銜接點04幾何圖形

小學階段初中階段

小學階段，學生主要學習常見的平面幾何圖形（如進入初中后，幾何圖形的學習則更加注重邏輯推理

三角形、四邊形、圓）的周長與面積，以及基本的與證明.學生不再滿足于通過實驗得出的結(jié)論，而是

立體圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐）的表需要從理論上進行嚴格的論證.例如，“三角形的內(nèi)

面積與體積.這一階段的學習重點在于建立圖形的角和等于180°”這一結(jié)論，在小學階段可能通過測量

直觀表象，理解基本特征和簡單的計算方法.得到，而在初中則必須通過演繹推理來證明.這一轉(zhuǎn)

變要求學生具備較強的邏輯思維能力和抽象思維能

力.

銜接指引

為了幫助學生順利從小學過渡到初中的幾何學習，以下是一些有效的策略和方法：

鞏固基礎知識：在進入初中之前，學生應確保熟練掌握小學階段的所有幾何圖形的基本特征和計算公式.

可以通過做練習題和復習筆記來鞏固這些知識.

培養(yǎng)幾何直觀與空間觀念：通過觀察和操作實際圖形，培養(yǎng)學生的幾何直觀和空間觀念.例如，可以使用

模型、拼圖等工具進行實際操作，增強對圖形的理解.

提前預習初中內(nèi)容：利用暑假時間預習初中的幾何內(nèi)容，了解將要學習的知識點和難點，做好心理準備.

可以參考相關的預習資料和在線課程.

注重邏輯推理訓練：通過解決簡單的邏輯推理題，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.可以從小規(guī)模、簡單的證明

開始，逐步增加難度，讓學生適應幾何證明的要求.

多做綜合練習題：通過做綜合性的幾何練習題，提高解題能力和思維靈活性.特別是涉及多種方法和思路

的題目，可以幫助學生深入理解幾何知識.

1

1、基本公式

正方形：C4a；Saa.長方形：Cab2；Sab.平行四邊形：Sah.

三角形：Sah2.梯形：Sabh2.圓：Cd2r；Sr2.

正方體S表=aa6；Vaaa長方體S表abahbh2；Vabh

圓柱體、圓錐體（h:高；S：底面積；r:底面半徑）

1

圓柱側(cè)面積：S2rh；圓柱表面積：S2rh2r2；圓柱體積：VSh；圓錐體積：VSh

3

2、求幾何圖形面積常見方法及運用：

1）割補法求面積（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）

運用整體思想；5）差不變；6）容斥原理（韋恩圖）等.

公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算.

割補法：就是從割和補兩種不同角度認識同一個面積.還有的是從不同的角度認識某個長方形面積的一半.通

過對面積問題的訓練可以打開思維.特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升.最后我寫

2

了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論.

和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最

常用的方法.

等積變換法：以線段比為對象運用兩個面積比表示同一個面積比，有的是運用整體與局部思想整體由各個

局部合成.有的抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或隨便求出直角邊的平方.

差不變思想（原理）：即利用等式的性質(zhì)來求面積，若S甲=S乙，則S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白.

容斥原理：即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，

利用分層把重疊部分分出來，組成重疊圖形各個規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那

部分面積.

考點一：割補法求面積--平移與對稱

1．（2024·四川綿陽·小升初真題）已知大正方形邊長為2厘米，陰影部分的面積是()平方厘米.

【答案】2

【分析】如下圖，把圖形左邊的兩個陰影移補到右邊空白部分，這樣陰影部分組合成一個長等于正方形的

邊長，寬等于正方形邊長一半的長方形，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，代入數(shù)據(jù)計算，即可求出陰影部分的

面積.

【詳解】2×（2÷2）

＝2×1

＝2（平方厘米）

陰影部分的面積是2平方厘米.

3

2．（2022·河北石家莊·小升初真題）求如圖陰影部分的面積.

【答案】4cm2

【分析】如圖：

三角形是等腰直角三角形，所以圓內(nèi)左邊的陰影部分圖形等于右邊虛線圍成的空白弧形部分，所以，陰影

部分的面積也就是整個三角形面積的一半，根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，把數(shù)據(jù)代入公式解答.

【詳解】4×4÷2÷2

＝16÷2÷2

＝8÷2

＝4（cm2）

陰影部分的面積是4cm2.

