第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省駐馬店市某中學(xué)高二（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：|x|4+|y|A.12 B.14 C.16 D.202.若(x3+4)(xa+1xA.±255 B.±1 C.3.若隨機(jī)變量X～B(10,0.6)，則D(2X?1)=(

)A.4.8 B.2.4 C.9.6 D.8.64.已知a=(3,2,3)，空間向量e為單位向量，?a,e?=A.2e B.?2e C.?15.已知拋物線x2=16y上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為6，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為(

)A.22 B.42 C.6.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4A.35 B.37 C.9167.已知曲線y=ln(x?1)+ax在x=2處的切線方程為y=2x+b，則b=(

)A.?2 B.?1 C.1 D.28.已知正方體ABCD?A1B1C1D1，如圖，延長B1B至P使BP=2BB1，O為A.D1O與AB異面

B.D1K=62DK

C.∠KOC的余弦值為二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在平面直角坐標(biāo)系上的一只螞蟻從原點(diǎn)出發(fā)，每次隨機(jī)地向上、下、左、右四個(gè)方向移動(dòng)1個(gè)單位長度，移動(dòng)6次，則(

)A.螞蟻始終未遠(yuǎn)離原點(diǎn)超過1個(gè)單位長度的概率是164

B.螞蟻移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為5512

C.螞蟻回到原點(diǎn)的概率為25256

D.螞蟻移動(dòng)到直線10.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位數(shù)為9

B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D?)=1?P(D|C)，則C，D相互獨(dú)立

C.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4x+a，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為(?a,5.4)，則a=9

D.將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x11.在數(shù)列{an}中，a1=1，對任意m，n∈NA.a4=16

B.{an}為遞增數(shù)列

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=logax(a>1)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，記A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)?f(a)(a+1)?a則A、B13.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn14.2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛馬司農(nóng)產(chǎn)品基地”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，尹詩老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到n顆番石榴(不妨設(shè)n顆番石榴的大小各不相同)，最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.記該學(xué)生摘到那顆最大的番石榴的概率為P.若n=4，k=2，則P=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：

單位：人年齡段態(tài)度合計(jì)不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上(含35歲)30306035歲以下251540合計(jì)5545100(1)依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？

(2)以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機(jī)選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為X，求X的分布列與期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?2a，g(x)=lnx．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若a=1，是否存在直線與曲線y=f(x)和17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=5，an+1?2an=3n(n∈N?)，記bn=an?3n．

18.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2a．

(1)求證：AD⊥平面PBD；

(2)若PD=a，求平面PAB與平面PBD所成銳二面角的余弦值．19.(本小題17分)

已知A(?2,0)，B(1,32)兩點(diǎn)在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)(P,Q均不與A點(diǎn)重合)，過A作直線l的垂線，垂足為H．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k

答案解析1.【答案】D

【解析】解：在第一象限中，x>0，y>0，曲線方程|x|4+|y|3=1可化為x4+y3=1，即y=3?34x．

它與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0,3)．

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式d=(x2?x1)2+(y2?y1)2，

在第一象限中，該直線段的兩個(gè)端點(diǎn)為(4,0)和(0,3)，

則此線段的長度為2.【答案】B

【解析】解：二項(xiàng)式(xa+1x)6展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C6k(xa)6?k(1x)k=C6k(1a)6?kx6?3k2，k=0，1，2，3，43.【答案】C

【解析】解：∵隨機(jī)變量X～B(10,0.6)，

∴D(X)=10×0.6×(1?0.6)=2.4，

∴D(2X?1)=22D(X)=4×2.4=9.6．

故選：C．

4.【答案】B

【解析】解：已知a=(3,2,3)，空間向量e為單位向量，且<a,e>=2π3，

則空間向量a在向量e方向上的投影向量為a?e|e|?e，

因?yàn)閑為單位向量，|e|=15.【答案】B

【解析】解：已知拋物線x2=16y上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為6，

則F(0,4)，

則yM+4=6，

即yM=2，

則xM2=32，

則|xM|=42，

則點(diǎn)6.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镾4S8=14，所以由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得4a1+4(4?1)2d8a1+8(8?1)2d=14，

則4a7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閥=f(x)=ln(x?1)+ax，所以f′(x)=1x?1+a，

