2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2+i

Z=;——z--

1設(shè)l+i“+i，則2=（）

A.l-2iB.1+2iC.2-iD.2+i

2.設(shè)集合〃=1<,集合時(shí)={小<1},N={x|-l<x<2},則{小之2}=）

A.電,（歷UN）B.NUQ.M

CQ，（MfN）D.M

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積

A.24B.26C.28D.30

4.已知/*）二上J是偶函數(shù)，則。=（）

e<a-1

A.-2C.1D.2

5.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（入,），）|1工/十V《4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為

TT

4,則直線OA的傾斜角不大于一的概率為（）

4

11

A.B.-C.一D

864-I

兀2兀

6.已知函數(shù)/（X）=sin（6）x+0）在區(qū)間單調(diào)遞增，直線工=工和為函數(shù)

*’763

y=/（x）的圖像的兩條對(duì)稱軸，則/（）

1

A8Rr'cc

A.B.C.-L).

2222

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相

同的選法共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

8.已知圓錐PO的底面半徑為6，。為底面圓心，以，?！盀閳A錐的母線，N4QB=12O。，

若「243的面積等于地，則該圓錐的體積為()

4

A.冗B.瘋rC.3允D.3扁

9.已知，工3。為等腰直角三角形為斜邊，△A5O為等邊三角形，若二面角。一46一。

為150。，則直線8與平面A8C所成角的正切值為()

A.-B.—C.—D.-

5555

10.已知等差數(shù)列{%}的公差為與，集合S={COS/M￡N*},若5={。,〃},則必=

()

11

A.-1B.一一C.OD.：

22

2

H.設(shè)48為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可?為線段AB中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.

(-1)

12.已知。0的半徑為1,直線布與C。相切于點(diǎn)A,直線P8與。。交于8,C兩點(diǎn)，D

為8C的中點(diǎn)，若|PO|=JL則P4PO的最大值為()

A1+&口1+2&

A.-----b.-------

22

C.1+72D.2+72

二、填空題

13.已知點(diǎn)人(1,6)在拋物線C：)，2=2〃小上，則人到C的準(zhǔn)線的距離為.

2

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件?x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.

3x+y>7

15.已知｛4｝為等比數(shù)列，。2〃4。5=〃3。6，%4o=-8，則。7=.

16.設(shè)若函數(shù)/(切="+(1+4)'在(0,+8)上單調(diào)遞增，則4取值范圍是

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配

對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一人用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處

理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

七，y(i=l,2,…10),試驗(yàn)結(jié)果如下

試驗(yàn)序號(hào)/,12345678910

伸縮率為545533551522575544541568596548

伸縮率B536527543530560533522550576536

記馬=七一y(i=l,2,,10),記z，z2,...?馬0的樣本平均數(shù)為Z，樣本方差為一,

(1)求Z，S2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高(如果122日，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠

產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

18.在以3c中，已知NBAC=120o,4y=2，AC=\.

(1)求sinNA"；

(2)若D為8C上一點(diǎn),且N84O=90。，求△AAX7的面積.

19.如圖，在三棱錐戶一A3C中，AB1BC,AB=2,8C=2也，PB=PC=R，

BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為。，E,O,ADfDO，點(diǎn)/在AC上，BFLAO.

3

p

（1）證明：E尸〃平面ADO；

（2）證明：平面AOO_L平面BER

（3）求二面角O—AO—C的正弦值.

20.已知橢圓C：三+±二1（〃〉力＞0）的離心率為或，點(diǎn)A（—2,0）在C上.

a~b'3

（1）求。的方程：

（2）過點(diǎn)（-2,3）的直線交C于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為W,N,

證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/（x）=（g+a）ln（l+x）.

（1）當(dāng)〃=一1時(shí).，求曲線＞=/（力在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程；

（2）是否存在。，b,使得曲線關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求〃，〃的值，若

不存在，說明理由.

（3）若“X）在（0,+8）存在極值，求〃的取值范圍.

四、選做題

【選修4?4】（10分）

22.在直角坐標(biāo)系直方中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1

的極坐標(biāo)方程為夕=2sine，曲線C,：〈（。為參數(shù)，大＜。＜兀）.

142J[y=2sma2

（1）寫出G的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線y=x+〃z既與G沒有公共點(diǎn)，也與G沒有公共點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

4

【選修4?5】(10分)

23.已知己(%)=2國+卜-2|?

