專題03

知識清單

1.單項式：

（1）單項式的定義：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或字母也是單項式．

用字母表示的數(shù)，同一個字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個式子中表示相

同的含義．

（2）單項式的系數(shù)、次數(shù)

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)．

在判別單項式的系數(shù)時，要注意包括數(shù)字前面的符號，而形如a或-a這樣的式子的系數(shù)是1或-1，不

能誤以為沒有系數(shù)，一個單項式的次數(shù)是幾，通常稱這個單項式為幾次單項式．

2.多項式：

（1）幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中

次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)．

（2）多項式的組成元素的單項式，即多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，

如果一個多項式含有a個單項式，次數(shù)是b，那么這個多項式就叫b次a項式．

3.整式：

（1）概念：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．

他們都有次數(shù)，但是多項式?jīng)]有系數(shù)，多項式的每一項是一個單項式，含有字母的項都有系數(shù)．

（2）規(guī)律方法總結：

①對整式概念的認識，凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“-”將單項式

連起來的就是多項式，不含“+”或“-”的整式絕對不是多項式，而單項式注重一個“積”字．

②對于“數(shù)”或“形”的排列規(guī)律問題，用先從開始的幾個簡單特例入手，對比、分析其中保持不變的部

分及發(fā)展變化的部分，以及變化的規(guī)律，尤其變化時與序數(shù)幾的關系，歸納出一般性的結論．

4.同類項：

（1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項．

同類項中所含字母可以看成是數(shù)字、單項式、多項式等．

（2）注意事項：

①一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可；

②同類項與系數(shù)的大小無關；

③同類項與它們所含的字母順序無關；

④所有常數(shù)項都是同類項．

5.合并同類項：

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．

1

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會減少，達到化

簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母和字母的指數(shù)

不變．

6.去括號：

（1）去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號

外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反．

（2）去括號規(guī)律：①a+（b+c）=a+b+c，括號前是“+”號，去括號時連同它前面的“+”號一起去掉，括

號內(nèi)各項不變號；②a-（b-c）=a-b+c，括號前是“-”號，去括號時連同它前面的“-”號一起去掉，括號

內(nèi)各項都要變號．

7.整式的加減：

（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．

（2）整式的加減實質上就是合并同類項．

（3）整式加減的應用：

①認真審題，弄清已知和未知的關系；

②根據(jù)題意列出算式；

③計算結果，根據(jù)結果解答實際問題．

8.整式加減的化簡求值：

給出整式中字母的值，求整式的值的問題，一般要先化簡，再把給定字母的值代入計算，得出整式的值，

不能把數(shù)值直接代入整式中計算．

【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題

①整式的加減的實質就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．

②去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；二是當括號外是“-”時，去

括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號．

1．（2024秋?茂南區(qū)期中）單項式﹣3a2b3的次數(shù)、系數(shù)分別是（）

2

A．5，﹣3B．3，﹣3C．6，﹣3D．5，3

【分析】單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．根據(jù)單項式

系數(shù)、次數(shù)的定義求解即可．

【詳解】解：單項式﹣3a2b3的次數(shù)、系數(shù)分別是5，﹣3．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了單項式的次數(shù)和系數(shù)等知識，掌握單項式的相關定義是解題的關鍵．

2．（2024秋?沈陽月考）對于多項式6x2﹣3x+5，下列說法錯誤的是（）

A．多項式的次數(shù)是2

B．最高次項的系數(shù)是6

C．多項式的常數(shù)項是5

D．多項式的項分別是6x2，3x，5

【分析】多項式的次數(shù)、項、常數(shù)項及項的系數(shù)，幾個單項式的和叫做多項式，組成多項式的每個單項

式叫做多項式的項，不含字母的項叫常數(shù)項，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)；根據(jù)這些知識去

判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)題意可知，多項式的項分別是6x2，﹣3x，5，常數(shù)項是5，次數(shù)是2，最高次項的系數(shù)

是6，

A、B、C說法正確，不符合題意；

D說法錯誤，符合題意．

故選：D．

【點睛】本題考查了多項式的概念，掌握多項式的概念是關鍵．

3．（2024秋?廣西期中）對于多項式3x2y3+2y3﹣1下列說法正確的是（）

A．多項式的次數(shù)是5

B．它是三次三項式

C．常數(shù)項是1

D．多項式最高項的系數(shù)是2

【分析】根據(jù)多項式的相關知識判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)題意可知，多項式3x2y3+2y3﹣1的次數(shù)是5，是五次三項式，常數(shù)項是﹣1，最高項的