3．（2024·山東濰坊·小升初真題）求陰影部分的面積.（單位：cm）

【答案】13.5cm2

【分析】

如圖：，把右邊陰影部分移動左邊，陰影部分等于長是6cm，寬是3cm的長方形面

積，減去底是3cm，高是3cm的三角形面積，根據(jù)長方形面積公式：面積＝長×寬，三角形面積公式：面積

＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答.

4

【詳解】6×3－3×3÷2

＝18－9÷2

＝18－4.5

＝13.5（cm2）

陰影部分面積是13.5cm.

4．（2024·四川巴中·小升初真題）求圖中陰影部分的面積.（π取3.14）

【答案】6cm2

【分析】如下圖，把上方的兩個陰影移補到箭頭所示的空白處，這樣陰影部分的面積＝梯形的面積－三角

形的面積；根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計算求解.

【詳解】2＋2＝4（cm）

（4＋6）×2÷2－4×2÷2

＝10×2÷2－4×2÷2

＝10－4

＝6（cm2）

陰影部分的面積是6cm2.

5．（23-24六年級下·遼寧·課后作業(yè)）已知正方形ABCD的面積為16平方厘米，你能結(jié)合我們學過的圖形

運動求出涂色部分的面積嗎？

5

【答案】6.28平方厘米

【分析】

如圖所示，以點O所在的水平直線為對稱軸，可將下方的兩個涂色部分通過軸對稱

變換到上方，則涂色部分可轉(zhuǎn)化為半個圓環(huán).連接OA，OB得到三角形AOB，因為三角形AOB的面積＝大

1

圓的半徑×大圓的半徑÷2＝×正方形ABCD的面積，據(jù)此求出大圓半徑的平方；根據(jù)小圓的直徑＝正方形

4

的邊長求出小圓的半徑，利用半個圓環(huán)的面積＝（大圓的面積－小圓的面積）÷2，求出半個圓環(huán)的面積也

就是涂色部分的面積，據(jù)此解答.

【詳解】

把大圓的半徑看作R

1

在三角形AOB中，有R2164

2

1

R24

2

R28

正方形ABCD的面積為16平方厘米，則正方形ABCD邊長為4厘米.

4÷2＝2（厘米），因此小圓的半徑為2厘米.

6

3.14×（8－22）÷2

＝3.14×（8－4）÷2

＝3.14×4÷2

＝12.56÷2

＝6.28（平方厘米）

答：涂色部分的面積是6.28平方厘米.

【解題技巧】常見模型

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法

S陰影=S正方形FEBC

S陰影=S正方形ABHG

S陰影=SADC

S陰影=S扇形DCE

1

S陰影=S正方形=S

4ABCDBOC

7

S陰影=S扇形ACBSACD

1．（2024·浙江寧波·小升初真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，EF垂直于AB，求陰影部分的面

積.

【答案】6.56平方厘米

【分析】

如上圖割補，則陰影部分的面積＝大扇形的面積－梯形BCEF的面積；大扇形的面積等于半徑是4厘米的

2

圓面積÷4，梯形的上底和高都等于正方形邊長÷2，根據(jù)S圓＝πr，S梯形＝（a＋b）h÷2解答即可.

【詳解】4÷2＝2（厘米）

3.14×42÷4－（2＋4）×2÷2

＝3.14×16÷4－6×2÷2

＝12.56－6

＝6.56（平方厘米）

答：陰影部分的面積是6.56平方厘米.

2．（22-23五年級下·江蘇揚州·期末）下圖中陰影部分的面積是()平方厘米.

8

【答案】144

【分析】觀察圖形可知，右面的扇形和左面空白的扇形完全相同，把陰影部分的扇形填補到左面，兩個陰

影部分組成一個正方形.正方形的面積＝邊長×邊長，據(jù)此解答.

【詳解】12×12＝144（平方厘米），則圖中陰影部分的面積是144平方厘米.

【點睛】把兩個陰影部分組成一個正方形進行計算是解題的關鍵.

3．（22-23六年級下·云南昭通·期末）圖形探索.

