PAGE1專題08線段的性質(zhì)和中點(diǎn)有關(guān)計算（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）知識清單1、直線、射線、線段的比較名稱不同點(diǎn)聯(lián)系共同點(diǎn)延伸性端點(diǎn)數(shù)線段不能延伸2線段向一方延長就成射線，向兩方延長就成直線都是直的線射線只能向一方延伸1直線可向兩方無限延伸無2、點(diǎn)、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形．一個點(diǎn)可以用一個大寫字母表示，如點(diǎn)A.一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點(diǎn)的大寫字母表示，如直線l或直線AB.一條射線可以用一個小寫字母表示或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示（端點(diǎn)字母寫在前面），如射線l或射線AB.一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個大寫字母來表示，如線段l或線段AB.3、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點(diǎn)．②點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點(diǎn)．4、線段的性質(zhì)（1）線段公理：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短．（2）兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離．（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等．（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的．（5）線段的比較：①目測法；②疊合法；③度量法.5、線段的中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成兩條相等的線段AM與BM，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)．即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）.MMAB6、直線的性質(zhì)（1）直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．（2）過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條．（3）直線是向兩個方向無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大?。?）直線上有無窮多個點(diǎn)．（5）兩條不同的直線至多有一個公共點(diǎn)．一、單選題1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）關(guān)于圖中的點(diǎn)和線，下列說法錯誤的是（）A．點(diǎn)C在直線AB上 B．點(diǎn)C在線段AB上C．點(diǎn)B在射線AC上 D．點(diǎn)B在線段AC上【答案】D【分析】本題主要考查了點(diǎn)與直線，線段的相關(guān)概念，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握點(diǎn)與直線，線段的相關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵．結(jié)合圖形對題目中的四個選項逐一進(jìn)行判斷即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)圖形可知：A、點(diǎn)C在直線AB上正確，故該選項正確，不符合題意；B、點(diǎn)C在線段AB上正確，故該選項正確，不符合題意；C、點(diǎn)B在射線AC上正確，故該選項正確，不符合題意；D、點(diǎn)B在線段AC上不正確，故該選項不正確，符合題意．故選：D．2．（24-25七年級上·全國·期末）毛澤東主席在《水調(diào)歌頭游泳》中寫道“一橋飛架南北，天塹變通途”．正如從黃果樹風(fēng)景區(qū)到關(guān)嶺縣城的壩陵河大橋建成后，從黃果樹風(fēng)景區(qū)到關(guān)嶺縣城經(jīng)大橋通過的路程縮短20公里，用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A．過一點(diǎn)可以畫多條直線 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．連接兩點(diǎn)間線段的長度是兩點(diǎn)間的距離【答案】C【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，明確兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答本題即可．【詳解】解：把彎曲的路徑改直，就能縮短路程，用數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因：兩點(diǎn)之間線段最短．故選：C3．（2024七年級上·貴州廣西·專題練習(xí)）如圖所示，從學(xué)校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本題主要考查了線段的性質(zhì)，熟練掌握線段的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．應(yīng)用兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，從學(xué)校到公園有①、②、③、④四條路線，其中線段最短，∴最短的路線是③．故選：C．4．（19-20七年級上·云南麗江·期末）直線AB上有一點(diǎn)C，直線AB外有一點(diǎn)D，則A、B、C、D四點(diǎn)確定的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【分析】本題主要考查兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線畫出圖形即可求解．【詳解】解：如圖所示，則A、B、C、D四點(diǎn)能確定的直線有四條．故選：C．5．（2024七年級上·貴州廣西·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C把線段MN分成兩部分，其比為MC:CN=5:4，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，PC=2cm，則MNA．