系數(shù)是3，

故選項A說法正確，符合題意．

故選：A．

【點睛】本題考查了多項式，掌握多項式相關的概念是解題的關鍵．

4．（2023秋?廣豐區(qū)期末）下列計算正確的是（）

A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+bB．2c2﹣c2＝2

C．x2y﹣4yx2＝﹣3x2yD．3a+2b＝5ab

3

【分析】根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結果，本題得以解決．

【詳解】解：∵﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，故選項A錯誤；

∵2c2﹣c2＝c2，故選項B錯誤；

∵x2y﹣4yx2＝﹣3x2y，故選項C正確；

∵3a+2b不能合并，故選項D錯誤；

故選：C．

【點睛】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的計算方法．

﹣

5．（2024秋?防城港期中）若單項式3xnymn與單項式5x3y2n的和是8xny2n，則m與n的值分別是（）

A．3，9B．9，3C．9，9D．3，3

【分析】根據(jù)同類項可以進行合并，再利用同類項的概念列出方程求解．

﹣

【詳解】解：根據(jù)題意可知，單項式3xnymn與單項式5x3y2n是同類項，

∴n＝3，m﹣n＝2n，

解得：m＝9，n＝3．

故選：B．

【點睛】本題考查了合并同類項，掌握同類項定義中的相同字母的指數(shù)相同是關鍵．

6．（2024秋?雁塔區(qū)校級期中）小剛做了一道數(shù)學題：“已知兩個多項式為A，B，求A+B的值，”他誤

將“A+B”看成了“A﹣B”，結果求出的答案是x﹣y，若已知B＝4x﹣3y，那么原來A+B的值應該是（）

A．5x﹣5yB．3x﹣2yC．4x﹣3yD．9x﹣7y

【分析】根據(jù)題意可知：A﹣B＝x﹣y，B＝4x﹣3y，然后即可求出A，再算A+B即可．

【詳解】解：由題意可得，

A﹣B＝x﹣y，B＝4x﹣3y，

∴A＝（x﹣y）+B

＝（x﹣y）+（4x﹣3y）

＝x﹣y+4x﹣3y

＝5x﹣4y，

∴A+B＝（5x﹣4y）+（4x﹣3y）

＝5x﹣4y+4x﹣3y

＝9x﹣7y，

故選：D．

【點睛】本題考查整式的加減，解答本題的關鍵是明確題意，求出A．

7．（2023秋?鶴城區(qū)校級期末）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．例如：3的“哈利

2

數(shù)”是，﹣2的“哈利數(shù)”是，已知a21?＝?3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈

221

=?2=

利數(shù)”2，?a34是a3的“哈利數(shù)”，…，以2此?(類?2推)，則2a2024＝（）

4

A．3B．﹣2C．D．

14

【分析】由題意可得：a1＝3，a2＝﹣2，a3，a24，a5＝3，由此可3知該組數(shù)是4個一循環(huán)，進而可

14

求解．

=2=3

【詳解】解：∵a1＝3，

∴a22，a3，

221

==?==

同理可2求?得3：a3，a24?(?，2)a5＝23，

14

==

由此可知該組數(shù)按2照3，﹣32，，，3，﹣2，，的規(guī)律4個一循環(huán)，

1414

∵÷＝，??

202445062323

∴a2024；

4

故選：．

=D3

【點睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律問題，解題的關鍵是理解“哈利數(shù)“．

8．（2024秋?東莞市期中）觀察下列一組圖形中點的個數(shù)，其中第①個圖形中共有4個點，第②個圖形中

共有12個點，第③個圖形中共有24個點，按此規(guī)律，第⑧個圖形有（）個點．

A．96B．112C．144D．160

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中點的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：由所給圖形可知，

第①個圖形中點的個數(shù)為：4＝4×1，

第②個圖形中點的個數(shù)為：12＝4×（1+2），

第③個圖形中點的個數(shù)為：24＝4×（1+2+3），

…，

所以第n個圖形中點的個數(shù)為4×（1+2+3+…+n）＝42n（n+1），

?(?+1)

當＝時，

n8×2=

2n（n+1）＝2×8×9＝144（個），

即第⑧個圖形中點的個數(shù)為144個．

故選：C．

【點睛】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)點的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．