情境描述：五（1）班的小雪在紙上畫了一個梯形和一個圓，并給其中的兩個部分涂成陰影，如圖.接著，她

提出一個數(shù)學問題：“陰影部分的面積是多少？”.經(jīng)過深入思考，可她還是不能解決.假如小雪向你請教，你

能幫她解決嗎？

（1）我向小雪這樣介紹思路：

（2）我指導小雪這樣列式計算：

【答案】（1）見詳解；

（2）4×4＝16（平方厘米）

【分析】（1）如圖：把圓中右邊的陰影部分對稱到左邊，這樣就把所

有陰影部分變成一個底為4厘米，高為4厘米的平行四邊形.通過平行四邊形的面積公式即可求出陰影部分

的面積.

（2）根據(jù)平行四邊形的面積＝底×高，代入數(shù)據(jù)即可列式求出陰影部分的面積.

9

【詳解】（1）我向小雪這樣介紹思路：通過對稱，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形的面積，利用

平行四邊形的面積公式即可得解.

（2）我指導小雪這樣列式計算：

4×4＝16（平方厘米）

答：陰影部分的面積是16平方厘米.

【點睛】此題主要考查陰影部分的面積，通過軸對稱，巧妙的運用平行四邊形的面積公式解決問題.

4．（2024·全國·小升初模擬）求下列圖形中陰影部分的面積.

【答案】18.24平方厘米；3.16平方厘米

【分析】（1）連接CD、DB發(fā)現(xiàn)ABDC是一個正方形，根據(jù)箭頭的方向?qū)㈥幱安糠忠苿拥缴刃卫锩?則陰

影部分的面積＝扇形EAF面積－正方形ABDC面積，其中扇形是一個圓心角為90°，半徑為8厘米的扇形，

1

則扇形的＝r2.正方形的面積＝邊長×邊長，但是本題不知道邊長的長度，可以將正方形看成兩個直角三

4

111

角形的面積和.則直角三角形ACD面積＝底×高×＝直徑×半徑×，則正方形的面積＝直徑×半徑××2＝

222

直徑×半徑.

（2）連接CO，則陰影部分面積平行四邊形的面積－扇形AOC面積－三角形BOC面積.平行四邊形的面

積＝底×高；三角形BOC是一個等腰三角形，則兩個底角都是30°，則頂角就是120°即BOC＝120°，BOC

60

和AOC合在一起是平角，為180°，則AOC＝60°.則扇形AOC的圓心角是60°.扇形A∠OC面積＝∠r2

360

∠1∠1

＝pr2，半徑是平行四邊形底的一半.三角形BOC面積＝底×高×，底是半徑，高是平行四邊形的高.

62

10

【詳解】（1）連接CD、DB，

1

3.14828(82)

4

1

＝3.146484

4

＝3.141632

＝50.2432

＝18.24（平方厘米）

則陰影部分的面積是18.24平方厘米.

（2）41.757（平方厘米）

180180302

＝180°－（180°－60°）

＝180°－120°

＝60°

60

3.14(42)2

360

1

＝3.1422

6

1

＝3.144

6

2.09（平方厘米）

1

21.751.75（平方厘米）

2

72.091.75

＝73.84

＝3.16（平方厘米）

則陰影部分的面積是3.16平方厘米.

考點二：割補法求面積--旋轉(zhuǎn)

11

1．（23-24五年級下·河南洛陽·期末）如圖所示，三個同心圓中的最大圓的兩條直徑互相垂直，最大的圓的

半徑是6cm，第二大圓的半徑是4cm，最小圓的半徑是2cm.陰影部分的面積是().

【答案】28.26cm2

【分析】將陰影部分旋轉(zhuǎn)后可得：

由圖可知：原陰影部分的面積等于大圓面積÷4，將數(shù)據(jù)帶入圓的面積公式計算即可.

【詳解】3.14×62÷4

＝3.14×9

＝28.26（cm2）

【點睛】本題主要考查含圓的組合圖形面積的計算.

2．（2023·四川成都·小升初真題）求圖中陰影部分的面積.（單位：厘米）（取3.14）

【答案】28.26平方厘米

1

【分析】如圖，通過割補可知陰影部分面積等于半徑為6厘米圓面積的.根據(jù)Sr2，代入數(shù)據(jù)計算即可.

4

1

【詳解】3.146228.26（平方厘米）

4

即陰影部分面積是28.26平方厘米.

12

3．（21-22五年級下·山西大同·期末）計算涂色部分的面積.