(1)求不等式〃x)K6-x解集；

f(x)<y

(2)在直角坐標(biāo)系中，求不等式組一64°所確定的平面區(qū)域的面積.

5

答案解析

一、選擇題

2+i

Z=c"一

1.設(shè)1+/+】，則2=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)2的值，然后利用共規(guī)復(fù)數(shù)的定義確定其共枕復(fù)數(shù)即可.

2+i2+ii（2+i）2i-l?

【詳解】由題意可得Z=-----7----T-=---------=---------=-------=1t—21?

i+i2+i51-1+ii2-1

則彳=1+2i.

故選：B.

2設(shè)集合U=R,集合知={乂/<1},N={X-1<]<2}，則{小之2}二（）

A.e（"UN）B.NU&M

c.Q,（MCN）D.M

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|xN2}即可.

【詳解】由題意可得MJN={x|x<2},則電（MLN）={x|xN2},選項(xiàng)A正確；

^M={x\x>l}f則NU6/={x|x>T},選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

MN={x|7<x<l},則6（McN）={x|x4—l或xNl},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

a，N={x|xK-1或x"},則MU4,N={x|x<l或x之2},選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選:A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積

為（）

6

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其

表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABC?！?8GA中，AB=BC=2,M=3,

點(diǎn)J,K為所在棱上靠近點(diǎn)4,a，已,A的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長方體ABCD-AMGA去掉長方體ON/G用之后所

得的幾何體,

4_________Q

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個(gè)邊長為1的正方形,

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

YQX

4.已知是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

7

【解析】

【分析［根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

［詳解因?yàn)?為偶函數(shù)，則

e1

.也(r)eT_x[e'Y('f[

/(x)-/(-x)

eav-l-e-av-l--eav-l

又因?yàn)閤不恒為0,可得即e，=e（"3.

則x=(q—l)x,即1=〃-1,解得4=2.

故選：D.

5.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（工,），）［1《犬+>72工4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為

A,則直線。4的傾斜角不大于四的概率為（）

4

1八1C1hl

A.-B.-C.-D.—

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛（乂封|1?/+V44｝表示以o（o,o）圓心，外圓半徑R=2,內(nèi)圓半

徑7=1的圓環(huán),

則直線。4的傾斜角不大于：的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角

4

71

4MON=-,

4

2x.

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率_4_I.

1p=-------=一

2九4

故選：C.

8

6.已知函數(shù)/(x)=sin(”x+0)在區(qū)間U單調(diào)遞增，直線x=?和x為函數(shù)

163J63

y=/(x)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則/卜[卜()

A.一正B.--C.1D.正

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入工=-黑即可得到答

12

案.

【詳解】因?yàn)?(x)=sin(s+0)在區(qū)間值引單調(diào)噬增，

T2兀兀兀rc…『27rc

所以一二------=—,且。＞0,則7=兀，w=——=2,

2362T

當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最小值,則21+*=2也—[keZ,

662

則0=2E—葛，keZ,不妨取k=0,則〃x)=sin(2x—胃)，

則《喑卜近唱

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相

同的選法共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

9

【答案】c

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即

可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種,

根據(jù)分步乘法公式則共有A；=120種，

故選：C.

8.已知圓錐P。的底面半徑為G，。為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，ZAOB=120°,

若AQ鉆的面積等于也，則該圓錐的體積為（）

4

A.九B.遙兀C.37rD.3、另開

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出

體積作答.

【詳解】在"403中，NAO8=120"，而以=04=6,取AC中點(diǎn)C,連接OC,PC,

有OC_LAB,PC_LA3,如圖,

NABO=30，OC=B,AB=2BC=3,由APAB的面積為噸，得，x3xPC二殛

2424

10

解得PC=乎，于是PO=IPC?一002二J（￥）2—凈=戈,

所以圓錐的體枳『=,兀'。*、尸。=_1兀、（6）2'#=#兀.

33

故選：B

9.已知/BC為等腰直角三角形,48為斜邊，△A3。為等邊三角形，若二面角C-AB-D

為150°,則直線C。與平面A5C所成角的正切值為（）

A1p6n2

A?D.---1??---D?