9．（2024秋?郴州期中）多項式x2+xy2+xy3的次數(shù)為4．

【分析】根據(jù)多項式次數(shù)的定義求解．

5

【詳解】解：多項式x2+xy2+xy3中最高次項是xy3，次數(shù)是4．

故答案為：4．

【點睛】此題考查的是多項式的定義，多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，

就是這個多項式的次數(shù)．

﹣

10．（2024秋?海城市期中）若單項式3xby與﹣3xa3yb的和為0，則a﹣b＝3．

﹣

【分析】根據(jù)題意將3xby與﹣3xa3yb相加合并同類項得0，即可得出結論．

﹣

【詳解】解：∵3xby﹣3xa3yb＝0，

∴a﹣3＝b，b＝1，

解得：a＝4，b＝1，

∴a﹣b＝4﹣1＝3，

故答案為：3．

【點睛】本題考查合并同類項，熟練掌握同類項是所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項是解

題的關鍵．

11．（2024秋?宜春期中）若多項式（m﹣5）a|m|b﹣a5+6ab+8是一個關于a、b的五次三項式，則m的值為

5．

【分析】根據(jù)多項式的性質進行解答．多項式的次數(shù)是多項式中最高次項的次數(shù)，多項式的項數(shù)為組成

多項式的單項式的個數(shù)．

【詳解】解：∵多項式（m﹣5）a|m|b﹣a5+6ab+8是五次三項式，

∴m﹣5＝0，

∴m＝5．

故答案為：5．

【點睛】本題考查多項式的項數(shù)，次數(shù)的求解．多項式中含有單項式的個數(shù)即為多項式的項數(shù)，包含的

單項式中未知數(shù)的次數(shù)總和的最大值即為多項式的次數(shù)．

12．（2024秋?金臺區(qū)期中）若|x+y+2|+（xy﹣1）2＝0，則（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）的值為﹣5．

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．

【詳解】解：∵|x+y+2|+（xy﹣1）2＝0，

①

∴，

?+?+2=0

∴x+?y?＝?﹣12=，0x②y＝1，

∴（3x﹣xy+1）﹣（xy﹣3y﹣2）＝﹣2xy+3（x+y）+3＝﹣2×1+3×（﹣2）+3＝﹣5．

故答案為：﹣5．

【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質：掌握幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)分別等于0，并正確得出

未知數(shù)的值是解題的關鍵．

13．（2024秋?渭源縣月考）觀察下列單項式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第10個式子是

6

﹣512x10．

【分析】觀察所給單項式，發(fā)現(xiàn)其系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：由題知，

單項式的系數(shù)依次為：1，﹣2，4，﹣8，…，

﹣

所以第n個式子的系數(shù)為：（﹣1）n+1?2n1；

單項式的次數(shù)依次為：1，2，3，4，…，

所以第n個式子的次數(shù)為：n，

﹣

所以第n個式子可表示為：（﹣1）n+1?2n1?xn；

當n＝10時，

第10個式子是﹣512x10．

故答案為：﹣512x10．

【點睛】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及單項式，能根據(jù)所給單項式發(fā)現(xiàn)其系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律是

解題的關鍵．

14．（2024秋?白塔區(qū)校級月考）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為50，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出

的結果為25，第2次輸出的結果為32，…，則第2024次輸出的結果是8．

【分析】求出前幾次的輸出結果，得到從第4次開始，輸出結果以8，4，2，1四個數(shù)為一組，進行循環(huán)，

利用（﹣）÷＝，即可得出結果．

202434505??1

【詳解】解：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

第1次輸出的結果為25，

第2次輸出的結果為32，

第3次輸出的結果為，

1

第4次輸出的結果為32×2=16，

1

第5次輸出的結果為16×2=8，

1

第6次輸出的結果為8×2=4，

1

第7次輸出的結果為4×2=2，

1

第次輸出的結果為

882×2=1

第9輸出的結果為4，

7

第10次輸出的結果為2，

第11次輸出的結果為1，

，

?

從第4次開始，輸出結果以8，4，2，1四個數(shù)為一組，進行循環(huán)，

∵（﹣）÷＝，

202434505??1

∴第2024次輸出的結果與第4次相同．

故答案為：8．

【點睛】本題考查流程圖與代數(shù)式求值，數(shù)字類規(guī)律探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關鍵．

15．（2024秋?仁壽縣期中）化簡：

（1）4x2﹣8x+5﹣3x2+6x﹣2

（2）

2422

【分析】（）利用合并同類項的方法進行計算即可；

8???15(??+5??)+(5???2?)

（2）先去括號，再合并同類項即可．

【詳解】解：（1）原式＝（4x2﹣3x2）﹣（8x﹣6x）+（5﹣2）

＝x2﹣2x+3；

（2）原式＝8ab2﹣5ab﹣4ab2+5ab﹣2a2

＝4ab2﹣2a2．

【點睛】本題考查了整式的加減運算，熟練掌握整式加減運算的方法以及運算順序為解題關鍵．

16．（2024秋?沈陽月考）先化簡，再求值：，其中，．

21222321

【分析】先去括號，再合并同類項，最后再代入求值即可．

???(4??+3??)?2(???2??)?5???=?2?=4

【詳解】解：原式

212222

，=???4???3???2??+3???5??

52

當=?4??，?5??時，

1

?=?2?=4

52

?4???5??