30cm B．36cm C．40cm【答案】B【分析】本題考查線段的計算，由題目中的比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)是常見做題技巧，根據(jù)線段之間關(guān)系列方程求解是解答的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)MC=5x，CN=4x，根據(jù)線段之間的關(guān)系列方程求解即可解答．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)MC=5x，CN=4x，則MN=MC+CN=9x，∵點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，∴PN=12MN=9∴PC=PN?CN=12解得：x=4，∴MN=9×4=36cm故選：B．6．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）研究下面解題過程：如圖，點(diǎn)M,N在線段AB上，且MB=2AM，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，若AM=2cm，求MN解：因為AM=2cm，MB=2AM，所以MB=①______cm．因為AB=AM+MB=②______cm，而N是AB的中點(diǎn)，所以AN=BN=③______cm．所以MN=AN?AM=④______針對其中①～④，給出的數(shù)值不正確的是（

）A．①=4 B．②=6 C．③=2【答案】C【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計算，根據(jù)已知條件項求出MB的長，進(jìn)而求出AB的長，再由線段中點(diǎn)的定義求出AN的長，即可求出MN的長，據(jù)此可得答案．【詳解】解：因為AM=2cm，MB=2AM所以①M(fèi)B=4cm因為AB=AM+MB=6cm②，而N是AB所以AN=BN=3cm所以MN=AN?AM=1cm∴四個選項中只有C選項符合題意，故選：C．7．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，線段AB表示一根對折過后的繩子，現(xiàn)從點(diǎn)P處把繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長那段為9cm，若BP=34AB，則這條繩子的原長為（A．12 B．24 C．12或24 D．24或36【答案】C【分析】本題主要考查了線段的和差，根據(jù)題意可知對折點(diǎn)可能是點(diǎn)A，也可能是點(diǎn)B，再根據(jù)不同情況確定最長的線段即可求出原線段的長．【詳解】當(dāng)點(diǎn)A是對折點(diǎn)時，則剪斷后最長的線段應(yīng)是BP=9cm∴AB=4所以繩子的原長為12×2=24(cm當(dāng)點(diǎn)B是對折點(diǎn)時，則剪斷后最長的線段應(yīng)是2BP=9cm∴AB=4所以繩子的原長為6×2=12(cm所以這條繩子的原長為12cm或24cm．故選：C．8．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，A、B兩點(diǎn)之間的距離為15cm，B、C兩點(diǎn)之間的距離為6cm，那么A、C兩點(diǎn)之間的距離為（

A．21cm B．9cm C．21cm或9cm D．21cm或8cm【答案】C【分析】本題主要考查線段的和與差，分兩種情況：點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)和點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，分別利用線段的和與差求解即可．【詳解】①若點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)，如圖，∵A,B兩點(diǎn)之間的距離為15cm，B,C兩點(diǎn)之間的距離為6cm，∴AC=AB?BC=15?6=9cm②若點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，如圖，∵A,B兩點(diǎn)之間的距離為15cm，B,C兩點(diǎn)之間的距離為6cm，∴AC=AB+BC=15+6=21cm∴A，C之間的距離為9cm或21cm故選：C．二、填空題9．（2024七年級上·云南·專題練習(xí)）下列生產(chǎn)現(xiàn)象中，不可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的有．①經(jīng)過刨平的木板上的兩個點(diǎn)可以彈出一條墨線；②建筑工人通過在兩個釘子之間拉一條繩子砌墻；③把彎曲的公路改直就可以縮短路程．【答案】③【分析】此題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：①經(jīng)過刨平的木板上的兩個點(diǎn)可以彈出一條墨線，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，故本選項不符合題意．②建筑工人通過在兩個釘子之間拉一條繩子砌墻，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，故本選項不符合題意．③把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋，不能用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，故本選項符合題意．故答案為：③．10．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示：（1）AC=+；（2）AC=?；（3）BC=?；（4）BC+CD=；（5）CD=AD?；（6）AC+BD?BC=．【答案】ABBCAD/DACD/DCACBDABCDBD/DBAC/CAAD【分析】本題主要考查線段和差計算，掌握線段和差的計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形和線段之間的關(guān)系填空即可．【詳解】解：（1）AC=AB+BC；（2）AC=AD?CD；（3）BC=AC?AB或BC=BD?CD；（4）BC+CD=BD；（5）CD=AD?AC；（6）AC+BD?BC=AD．故答案為：（1）①AB；②BC；（2）③AD；④CD；（3）⑤ACBD；⑥AB（4）⑦BD；（5）⑧AC；（6）⑨AD．11．（2024七年級上·山東·專題練習(xí)）如圖，把一個三角形沿虛線剪去一個角后得到一個四邊形，若原三角形的周長為m，得到的四邊形的周長為n，則關(guān)于m與n的大小關(guān)系是．【答案】m>n/n<m【分析】本題考查了線段的性質(zhì)．掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．由兩點(diǎn)之間線段最短即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，∴m>n．故答案為：m>n．12．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）已知直線l上線段AB=6，線段CD=2（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），若線段CD的端點(diǎn)C從點(diǎn)B開始以1個單位/秒的速度向右運(yùn)動，同時點(diǎn)M從點(diǎn)A開始以2個單位/秒的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，則線段CD運(yùn)動秒時，MN=2DN．【答案】2或18【分析】設(shè)線段CD運(yùn)動的時間為t秒，則AM=2t，BC=t，BD=t+2，AD=t+8，BN=ND=12BD=12t+1．分兩種情況計算：①當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)時，②當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)時，分別將MN和2DN用含有本題主要考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差、直線上的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是正確的把各條線段用含有t的式子表示出來，并且注意分類討論．【詳解】，設(shè)線段CD運(yùn)動的時間為t秒，則AM=2t，BC=t，BD=BC+CD=t+2，AD=AB+BD=6+t+2=t+8，∵點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，∴BN=ND=1①當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)時MN=AD?AM?ND=t+82DN=BD=t+2，∵M(jìn)N=2DN，∴7?3解得t=2．②當(dāng)M點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)時，MN=AM?AB?BN=2t?6?12DN=BD=t+2，∵M(jìn)N=2DN，∴3解得t=18．綜上，線段CD運(yùn)動2秒或18秒時，MN=2DN．故答案為：2或18．13．（22-23七年級上·貴州遵義·期末）如圖，將一條長為7cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時卷尺分為了三段，若這三段長度由短到長的比為1:4:5，其中沒有完全蓋住的部分最長，則折痕對應(yīng)的刻度可能是【答案】2.1或3.15【分析】先根據(jù)三段長度的比求出各段的長度，從而可求出剪斷處對應(yīng)的刻度，設(shè)折痕對應(yīng)的刻度是xcm，從尺子的左端點(diǎn)到折痕處的長度為：x+1【詳解】解：由題意，最長段那部分的長度為7×5另兩段的長度分別為7×11+4+5=因為沒完全蓋住的部分最長，所以剪斷處對應(yīng)的刻度為7?7設(shè)折痕對應(yīng)的刻度是xcm則2x?710=解得x=2.1或x=3.15，故答案為：2.1或3.15．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確求出剪斷處對應(yīng)的刻度是解題關(guān)鍵．14．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段PM,PN組成一條折線M?P?N．若該折線上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點(diǎn)Q叫作這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是折線A?C?B的“折中點(diǎn)”，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，CD=4，CE=6，則線段BC的長是．【答案】20或4【分析】本題考查與線段的中點(diǎn)有關(guān)的計算，分點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)D在線段AC上，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖：由題意，得：AC=2CE=12,AC+CD=BD，∴BD=12+4=16，∴BC=CD+BD=20；當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時，如圖：則AC=2CE=12,AD=BC+CD，∵AD=AC?CD=8，∴BC+CD=8，∴BC=8?4=4；故答案為：20或4．三、解答題15．（23-24七年級上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請用尺規(guī)作圖完成．（保留畫圖痕跡）(1)畫直線AB，畫射線AC，連接BC；(2)延長線段BC到E．使得BE=AB+BC；(3)在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，直線、射線、線段，兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．（1）根據(jù)基本作圖方法即可畫直線AB，畫射線AC，連接BC；（2）延長線段BC到E，利用尺規(guī)使CE=AB，可得BE=AB+BC；（3）連接線段BD交AC于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得PA+PC的值最?。驹斀狻浚?）解：如圖，直線AB，射線AC，線段BC即為所求；（2）解：如圖，點(diǎn)E即為所求：（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求．16．（23-24六年級下·山東泰安·階段練習(xí)）已知線段AB=20cm，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且AC=14cm，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，求線段【答案】4【分析】本題主要考查了線段的中點(diǎn)的含義，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)AB=20cm，O為AB中點(diǎn)，求出AO的長度是多少；然后用AC的長度減去AO的長度，求出線段OC【詳解】解：∵AB=20cm，O為AB∴AO=1∵AC=14cm∴OC=AC?AO=14?10=4cm17．