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取A3的中點(diǎn)E，連接CE,OE,因?yàn)椤?C是等腰直角三角形，且A8為斜邊,

則有CEIAB,

又△A8O是等邊三角形，則OE_ZA5,從而NCED為二面角C-AB-O的平面角，即

ZCED=150，

顯然?！臧恕Ｆ?七,。巳?！曦纹矫妗?。￡,于是平面COE,乂ABu平面A8C，

因此平面CDE±平面ABC,顯然平面CDEc平面ABC=CE，

直線CDu平面CDE,則直線CO在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而N0CE為直線C。與平面ABC所成的角，令48=2,則CE=1,QE=JJ，在

OE中,由余弦定理得：

CD=y/CE2+DE2-2CE-DEcosZCED=^l+3-2xlx>/3x（-^）=77?

ii

V3sin15()V3

由正弦定理得，BPsinZDCE=

sinNDCEsinNCED

顯然NDCE是銳角，cosZDCE=V1-sin2ZDCE=

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為且.

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛q｝的公差為菖，集合S=｛cos4j”￡N'｝,若5=｛。,。｝,則《心=

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元

素分析?、推理作答.

[兀^719jr

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛/｝中，4=6+（〃-1）?7=■〃+（弓一言），

顯然函數(shù)y=cos[m〃+（%-莖）]的周期為3,而〃eN*，即cos。“最多3個(gè)不同取值，

又｛cosqN*｝=｛.1｝,

則在cosax,cosa2,cosa3中，cosa｝=cosa2wcosa3或cos%*cosa2=cosa3,

2兀27r7T

于是有cos。=cos（夕+—）,即有。+（夕+—）=2kn,keZ,解得8=A兀——,kwZ,

333

所以ZeZ,

ah=COS（ATT--）cosf（A：7i--）+—]=-COS（ATI--）coskn=-cos2Axcos—.

333332

故選：B

2

11.設(shè)A,B為雙曲線丁一方二1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段A8中點(diǎn)的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.

（一I）

【答案】D

12

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得心8M=9,對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),

逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)人（玉,），1）,8（與,%），則4B的中點(diǎn)”必

??%

可得配二江&，人*

X[-x2%+入2X1+X2

/一K-1

玉9一122

因?yàn)锳3在雙曲線上，貝兩式相減得6；一石）一①節(jié)=0,

工=1

9

所以原/々=亭*=9.

對(duì)于選項(xiàng)A：可得A=1,A.=9,則A￡y=9/-8,

j=9x-8

聯(lián)立方程,，y2，消去），得72X2-2X72X+73=0，

x---=\

9

此時(shí)△=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得女二-2,%八8二—，則AB:y=-x—,

222

95

y=—x—

-2）

聯(lián)立方程12，消去），得45^+2x451+61=0,

/工=1

9

此時(shí)△=（2x45）2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線人8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C：可得火=3,38=3,則=

由雙曲線方程可得a=1,6=3,則A氏y=3%為雙曲線的漸近線,

13

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

對(duì)于選項(xiàng)D：=4,——,則AB:y=—x—,

A84-44

97

y=-x——

聯(lián)立方程〈2，消去丁得63V+126X-193=0,

犬--=I

9

此時(shí)A=1262+4X63X193＞（），故直線A8與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知。。的半徑為1,直線均與OO相切于點(diǎn)A,直線與00交于B,C兩點(diǎn)，。

為BC的中點(diǎn)，若|PO|=JL則PA.。。的最大值為（）

A1+6口1+2&

22

C.1+72D.2+拒

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得

?

PA-PD=，一①5皿（2儀一代］,或尸24./0=，+Y^sin（2a+X1然后結(jié)合三角困數(shù)的

22V4）22（4）

性質(zhì)即可確定PA.pQ的最大值.

【詳解】如圖所示，|04|=1,|OP|=JL則由題意可知:乙4尸0=45，

由勾股定理可得PA=y/OF^-OA2=1

14

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線P。異側(cè)時(shí)，設(shè)NOPCa,0<a<—,

4

則：PA.po=|PA|。|PO|cos(a+?

=1x>/2cos?coscr+—

I4J

住cosa及

=V2COSOf——sina

2

=cos2a-sinacosa

1+cos2a

一sin2a

2

]_加

——sin

22

71717171

0<?<-,則一一<2a一一<-

4444

7T7T

二當(dāng)2a-二二一二時(shí)，PA-77)有最大值1?