5211

=?4×(?2)×4?5×(?2)×4

55

=?．4+2

5

【點睛】本題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握整式的加減﹣化簡求值的運算法則是解題的關鍵．

=4

17．（2024秋?路南區(qū)期中）已知多項式A＝2（﹣a+2）﹣2（4﹣b）﹣9．

（1）在化簡多項式A時，嘉嘉同學的解題過程如圖所示．在標出①②③④的幾項中出現(xiàn)錯誤的是

①，請你寫出正確的解答過程；

8

（2）淇淇說：“若給出a與b相等，即可求出多項式A的值．”你同意她的說法嗎？請做出判斷并按照

淇淇的說法進行計算．

【分析】（1）根據(jù)去括號法則可知①錯誤，再根據(jù)去括號法則進行計算求解即可；

（2）根據(jù)（1）的計算結果結合a＝b即可得到結論．

【詳解】解：（1）觀察嘉嘉的解題過程可知，出現(xiàn)錯誤的是①，原式是去括號時2a前面應該是負號．

故答案為：①．

正確的解答過程如下：

A＝2（﹣a+2）﹣2（4﹣b）﹣9

＝﹣2a+4﹣8+2b﹣9

＝﹣2a+2b﹣13；

（2）同意淇淇的說法，理由如下：

∵由（1）得，A＝﹣2a+2b﹣13，

∴當a＝b時，A＝﹣2a+2a﹣13＝﹣13．

【點睛】本題考查了整式的加減﹣化簡﹣求值，熟練掌握整式的加減運算法則是解題的關鍵．

18．（2024秋?官渡區(qū)校級期中）某班計劃買一些乒乓球和乒乓球拍，現(xiàn)了解情況如下：甲、乙兩家商店出

售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定價100元，乒乓球每盒定價25元．經(jīng)洽談后，甲

店每買一副球拍贈一盒乒乓球，乙店全部按定價的9折優(yōu)惠，該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于

5盒）．

（1）若該班需購買乒乓球x盒，用含x的式子分別表示在甲、乙兩家商店購買的費用；

（2）若購買40盒乒乓球時，去哪家商店購買更合算？

【分析】（1）在甲商店購買是5副球拍的錢加上（x﹣5）盒乒乓球的錢，在乙商店購買是5副球拍加上

x盒乒乓球的總價乘以0.9；

（2）求出當x＝40時，甲、乙兩商店需要的費用，比較誰更合算．

【詳解】解：（1）在甲商店買需要的費用是100×5+25（x﹣5）＝（25x+375）元，

在乙商店買需要的費用是（100×5+25x）×0.9＝（22.5x+450）元；

（2）當x＝40時，

甲：25×40+375＝1375（元），

乙：22.5×40+450＝1350（元），

因為1375＞1350，

所以去乙商店購買更合算．

【點睛】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)式求值的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出代數(shù)式．

9

19．（2023秋?魯山縣期末）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，交換十位數(shù)字和個位數(shù)字得到

的新數(shù)一定比原來的兩位數(shù)大．（1）請用代數(shù)式表示這兩個兩位數(shù)．

（2）新的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大多少？（寫出計算過程）

【分析】（1）設原數(shù)的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字是（x+3），再利用兩位數(shù)的表示方法表示原來的兩

位數(shù)與新的兩位數(shù)即可；

（2）先列式，再去括號，合并同類項即可．

【詳解】解：（1）設原數(shù)的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字是（x+3），

原兩位數(shù)是：10x+（x+3）＝11x+3，

新的兩位數(shù)是：10（x+3）+x＝11x+30；

（2）10（x+3）+x﹣[10x+（x+3）]

＝10x+30+x﹣（11x+3）

＝27．

【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運算，理解題意，列出正確的運算式是解本題的關鍵．

20．（2024秋?雁塔區(qū)校級月考）閱讀下面的文字，完成后面的問題：

我們知道：；；．

11111111

把這三個式子列邊=分1別?相加得：=?=?

1×222×3233×434

．

1111111113

++=1?+?+?=1?=

（1×12）猜2想×3并寫3出×42233．444

111

=?

（2）直接寫出下列?×各(?式+1的)計算?結果?：+1

；

11114

+++=

1×22×33×44×55．

1111?

+++?+=

（1×32）探2究×3并計3算×4：?×(?+1)?+1的值．

1111

【分析】（）根據(jù)所給的+等式進+行分析+即?可+；

12×44×66×82022×2024

（2）利用（1）的結論進行求解即可；

（3）仿照（2）的解答方式進行求解即可．

【詳解】解：（1）∵；；，…，

11111111

=1?=?=?

∴1；×222×3233×434

111

=?

故答?×案(?為+1：)??；+1

11

?

（2）??+1

1111

+++

1×22×33×44×510

＝1

1111111

＝1?2+2?3+3?4+4?5

1

?；5

4

=5

1111

+++?+

＝1×122×33×4?×(?+1)

111111111

＝1?2+2?3+3?4+4?5+?+???+1

1

??；+1

?

故=答?+案1為：；；

4?

（3）5?+1

1111

+++?+

2×44×66×82022×2024

111111111111

=2×（(2?4)+2×(4?6)+2×(6?8)+?+2）×(2022?2024)

111111111

=×?+?+?+?+?

