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)[核心整合]1．橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－(\f(b,a))2).(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋(\f(b,a))2).2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．3．和橢圓有關(guān)的結(jié)論①焦點(diǎn)位置不確定的橢圓方程可分類討論或者直接設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).②焦點(diǎn)三角形：在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a＋c)，△PF1F2的面積記為S△PF1F2，則：當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大；S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|yP|.③點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.④過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)度為eq\f(2b2,a).4．和雙曲線有關(guān)的結(jié)論①若雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?漸近線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0?y＝±eq\f(b,a)x.②若漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x?eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0?雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.③過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn<0).④焦點(diǎn)三角形：在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積記為S△PF1F2，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝c|yP|.⑤過(guò)雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為eq\f(2b2,a).角度1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)[例2](1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(2)，其左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(6),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\f(\r(10),2)x(2)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，則下列說(shuō)法正確的是()A．F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(2，0)B．橢圓的短軸長(zhǎng)為10C．|PF1|的最小值為1D．當(dāng)P是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2取到最大值[規(guī)律總結(jié)]橢圓、雙曲線性質(zhì)應(yīng)用的常見(jiàn)類型(1)由性質(zhì)可求橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．反之，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得出橢圓、雙曲線的性質(zhì)(頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線、范圍等)；(2)對(duì)稱性的應(yīng)用：橢圓、雙曲線的對(duì)稱性是幾何性質(zhì)中較簡(jiǎn)單而又實(shí)用的性質(zhì)，在解題時(shí)恰當(dāng)使用對(duì)稱性能使問(wèn)題迅速得解；(3)范圍的應(yīng)用：在求解以橢圓、雙曲線為載體的某內(nèi)接幾何圖形的面積(周長(zhǎng))等最值問(wèn)題時(shí)，往往涉及到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍(極端點(diǎn)的位置問(wèn)題)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理．角度2離心率問(wèn)題[例3](1)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，則C的離心率為_(kāi)_______．(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中|F1F2|＝2c，過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝4c2，則該橢圓離心率的取值范圍是________.[規(guī)律總結(jié)]求圓錐曲線離心率的值(取值范圍)的方法定義法根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝eq\f(c,a)求解方程法根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范圍)[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.(1)(多選)雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：eq\f(x2,20)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)P處的切線記為l，則()A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)xB．雙曲線C的焦距為2eq\r(15)C．當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，|PF1|＝eq\f(9\r(5),2)D．過(guò)點(diǎn)F1作F1K⊥l，垂足為K，|OK|＝2eq\r(5)(2)機(jī)場(chǎng)為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長(zhǎng)為12cm，開(kāi)口直徑為8cm.旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過(guò)母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于________.任務(wù)6拋物線的幾何性質(zhì)[核心整合]已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角).③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).④以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．⑤以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．⑥過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p(通徑).[例4](1)已知拋物線的方程為x2＝4y，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且|MF|＝5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MOF的面積與△NOF的面積之比為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．5D．4(2)(多選)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1B．若|AF|＋|BF|＝4，則線段AB的中點(diǎn)P到x軸的距離為1C．若直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則y1y2＝1D．若y1y2＝1，則直線AB過(guò)焦點(diǎn)F[規(guī)律總結(jié)]利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來(lái)溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化且減少運(yùn)算量．