【答案】32平方厘米

【分析】由圖可知，①和③面積相等，把涂色部分①轉(zhuǎn)化為③，②和④面積

相等，把涂色部分②轉(zhuǎn)化為④，此時所有涂色部分組成一個三角形，三角形的面積是整個正方形面積的一

半，據(jù)此解答.

【詳解】8×8÷2

＝64÷2

＝32（平方厘米）

所以，涂色部分的面積是32平方厘米.

【解題技巧】常見模型

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法

S陰影=SADC

S陰影=S扇形BOE

13

S陰影=S扇形BOD

S陰影=S扇形ABES扇形MBN

S陰影=S正方形MEQC

S陰影=S長方形ACDF

S陰影=SABO

S陰影=S扇形BOC

1．（2021·江蘇揚州·小升初真題）如圖，兩個同樣大的正方形，把其中一個正方形的頂點固定在另一個正

方形的中心點上.旋轉(zhuǎn)其中一個正方形如圖所示，重疊部分的面積是5平方厘米，正方形的面積是()

平方厘米.

【答案】20

【分析】標注字母并做出輔助線，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OC，AOB和COD形狀大小完全相同，

△△14

1

可以將COD割補到AOB的位置，因此陰影部分面積就是正方形面積的，正方形面積就是重疊部分的

4

面積×4△，即可解答.△

【詳解】

5×4＝20（平方厘米）

【點睛】本題考查正方形的特征，利用割補法將陰影部分不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為學過的圖形進行解答.

2．（2023·全國·小升初模擬）求陰影部分面積.（單位：cm，π取3.14）

（1）（2）

【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米

【分析】（1）將右半部分的不規(guī)則陰影部分繞圓心順時針旋轉(zhuǎn)90°然后再平移，陰影部分的面積相當于底

是8厘米、高是4厘米的平行四邊形面積的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積＝底×高，

用8×（8÷2）÷2即可求出陰影部分的面積.

（2）將左上部分陰影填補到中間空白處，那么陰影部分的面積恰好是上底為4，下底為7，高為4的梯形

的面積，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2.

【詳解】（1）8×4÷2

＝32÷2

＝16（平方厘米）

陰影部分的面積是16平方厘米.

（2）（4＋7）×4÷2

＝44÷2

＝22（平方厘米）

陰影部分的面積是22平方厘米.

考點三：和差法求面積

15

1．（2024·江蘇揚州·小升初真題）一個零件橫截面的形狀如圖.這個零件橫截面（涂色部分）的面積是多少

平方厘米？

【答案】50.24平方厘米

【分析】觀察圖形可知，涂色部分的面積＝大半圓的面積－小圓的面積，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，代入

數(shù)據(jù)計算求解.

【詳解】16÷2＝8（厘米）

8÷2＝4（厘米）

3.14×82÷2－3.14×42

＝3.14×64÷2－3.14×16

＝100.48－50.24

＝50.24（平方厘米）

答：這個零件橫截面（涂色部分）的面積是50.24平方厘米.

2．（2024六年級下·江蘇·專題練習）求下面各圖涂色部分的面積.

【答案】44dm2；9.435dm2

【分析】（1）用大正方形面積加上小正方形的面積，然后減去底為（8＋6）dm，高為8dm的三角形的面

積即可；

1

（2）用上底為3dm，下底為4dm，高為（3＋4）dm梯形的面積減去半徑為3dm圓的，再減去底和高都

4

為4dm的三角形的面積即可求出涂色部分的面積.

【詳解】8×8＋6×6－（6＋8）×8÷2

＝64＋36－14×8÷2

＝100－112÷2

16

＝100－56

＝44（dm2）

1

343423.1432442

4

1

7723.149162

4

1

49228.268

4

24.57.0658

17.4358

9.435dm2

3．（24-25六年級上·河南周口·期中）求下面圖形涂色部分的面積.

【答案】10.99cm2；20.52m2

【分析】涂色部分的面積為內(nèi)直徑是6cm，外直徑是8cm的圓環(huán)的面積的一半；

1

如下圖，空白部分和面積相等，等于邊長是6m的正方形面積減去半徑是6m的圓的面積，那么涂色

4

部分的面積為邊長①是6m②的正方形面積減去空白部分、的面積，據(jù)此解答.

①②

【詳解】22

3.14823.14622

22

3.1443.1432

3.14163.1492

3.141692

3.1472

21.982

17

10.99（cm2）

故涂色部分面積是10.99cm2.

