大學(xué)概率論習(xí)題及答案一、隨機(jī)事件與概率1.某班級(jí)有40名學(xué)生，其中25人報(bào)名了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，18人報(bào)名了物理競(jìng)賽，10人同時(shí)報(bào)名了兩門競(jìng)賽?，F(xiàn)從班級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生，求該學(xué)生至少報(bào)名了一門競(jìng)賽的概率。解答：設(shè)事件A為“報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，事件B為“報(bào)名物理競(jìng)賽”。已知P(A)=25/40=5/8，P(B)=18/40=9/20，P(AB)=10/40=1/4。根據(jù)概率加法公式，至少報(bào)名一門競(jìng)賽的概率為：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5/8+9/20-1/4=(25/40+18/40-10/40)=33/40=0.825。二、古典概型與幾何概型2.一副標(biāo)準(zhǔn)撲克牌（52張，無(wú)大小王），從中依次抽取2張（不放回），求：（1）第一張是紅桃且第二張是黑桃的概率；（2）兩張牌花色相同的概率。解答：（1）設(shè)事件C為“第一張紅桃，第二張黑桃”。紅桃有13張，黑桃有13張。第一張抽取紅桃的概率為13/52=1/4，不放回時(shí)第二張抽取黑桃的概率為13/51。因此：P(C)=(13/52)×(13/51)=(1/4)×(13/51)=13/204≈0.0637。（2）設(shè)事件D為“兩張花色相同”?；ㄉ灿?種（紅桃、黑桃、梅花、方塊），每種13張。兩張同花色的情況為：先選一種花色（4種選擇），再?gòu)脑摶ㄉ羞x2張?？偝槿》绞綖镃(52,2)=1326種，同花色的抽取方式為4×C(13,2)=4×78=312種。因此：P(D)=312/1326=4×(13×12/2)/(52×51/2)=(4×13×12)/(52×51)=(624)/(2652)=12/51=4/17≈0.2353。三、條件概率與全概率公式3.某工廠有三條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)產(chǎn)品的40%、35%、25%，對(duì)應(yīng)的次品率為2%、3%、5%。現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品是次品的概率。解答：設(shè)事件E_i（i=1,2,3）表示“產(chǎn)品來(lái)自第i條生產(chǎn)線”，事件F表示“產(chǎn)品是次品”。已知P(E?)=0.4，P(E?)=0.35，P(E?)=0.25；P(F|E?)=0.02，P(F|E?)=0.03，P(F|E?)=0.05。根據(jù)全概率公式：P(F)=ΣP(E_i)P(F|E_i)=0.4×0.02+0.35×0.03+0.25×0.05=0.008+0.0105+0.0125=0.031。四、貝葉斯公式4.某種疾病的發(fā)病率為0.1%，現(xiàn)有一種檢測(cè)方法，患病者檢測(cè)陽(yáng)性的概率為99%，未患病者檢測(cè)陽(yáng)性的概率為0.5%。若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，求其實(shí)際患病的概率。解答：設(shè)事件G為“患病”，事件H為“檢測(cè)陽(yáng)性”。已知P(G)=0.001，P(H|G)=0.99，P(H|?G)=0.005。根據(jù)貝葉斯公式：P(G|H)=[P(H|G)P(G)]/[P(H|G)P(G)+P(H|?G)P(?G)]=(0.99×0.001)/(0.99×0.001+0.005×0.999)=0.00099/(0.00099+0.004995)=0.00099/0.005985≈0.1654，即約16.54%。五、離散型隨機(jī)變量及其分布5.某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6，獨(dú)立投籃5次，求：（1）恰好命中3次的概率；（2）至少命中4次的概率。解答：設(shè)X為命中次數(shù)，X~B(n=5,p=0.6)。（1）P(X=3)=C(5,3)×0.63×0.42=10×0.216×0.16=10×0.03456=0.3456。（2）至少命中4次即X=4或X=5：P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=C(5,4)×0.6?×0.41+C(5,5)×0.6?×0.4?=5×0.1296×0.4+1×0.07776×1=5×0.05184+0.07776=0.2592+0.07776=0.33696。六、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布6.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間[2,5]上的均勻分布，求：（1）X的概率密度函數(shù)f(x)；（2）P(3<X<4.5)；（3）X的分布函數(shù)F(x)。解答：（1）均勻分布的概率密度函數(shù)為：f(x)=1/(5-2)=1/3，當(dāng)2≤x≤5；否則f(x)=0。（2）P(3<X<4.5)=∫??·?(1/3)dx=(4.5-3)/3=1.5/3=0.5。（3）分布函數(shù)F(x)為：當(dāng)x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)2≤x≤5時(shí)，F(xiàn)(x)=∫??(1/3)dt=(x-2)/3；當(dāng)x>5時(shí)，F(xiàn)(x)=1。七、正態(tài)分布7.某高校學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(75,102)，求：（1）成績(jī)高于85分的概率；（2）成績(jī)?cè)?0到90分之間的概率；（3）若前10%的學(xué)生獲優(yōu)秀，求優(yōu)秀的最低分?jǐn)?shù)。解答：X~N(75,100)，標(biāo)準(zhǔn)化Z=(X-75)/10~N(0,1)。