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]3.(1)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M為拋物線上的點(diǎn)，且MF與x軸不垂直，M在直線x＝－2上的射影為N，若△MNF的垂心在拋物線C上，則|MF|＝()A．9B．10C．11D．12(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在拋物線y2＝2px(p>0)上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△OEF是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則p＝________.強(qiáng)化拓展(五)橢圓的第二、第三定義【編者按】橢圓是最重要的圓錐曲線之一，除了教材中學(xué)習(xí)的定義外，還有兩種重要定義，我們一般稱為第二定義和第三定義．第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)距離與到定直線(定點(diǎn)不在定直線上)距離之比為常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡為橢圓．定點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線為橢圓的相應(yīng)準(zhǔn)線．第三定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)λ(λ<0且λ≠－1)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓(不含兩定點(diǎn)).橢圓第二定義在處理焦半徑與橢圓外線段(距離)和最值問(wèn)題時(shí)有很大優(yōu)勢(shì)，第三定義則適用于快速解決橢圓的中心弦問(wèn)題．如能合理利用橢圓的第二、第三定義，能使很多問(wèn)題變難為易，迎刃而解．題型一第二定義[例1]在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，P3，使得∠P1F2P2＝∠P2F2P3＝∠P3F2P1，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，則eq\f(1,|P1F2|)＋eq\f(1,|P2F2|)＋eq\f(1,|P3F2|)＝________.[規(guī)律總結(jié)]橢圓的第二定義文字語(yǔ)言若點(diǎn)M到定點(diǎn)F(c，0)的距離和它到定直線l：x＝eq\f(a2,c)的距離的比是常數(shù)eq\f(c,a)(a>c>0)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)，直線l為其右準(zhǔn)線圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言eq\f(|MF|,|MH|)＝eq\f(c,a)(即離心率e)焦半徑公式已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，左焦點(diǎn)F1，右焦點(diǎn)F2，P(x0，y0)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.若橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C上的任意一點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的取值范圍是()A．[1，3]B．[2，3]C．[eq\r(2)，eq\r(3)]D．[1，eq\r(3)]題型二第三定義[例2]已知定點(diǎn)A，B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．[規(guī)律總結(jié)]由橢圓的第三定義可得：若A、B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的點(diǎn)，若kPA，kPB都存在，則：(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則kPA·kPB＝e2－1＝－eq\f(b2,a2)；(2)若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則kPA·kPB＝－eq\f(a2,b2)(a>b>0).[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq\f(1,4)，則C的離心率為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)任務(wù)7中點(diǎn)弦問(wèn)題[核心整合]已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)(AB不平行于y軸)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，直線AB的斜率為k.(1)若E為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則有k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(2)若E為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(3)若E為拋物線y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).[例1](1)已知直線l：y＝x＋2與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(1，3)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為()A．2B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．3(2)已知直線l與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為_(kāi)___________．[規(guī)律總結(jié)]處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.(1)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過(guò)C的焦點(diǎn)F且傾斜角為eq\f(π,3)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，|FW|＝eq\f(4,3)，則p＝()A．1B．2C．3D．4(2)已知斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，點(diǎn)P恰好在C上．若線段AB的中點(diǎn)M在直線x＝－1上，則直線l的方程為()A．x－eq\r(6)y＋2＝0B．x－2eq\r(6)y＋4＝0C．eq\r(6)x－2y＋1＝0D．x－4eq\r(6)y＋5＝0任務(wù)8弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題[核心整合]1．直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r((y1＋y2)2－4y1y2).2．圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過(guò)x軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長(zhǎng))；②過(guò)y軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長(zhǎng)).[例2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，且△AF1F2的周長(zhǎng)是4＋2eq\r(3).(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)|AB|＝eq\f(3,2)|DE|時(shí)，求△ODE的面積．[規(guī)律總結(jié)]求圓錐曲線弦長(zhǎng)的常用方法(1)設(shè)而不求法：利用上述的弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理計(jì)算求解，這是求弦長(zhǎng)問(wèn)題的一般方法；注意：①設(shè)直線方程時(shí)，需考慮特殊直線，如斜率不存在、斜率為0等；②涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，要保證Δ>0.(2)特別地，圓中求弦長(zhǎng)用垂徑定理，拋物線y2＝2px(p>0)求焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)可用拋物線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式|AB|＝x1＋x2＋p.