66663.146242

36363.143642

363628.262

367.742

3615.48

20.52（m2）

故涂色部分面積是20.52m2.

4．（2024五年級·全國·課后作業(yè)）如圖，長方形ABCD中，AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中點，F(xiàn)、

G分別是AB、CD的四等分點，H為AD上任意一點，求陰影部分面積．

【答案】234平方厘米

【詳解】試題分析：此題是求圖中組合圖形的面積，可以利用輔助線將它轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形，如圖，連接BH，

將陰影部分分成了三個三角形，求出這三個三角形面積和即可解決問題．利用三角形面積公式進行解決．

解：如圖，連接BH，

AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米，

因為F、G分別是四等分點，

所以BF=AB==6（厘米），

18

DG=24=6（厘米），

SBFH+SDHG，

=△BF×AH△DG×HD，

=，

=3×AH+3×DH，

=3×（AH+DH），

=3×AD，

=3×26，

=78（平方厘米），

因為E是BC的中點，BE=13厘米，

SBEH=×13×24=156（平方厘米），

78△+156=234（平方厘米），

答：陰影部分的面積為234平方厘米．

點評：組合圖形的面積計算，轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積計算時解題的關鍵．

【解題技巧】常見模型

圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法

S陰影=S扇形EAFSADE

S陰影=S半圓ACS半圓BCSACB

S陰影=S扇形BOESOCES扇形DOC

19

S陰影=S扇形AOCSBOC

S陰影=S扇形AOBSBOA

1．（20-21六年級上·吉林·期末）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，ABAC8cm，弧AD是以CA

為半徑的圓的一部分，C45，求圖中陰影部分的面積.

【答案】18.24平方厘米

【分析】觀察可知，陰影部分的面積有一部分是重合的，陰影部分的面積＝直徑8厘米的半圓面積＋弧AD

半徑CA的扇形面積－三角形面積.

45

【詳解】3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×82×－8×8÷2

360

1

＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32

8

＝25.12＋25.12－32

＝18.24（平方厘米）

2.（20-21六年級上·廣東深圳·期中）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB為直角，D是AB的中

點，AB20厘米，圓弧GD、HD的圓心分別在A、B兩點，求圖中陰影部分的面積.（單位：厘米）

【答案】107cm2

【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，則CAB＝CBA＝45°，圓弧GE和圓弧HF的半徑相等，

∠∠

20

1

則這兩部分能夠組成一個半徑是20÷2＝10厘米，圓心角是90°的扇形，根據(jù)扇形的面積公式：S＝×πr2，

4

把數(shù)代入即可求解，圓弧ED和圓弧FB中的空白部分能夠組成一個正方形，圓弧ED和圓弧FD能夠組合

成一個半徑是10厘米，圓心角是90°的扇形，用這兩個圓弧的面積減去正方形的面積即可求出三角形內(nèi)陰

影部分的面積，知道正方形的對角線的長度，則面積＝對角線×對角線÷2，之后兩部分的陰影部分面積相加

即可.

1

【詳解】3.14×（20÷2）2×

4

1

＝3.14×100×

4

1

＝314×

4

＝78.5（平方厘米）

78.5＋（78.5－10×10÷2）

＝78.5＋28.5

＝107（平方厘米）

答：圖中的陰影部分面積是107平方厘米.

【點睛】本題主要考查扇形的面積公式以及正方形的面積公式，要注意正方形的面積可以用兩條對角線相

乘除以2即可.

3．（2023六年級·全國·競賽）如圖，直角扇形的半徑為7厘米，正方形的邊長為4厘米，則陰影部分的面

22

積為()平方厘米.（?。?/p>

7

【答案】32.5

【分析】

1

陰影部分的面積＝扇形的面積＋正方形的面積－空白部分的面積.扇形是一個直角扇形，則扇形的面積＝×

4

1

圓的面積＝r2.正方形的面積＝邊長×邊長，直角三角形是一條直角邊是正方形的邊長為4厘米，另外一

4

條直角邊是正方形的邊長與扇形半徑長之和，則直角三角形的面積＝兩條直角邊的乘積÷2.

122

【詳解】××72＋4×4－（7＋4）×4÷2

47

21

22

＝494161142

7

＝15441622

＝38.51622

＝32.5（平方厘米）

則陰影部分的面積為32.5平方厘米.