（24-25七年級上·河南·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)M、N分別是AB、CB的中點(diǎn)(1)如圖，點(diǎn)C是線段AB上，AC=8cm，NB=5cm．求(2)若點(diǎn)C在線段BA的延長線上，且AC=a，BC=b，請你直接寫出線段MN的長（用含有a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)線段MN的長為4(2)a【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)定義，理解線段的中點(diǎn)把線段分成兩條相等的線段是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出BC=2NB=10cm，確定AB=18（2）根據(jù)題意作出圖形，然后結(jié)合線段中點(diǎn)求解即可．【詳解】（1）解：∵N為BC的中點(diǎn)，NB=5cm∴BC=2NB=2×5=10cm∵AC=8cm∴AB=AC+BC=8+10=18cm∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴BM=AM=1∴CM=AM?AC=9?8=1cm∵NB=5∴MN=BM?NB=9?5=4cm答：線段MN的長為4cm（2）如圖所示：∵AC=a，BC=b，∴AB=b?a，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴BM=AM=1∵N為BC的中點(diǎn)，∴NC=b∴AN=CN?AC=b∴MN=AM?AN=b?a18．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知C，D為線段AB上的兩點(diǎn)，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．(1)圖中共有條線段．(2)若AB=30，CD=12，求MN的長度．(3)若AB=a，CD=b，請用含a，b式子直接表示MN的長度．【答案】(1)15(2)MN的長度為21(3)MN的長度為a+b【分析】（1）根據(jù)線段的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知可得AC+BD=AB?CD=18，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得CM=12AC，DN=（2）根據(jù)已知可得AC+BD=AB?CD=a?b，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得CM=12AC，DN=本題考查了線段的和差，線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段中點(diǎn)，線段的和差意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：圖中共有12故答案為：15．（2）解：∵AB=30，CD=12，∴AC+BD=AB?CD=18，∵M(jìn)，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴CM=12AC∴CM+DN=1∴CM+DN=1∴MN=CM+DN+CD=9+12=21，∴MN的長度為21．（3）解：∵AB=a，CD=b，∴AC+BD=AB?CD=a?b，∵M(jìn)，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴CM=12AC∴CM+DN=1∴CM+DN=a?b∴MN=CM+DN+CD=a?b∴MN的長度為a+b219．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)．(1)若AC=8，BC=6，求線段EF的長；(2)若AC+BC=a，你能求出EF的長度嗎？并說明理由；(3)若點(diǎn)C在AB的延長線上，且AC?BC=b，你能求出EF的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)7(2)能，12(3)能，結(jié)論：EF=1【分析】本題考查線段的和差，熟練掌握整體法求線段和差的方法以及正確根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）利用中點(diǎn)分別求出CE和CF，再利用線段的和差求解即可；（2）先利用中點(diǎn)定義得出CE=12AC，CF=（3）先畫出圖形，先利用中點(diǎn)定義得出CE=12AC，CF=【詳解】（1）解：（1）∵點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，AC=8，BC=6，∴CE=12AC=∴EF=CE+CF=4+3=7；（2）解：能求出EF的長，理由：∵點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CE=12AC∴EF=CE+CF=1∴能求出EF的長，EF=1（3）解：能求出EF的長，結(jié)論：EF=1如圖，∵點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CE=12AC∴EF=CE?CF=1∵AC?BC=b，∴EF=120．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期中）定義：若線段上的一個點(diǎn)把這條線段分成1:2的兩條線段，則稱這個點(diǎn)是這條線段的三等分點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)M是線段AB的一個三等分點(diǎn)，滿足BM=2AM，若AB=9cm，則AM=______(2)如圖2，已知AB=9cm，點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，兩點(diǎn)同時出發(fā)，都以每秒23cm的速度沿射線AB①當(dāng)t為何值時，點(diǎn)C是線段AD的三等分點(diǎn)②在點(diǎn)C，點(diǎn)D開始出發(fā)的同時，點(diǎn)E也從點(diǎn)B出發(fā)，以某一速度沿射線BA方向運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)C是線段AE的三等分點(diǎn)時，點(diǎn)E也是線段AD的三等分點(diǎn)，請直接寫此時出線段EB的長度．