224466820222024

111

=2×(2?2024)

11011

=2×2．024

1011

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規(guī)律．

=4048

21．（2024秋?大觀區(qū)校級期中）某同學在完成化簡：2（﹣4a+3b）﹣3（a﹣2b）的過程中，具體步驟如下：

解：原式＝（﹣8a+6b）﹣（3a﹣6b）①

＝﹣8a+6b﹣3a+6b②

＝﹣5a+12b③

以上解題過程中，出現(xiàn)錯誤的步驟是（）

A．①B．②C．③D．①，②，③

【分析】根據(jù)去括號及整式的加減運算可進行求解．

【詳解】解：原式＝（﹣8a+6b）﹣（3a﹣6b）

＝﹣8a+6b﹣3a+6b

＝﹣11a+12b，

∴出現(xiàn)錯誤的步驟是③，

故選：C．

11

【點睛】本題主要考查整式的加減運算，熟練掌握整式的加減運算是解題的關鍵．

22．（2023秋?懷寧縣期末）9月16號，杭州亞運村舉行開村儀式暨中國體育代表團歡迎儀式，有n位運

動員乘坐m輛車，若每輛車載30人，則還有7人不能上車；若每輛車載35人，則最后一輛車空了6個

座位．①）運動員有（30m+7）人；②運動員有（35m﹣6）人；③運動員乘坐的車有輛；④運動

?+7

員乘坐的車有輛．其中正確的是（）30

?+6

．．．．

A①②③35B①②④C①③④D②③④

【分析】依據(jù)題意，對每個結論解析逐一判斷即可得出結論．

【詳解】解：∵每輛車載30人，則還有7人不能上車，

∴運動員有（30m+7）人，

∴①正確；

∵每輛車載35人，則最后一輛車空了6個座位，

∴運動員有（35m﹣6）人，

∴②正確；

∵每輛車載30人，則還有7人不能上車，

∴運動員乘坐的車有輛，

??7

∴不正確；

③30

∵每輛車載35人，則最后一輛車空了6個座位，

∴運動員乘坐的車有輛．

?+6

∴正確．

④35

∴正確的是：①②④．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，整式的加減，利用題干中的數(shù)量關系正確列出代數(shù)式是解題的關鍵．

23．（2024秋?合肥期中）如果M＝x2+3x﹣4，N＝﹣2x2+3x﹣5，那么M與N的大小關系是（）

A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．無法確定

【分析】先求出M﹣N的值，再根據(jù)求出的結果比較即可．

【詳解】解：∵M＝x2+3x﹣4，N＝﹣2x2+3x﹣5，

∴M﹣N＝（x2+3x﹣4）﹣（﹣2x2+3x﹣5）

＝x2+3x﹣4+2x2﹣3x+5

＝3x2+1，

∵3x2+1＞0，

∴M＞N．

故選：A．

12

【點睛】本題考查了整式的加減，能選擇適當?shù)姆椒ū容^M、N的大小是解此題的關鍵．

24．（2024秋?威遠縣校級期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡|﹣a|+|1﹣b|﹣|a﹣b|＝

﹣1．

【分析】根據(jù)數(shù)軸可確定a、b兩數(shù)的符號及大小，進而確定化簡式子中各個絕對值中代數(shù)式的符號，進

而可化簡絕對值．

【詳解】解：由數(shù)軸上a，b的位置可知：﹣1＜a＜0＜1＜b，

∴1﹣b＜0，a﹣b＜0，

∴|﹣a|+|1﹣b|﹣|a﹣b|

＝﹣a﹣（1﹣b）+（a﹣b）

＝﹣a﹣1+b+a﹣b

＝﹣1．

故答案為：﹣1．

【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的化簡，整式的加減，解題的關鍵是掌握相關知識．

25．（2023秋?紅旗區(qū)校級期末）已知關于x的多項式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2項，那

么a的值是．

4

2

【分析】先去括3號、合并同類項，然后根據(jù)題意令x的系數(shù)為0即可求出a的值．

【詳解】解：6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）

＝6x2﹣2x2+9x﹣3ax2+5x﹣2

＝（4﹣3a）x2+14x﹣2，

∵關于x的多項式6x2﹣2x2+9x﹣（3ax2﹣5x+2）的取值不含x2項，

∴4﹣3a＝0，

解得：．

4

故答案為?=：3．

4

【點睛】本題考查整式加減：不含某項問題，掌握去括號法則，合并同類項和不含某項即化簡后，令其

3

系數(shù)為0是解題的關鍵．

26．（2024秋?龍亭區(qū)校級期中）對于有理數(shù)a，b，定義a*b＝3a+2b，則（[x+y）*（x﹣y）]*2x化簡19x+3y．

【分析】根據(jù)新定義得到（x+y）*（x﹣y）＝3（x+y）+2（x﹣y），則根據(jù)整式的加減計算法則可求出

（x+y）*（x﹣y）＝5x+y，再計算出（5x+y）*2x的結果即可得到答案．

【詳解】解：∵a*b＝3a+2b，

∴（x+y）*（x﹣y）

＝3（x+y）+2（x﹣y）

13

＝3x+3y+2x﹣2y

＝（3x+2x）+（3y﹣2y）

＝5x+y，

∴[（x+y）*（x﹣y）]*2x

＝（5x+y）*2x

＝3（5x+y）+4x

＝15x+3y+4x

＝19x+3y，

故答案為：19x+3y．

【點睛】本題考查了整式的加減計算，新定義，熟練掌握整式加減運算法則是解題的關鍵．

27．（2023秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】“整體思想”是數(shù)學解題中一種重要的思想方法，它在多項式的