44

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線P。同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC?,0<a<—,

4

則：PA.pQ=|P4|?|PD|cos(a-(

=1xV2ssacosa」

I4

cosa^sin.

=V2cosa

2

=cos2a+sinacosa

15

=------------F—sinla

22

1V2.吟

22I4）

0<a<-,則為2。+生工工

4442

.?.當(dāng)2a+f=g時(shí)，RVPD有最大值I+'?

422

綜上可得，尸4PD的最大值為""?

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值

的問題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A（l,后）在拋物線C：），2=2〃A?上，則A到。的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為

x=-之，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

4

【詳解】由題意可得：伸了二2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為V=5x,

5（9

準(zhǔn)線方程為x=-一，點(diǎn)A到。的準(zhǔn)線的距離為1--7=T-

4V4；4

9

故答案為：

4

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件，x+2），09，則z=2x-y的最大值為.

3x+y27

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

詳解】作出可行域如下圖所示：

16

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

x-3y=-\x=5

聯(lián)立有《cc，解得《

x+2y=9y=2'

設(shè)A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

15.已知｛《7｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,=-8,則%=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)生。4。5=。3。6化簡得4夕=1，聯(lián)立"Mo二-8求出d二一2,

最后得%=%q?q'=C『=-2.

【詳解】設(shè)｛q｝的公比為q（夕工0）,則。244a5="。6，顯然％工0，

貝ij%=q2，即4/=42,則。q=1,因?yàn)?9al（）=-8,則q爐-4a9=-8,

則，5=（q5）3=-8=（—2）3,則q3=_2,則的=卅d=夕，=_2,

故答案為：一2.

16.設(shè)?！辏?,1）,若函數(shù)/。）=優(yōu)+（1+々）、在（0,+8）上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是

【解析】

17

【分析】原問題等價(jià)于/'(無)=優(yōu)111〃+(1+〃)'1。(1+〃)20恒成立，據(jù)此將所得的不等

式進(jìn)行恒等變形，可得(上烏］”丁由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不

等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得了'(x)=優(yōu)Ina+(1+a)'In(1+a)20在區(qū)間(0,+8)上恒成

立，

/I、人

則(1+a)'ln(l+a)2-a'Ina,即——>J二)在區(qū)間(0,+e)上恒成立,

、a)

故(詈)…一1^^而"TZ，故m(")》。,

喂”i即配一故

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配

對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一人用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處

理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

%,%(i=l,2,…10),試驗(yàn)結(jié)果如下

試驗(yàn)序號(hào)/12345678910

伸縮率看545533551522575544541568596548

伸縮率K53652754353()560533522550576536

記馬=%-y(i=l,2,…,10),記4，z2,40的樣本平均數(shù)為三，樣本方差為5乙

⑴求2，,1;

18

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高（如果zN,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠

產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】(1)z=lb52=61;

（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

iWj.

【解析】

【分析】（I）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出X,），，再得到所有的4值，最后計(jì)算出方差

即可;

（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和）比較大小即可.

【小問I詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548=…

x=--------------------------------------------------=552.3,

1()

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=-341.3,

10

彳=亍一了=552.3—541.3=11,

的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

=------------------------------------------------------------------------------=01

1()

【小問2詳解】

由(1)知:三=11,=2>/6J=V244，故有三22小器,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

IWJ.

18.在中，已知NBAC=120。，A8=2,AC=\.

(1)求sinZ/WC；

19

(2)若。為4c上一點(diǎn)，且NE4O=90。，求△ADC的面積.

【答案】(1)叵;

14

⑵見,

10

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長8C的值為BC=J7，然后由余弦定理可得

cosB二亞,最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinO=\史；

1414

(2)由題意可得牌生=4,則，據(jù)此即可求得AADC的面積.

【小問1詳解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7，

,.?r-cr+c2-b~7+4—15y/l

貝|JBC=47,cosB=-----------=--------產(chǎn)=----,

2x2xV714

D[\----FTL25V21

sinB=vl-cosB=JI---=----.

V2814

【小問2詳解】

S-xABxA￡)xsin90

由三角形面積公式可得產(chǎn)也=-2----------------=4,

S?CD-xACxADxsin30

2

則△小=91x2xlxsinl20]=/.