【答案】(1)3(2)①274或27；②97cm或【分析】本題考查線段的和與差，線段的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)線段之間的數(shù)量關(guān)系，和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)BM=2AM，AB=AM+BM，進(jìn)行計算即可；（2）①分CD=2AC和AC=2CD兩種情況進(jìn)行計算即可；②點(diǎn)C，點(diǎn)E分別是AE，AD的三等分點(diǎn)，可以分四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵BM=2AM，AB=AM+BM，∴3AM=9，∴AM=3cm（2）①由題意，得：AD=9+23當(dāng)CD=2AC時，則：3AC=AD，∴3×∴t=27當(dāng)AC=2DC時，則：3AC=2AD，∴3×2∴t=27；綜上：t=274或②設(shè)點(diǎn)E的速度為每秒xcm，由題意得：BE=xcm，則AE=9?x∵點(diǎn)C，點(diǎn)E分別是AE，AD的三等分點(diǎn)，∴可以分四種情況討論：當(dāng)AC=13AE,DE=13分別解得：t=1∴1解得：x=9當(dāng)AC=23AE,DE=23分別解得：t=9?x,t=1∴9?x=解得：x=36當(dāng)AC=13AE,DE=23分別解得：t=1∴1解得：x=45當(dāng)AC=23AE,DE=13分別解得：t=9?x,t=1∴9?x=解得：x=?9綜上：點(diǎn)C，點(diǎn)E分別是AE，AD的三等分點(diǎn)，BE的長為97cm或36721．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）已知線段AB，C是直線AB上的一點(diǎn)，AB=8cm，BC=4cm，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，則線段A．2cm B．4cm C．2cm或6cm 【答案】C【分析】分點(diǎn)C在點(diǎn)B的左右兩側(cè)，進(jìn)行分類討論，求解即可．本題考查線段的和與差．利用分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時：AC=AB?BC=8?4=4cm∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AM=1當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時：AC=AB+BC=8+4=12cm∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AM=1綜上：AM的長為2cm或6故選C．22．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知線段AC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，B是直線AC上的一點(diǎn)，且BC=12AB，BD=1，則AC=A．6或23 B．6或2 C．6或3 【答案】A【分析】此題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握線段的中點(diǎn)平分線段，正確畫出圖形．首先根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：①B在AC上，②B在AC的延長線上，然后利用方程思想設(shè)出未知數(shù)，表示出BC、AB、AC和BD的長即可解決問題．【詳解】解：如圖1，設(shè)BC=x，則AB=2x，AC=3x，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=1∴BD=0.5x，∵BD=1，∴0.5x=1，解得：x=2，∴AC=6；如圖2，設(shè)BC=x，則AB=2x，AC=x，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=1∴BD=1.5x，∵BD=1，∴1.5x=1，解得：x=2∴AC=2綜上所述，線段AC的長為6或23故選：A．23．（24-25七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）嘉琪同學(xué)在路邊看老人下五子棋時出現(xiàn)了如圖所示的畫面（部分），棋盤上有黑、白兩色棋子若干，善于思考的她想找出顏色相同的三顆棋子在同一條直線上的所有直線．請你根據(jù)圖示，判斷滿足這種條件的直線共有（

）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【答案】A【分析】本題考查了“兩點(diǎn)確定一條直線”．掌握相關(guān)結(jié)論即可．根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”即可求解．【詳解】提示：如下圖所示．故選：A．24．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A、B、C、D四個整數(shù)點(diǎn)（即各點(diǎn)均表示整數(shù)），且2AB=BC=3CD．若A、D兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為?5和6，點(diǎn)N為BC靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)N表示的數(shù)是．【答案】0【分析】本題考查了數(shù)軸的有關(guān)概念，利用數(shù)軸上的點(diǎn)、線段相關(guān)性質(zhì)，首先設(shè)出CD=x，根據(jù)2AB=BC=3CD表示出AB、CD，求出線段AD的長度，列方程即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵2AB=BC=3CD，∴設(shè)CD=x，則BC=3x，AB=1.5x，∵A、D兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為?5和6，∴AD=6?(?5)=6+5=11=AB+BC+CD，∴x+3x+1.5x=11，解得：x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵A、D兩點(diǎn)表示的數(shù)的分別為?5和6，∴B，C兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是?2和4，∵N為BC靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴BN=1故N表示的數(shù)是0．故答案為：0．25．（23-24七年級上·遼寧錦州·期末）如圖，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB=BC=CD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若EC=4.8cm，則AD=cm【答案】9.6【分析】本題考查線段中點(diǎn)的定義，線段和、差、倍的計算，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AE=BE=xcm，由EC=4.8cm，列方程求出【詳解】解：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE．設(shè)AE=BE=xcm，則AB=BC=CD=2AE=2x∴EC=EB+BC=x+2x=4.8cm解得x=1.6，∴AD=3AB=6x=9.6cm故答案為：9.6．26．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，給出下面4個結(jié)論：①AM+BN=12AB∶②MN=12AB；③若BN=3AM，則BM=8AM；④若【答案】①②④【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計算，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AM=CM=12AC，BN=CN=12BC，再由線段的和差關(guān)系即可判斷①②；求出【詳解】解：∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，∴AM=CM=1∴AM+BN=12AC+∵BN=3AM，∴BC=2BN=6AM，∵CM=AM，∴BM=BC+CM=7AM，故③錯誤；∵BN=2MC，∴BC=4MC，又∵AC=2MC，∴AB=AC+BC=4MC+2MC=10，∴MC=5∴CN=BN=2MC=10∴正確的有①②④，故答案為：①②④．27．（21-22七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知點(diǎn)B在直線AP上，點(diǎn)M，N分別是線段AB,BP的中點(diǎn)．(1)如圖①，點(diǎn)B在線段AP上，AP=15，求MN的長；(2)如圖②，點(diǎn)B在線段AP的延長線上，AM?PN=3.5，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，CA+CP=13，求CP的長．【答案】(1)MN=(2)3或10【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計算：（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義，推出MN=1（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義和線段的和差關(guān)系求出AP的長，分點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得BM=12AB所以MN=BM+BN=1因為AP=15，所以MN=15（2）由題意，得AM=12AB所以AM?PN=1所以AP=7．當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)時，CA+CP=(CP+AP)+CP=13，即(CP+7)+CP=13，解得CP=3；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間時，CA+CP=AP=7≠13，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，所以CP=CA+AP=3+7=10．綜上所述，CP的長為3或10．28．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：如圖，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C，D分別是線段AO,BO中點(diǎn)，當(dāng)AB=12時，求線段CD的長度．(1)下面是小明根據(jù)老師的要求進(jìn)行的分析及解答過程，請你補(bǔ)全解答過程；思路方法解答過程知識要素未知線段轉(zhuǎn)化為已知線段……因為C，D分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，所以CO=1DO=12①＋②得CO+DO=12___＝＝．線段中點(diǎn)的定義，線段的和、差…(2)小明進(jìn)行題后反思，提出新的問題：如果點(diǎn)O運(yùn)動到線段AB的延長線上，CD的長度是否會發(fā)生變化？請你幫助小明作出判斷并說明理由．【答案】(1)BO，BO，12(2)不會發(fā)生變化，見解析【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的相關(guān)計算．（1）根據(jù)C，D分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，可得CO=12AO，DO=（2）根據(jù)題意畫圖，如圖所示，根據(jù)C，D分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，可得CO=12AO，DO=【詳解】（1）解：∵C，D分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，∴CO=1DO=1①+②：∴CO+DO=1故答案為：BO，BO，12（2）解：如圖，，C，D分別是線段AO,BO的中點(diǎn)，∴CO=1DO=1①?∴CD=CO?DO=1∴如果點(diǎn)O運(yùn)動到線段AB的延長線上，CD的長度不會發(fā)生變化．29．（24-25七年級上·全國·期末）定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“美點(diǎn)”．如圖2，已知AB=24cm，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)沿AB相向運(yùn)動，速度分別為2cm/s，1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，運(yùn)動停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts，當(dāng)點(diǎn)A．185 B．65 C．247【答案】D【分析】此題重點(diǎn)考查一元一次方程的應(yīng)用、新定義問題的求解、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．分三種情況求t的值，一是PQ=2AP，則24?2t?t=2×2t，求得t=247；二是AQ=2AP，則24?t=2×2t，求得t=245；三是AP=2PQ，則2t=224?2t?t，求得t=6【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段AQ的“美點(diǎn)”，∴PQ=2AP或AQ=2AP或AP=2PQ，當(dāng)PQ=2AP時，則24?2t?t=2×2t，解得t=24當(dāng)AQ=2AP時，則24?t=2×2t，解得t=24當(dāng)AP=2PQ時，則2t=224?2t?t解得t=6，∵247∴t的最大值為6，最小值為247∴6?24故選：D．