4．（2023·四川成都·小升初真題）如圖，在長方形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE的半徑

AE6厘米，扇形CBF的半徑CF4厘米，則圖中陰影部分的面積為()平方厘米.（結(jié)果保留，

不取近似值）

【答案】13－24

【分析】長方形的面積－扇形CBF的面積＝不規(guī)則圖形ABFD，陰影部分的面積＝扇形ABE－不規(guī)則圖形

ABFD.長方形的面積＝長×寬，圓的面積＝r2.注意：結(jié)果保留，不取近似值.

11

【詳解】扇形CBF的面積：42＝16＝4（平方厘米）

44

不規(guī)則圖形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米

11

扇形ABE面積：62＝36＝9（平方厘米）

44

陰影部分的面積：9－（24－4）

＝9－24+4

＝（13－24）平方厘米

則圖中陰影部分的面積是為（13π－24）平方厘米.

1

【點睛】因為長方形的四個角都是90°，扇形CBF的圓心角為90°，即它的面積是以半徑為4厘米的圓的，

4

同理扇形ABE的面積是以半徑為6厘米的圓.求扇形的面積要先求出所在圓的面積.

5．（2021·浙江·小升初真題）數(shù)學思考.

如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形BC邊上的中點，求空白部分

22

的面積.（單位：平方厘米）

【答案】87.5平方厘米

【分析】如下圖所示；連接PB，P點為半圓周的中點，作三角形PAB的高PG，則G是AB的中點，所以

PG的長度為正方形的邊長加半圓的半徑，正方形的邊長是10厘米，半圓的直徑是10厘米，所以PG的長

度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面積是10×15÷2＝75平方厘米；Q點為正方形一邊的中點，

所以三角形PBQ的面積是5×5÷2＝12.5平方厘米，據(jù)此列式解答即可.

【詳解】10×15÷2

＝150÷2

＝75（平方厘米）

5×5÷2

＝25÷2

＝12.5（平方厘米）

75＋12.5＝87.5（平方厘米）

答：空白部分的面積是87.5平方厘米.

【點睛】此題考查了三角形、正方形和圓的面積公式的綜合應用，連接BP，找出這兩個白色三角形的高是

解決本題的關鍵.

考點四：整體代換法

23

1．（2024·全國·小升初真題）在三角形ABC中，C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A為扇形AEF的圓心，且

陰影部分與面積相等，求扇形所在圓的面積?！?/p>

①②

【答案】400平方厘米

【分析】根據(jù)題意，三角形ABC為等腰直角三角形，所以A＝B＝45°，因為陰影部分與面積相等，

所以扇形AEF的面積就等于三角形ABC的面積，整個圓面∠積的∠圓心角為360°，可用扇形①AEF②的面積除以

A占整個圓心角的幾分之幾即可得到答案。

∠45

【詳解】10×10÷2÷360

1

＝100÷2÷8

1

＝50÷8

＝400（平方厘米）

答：扇形所在的圓的面積為400平方厘米。

【點睛】解答此題的關鍵是利用等量代換計算扇形的面積，然后再用扇形的面積除以扇形的圓心角占整個

圓心角的分率即是扇形所在圓的面積。

2．（2023五年級·全國·課后作業(yè)）如圖：陰影部分的面積是50平方厘米，求圖中圓環(huán)的面

積．

【答案】157平方厘米

【詳解】試題分析：由圖意可知：圓環(huán)的面積=大圓的面積﹣小圓的面積，因此只要求得大圓與小圓的半徑

的關系，問題即能得解；又因陰影部分的面積等于大等腰直角三角形的面積減小等腰直角三角形的面積，

從而可以求得大小圓半徑的平方之差，從而問題得解．

解：設大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，

24

則：2R×R÷2﹣2r×r÷2=50，

R2﹣r2=50（平方厘米）；

圓環(huán)的面積：πR2﹣πr2，

=π×（R2﹣r2），

=3.14×50，

=157（平方厘米）；

答：圓環(huán)的面積是157平方厘米．

點評：解答此題的關鍵是：利用已知條件求出大小圓半徑的平方之差，再據(jù)圓環(huán)面積等于大圓面積減小圓

面積，即可求解．

3．（23-24五年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，長方形的長為12厘米，寬為5厘米。陰影部分甲的面積比乙