化簡與求值中應用極為廣泛．下題是華師版七年級上冊數(shù)學教材第117頁的部分內(nèi)容．

代數(shù)式x2+x+3的值為7，則代數(shù)式2x2+2x﹣3的值為_____．

【閱讀理解】小明在做作業(yè)時采用的方法如下：由題意得，x2+x+3＝7則有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）

﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代數(shù)式2x2+2x﹣3的值為5．

【方法運用】

（1）若代數(shù)式x2+x+1的值為15，求代數(shù)式﹣2x2﹣2x+3的值．

（2）若x＝2時，代數(shù)式ax3+bx+4的值為11，當x＝﹣2時，求代數(shù)式ax3+bx+3的值．

【拓展應用】

（3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1．求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值．

【分析】（1）讀懂題意，利用整體代入思想，化簡求值即可得到答案；

（2）將x＝2代入ax3+bx+4＝11，得到8a+2b＝7；再將x＝﹣2代入ax3+bx+3化簡求值，整體代入即可

得到答案；

（3）分析所求代數(shù)式與條件之間的關系，化簡，代值求解即可得到答案．

【詳解】解：（1）∵x2+x+1＝15，

∴x2+x＝14，

∴﹣2x2﹣2x+3＝﹣2（x2+x）+3＝﹣2×14+3＝﹣25；

（2）當x＝2時，ax3+bx+4＝8a+2b+4＝11，

∴8a+2b＝7，

∴當x＝﹣2時：ax3+bx+3＝﹣8a﹣2b+3＝﹣（8a+2b）+3＝﹣7+3＝﹣4；

（3）∵3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1，

∴6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）

＝6m﹣6n﹣2n+2mn

＝6m﹣8n+2mn

14

＝2（3m﹣4n）+2mn

＝2×（﹣3）+2×（﹣1）

＝﹣8．

【點睛】本題考查整式的化簡求值，涉及整式運算、整體代入求值等知識，熟練掌握整式運算及整體代

入思想是解決問題的關鍵．

28．（2024秋?榆中縣期中）（閱讀理解）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對

應關系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結合”的基礎．

例如：從“形”的角度看：|3﹣1|表示3與1差的絕對值，也可理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距

離：|3+1|可以看作|3﹣（﹣1）|，表示3與﹣1的差的絕對值，也可理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點之

間的距離．

從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數(shù)式表示為：|4﹣（﹣3）|．

根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：

（1）數(shù)軸上表示3和8的兩點之間的距離是5；數(shù)軸上表示3和﹣3的兩點之間的距離是6；

（2）①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點之間的距離是3，求x的值；

②若數(shù)軸上某動點表示的數(shù)為x，當式子|x﹣1|+|x+2|取得最小值時，求相應整數(shù)x的值．

【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和絕對值的定義可以解答本題；

（2）①根據(jù)絕對值的定義可以解答本題；

②根據(jù)絕對值的定義可以解答本題；

③根據(jù)絕對值的定義和分類討論的數(shù)學思想可以解答本題．

【詳解】解：（1）|3﹣8|＝|﹣5|＝5，|3﹣（﹣3）|＝|3+3|＝6，

故答案為：5，6；

（2）①∵|x﹣（﹣2）|＝3，

∴|x+2|＝3，

∴x+2＝3或x+2＝﹣3，

解得，x＝1或x＝﹣5；

②）∵|x﹣1|+|x+2|表示數(shù)x到﹣2和1的距離，

∴當x在﹣2和1之間時，有最小值，

∴相應的整數(shù)x的值是：﹣2，﹣1，0，1．

【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值，解答本題的關鍵是明確絕對值的定義，利用絕對值的知識和分類討論

的數(shù)學思想解答．

15

29．（2024秋?西山區(qū)校級期中）定義：三角表示，表示xz﹣wy，則

1??32

12

的結果為（）?????×

32??