所以f(2)=2a，f′(2)=a+1，

又曲線y=ln(x?1)+ax在x=2處的切線方程為y=2x+b，

所以f′(2)=a+1=2，所以a=1，

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，又其在切線：y=2x+b上，

所以2=4+b，所以b=?2．

8.【答案】D

【解析】解：連接AD1，易知OB=12AD1，OB//AD1，

所以四邊形ABOD1為直角梯形，AB與D1O相交，故A錯(cuò)誤；

令正方體的棱長為3，由BP=2BB1，

知BK=23D1B1=22，DK=BD?BK=2，

D1K=DD12+DK2=11，

所以D1KDK=112=222，D1K=222DK，故B錯(cuò)誤；

以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,3,0)，K(1,1,0)，O(32,3,32)，

OK=(?12,?2,?32)，OC=(?32,0,?32)，OK?OC=34+94=3，|OK|=14+4+94=262，

|OC|=94+94=39.【答案】ACD

【解析】解：對于A，螞蟻始終未遠(yuǎn)離原點(diǎn)超過1個(gè)單位長度，則每一步的位置只能是(0,0)或原點(diǎn)的上下左右四個(gè)點(diǎn)，

最開始螞蟻在原點(diǎn)，第一次移動(dòng)有上下左右4種走法，第二次移動(dòng)只能回到原點(diǎn)，即只有1種走法，

同理第三次移動(dòng)有上下左右4種走法，第四次移動(dòng)只能回到原點(diǎn)，即只有1種走法，

第五次移動(dòng)有上下左右4種走法，第六次移動(dòng)只能回到原點(diǎn)，即只有1種走法，

所以滿足題意的共有4×1×4×1×4×1=64種路徑，

而移動(dòng)6次，每次有4種走法，即總路徑數(shù)為46，

由古典概型可知螞蟻始終未遠(yuǎn)離原點(diǎn)超過1個(gè)單位長度的概率為6446=164，故A正確；

對于B，螞蟻移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)，則需恰好右移3次，上移3次，路徑數(shù)為C63=20種，

所以螞蟻移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為2046=51024，故B錯(cuò)誤；

對于C，要回到原點(diǎn)，則左右移動(dòng)次數(shù)相等，均為a次；上下移動(dòng)次數(shù)相等，均為b次，

總次數(shù)滿足2a+2b=6，即a+b=3，

可能的組合有：

①a=3，b=0，即左右都3次，路徑數(shù)為C63=20種；

②a=2，b=1，即左右均2次，上下均1次，路徑數(shù)為C64C42C21=180種；

③a=1，b=2，即左右均1次，上下均2次，路徑數(shù)為C62C21C42=180種；

④a=0，b=3，即上下都3次，路徑數(shù)為C63=20種；

所以路徑總數(shù)為20+180+180+20=400種，

故螞蟻移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為40046=25256，故C正確；

對于D，螞蟻要移動(dòng)到直線y=x上，則水平凈移動(dòng)(向右移動(dòng)次數(shù)減去向左移動(dòng)次數(shù))要等于垂直凈移動(dòng)(向上移動(dòng)次數(shù)減去向下移動(dòng)次數(shù))，

例如，向右移動(dòng)3次，向左移動(dòng)1次，則水平凈移動(dòng)為3?1=2，向上移動(dòng)2次，向下移動(dòng)0次，則垂直凈移動(dòng)為2?0=2次，此時(shí)螞蟻位于(2,2)，符合題意，

設(shè)水平凈移動(dòng)為n，則垂直凈移動(dòng)也為n，

當(dāng)n=0時(shí)，水平和垂直凈移動(dòng)均為0，即回到坐標(biāo)原點(diǎn)，也即C選項(xiàng)所考慮的結(jié)果，共400種；

當(dāng)n=1時(shí)，水平和垂直凈移動(dòng)均為1，設(shè)向左次數(shù)為l，則向右次數(shù)為l+1；設(shè)向下次數(shù)為m，則向上次數(shù)為m+1，

總移動(dòng)次數(shù)l+l+1+m+m+1=6，即l+m=2，所以可能的組合有：

①l=0，m=2，此時(shí)向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路徑數(shù)為35C61C=60種；

②l=1，m=1，此時(shí)向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路徑數(shù)為C63C32C32=180種；

③l=2，m=0，此時(shí)向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路徑數(shù)為C65C52=60種；

所以當(dāng)n=1時(shí)，路徑總數(shù)為60+180+60=300種；

由對稱性，可知當(dāng)n=?1時(shí)，路徑總數(shù)也為300種；

當(dāng)n=2時(shí)，水平和垂直凈移動(dòng)均為2，設(shè)向左次數(shù)為l，則向右次數(shù)為l+2；設(shè)向下次數(shù)為m，則向上次數(shù)為m+2，