[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.(1)(多選)已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)位于B點(diǎn)右方，若∠AFB＝∠CFB，則下列結(jié)論一定正確的有()A．|AF|＝8B．|AB|＝eq\f(8\r(7),3)C．S△AFB＝eq\f(16\r(3),3)D．直線AF的斜率為eq\r(3)(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(2，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(2).①求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；②過(guò)點(diǎn)A(0，1)，且斜率不為0的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPQ的面積為eq\r(3)，求直線l的方程．任務(wù)9切線問(wèn)題[核心整合](1)直線與圓錐曲線相切時(shí)，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項(xiàng)系數(shù)不為零)的判別式為零．(2)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)在(x0，y0)處的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)處的切線方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；拋物線y2＝2px(p>0)在(x0，y0)處的切線方程為y0y＝p(x＋x0).[例3](1)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，拋物線C2：y2＝4x，且C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P，且C1和C2在P處的切線斜率之積為－eq\f(1,4)，則C1的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),2)(2)已知P(1，1)是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)_______．[規(guī)律總結(jié)](1)圓錐曲線在某點(diǎn)處的切線方程可通過(guò)求導(dǎo)的方法來(lái)解決；(2)由過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程聯(lián)想過(guò)圓錐曲線上點(diǎn)的切線方程，觸類旁通，熟練記憶并會(huì)應(yīng)用在橢圓、雙曲線、拋物線上某點(diǎn)處的切線方程解決問(wèn)題．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]3.(1)已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)直線l：x＋2y＝4上的動(dòng)點(diǎn)P可作C的兩條切線，記切點(diǎn)為A，B，則直線AB()A.斜率為2B．斜率為±2C．恒過(guò)點(diǎn)(0，－2)D．恒過(guò)點(diǎn)(－1，－2)(2)設(shè)P為圓O：x2＋y2＝5上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)O，P到直線AB的距離分別為d1，d2，則d1·d2的值為_(kāi)_______．任務(wù)10構(gòu)造不等式求最值、范圍[例1]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)D到F的距離的最小值為eq\r(6)－2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l過(guò)F點(diǎn)，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記線段AB的中點(diǎn)為N，直線ON交直線x＝3于點(diǎn)M，直線MF交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求∠MFA的大小，并求四邊形APBQ面積的最小值．[規(guī)律總結(jié)]圓錐曲線中構(gòu)造不等式求最值、范圍的方法(1)利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系；(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系；(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式；(4)利用基本不等式研究最值、范圍．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)為A，焦距為4，過(guò)右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交C于B，D兩點(diǎn)，且△ABD是直角三角形．(1)求雙曲線C的方程；(2)M，N是C右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝－2，求點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍．任務(wù)11構(gòu)造函數(shù)求最值、范圍[例2]在直角坐標(biāo)系xOy中，圓Γ的圓心P在y軸上(P不與O重合)，且與雙曲線Ω：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右支交于A，B兩點(diǎn)．已知|PA|2＋|PB|2＝|OA|2＋|OB|2.(1)求Ω的離心率；(2)若Ω的右焦點(diǎn)為F(2，0)，且圓Γ過(guò)點(diǎn)F，求|FA|＋|FB|的取值范圍．[規(guī)律總結(jié)]目標(biāo)函數(shù)法求解圓錐曲線有關(guān)最值問(wèn)題的解題模型[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.如圖，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線x2＝4y上，且A，B在第一象限，AC∥x軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且BD∥l.(1)設(shè)直線CB，CD的斜率分別為k和k′，求k＋k′的值；(2)P為AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)△BCD的面積為S1，△PAD的面積為S2，若tan∠BCA＝2，求eq\f(S1,S2)的取值范圍．任務(wù)12定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題[例1]已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4，0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上．[規(guī)律總結(jié)]動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，從而動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m，0).(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，可得出定點(diǎn)．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.已知橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的離心率是eq\f(\r(5),3)，點(diǎn)A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(－2，3)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．任務(wù)13定值問(wèn)題[例2]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A2，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝4，雙曲線C的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(1，4)的直線與雙曲線C右支交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，若存在實(shí)數(shù)λ(λ>0且λ≠1)，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝－λeq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QB,\s\up6(→))，證明：直線A2Q的斜率為定值．