專題09角及角平分線的有關計算

（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）

知識清單

1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做

這個角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的．

2.平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)

旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角．

3.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等．

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等．

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側．

4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.

5.角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，

n度記作“n°”．

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1”．

把1的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1”．

即1°=60，1=60.

6.角的性質

①角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關.

②角的大小可以度量，可以比較.

③角可以參與運算.

7.角的平分線

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．

8.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補

角．

（3）性質：等角的補角相等．等角的余角相等．

（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯(lián)．

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它

們就具備相應的關系．

一、單選題

1．（24-25七年級上·全國·期末）有下列關于角的說法：

①兩條射線組成的圖形叫作角；

②角的邊越長，角越大；

③在角一邊的延長線上取一點D；

1

④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．

其中正確的有（）．

A．1個B．2個C．3個D．4個

2．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖所示，還可以表示為（）

∠1

A．B．C．D．

3．（24∠-?25七年級上·全國·∠期?末??）若，則∠??的?補角的度數(shù)為（∠?）?．?

A．B．∠?=52°C．∠?D．

4．（184-189°七年級·吉林長春2·0期8°末）如圖，是北偏12東8°方向的一條射線38，°將射線繞點逆時針旋轉

得到射線，則的方位角是（）??30°???80°

????

A．北偏西B．北偏西C．東偏北D．東偏北

5．（2024七年3級0°上·全國·專題練習50）°若，30°，50°，則（）

''″

A．∠?=B3．2°18∠?=32°1530∠?=32.25°

C．∠?>∠?>∠?D．∠?>∠?>∠?

6．（19∠-2?0>七∠年?級>上∠·?安徽馬鞍山·期末）如圖，一副∠三?角>板∠（?直>角∠?頂點重合）擺放在桌面上，若，

則等于（）∠???=160°

∠???

A．B．C．D．

7．（202204°七年級上·全國·專30題°練習）如圖，將三個4同0°樣的正方形的一個頂5點0°重合放置，則的度數(shù)是（）

∠1

2

A．B．C．D．

8．（202345七°年級上·全國·專題30練°習）如圖，是25的°平分線，是2的0°平分線，若，

，則的度數(shù)為（）??∠?????∠???∠???=2?∠???=

40°∠???

A．B．C．D．

9．（22-?23+七20年°級上·河南新?鄉(xiāng)+·期40末°）如圖，已知??20°，?+80°，且，則

11

的度數(shù)為（）∠???=3∠???∠???=2∠???∠???=20°∠???

A．B．C．D．

10．（2100204°七年級上·云南·1專10題°練習）將一張長方1形20紙°片按如圖所示13的5°方式折疊，、為折痕，點

、折疊后的對應點分別為、，若，則????的度數(shù)為（）????

''''

????∠???=10°∠???

A．B．C．D．

40°45°50°55°

二、填空題

11．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）比較大?。海ㄌ?、或）

'″

12．（2024七年級上·全國·專題練習）社會熱點情境·野20生°1動53物0保護天氣20轉.2暖5°，每年的>二<、三=月，一大批國

家二級保護動物白天鵝從三門峽天鵝湖國家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時常排成人字形，這個人字形的

一邊與其飛行方向夾角是，從空氣動力學角度看，這個角度對于白天鵝隊伍飛行最佳，所受阻力最

'″

54°448

3

小，則的補角是．

'″

13．（20524°七44年8級上·全國·專題練習）如圖，已知點是直線上一點，，平分，

，請寫出下列正確結論的序號．???∠???=50°??∠???∠???=

9①0°；②；③；④．

∠???=130°∠???=25°∠???=155°∠???=45°

14．（2019·廣西貴港·三模）小明把一副含，的直角三角板如圖擺放，其中，，

，則等于．45°30°∠?=∠?=90°∠?=45°

∠?=30°∠?+∠?

三、解答題

15．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)；

''″

(2)83°46+52°391.6

'″

16．96（°?201284°2七6年59級上·全國·專題練習）如圖，已知輪船在燈塔的北偏西的方向上，輪船在燈塔的

南偏東的方向上．??20°??

80°

(1)求從燈塔看兩輪船的視角（即）的度數(shù)；

(2)輪船在?的平分線上，則輪∠船???在燈塔的什么方向上？

17．（2?024∠七??年?級上·全國·專題練習）?如圖，?、、三點在一條直線上，，平分，

，求的度數(shù)．???∠???=2∠?????∠???