19.如圖，在三棱錐P—A3C中，AB1BC,AB=2,8C=2血，PB=PC=R，

BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=45DO點(diǎn)尸在AC上，BFA.AO.

20

p

(1)證明：E尸〃平面ADO；

(2)證明：平面AOO_L平面8EF；

(3)求二面角O—AO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；(3)Y2.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形OOEF為平行四邊形，再利用線面平行判定推

理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

連接OE,。產(chǎn)，設(shè)=則3/=的+人/=(1一。3八+，3。，AO=-BA^BC,

BFIAO^

....?—?—?---?1'?■—21；

則8FA0=[(l—f)8A+f8C](—8A+—8C)=。-1)BA+-rBC2=4(r-l)+4r=0,

22

解得f=L則尸為AC的中點(diǎn)，由。，旦O/分別為P氏PA,3cAe的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE=>AB,OF//AB,OF二工AB,即。E//OF,DE=。/，則四邊形

99A*

ODEF為平行四邊形，

EF//DO.EF=DO,又斯二平面AOOQOu平面400,

所以￡///平面AOO.

21

p

【小問2詳解】

由(1)可知所V/OD,則AO=m,OO=逅，得人。二石。0=畫

22

因此0。2+4。2=4。2="，則OO_LAO,有MJLAO,

2

又AOJL8R8bEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有40_L平面3七?，乂AOu平面A。。，所以平面A￡＞。_1平面BE/、

【小問3詳解】

過點(diǎn)。作OH//B/交AC于點(diǎn)”，設(shè)ADn8E=G,

由AOJ.8E,得”O(jiān)J.AO,且產(chǎn)

3

又由(2)知，0D1A0,則N7X7”為二面角。一AO—C的平面角，

因?yàn)椤攴謩e為PB,24的中點(diǎn)，因此G為.PAB的重心,

1113

即有。G二—AO,GE=—8￡,又FH=—AH,即有D”=二G/7,

3332

.315

4+弓一不4+6-PA2/7

cosZ.ABD==一—h，解得PA=JiW，同理得5七二——，

2x2x2^2x2x62

2

于是BE?+E尸2=8/2=3，即有原_1_瓦'，則G/2心如閨=1

“丁「廠V15…3星歷

從而GF=----，DH=-x------=------，

3232

、BF=B,OD=旦、DH=叵,

在△DOH中，0H

2222

22

6+3_15

]_也丫=也,

于是cos/D°"=4之sinZDOH=.H-

2x風(fēng)92Y22

22

20.已知橢圓C：4+*=1（。＞人＞0）的離心率為當(dāng)，點(diǎn)4（-2,0）在C上.

（1）求。的方程；

（2）過點(diǎn)（一2,3）的直線交。于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)，直線AP,4。與丁軸的交點(diǎn)分別為M,N,

證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

【答案】（1）^-4--=1

94

（2）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解c,進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為彳生為定值即可.

【小問I詳解】

h=2

由題意可得//=/+/,解得j/?=2,

c亞c=\[5

e=-=——

a3

23

22

所以橢圓方程為二+t=1.

94

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=A（x+2）+3,尸（與,兇）,。（工2，%），

y=&(x+2)+3

聯(lián)立方程〈y2/,消去)，得：(4二+9),產(chǎn)+8女(2女+3)X+16(〃2+3〃)=0,

----1----=1

94

則△=64/Qk+3)2—a.+9)儼+3%)=-1728k>0,解得〃<0,

可得XI_8M2A+3)16(公+3%)

玉+々一必2+9小"4K+9

因?yàn)锳（—2,0）,則直線”：＞二一%（工+2）,

?X?I/

2）'i

令.0,解得尸消,即“0.c，

IX+2J

同理可得NO,

2-2%

貝|」辦+2X+2_[/：(%|+2)+3][Zr(^+2)+3]

2-F2

2內(nèi)+2毛+2

[依+(2々+3)](42+2)+[依2+(2%+3)](g+2)2kx1x2+(4&+3)(耳+x,)+4(2A:+3)

(3+2)(電+2)為工+2(N+x,)+4

4

斗廳為^尸33）108二

3r3,

16儼+3&)16攵(2八3)

+4

4y+943+9

所以線段PQ的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

24

M

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值;

（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某

些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值;

（3）得出結(jié)論.

21.已知函