總移動(dòng)次數(shù)l+l+2+m+m+2=6，即l+m=1，所以可能的組合有：

①l=0，m=1，此時(shí)向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路徑數(shù)為C62C43=60種；

②l=1，m=0，此時(shí)向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路徑數(shù)為C64C43=60種；

所以當(dāng)n=2時(shí)，路徑總數(shù)為60+60=120種；

由對稱性，可知當(dāng)n=?2時(shí)，路徑總數(shù)也為120種；

當(dāng)n=3時(shí)，水平和垂直凈移動(dòng)均為3，設(shè)向左次數(shù)為l，則向右次數(shù)為l+3；設(shè)向下次數(shù)為m，則向上次數(shù)為m+3，

總移動(dòng)次數(shù)l+l+3+m+m+3=6，即l=m=0，

所以可能的組合只有：1=0，m=0，此時(shí)向右310.【答案】BD

【解析】解：對于A，把數(shù)據(jù)從小到大排列為：3，4，6，7，8，9，10，11，

因?yàn)?×75%=6，

所以數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為9+102=9.5，故A錯(cuò)誤；

對于B，因?yàn)镻(D?)=1?P(D|C)，所以P(D|C)=P(D)，

由條件概率公式得P(D|C)=P(CD)P(C)，

得到P(CD)=P(C)?P(D)，即C，D相互獨(dú)立，故B正確；

對于C，散點(diǎn)不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯(cuò)誤；

對于D，由于R2=1?i=1n(yi?yi)2i=1n(yi?y?)2，yi變成了y11.【答案】ABD

【解析】解：在數(shù)列{an}中，a1=1，對任意m，n∈N+，am+n=am+an+2mn，

可令m=1，即有a1+n=a1+an+2n，即為an+1?an=2n+1，

則an=a1+(a2?a1)+(12.【答案】A>C>B

【解析】解：由已知A=f′(a)，B=f′(a+1)，分別是函數(shù)f(x)=logax在x=a，x=a+1處的切線斜率，

C=f(a+1)?f(a)(a+1)?a是點(diǎn)(a,f(a))與(a+1,f(a+1))連線的斜率，

如圖：自左向右，三條直線的斜率分別為A，C，B，其傾斜角皆為銳角，

且從左向右依次減小，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，則A>C>B；

同理，可作出當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)圖象及三條直線，類似的也可以得到A>C>B．

故答案為A>C>B

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及B的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，注意分a>1，和13.【答案】919【解析】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，

所以S17=17(a1+a17)2=17a9，T17=14.【答案】512【解析】解：假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到n顆番石榴(不妨設(shè)n顆番石榴的大小各不相同)，

最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，

方法是：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k+1顆開始，

只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆．

若n=4，k=2，

可得4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，有A44=24種情況，

要摘到那顆最大的番石榴，有以下兩種情況．

①最大的番石榴是第3顆，其他的隨意在哪個(gè)位置，有A33=6種情況；

②最大的番石榴是最后1顆，第二大的番石榴是第1顆或第2顆，

其他的隨意在哪個(gè)位置，有2A22=4種情況，

所以所求概率為P=6+424=51215.【答案】不能；

【解析】解：(1)零假設(shè)H0：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系，

則χ2=100×(30×15?30×25)260×40×55×45=5033≈1.515<2.706，

根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系；

(2)由題意可知，X的取值可能為0，1X012P441所以E(X)=0×49+1×49+2×19=23．

(1)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得出χ2的值即可得出結(jié)論；

16.【答案】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=ex?4，所以f′(x)=ex?4，

所以f(1)=f′(1)=e?3，

所以當(dāng)a=2時(shí)，y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為：

y?e?3=e?3(x?1)，即為x?e3y=0；

(2)若a=1，則f(x)=ex?2，g(x)=lnx，

所以f′(x)=ex?2，g′(x)=1x，

若存在兩函數(shù)的公切線分別切兩函數(shù)于點(diǎn)A(x1,ex1?2)，B(x2,lnx2)，【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】17.【答案】解：(1)證明：由an+1?2an=3n，得an+1?3n+1=2(an?3n)，

∵a1?31=5?3=2≠0，且bn=an?3n，

∴bn+1=2bn，即數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；

(2)由(1)知，bn=2×2n?1=2n，

則cn=2n+1bn=2n+12n，

【解析】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．

(1)由an+1?2an=3n，得an+1?3n+1=2(an?3