∠???=77°∠???

4

18．（2024七年級上·全國·專題練習）線段與角的計算．

(1)如圖①，已知線段，點C為線段上的一點，，點D，E分別是和的中點，

求的長；??=12cm????=4cm????

(2)?如?圖②，已知被分成，平分，平分，且，

求的度數(shù)．∠???∠???:∠???:∠???=2:3:4??∠?????∠???∠???=90°

19∠．?（??2024七年級上·全國·專題練習）如圖，點O在直線上，與互余，射線平分．

??∠???∠?????∠???

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；

(2)如圖②，若∠???=20°，求∠???的度數(shù)；

(3)請你猜想∠?和??=55之°間的∠數(shù)??量?關系，并說明理由．

20．（24-25∠七??年?級上∠?·河??北石家莊·期中）【實踐活動】

如圖1，將一副三角板的直角頂點重合擺放．

（1）若，則＝；（填、、）；

（2）①∠若???=50°，∠則???∠；??若?∠???，>則<=；

②與∠???之=間20的°數(shù)量∠關?系??是=．∠???=150°∠???=

【折∠?展?探?究∠】???

（3）如圖2，若，且，探索與之間的數(shù)量關系，并說明理

由．∠???≠∠???∠???+∠???=180°∠???∠???

5

21．（2024七年級上·全國·專題練習）已知，從頂點O引一條射線，若，則

是（）∠???=50°??∠???=20°∠???

A．B．C．D．或

22．（202240七°年級上·全國·專3題0°練習）如圖，若70°，OC是30的°平分70線°，則①；

1

②；③；④∠???=2∠???．正確∠?的?是?（）∠???=3∠???

1

∠???=2∠???∠???=2∠???∠???=3∠???

A．①②B．③④C．②③D．①④

23．（24-25七年級上·河北保定·期中）如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點O作

射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉動，使得??∠???，若??∠???，則的度

數(shù)為（??）∠???:∠???=3:2∠???=120°∠???=30°∠???

A．B．C．或D．無法計算

24．（2145-2°5七年級上·全國1·0期5末°）已知一個角的余15角°比1這0個5°角的補角的小，則這個角的余角的度數(shù)

1

是，補角的度數(shù)是．320°

25．（2024七年級上·云南·專題練習）如圖，已知點是直線上一點，，平分，

，請寫出下列正確結論的序號．???∠???=50°??∠???∠???=

90°

6

①；②；③；④．

26．∠?（?2?4-=251七30年°級上·∠吉?林??長=春2·階5°段練習∠?）?如?圖=，15點5°O在直∠線???=上4，5°平分，平分．給出

下面四個結論：①與互余：②與互補；??③??∠?????∠???；

④∠???∠．?上??述結論中，∠正??確?結論∠?的?序?號有∠?．??+∠???=∠???+180°

∠????∠???=2∠???

27．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖①，把直角三角形的直角頂點O放在直線上，射線

平分．???????

∠???

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠???=28°，則∠???的度數(shù)為______；（用含m的代數(shù)式表示）

(3)由∠（?1?）?和=（?2°）可得∠?，??和之間的數(shù)量關系是______；

(4)若將直角三角形繞∠點??O?旋轉∠?到?如?圖②所示的位置，其他條件不變，請問：和之間的數(shù)

量關系是否發(fā)生變化??？?請說明理由．∠???∠???

28．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）探究與實踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知，，按如圖1所示擺放，將、邊

重合在直線上，、邊在直線的兩∠?側?：?=90°∠???=60°????

????????

7

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）保持三角板不動，將三角板繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則

①??_?_________；???

②∠???+∠???=__________．

【問∠?題?探?究?】∠???=

（2）若三角板按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉，三角板按每分鐘的速度也繞點O逆

時針方向旋轉，???旋轉到射線6°上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算???4°（用含t的代數(shù)式表

示）．????∠????∠???

【問題解決】

（3）保持三角板不動，將三角板繞點O逆時針方向旋轉，若射線平分，射線

平分，求???的大小．????°(?≤360)??∠???

??∠???∠???

29．（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，若，

為的角平分線，則的度數(shù)是（）∠???=3∠???

??∠???∠???