A．3m2n﹣mn2B．3m3n+mn2C．3m2n+mn2D．3m3n﹣mn2

【分析】根據(jù)新定義的運算方法，得到算式?（3m2﹣2n），化簡可得到結果．

11

【詳解】解：根據(jù)題意，可得：×3??×

32

結果應化為：?（3m2﹣2n）

11

2×3??×

＝mn（3m﹣n3）2

＝3m3n﹣mn2．

故選：D．

【點睛】本題考查了新定義，涉及到整式的混合運算，熟練掌握整式的運算法則是解題的關鍵．

30．（2024秋?思明區(qū)校級期中）某數(shù)學老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：

第一步：發(fā)給A，B，C三個同學相同數(shù)量的撲克牌（假定每個同學的撲克牌數(shù)量超過四張）；

第二步：A同學拿出三張撲克牌給B同學；

第三步：C同學拿出四張撲克牌給B同學；

第四步：A同學手中此時有多少張撲克牌，B同學就拿出多少張撲克牌給A同學．

最終B同學手中剩余的撲克牌張數(shù)情況是（）

A．張數(shù)確定，一定是3張

B．無法確定，但一定比第一步發(fā)放的撲克牌張數(shù)多

C．無法確定，但一定比A同學多

D．張數(shù)確定，一定是10張

【分析】把每個同學的撲克牌數(shù)量用相應的式子表示出來，列式表示變化情況，即可得到結果．

【詳解】解：設每個同學的撲克牌數(shù)量都是x，

第一步，A，B，C每人手中有牌x張，

第二步，A同學的撲克牌數(shù)量是x﹣3，B同學的撲克牌數(shù)量是x+3，

第三步，C同學的撲克牌數(shù)量是x﹣4，B同學的撲克牌數(shù)量是x+3+4，

第四步，A同學的撲克牌數(shù)量是2（x﹣3），B同學的撲克牌數(shù)量是（x+3+4）﹣（x﹣3），

∴B同學手中剩余的撲克牌數(shù)量（x+3+4）﹣（x﹣3）＝x+3+4﹣x+3＝10，

故選：D．

【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的加減，根據(jù)題意找出數(shù)量關系是解題的關鍵．

31．（2022秋?拱墅區(qū)校級期末）三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別放置于相同的長方形

中，它們既不重疊也無空隙，記圖1陰影部分周長之和為m，圖2陰影部分周長為n，要求m與n的差，

16

只需知道一個圖形的邊長，這個圖形是（）

A．整個長方形B．圖①正方形

C．圖②正方形D．圖③正方形

【分析】設三個正方形①、②、③的邊長分別為a、b、c，然后分別表示陰影部分的邊長和周長即可

解決．

【詳解】解：設三個正方形①、②、③的邊長分別為a、b、c，

則陰影M的一組鄰邊的邊長分別為：a﹣c、c，

陰影N的一組鄰邊的邊長分別為：b、a+c﹣b，

∴圖1陰影部分周長之和為m＝2（a﹣c+c）+2（b+a+c﹣b）＝4a+2c，

則陰影Q的一組鄰邊的邊長分別為：a+b﹣c、a+c﹣b，

∴圖2陰影部分周長為n＝2（a+b﹣c+a+c﹣b）＝4a，

∴m﹣n＝4a+2c﹣4a＝2c，與③的邊長有關，

故選：D．

【點睛】本題考查列代數(shù)式．長方形的周長公式以及觀察圖形發(fā)現(xiàn)邊長之間的關系是解決問題的關鍵．

32．（2024春?自貢期末）如圖，兩個形狀、大小完全相同的大長方形內(nèi)放入五個如圖③的小長方形后分

別得到圖①、圖②，已知大長方形的長為a，則圖①中陰影部分的周長與圖②中陰影部分的周長的差

是﹣0.8a．

（用含a的式子表示）

【分析】先由圖①②得出大長方形的長、寬與小長方形的長、寬之間的關系，再表示出兩個陰影部分

17

的周長，求出周長差．

【詳解】解：設大長方形的寬為b，小長方形的長為x，寬為y，

由①得，a＝3y+x，x＝2y，

∴x＝0.4a，y＝0.2a，

由②得，b＝3y＝0.6a，

設圖①陰影部分周長為C1，圖②陰影部分周長為C2，

∴C1＝2a+2（b﹣x）＝2a+2（0.6a﹣0.4a）＝2.4a，

C2＝2（a﹣x）+2×3y+2×2y＝2（a﹣0.4a）+6×0.2a+4×0.2a＝3.2a，

∴C1﹣C2＝2.4a﹣3.2a＝﹣0.8a．

故答案為：﹣0.8a．

【點睛】本題以求陰影部分面積差為背景，實際考查了學生的看圖理解能力和整式的加減運算，解題的

關鍵是由圖①②找出小長方形的長和寬與a之間的關系，然后通過加減計算出陰影部分的面積，最后

得出面積差．

33．（2024秋?沙坪壩區(qū)期中）若一個三位自然數(shù)，十位上的數(shù)字恰好等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之