（1）P(X>85)=P(Z>(85-75)/10)=P(Z>1)=1-Φ(1)≈1-0.8413=0.1587。（2）P(60<X<90)=P((60-75)/10<Z<(90-75)/10)=P(-1.5<Z<1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1≈2×0.9332-1=0.8664。（3）設(shè)優(yōu)秀最低分為x，滿足P(X≥x)=0.1，即P(Z≥(x-75)/10)=0.1，等價(jià)于Φ((x-75)/10)=0.9。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Φ(1.28)=0.8997≈0.9，因此(x-75)/10≈1.28，解得x≈75+12.8=87.8，即優(yōu)秀最低分約為88分（四舍五入）。八、二維離散型隨機(jī)變量8.同時(shí)拋擲兩枚均勻骰子，設(shè)X為第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)，Y為第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)，求：（1）(X,Y)的聯(lián)合分布律；（2）X+Y的分布律；（3）P(X>Y)。解答：（1）兩枚骰子獨(dú)立，每個(gè)點(diǎn)數(shù)（1-6）的概率均為1/6，因此聯(lián)合分布律為：P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)=1/6×1/6=1/36，其中i,j=1,2,…,6。（2）X+Y的可能取值為2到12。計(jì)算各取值的概率：-和為2：(1,1)，概率1/36；-和為3：(1,2),(2,1)，概率2/36；-和為4：(1,3),(2,2),(3,1)，概率3/36；-和為5：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，概率4/36；-和為6：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，概率5/36；-和為7：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，概率6/36；-和為8：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，概率5/36；-和為9：(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)，概率4/36；-和為10：(4,6),(5,5),(6,4)，概率3/36；-和為11：(5,6),(6,5)，概率2/36；-和為12：(6,6)，概率1/36。（3）P(X>Y)為所有i>j的情況概率之和。i=2時(shí)j=1（1種）；i=3時(shí)j=1,2（2種）；…i=6時(shí)j=1,2,3,4,5（5種）。總共有1+2+3+4+5=15種，因此P(X>Y)=15/36=5/12≈0.4167。九、二維連續(xù)型隨機(jī)變量9.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)={2e^(-x-2y),x>0,y>0；0,其他}求：（1）邊緣概率密度f(wàn)_X(x)和f_Y(y)；（2）條件概率密度f(wàn)_Y|X(y|x)；（3）判斷X與Y是否獨(dú)立。解答：（1）f_X(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy=∫?^∞2e^(-x-2y)dy=2e^(-x)∫?^∞e^(-2y)dy=2e^(-x)×(1/2)=e^(-x)（x>0，否則0）。f_Y(y)=∫?∞^∞f(x,y)dx=∫?^∞2e^(-x-2y)dx=2e^(-2y)∫?^∞e^(-x)dx=2e^(-2y)×1=2e^(-2y)（y>0，否則0）。（2）當(dāng)x>0時(shí)，f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=2e^(-x-2y)/e^(-x)=2e^(-2y)（y>0）。（3）由于f(x,y)=2e^(-x-2y)=e^(-x)×2e^(-2y)=f_X(x)f_Y(y)，因此X與Y獨(dú)立。十、隨機(jī)變量的數(shù)字特征10.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：f(x)={x/2,0≤x≤2；0,其他}求：（1）E(X)；（2）D(X)；（3）E(X2+2X-1)。解答：（1）E(X)=∫?∞^∞xf(x)dx=∫?2x×(x/2)dx=(1/2)∫?2x2dx=(1/2)×(x3/3)|?2=(1/2)×(8/3)=4/3≈1.333。（2）先求E(X2)=∫?2x2×(x/2)dx=(1/2)∫?2x3dx=(1/2)×(x?/4)|?2=(1/2)×(16/4)=2。D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-(4/3)2=2-16/9=2/9≈0.222。（3）E(X2+2X-1)=E(X2)+2E(X)-1=2+2×(4/3)-1=1+8/3=11/3≈3.666。十一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)11.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：|Y\X|0|1||------|-----|-----||0|0.1|0.3||1|0.2|0.4|求：（1）E(X),E(Y)；（2）Cov(X,Y)；（3）相關(guān)系數(shù)ρ_XY。解答：（1）X的邊緣分布：P(X=0)=0.1+0.2=0.3，P(X=1)=0.3+0.4=0.7，故E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7。Y的邊緣分布：P(Y=0)=0.1+0.3=0.4，P(Y=1)=0.2+0.4=0.6，故E(Y)=0×0.4+1×0.6=0.6。（2）E(XY)=Σx_iy_jP(X=x_i,Y=y_j)=0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7×0.6=0.4-0.42=-0.02。（3）先求D(X)和D(Y)：D