30．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）有兩根木條，一根AB長為80cm，另一根CD長為130cm，在它們的中點(diǎn)處各有一個小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計，M、N抽象成兩個點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是（A．105cm B．C．105cm或25cm【答案】C【分析】此題考查了兩點(diǎn)之間的距離問題，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．分兩種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)同側(cè)時，MN=CN?AM=1=65?40=25（厘米）；（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)兩側(cè)時，MN=CN+BM=1=65+40=105（厘米）．所以兩根木條的小圓孔之間的距離MN是25cm或105故選：C．31．（2024七年級上·安徽·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和ANA．5218 B．5219 C．【答案】B【分析】本題主要考查中點(diǎn)公式和數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離，掌握以上知識是解決此題的關(guān)鍵．本題首先通過兩次迭代找到規(guī)律，得到MnNn=10【詳解】解：∵M(jìn)N=10，M1、N∴M1∵M(jìn)2、N∴M2根據(jù)規(guī)律得到Mn∴M20故選：B．32．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，M、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn)，若AB=10cm，AC=BD=8cm，則線段MN的長為【答案】3【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計算、線段的和差，先求出AD=2cm，再根據(jù)線段的中點(diǎn)求出AN=12【詳解】解：∵AB=10cm，BD=8∴AD=AB?BD=2cm∵M(jìn)、N分別是線段AC、AD的中點(diǎn)，∴AN=12AD=1∴MN=AM?AN=3cm故答案為：3．33．（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知線段AB=24cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6cm的速度沿AB向右運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4cm的速度沿BA向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒0<t<4．在整個運(yùn)動過程中，請你用t的式子表示線段PQ的長【答案】24?10tcm或【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，t秒后點(diǎn)P的路程是6tcm，點(diǎn)Q的路程是4tcm，再根據(jù)兩點(diǎn)運(yùn)動的方向和【詳解】解：∵t秒后點(diǎn)P的路程是6tcm，點(diǎn)Q的路程是4tcm，∴在P與Q相遇前，PQ=24?6t?4t=24?10t在P與Q相遇后，PQ=6t+4t?24=10t?24故答案為：24?10tcm或10t?2434．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）電子跳蚤游戲盤（如圖）為三角形ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果電子跳蚤開始時在BC邊的P0點(diǎn)，BP0=3，第一步跳蚤從P0到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1=CP0；第二步跳蚤從P1跳到AB邊上P2點(diǎn)，且AP2=AP1；第三步跳蚤從【答案】4【分析】本題考查了規(guī)律型：此題主要是能夠根據(jù)題意利用線段的和差計算出有關(guān)線段的長，發(fā)現(xiàn)電子跳蚤的落點(diǎn)的循環(huán)規(guī)律，本題首先根據(jù)題意，分別計算電子跳騷的位置和三角形的頂點(diǎn)的距離，找到循環(huán)的規(guī)律：經(jīng)過6次跳，電子跳蚤回到起跳點(diǎn)．根據(jù)這一規(guī)律確定第2025次落點(diǎn)的位置，可得答案．【詳解】解：∵BC=8,BP∴CP∴CP∵AC=7，∴AP∵AB=6，∴BP∴CP∴AP∴AP∴BP∴BP此時P6與P∵2025÷6=337……3，即P2025與P∴P2025與C之間的距離為8?4=4故答案為：435．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期中）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，線段DE在直線AB上移動（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)A，B重合）(1)若AB=24，求AC和BC的長；(2)若AB=15，DE=6，線段DE在線段AB上移動，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，①如圖，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，求AD的長；②點(diǎn)F（不與點(diǎn)A，B，C重合）在線段AB上，AF=3AD，CF=3，求AE的長．