高中數(shù)學(xué)精選資源2/2§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練借助于單位圓理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的定義.通過(guò)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義1.如圖，給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u，v)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v,_橫坐標(biāo)u都是唯一確定的，我們把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值，仍記作v＝sinα；把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值，仍記作u＝cos_α.2．設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x，y)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，其中r＝eq\r(x2＋y2).1．判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)sinα，cosα的大小與點(diǎn)P(x，y)在角α的終邊上的位置有關(guān)． ()×提示三角函數(shù)的大小由角α終邊位置確定，而與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無(wú)關(guān)．(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．(√)2．若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，則sinα的值為 (B)A．eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)3．(教材P15練習(xí)1改編)若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則cosα＝________.答案－eq\f(1,2)探究一已知角α終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值[知能解讀]1．sinα，cosα是一個(gè)整體，不是“sin”“cos”與α的乘積，它是正弦、余弦函數(shù)的一個(gè)記號(hào)，離開(kāi)自變量的“sin”“cos”是沒(méi)有意義的．2．對(duì)于任意一個(gè)給定的角α，它只有唯一的一條終邊，從而終邊與單位圓只有唯一的一個(gè)交點(diǎn)，所以它對(duì)應(yīng)的正弦值和余弦值都是唯一確定的．在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊，如果角α，β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαcosβ＝()A．－eq\f(36,65) B．－eq\f(3,13)C．eq\f(4,13) D．eq\f(48,65)B[因角α，β的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，故由定義知sinα＝eq\f(5,13)，cosβ＝－eq\f(3,5).所以sinαcosβ＝eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(3,13).][方法總結(jié)]1．已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).當(dāng)已知α的終邊上一點(diǎn)求α的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便．2．當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．[訓(xùn)練1]在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(3,5)，求sinα及cosα的值．解由題意，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,5)))，所以x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1.解得x＝eq\f(4,5)或－eq\f(4,5).當(dāng)x＝eq\f(4,5)時(shí)，角α在第一象限，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).當(dāng)x＝－eq\f(4,5)時(shí)，角α在第二象限，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).探究二已知角α終邊所在的直線求三角函數(shù)值已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解由題意知，cosα≠0.設(shè)角α的終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)(k≠0)，則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.(1)當(dāng)k>0時(shí)，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10).所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq\r(10)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.(2)當(dāng)k<0時(shí)，r＝－eq\r(10)k，α是第二象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10).所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f(3\r(10),10)＋3×(－eq\r(10))＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上所述，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.[變式]其他條件不變，試求2sinα＋3cosα的值．解設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，|OP|＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3x，,x2＋y2＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(10),10)，,y＝－\f(3\r(10),10)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(10),10)，,y＝\f(3\r(10),10).))所以sinα＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)或sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10).故2sinα＋3cosα＝－eq\f(3\r(10),10)或2sinα＋3cosα＝eq\f(3\r(10),10).[方法總結(jié)]已知角α的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種1．先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．2．在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．[訓(xùn)練2]已知角α的終邊在直線y＝eq\r(3)x上，求sinα，cosα的值．解因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝eq\r(3)x上，所以可設(shè)P(a，eq\r(3)a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)，則r＝eq\r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|(a≠0)．若a>0，則α為第一象限角，r＝2a.所以sinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2).若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a.所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2).探究三利用正弦、余弦函數(shù)定義求參數(shù)的值已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．解題流程：第一步泛讀題目明確待求結(jié)論：求2sinα＋cosα的值．第二步精讀題目挖掘已知條件：角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)．第三步建立聯(lián)系尋找解題思路：根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出r的值，然后根據(jù)a>0和a<0進(jìn)行分類(lèi)討論求解三角函數(shù)．第四步書(shū)寫(xiě)過(guò)程規(guī)范養(yǎng)成習(xí)慣．解由題知r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|(a≠0)．①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限．故sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5).所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，故sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5).所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.[方法總結(jié)]利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，求一個(gè)角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y和點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．[訓(xùn)練3](1)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5m,12)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則m＝________.－1[cosα＝－eq\f(5,13)<0，則α的終邊在第二或三