的面積大15平方厘米。求DE的長。

【答案】2.5厘米

【分析】已知“甲的面積－乙的面積＝15平方厘米”，那么如圖，（甲的面積＋丙的面積）－（乙的面積＋

丙的面積）＝15平方厘米，可得等量關系：長方形ABCD的面積－三角形BCE的面積＝15平方厘米，即：

三角形的面積＋15＝長方形的面積。設DE的長為未知數(shù)，根據(jù)等量關系列方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)解方程。

其中，長方形面積＝長×寬，三角形面積＝底×高÷2。

【詳解】解：設DE的長是x厘米，

12（x＋5）÷2＋15＝12×5

6x＋30＋15＝60

6x＝60－45

25

6x＝15

x＝15÷6

x＝2.5

答：DE的長是2.5厘米。

【點睛】能夠結(jié)合圖示，把甲乙兩部分面積的差，轉(zhuǎn)化為長方形與三角形面積之差，是解題關鍵。

步驟：

1.識別整體：首先，識別題目中的某個部分或結(jié)構(gòu)，這個部分可以是一個圖形、一個長度、一個面積

或一個體積，它能夠被看作一個整體.

2.設定變量：將這個整體用一個變量（如a、b、x、y等）來表示.這個變量將代表整個部分的未知值.

3.建立關系：根據(jù)題目中的條件，建立這個變量與其他已知量或未知量之間的關系.

4.代入求解：將變量代入到相關的公式或方程中，進行求解.

5.回代驗證：求出變量的值后，如果需要，可以回代到原問題中，驗證解的正確性.

【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設而不求，整

體代換即可.

1．（2020·湖北十堰·小升初真題）下圖中，已知圓的周長是25.12厘米，圓的面積與長方形的面積相等，

圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

【答案】37.68平方厘米

1

【分析】從圖中看出，陰影部分的面積＝長方形的面積－圓的面積×，其中長方形的面積＝圓的面積＝πr2，

4

圓的半徑＝圓的周長÷π÷2

【詳解】25.12÷3.14÷2＝4（厘米）

42×3.14＝50.24（平方厘米）

1

50.24－50.24×

4

26

＝50.24－12.56

＝37.68（平方厘米）

答：陰影部分的面積是37.68平方厘米。

【點睛】“等量代換”是解數(shù)學題時常用的一種思考方法，即兩個相等的量，長方形的面積與圓的面積可以互

相代換。

2．（23-24六年級上·河南周口·期末）如圖，大正方形的面積比小正方形的面積多10平方厘米，求陰影部分

的面積。

【答案】5.7平方厘米

【分析】設大正方形的邊長是a，利用大正方形與小正方形面積的關系求a2的值，然后利用圓的面積減去小

正方形的面積，求陰影部分的面積。

【詳解】設大方形的邊長是a

1

a2－a2＝10

2

1

a2＝10

2

111

a2÷＝10÷

222

1

a2÷＝10÷

2

a2＝10×2

a2＝20

陰影部分的面積：

11

3.14×20×－×20

42

1

＝62.8×－10

4

＝15.7－10

＝5.7（平方厘米）

答：陰影部分的面積是5.7平方厘米。

【點睛】本題主要考查組合圖形的面積，關鍵把組合圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，利用規(guī)則圖形面積公式計算。