[規(guī)律總結(jié)]參數(shù)法解決圓錐曲線中定值問(wèn)題的一般步驟[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F(0，1)且與直線y＝3相切，記圓心P的軌跡為曲線E.(1)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－2，1)，(2，1)，直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，證明：k1－k2＝1；(2)若點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)是軌跡E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且x1x2＝－4，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，圓P與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Г交于不同于F的三點(diǎn)C，D，G，求證：△CDG的重心的橫坐標(biāo)為定值．任務(wù)14證明問(wèn)題[例1]已知過(guò)點(diǎn)F1(－1，0)的直線l與圓F2：(x－1)2＋y2＝16相交于G，H兩點(diǎn)，GH的中點(diǎn)為E，過(guò)GF1的中點(diǎn)F且平行于EF2的直線交GF2于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程．(2)若A，B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且均不在y軸上，點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立，①點(diǎn)M在軌跡C上；②直線OA與OB的斜率之積為－eq\f(3,4)；③λ2＋μ2＝1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．[規(guī)律總結(jié)]解決證明問(wèn)題時(shí)，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明．常用的證明方法有：(1)證A，B，C三點(diǎn)共線，可證kAB＝kAC或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；(2)證直線MA⊥MB，可證kMA·kMB＝－1或eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0；(3)證|AB|＝|AC|，可證點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1，l2，C上一點(diǎn)A(4，eq\r(3))到l1，l2的距離之積為eq\f(4,5).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)雙曲線C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1，A2，T為直線l：x＝1上的動(dòng)點(diǎn)，且T不在x軸上，直線TA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線TA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，直線MN與x軸的交點(diǎn)為P，直線l與MN的交點(diǎn)為Q，證明：eq\f(|PM|,|PN|)＝eq\f(|QM|,|QN|).任務(wù)15探索性問(wèn)題[例2]已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(6),2)，且左焦點(diǎn)F到漸近線的距離為eq\r(3).過(guò)F作直線l1，l2分別交雙曲線E于A，B和C，D，且線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1，l2斜率的乘積為－eq\f(1,5)，試探究：是否存在定圓G，使得直線MN被圓G截得的弦長(zhǎng)恒為4？若存在，請(qǐng)求出圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[規(guī)律總結(jié)]有關(guān)存在性問(wèn)題的求解策略(1)存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問(wèn)題明朗化．其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在并設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，若方程(組)有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題的常用方法．(3)解決存在性問(wèn)題時(shí)要注意解題的規(guī)范性，一般先作出結(jié)論，后給出證明(理由).[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且過(guò)點(diǎn)A(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．強(qiáng)化拓展(六)圓錐曲線中非韋達(dá)定理的應(yīng)用【編者按】在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理整體代入來(lái)解決；但是有些情況，如有些定點(diǎn)、定值、定線問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)把韋達(dá)定理整體代入并不能完全消除兩根，把這類問(wèn)題稱之為“非對(duì)稱韋達(dá)定理”．下面介紹幾種常見(jiàn)非韋達(dá)定理形式的處理方法．類型一兩根之比型(如eq\f(x2,x1)，eq\f(y1,y2))[例1]設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→)).(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|＝eq\f(15,4)，求橢圓C的方程．[規(guī)律總結(jié)]方案1是直接求出y1，y2，利用y1與y2的關(guān)系式，代入消元求解．方案2將eq\f(y1,y2)＝－2取倒數(shù)相加，得到eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＝－eq\f(5,2)，這樣處理將不對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式，就可以將韋達(dá)定理的結(jié)果整體代入了．方案3是利用條件y1＝－2y2，得到y(tǒng)1＋y2與y1y2的關(guān)系式eq\f((y1＋y2)2,y1y2)＝－eq\f(1,2)，然后就可以用韋達(dá)定理處理了．方案4則是利用y1＝－2y2與y1＋y2，y1y2的表達(dá)式，代入消元求解．[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]1.設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．類型二系數(shù)不等型(如λx1＋μx2＝m(λ≠μ，m≠0))[例2]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，右準(zhǔn)線方程為x＝2eq\r(2).(1)求橢圓方程；(2)P(0，1)，A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)A作斜率為k1的直線交橢圓于E，連接EP并延長(zhǎng)交橢圓于F，記直線BF的斜率為k2，若k1＝3k2，求直線EF的方程．[規(guī)律總結(jié)]利用韋達(dá)定理中隱含著2kx1x2＝x1＋x2＝－eq\f(4k,2k2＋1)的關(guān)系，所以代入消元得到(1－k)(x1＋eq\f(2k＋2,1＋2k2))＝0，從而求得k＝1.[對(duì)點(diǎn)練習(xí)]2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\f(\r(3),3)x，且點(diǎn)P(eq\r(3)，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．類型三分式上下不對(duì)稱型(如eq\f(mx1x2＋λx1,mx1x2＋μx2)，eq\f(my1y2＋λy1,my1y2＋μy2)(λ≠μ))[例3]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)