A．B．C．D．

30．（2435-2°4七年級上·湖北6荊0°門·單元測試）如圖，65射°線都在6的7.5內(nèi)°部，和都是直角，

下列說法：①；②?；?,③??若∠???，∠則???∠???；④若

平分，∠???平=分∠???，則∠???+∠???．=其1中80結°論正確的∠有??（?=5）∠???∠???=30°

??∠?????∠???∠???=45°

A．1個B．2個C．3個D．4個

31．（22-23七年級下·安徽淮南·開學考試）一副三角板、，如圖1放置，、，

將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示??，?且???，則∠?下=列3結0°論中∠?正?確?的=是45°

（）???0°<∠???<90°

①的角度恒為；②的角度不恒為；③在旋轉過程中，若平分

∠?，??+平∠?分??，則105°∠?．??+∠???105°??

∠?????∠???∠???=52.5°8

A．①B．②③C．③D．①③

32．（24-25七年級上·全國·期末）已知，射線平分，則的度數(shù)

1

為∠???=60°,∠???=3∠?????∠???∠???

33．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，，是其內(nèi)部一條射線，以為一邊作直

角，點與點在邊同側，給出下列四個結∠論?：??①=90°只?與?互余；②與??互補；

③∠??平?分?，則?平?分?；④的平分線與∠???的平分∠線??的?夾角是直角∠?．?其?中∠正?確??的是

（填?序?號）∠．?????∠???∠???∠???

34．（2024七年級上·甘肅蘭州·專題練習）如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點O

作射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉動，使得??∠???，若??∠??，?則

的度數(shù)為??．∠???:∠???=3:2∠???=120°∠???=30°∠???

35．（24-25七年級上·全國·期末）【閱讀理解】

射線是內(nèi)部的一條射線，若，則我們稱射線是射線的伴隨線．例如，如圖1，

1

??∠?，??∠???=，2∠則???，稱??射線是??射線的伴隨線；同時，

1

由∠?于??=60°∠???，=稱∠?射?線?=∠是??射?線=20的°伴隨∠線?．??=2∠???????

1

∠???=2∠???????

9

(1)【知識運用】如圖2，，射線是射線的伴隨線，則________，若的度

數(shù)是，射線是射線∠的??伴?隨=線12，0射°線是??的平??分線，則∠的?度??數(shù)=是________°．（∠用?含??的代

數(shù)式表?示）??????∠???∠????

(2)如圖3若，射線與射線重合，并繞點以每秒的速度逆時針轉動，射線與射線

重合，并繞點∠??以?每=秒180°的速度?順?時針轉動??，當射線與?射線重3合°時，運動停止．????

是否存在某?個時刻（5°秒）使得的度數(shù)是?？?若存在，??求出的值；若不存在，請說明理由．

①當?shù)闹禐槎嗌贂r，?射線，∠，???中恰好有2一0條°射線是其余兩條?射線中任意一條射線的伴隨線？

②36．（?24-25七年級上·遼寧?沈?陽·?期?中）?如?圖1，大課間的廣播操展示讓我們充分體會到了一種整體的圖形之

美，洋洋和樂樂想從數(shù)學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做的更好，他們搜集了標準廣播操圖片

進行討論，如圖2，為方便研究，定義兩手手心位置分別為、兩點，兩腳腳跟位置分別為、兩點，定

義、、、平面內(nèi)為定點，將手腳運動看作繞點進行?旋轉?．??

??????

(1)如圖2，、、三點共線，點、重合，，則；

(2)如圖3，?、?、?三點共線，且??∠???=，∠??平?分∠??，?求=°的大小；

(3)第三節(jié)腿?部運?動中?，如圖4，洋洋∠發(fā)??現(xiàn)?，:∠雖?然??、=3、:2三點??共線，∠卻?不??在水平∠方??向?上，且，

他經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，的值為定值?，請?寫?出這個定值為；∠???:∠???=3:2

2

(4)第四節(jié)體側運動∠中?，?如??圖35∠，?樂??樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開，使豎直方向的射線平分，且

，開始運動前、、三點在同一水平線上，、繞點順時針旋轉，?旋?轉速度∠?為?每?秒∠?，??=

3旋0轉°速度為每秒?，?當?旋轉到與重合時運動??停止?（?是?豎直方向的一條??射線）50°??

①運動停止時，25°??；????

②請幫助樂樂寫出∠?運??動=過程中與的數(shù)量關系為．

∠???∠???

37．（2024·甘肅·中考真題）若，則的補角為（）

A．B．∠?=55°∠C?．