27

3．（2025六年級下·全國·競賽）如圖，陰影部分的面積是25平方米，求圓環(huán)面積是多少平方米？

【答案】157平方米

【分析】觀察圖形可知，圓環(huán)面積無法直接根據(jù)公式求出，題中給出的信息為陰影部分面積，陰影部分面

積利用整體減空白部分來求。利用AOB面積－DOC面積，即

11111

AOBODOCO＝AO△2DO2＝△AO2DO2＝25，可得AO2DO2＝50，觀察圖形AO

22222

為大圓半徑，DO為小圓半徑。圓環(huán)面積公式π（R2r2），即3.14×50＝157（平方米）

【詳解】25×2＝50（平方米）

3.14×50＝157（平方米）

4．（23-24六年級上·遼寧·期中）如圖，如果直角三角形的面積是25平方厘米，那么圓內(nèi)空白部分的面積

是()平方厘米。

【答案】132

【分析】直角三角形的面積＝底×高÷2，剛好底和高都是圓的半徑，則三角形的面積可以表示為r×r÷2＝25，

圓的面積＝πr2，求出圓的面積減去陰影部分的面積即可求出空白部分的面積。

【詳解】解：設圓的半徑是r。

r×r÷2＝25

r2＝25×2

r2＝50

圓的面積：

＝πr2

28

3.14×50

＝157（平方厘米）

空白部分的面積：

157－25＝132（平方厘米）

空白部分的面積是132平方厘米。

【點睛】此題考查不規(guī)則圖形面積的計算方法，利用圓的面積公式求出圓的面積是解題的關鍵。

考點五：等積變化法求面積（體積）

1．（2025六年級下·西藏·專題練習）如圖是一個平行四邊形，且AB＝BC＝CD，DE＝EF。則甲、乙兩個

三角形的面積比是()()。

∶

【答案】32

1

【分析】連接平行四邊形的對角線，如圖：，由此可知，甲的面積＝×平行四邊形

2

111111

面積的一半，即××平行四邊形，即×平行四邊形面積；乙的面積＝×平行四邊形面積的一半，即××

224332

1

平行四邊形，即×平行四邊形面積；再根據(jù)比的意義，進而求出甲、乙兩個三角形的面積比。

6

11

【詳解】根據(jù)分析可知，甲三角形面積＝×平行四邊形面積；乙三角形面積＝×平行四邊形面積。

46

11

甲乙＝（×平行四邊形面積）（×平行四邊形面積）

46

∶11∶

＝

46

∶11

＝（×12）（×12）

46

＝32∶

甲、∶乙兩個三角形的面積比是32。

∶

29

11

2．（2022·安徽黃山·小升初真題）如圖，三角形ABC的面積27cm2，CEBC，BDAB，三角形AED

33

的面積是()cm2。

【答案】12

12

【分析】由圖可知，三角形AED和三角形BED等高，且BDAB，則AD=AB，三角形AED的面積是

33

212

三角形AEB面積的，三角形AEC和三角形AEB等高，且CEBC，則BEBC，三角形AEB的面積

333

2

是三角形ABC面積的，由此求出三角形AED的面積占三角形ABC面積的分率，最后用乘法求出三角形

3

AED的面積。

1222

【詳解】因為CEBC，則BEBC，所以三角形AEB的面積＝×三角形ABC面積＝×27＝18（cm2）；

3333

1222

因為BDAB，則AD=AB，所以三角形AED的面積＝×三角形AEB面積＝×18＝12（cm2）；

3333

由上可知，三角形AED的面積是12cm2。

【點睛】根據(jù)三角形底邊的關系找出三角形的面積關系是解答題目的關鍵。

3．（2023·四川·小升初真題）如圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，ACCDDB，M是CD的中點，

H是弦CD的中點，若N是OB上的一點，半圓面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是多少？

【答案】2平方厘米

1

【分析】如下圖所示，連接OC、OD、OH，則扇形AOC、COD、DOB的面積相等，都等于半圓面積的，

3

又因為三角形COH與三角形CNH等底等高，則二者的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形COD面積

的一半，從而可以求出陰影部分的面積。

30

11

【詳解】12××

32

1

＝4×

2

＝2（平方厘米）

答：圖中陰影部分的面積是2平方厘米。

【點睛】解答本題的關鍵是作出合適的輔助線，得到陰影部分與半圓的面積的關系。

4．（22-23六年級下·山東菏澤·期中）巧求飲料體積：一個飲料瓶（如圖），瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），

容積為250毫升，當瓶子正放時，瓶內(nèi)飲料液面高為8厘米，瓶子倒放時，空余部分高為2厘米，請你算

一算，瓶內(nèi)飲料的體積是多少毫升？

【答案】200毫升

【分析】因為飲料瓶的容積不變，飲料的體積也不變，所以正放和倒放時空余部分的體積相等；將正放與

倒放的空余部分交換一下位置，可以看出飲料瓶的容積相當于底面積不變，高為8＋2＝10厘米的圓柱的體

84

積，那么瓶中的飲料占整個飲料瓶容積的＝，根據(jù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用整個飲料瓶的容積

105

4

乘，即可求出瓶內(nèi)飲料的體積。

5

【詳解】8÷（8＋2）

＝8÷10

4

＝

5

4

250×＝200（毫升）

5

答：