和，則稱這個三位數(shù)為“和鳴數(shù)”．例如：在自然數(shù)341中，4＝3+1，則341是“和鳴數(shù)”．若一個“和

鳴數(shù)”為，則這個數(shù)為473；能被13整除的最大的“和鳴數(shù)”是572．

【分析】根?7據(jù)3“和鳴數(shù)”的定義，求出a的值，設“和鳴數(shù)”百位上的數(shù)字為a，個位上的數(shù)字為b，則

十位上的數(shù)字為a+b，進而得到這個數(shù)為：100a+10a+10b+b，根據(jù)這個數(shù)能被13整除，進行求解即可．

【詳解】解：∵a＝7﹣3＝4，

∴這個數(shù)為473；

設“和鳴數(shù)”百位上的數(shù)字為a，個位上的數(shù)字為b，則十位上的數(shù)字為a+b，

∴這個數(shù)為：100a+10a+10b+b＝110a+11b＝104a+6a+13b﹣2b＝13（8a+b）+2（3a﹣b），

∵3a﹣b能被13整除，

當3a﹣b≥26時，3a≥26+b≥26，，

26

又∵≤≤，

1a9?≥3

∴a＝9，此時這個“和鳴數(shù)”只能是990，不是13的倍數(shù)，舍去，

∴3a﹣b＝13或0，

∵1≤a+b≤9，1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b都是整數(shù)，

∴或或，

?=5?=2?=1

∴能被整除的“和鳴數(shù)”是，，．

?=213?=6?=3572286143

故答案為：473；572．

【點睛】本題考查整式的加減運算，正確進行計算是解題關鍵．

34．（2024秋?江北區(qū)校級月考）學了相反數(shù)后，數(shù)學老師在黑板上寫下了1，2，3，…，40連續(xù)40個整

18

數(shù)．全班正好有40個同學，老師依次邀請每一個同學來到黑板前進行如下操作：第一個同學把黑板上所

有能被1整除的數(shù)改寫成原數(shù)的相反數(shù)；第一個同學改寫完后，第二個同學把此時黑板上的40個數(shù)中能

被2整除的數(shù)改寫成它的相反數(shù)；第二個同學操作完后，第三個同學再把此時黑板上能被3整除的數(shù)改

寫成它的相反數(shù)，…，以此類推，直到第40個同學在黑板上把前一個同學改寫后的40個數(shù)中能被40整

除的數(shù)改寫成它的相反數(shù)，游戲結束．最后，黑板上出現(xiàn)的所有的負數(shù)的和為﹣91．

【分析】找出1，2，3，…，40連續(xù)40個整數(shù)中含有奇數(shù)個因數(shù)的數(shù)（完全平方數(shù)），可得出游戲結束

后黑板上出現(xiàn)的負數(shù)，再將其相加，即可求出結論．

【詳解】解：∵從1到40中，只有1，4，9，16，25，36含有奇數(shù)個因數(shù)，

∴游戲結束后，黑板上出現(xiàn)的負數(shù)是﹣1，﹣4，﹣9，﹣16，﹣25，﹣36，

∴（﹣1）+（﹣4）+（﹣9）+（﹣16）+（﹣25）+（﹣36）＝﹣91．

故答案為：﹣91．

【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及數(shù)的整除，利用完全平方數(shù)有奇數(shù)個因數(shù)，來解決問題

是解題的關鍵．

35．（2024秋?洛龍區(qū)期中）材料閱讀：

小學階段我們學習過被3整除的數(shù)的規(guī)律，初中階段可以論證結論的正確性．以三位數(shù)為例，如

果一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a，b，c，則通常記這個三位數(shù)為，若a+b+c

可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除．論證過程如下：???

，顯然99a+9b能夠被3整除，因此，如果a+b+c

?可?以?=被1300整?除+，10那?么+（?=99(a9+99?b）++9（?)a++b(+?c+）?就+能?被)3整除，即就能被3整除．

應用材料解答下列問題：???

（1）是一個三位數(shù)，這個三位數(shù)能夠被9整除需要滿足的條件是：a+b+c可以被9整除；

（2）???是一個三位數(shù)，猜想這個三位數(shù)滿足什么條件時，它可以被5整除，并說明理由；

（3）???是一個四位數(shù)，直接寫出這個四??位?數(shù)滿足什么條件時它能夠被4整除．

【分析?】??（?1）把三位數(shù)化為9（11a+b）+（a+b+c），根據(jù)整除的性質得出結論；

（2）把三位數(shù)化為10（10a+b）+c，根據(jù)整除的性質得出結論；

（3）把四位數(shù)化為4（250a+25b）+10c+d，根據(jù)整除的性質得出結論．

【詳解】解：（1）100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c）＝9（11a+b）+（a+b+c），

∴這個三位數(shù)能夠被??9?整=除需要滿足的條件是a+b+c可以被9整除，

故答案為：a+b+c可以被9整除；

（2）100a+10b+c＝10（10a+b）+c，

∵10（?1?0?a=+b）能被5整除，

∴當c能被5整除時，即c＝0或5時，能被5整除；