課下鞏固精練卷(十一)函數(shù)的對稱性【基礎(chǔ)鞏固題】1．下列函數(shù)的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A．y＝1x B．y＝lg|xC．y＝tanx D．y＝x3解析：選A.y＝1x的圖象關(guān)于y＝xy＝lg|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，但無對稱中心，故B錯誤；y＝tanx關(guān)于點kπ2，0(y＝x3為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(0，0)成中心對稱，但無對稱軸，故D錯誤．2．已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x)＝f(2－x)成立，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝2x－1，則()A．f13＜f32＜B．f23＜f32＜C．f23＜f13＜D．f32＜f23＜解析：選B.由題意知，函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程是x＝1，當(dāng)x≥1時，f(x)＝2x－1，則函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，由f(x)的對稱性知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減．∵1－23＜32－1＜1－13，∴f23＜f33．已知函數(shù)f(x)＝2x＋42x(x∈R)，則f(A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于點(1，0)對稱C．關(guān)于直線x＝0對稱D．關(guān)于原點對稱解析：選A.由已知可得，f(2－x)＝22-x＋422?x＝42x+4·2x4＝42x＋因為f(2－x)＝2x＋42x，則f(2－x)≠－f(f(－x)＝2－x＋42?x＝4·2x+12x，則f因為f(－x)＝4·2x＋12x，則f(－x)≠－f(4．(2024·寧夏二模)直線ax＋by－1＝0過函數(shù)f(x)＝x＋1x?1A．9B．8C．6D．5解析：選A.因為y＝x＋1x是奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于(0，0)中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數(shù)f(x)＝x＋1所以f(x)的對稱中心為(1，1)，所以a＋b＝1，所以4a+1b＝(a＋b)4a+當(dāng)且僅當(dāng)4ba＝ab，即a＝2所以4a5．如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當(dāng)x≥12時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－A．2B．3C．4D．－1解析：選C.根據(jù)f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的圖象關(guān)于x＝12那么求函數(shù)f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)f(x)在[1，3]上的最大值與最小值之和，因為f(x)＝log2(3x－1)在12,+∞上單調(diào)遞增，所以最小值與最大值分別為f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f6．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(4＋x)＝f(－x)，若函數(shù)y＝|x2－4x－5|與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則所有交點的橫坐標(biāo)之和為()A．0B．mC．2mD．4m解析：選C.依題意，函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(4＋x)＝f(－x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．函數(shù)y＝|x2－4x－5|的圖象也關(guān)于直線x＝2對稱，所以若函數(shù)y＝|x2－4x－5|與y＝f(x)圖象的交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則x1＋x2＋…＋xm＝4×m2＝2m7．(多選)(2024·甘肅張掖模擬)已知直線x＝1是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸，則函數(shù)f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝1B．f(x)＝ex-1＋e1-xC．f(x)＝cosπxD．f(x)＝x2－2|x|解析：選ABC.對于A，函數(shù)圖象由y＝1x圖象沿x軸向右平移1個單位，再把x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方，故關(guān)于直線x＝對于B，函數(shù)f(x)＝ex-1＋e1-x的圖象是由y＝ex＋e－x圖象沿x軸向右平移1個單位得到的，而函數(shù)y＝ex＋e－x是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，其圖象沿x軸向右平移1個單位后的圖象剛好關(guān)于直線x＝1對稱，故B正確；對于C，令πx＝kπ，k∈Z，則該函數(shù)的對稱軸為直線x＝k，k∈Z，故x＝1符合題意，故C正確；對于D，f(－1)＝－1，f(3)＝3，顯然f(－1)≠f(3)，故此函數(shù)不是關(guān)于直線x＝1對稱的，故D錯誤．8．(多選)已知函數(shù)f(x)，則下列命題正確的為()A．若f(1＋x)＝f(3－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱B．令g(x)＝f(2－x)，h(x)＝f(2＋x)，則函數(shù)g(x)與h(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱C．若f(x)為偶函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱D．若函數(shù)f(2x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱解析：選AC.由題意f(1＋x)＝f(3－x)，令t＝1＋x，可得f(t)＝f(4－t)，所以f(x)關(guān)于x＝2對稱，故A正確；函數(shù)g(x)＝f(2－x)的圖象與函數(shù)h(x)＝f(2＋x)的圖象關(guān)于直線x＝2?22＝由題意，f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f(x)，由f(x)為偶函數(shù)，得f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故C正確；令g(x)＝f(2x＋1)，若g(x)＝g(2－x)，則f(2x＋1)＝f(5－2x)，令t＝1＋2x，f(t)＝f(6－t)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，故D不正確．9．與f(x)＝ex關(guān)于直線x＝1對稱的函數(shù)是________．解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝ex的圖象上的任意一點(x0，y0)關(guān)于直線x＝1對稱的點的坐標(biāo)為(x，y)，所以x0+x因為點(x0，y0)在函數(shù)f(x)＝ex圖象上，所以y0＝ex0，即y＝e2-答案：y＝e2-x10．已知函數(shù)f(x)＝2|x-a|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則a＝________．解析：因為函數(shù)y＝2|x|的圖象關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)y＝2|x|的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)y＝2|x-2|的圖象，所以函數(shù)y＝2|x-2|的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故a＝2.答案：2【綜合應(yīng)用題】11．已知函數(shù)f(1－x)的圖象與函數(shù)f(2＋x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，則m等于()A．3 B．3C．－1 D．－1解析：選D.設(shè)點P(x，y)在函數(shù)y＝f(1－x)的圖象上，點P關(guān)于直線x＝m的對稱點Q(x′，y′)，則x+x'則y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)與y＝f(1－x)關(guān)于直線x＝m對稱，則1－2m＝2，得m＝－1212．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(－x)，設(shè)函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝1x?1的圖象交于點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則i＝1解析：∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，則f(2－x)＋f(x)＝0，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，∵函數(shù)y＝1x?1的圖象是由函數(shù)y＝1∴函數(shù)y＝1x?1∴函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝1x?1∴i＝1nxi答案：n13．已知函數(shù)f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的對稱性；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．證明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)．因為f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2xf(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．(2)設(shè)y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，當(dāng)x>2時，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)單調(diào)遞增，y2＝x2－4x也單調(diào)遞增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2)．14．(人教A版必修一P87)我們知道，函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心；(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論．解：(1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x