【答案】(1)AC=16，BC=8(2)①6.5；②25【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)2，代數(shù)式求值，線段的和與差等知識點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)AB=AC+BC及已知條件AB=24，AC=2BC即可得出答案；（2）根據(jù)AB=AC+BC及已知條件AB=15，AC=2BC先求出AC和BC的長；①當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，則CE=BE=12BC=2.5，然后根據(jù)CD=DE?CE即可求出CD的長，根據(jù)AD=AC?CD即可求出AD的長；②分兩種情況討論：i）當(dāng)F在C點(diǎn)左側(cè)時；ii）當(dāng)F【詳解】（1）解：∵AB=AC+BC=2BC+BC=3BC=24，∴BC=8，AC=2BC=16；（2）解：∵AB=AC+BC=2BC+BC=3BC=15，∴BC=5，AC=2BC=10，①當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時，則CE=BE=1∵DE=6，∴CD=DE?CE=6?2.5=3.5，∴AD=AC?CD=10?3.5=6.5；②分兩種情況：i）當(dāng)F在C點(diǎn)左側(cè)時，如圖1，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC?CF=10?3=7，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD+DE=7ii）當(dāng)F在C點(diǎn)右側(cè)時，如圖2，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC+CF=10+3=13，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD+DE=13綜上所述，AE=253或36．（24-25七年級上·北京·期中）對于數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，點(diǎn)M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，若MN=e2AB+CD，則將e的值稱為線段AB，CD的相對離散度，特別地，當(dāng)點(diǎn)M，N重合時，規(guī)定e=0．設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)O(1)若數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)分別是?3，?1，3，5，則線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是______，線段AB，CD的相對離散度是______．(2)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)O右側(cè)的點(diǎn)S表示的數(shù)是s，若線段OS，OT的相對離散度e=12，求(3)數(shù)軸上點(diǎn)P，Q都在O點(diǎn)的右側(cè)（其中P，Q不重合），點(diǎn)R是線段PQ的中點(diǎn)，設(shè)線段OP，OT的相對離散度為e1，線段OQ，OT的相對離散度為e2，當(dāng)e1=e2時，直接寫出R所表示的數(shù)r的取值范圍．（參考材料：1、若ab=4，則a+b>4．其中a>0，b>0且a≠b；2、如圖：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點(diǎn)【答案】(1)?2，3(2)23或(3)r>2【分析】（1）分別求出線段AB、CD及其中點(diǎn)M、N，進(jìn)而求出線段MN，然后依據(jù)相對離散度的計算公式進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)線段OS、OT的中點(diǎn)為L、K，分別求出線段OS、OT及其中點(diǎn)L、K，進(jìn)而求出線段LK，然后依據(jù)相對離散度的計算公式列出關(guān)于s的方程，解方程即可求出s的值；（3）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)P、Q對應(yīng)的數(shù)分別為m、n，則點(diǎn)R所對應(yīng)的數(shù)r=m+n2，依據(jù)相對離散度的計算公式分別得出e1、e2，根據(jù)e1=e【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C，D表示的數(shù)分別是?3，?1，3，5，∴AB=?1??3=2，線段AB的中點(diǎn)M表示的數(shù)是CD=5?3=2，線段CD的中點(diǎn)N表示的數(shù)是5+32∴MN=4??2∵M(jìn)N=e∴6=e∴e=3，故答案為：?2，3；（2）解：設(shè)線段OS，OT的中點(diǎn)為L，K，∵數(shù)軸上的點(diǎn)O表示的數(shù)是0，點(diǎn)O右側(cè)的點(diǎn)S表示的數(shù)是s，點(diǎn)T表示的數(shù)是2，∴OS=s?0=s，OT=2?0=2，∴點(diǎn)L，K在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為s+02=s∴LK=1?∵線段OS，OT的相對離散度為e=12，且∴1?∴s+2=4?2s解得：s=23或∴s的值為23或6（3）解：r>2，理由如下：設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)P、Q對應(yīng)的數(shù)分別為m、n，∵數(shù)軸上點(diǎn)P、Q都在O點(diǎn)的右側(cè)（其中P、Q不重合），∴m>0，n>0，且m≠n，∴OP=m?0=m，OQ=n?0=n，OT=2?0=2，∵點(diǎn)R是線段PQ的中點(diǎn)，∴點(diǎn)R所表示的數(shù)r=m+n設(shè)線段OP，OT的中點(diǎn)為M，N，則M對應(yīng)的數(shù)為m+02=m2，∴MN=m∵線段OP，OT的相對離散度為e1，且MN=∴m∴e同理可得：e2∵e∴m?2分四種情況討論：①當(dāng)m?2>0，n?2>0時，解得：m=n，∵P、Q不重合，∴m≠n，此種情況不合題意，故舍去；②當(dāng)m?2<0，n?2<0時，解得：m=n，同樣，此種情況不合題意，故舍去；③當(dāng)m?2>0，n?2<0時，解得：mn=4；④當(dāng)m?2<0，n?2>0時，解得：mn=4；綜上，mn=4，∵m≠n，∴m∴m?n即：m+n2∴m+n即：m+n2∴m+n即：r>2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段中點(diǎn)的有關(guān)計算，等式的性質(zhì)2，絕對值方程等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確理解題目中的定義與公式并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．37．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【答案】B【分析】由直線公理可直接得出答案．【詳解】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線的性質(zhì)，要想確定一條直線，至少要知道兩點(diǎn)．38．（2022·山東臨沂·