PAGE1專題21直線與圓的位置關(guān)系（13大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：12大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)1.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相離．由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么知識點(diǎn)2.切線的判定定理和性質(zhì)定理（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．（3）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（5）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．歸納總結(jié)：切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.知識點(diǎn)3.切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．歸納總結(jié)：切線長定理的一個基本圖形如圖所示其中包含的其他結(jié)論有：(1)三組垂直線段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP:(2)三組全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;(3)兩組相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE;(4)兩個等腰三角形：△OAB和△PAB.知識點(diǎn)4.三角形的內(nèi)切圓1.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2．三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點(diǎn)歸納：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.【類型1】直線與圓的位置關(guān)系1．（24-25九年級上·廣東江門·期中）若半徑為的圓，其圓心到直線的距離是，則直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，先確定圓的半徑為，而圓心到直線的距離為，即圓心O到直線的距離小于圓的半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到直線與圓相交，則直線與圓有兩個交點(diǎn)．【詳解】解：∵圓的半徑為，圓心到直線的距離為，∴圓心到直線的距離圓的半徑，∴直線與圓相交，故選：B．2．（24-25九年級下·河北秦皇島·階段練習(xí)）已知直線l與圓O相交，點(diǎn)P在直線l上，若P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離等于圓O的半徑，則點(diǎn)P的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．3個以上【答案】B【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵直線l與圓O相交，∴直線l與圓O有兩個公共點(diǎn)，這兩個公共點(diǎn)到O點(diǎn)的距離等于圓O的半徑，故選B，3．（2025九年級下·浙江·專題練習(xí)）在中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫，根據(jù)下列條件，分別求出的取值范圍．(1)邊與相離；(2)邊與相切；(3)邊與相交．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．（1）過作于，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)三角形的面積公式得到的長，然后根據(jù)圓心到的距離與半徑的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）解法同（1），邊與相切時，；（3）解法同（1），邊與相交時，．【詳解】（1）解：如圖，過作于，∵，∴，∵，∴，∴直線與相離，則的取值范圍是；（2）解：直線與相切，則的值是；（3）解：直線與相交，則的取值范圍是．【類型2】已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑4．（24-25九年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，若與直線相離，則r的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及勾股定理．根據(jù)題意畫出草圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求出，再根據(jù)直線與圓相離得到，最后利用等面積法求解，即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，且與直線相離，，，解得，故選：C．5．（22-23九年級下·上海·階段練習(xí)）如果一圓的半徑為，圓心到直線的距離為，且這個圓與這條直線有公共點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)這個圓與這條直線有公共點(diǎn)，可判斷出直線與圓相切或相交，即可得到與的大小關(guān)系．【詳解】解：這個圓與這條直線有公共點(diǎn)，直線與圓相切或相交，圓心到直線的距離為，，故選：B．6．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）已知的斜邊，直角邊，以點(diǎn)為圓心作．(1)當(dāng)半徑為________時，直線與相切；(2)當(dāng)與線段只有一個公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為________；(3)當(dāng)與線段沒有公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為__________．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（）如圖作于，求出的值即可判斷；（）當(dāng)與線段只有一個公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為或；（）當(dāng)與線段沒有公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為或，本題考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，等面積法，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖作于，

在中，，，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴當(dāng)半徑時，直線與相切，故答案為：；（2）觀察圖形可知，當(dāng)與線段只有一個公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為或，故答案為：或；（3）觀察圖形可知，當(dāng)與線段沒有公共點(diǎn)時，半徑的取值范圍為或，故答案為：或．【類型3】圓平移到與直線相切時滿足的條件7．（24-25九年級上·四川南充·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相切，則平移的距離為（

）A．1 B．1或5 C．3 D．3或5【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圓與直線相切時，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．分兩種情況討論：位于軸左側(cè)和位于軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】解：的圓心P的坐標(biāo)為，，的半徑為2，，，，當(dāng)位于軸左側(cè)且與軸相切時，平移的距離為1，當(dāng)位于軸右側(cè)且與軸相切時，平移的距離為5，平移的距離為或，故選：B．8．（22-23九年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t，當(dāng)與y軸相切時，t的值為（

）A． B．1 C．或 D．1或3【答案】C【分析】當(dāng)圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時，直線與圓相切，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)?shù)膱A心P在y軸左側(cè)時，P到y(tǒng)軸距離時，⊙P與y軸相切，∴移動時間（秒）；（2）當(dāng)?shù)膱A心P在y軸右側(cè)時，P到y(tǒng)軸距離時，與y軸相切，∴移動時間（秒）．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑．9．（2025九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)O，，半徑為的的圓心在直線上，開始時，．如果以的速度向右運(yùn)動，那么當(dāng)?shù)倪\(yùn)動時間滿足條件時，與直線相交．【答案】【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，分當(dāng)點(diǎn)P在射線OA和點(diǎn)P在射線OB兩種情況進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．求得當(dāng)位于點(diǎn)O的左邊與CD相切時t的值和位于點(diǎn)O的右邊與CD相切時t的值，兩值之間即為相交．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在射線時，與相切，如圖，過P作于E，∴，∵，∴，∴的圓心在直線上向右移動了后與相切，∴移動所用的時間（秒）；當(dāng)點(diǎn)P在射線時，與相切，如圖，過P作與F，∴，∵，∴，∴的圓心在直線上向右移動了后與相切，∴移動所用的時間（秒）．∴當(dāng)?shù)倪\(yùn)動時間滿足條件時，與直線相交．故答案為：．【類型4】切線的判定的認(rèn)識10．（2025·江蘇無錫·模擬預(yù)測）下列判斷正確的是（

）A．同弧或等弧所對的圓心角相等 B．三點(diǎn)確定一個圓C．長度相等的弧是等弧 D．垂直于半徑的直線是圓的切線【答案】A【分析】本題主要考查了等弧的定義，弧與圓心角之間的關(guān)系，確定圓的條件，切線的定義，分別根據(jù)圓的確定條件，圓周角定理，圓的切線的判定，等弧的概念依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、同弧或等弧所對的圓心角相等，原說法正確，符合題意；B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，原說法錯誤，不符合題意；C、能夠完全重合的弧是等弧，長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，不符合題意；D、經(jīng)過半徑外端且與半徑垂直的直線為圓的切線，原說法錯誤，不符合題意；故選：A．11．（24-25九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）下列命題：①等弧所對的弦相等；②垂直于弦的直線平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等；④直徑所對的圓周角是直角；⑤垂直于半徑的直線是圓的切線．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要考查了圓周角、垂徑定理、切線等知識，熟練掌握圓的相關(guān)知識和定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)“在等圓或同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，相等的弧所對的圓心角相等”、垂徑定理、直徑所對的圓周角是直角、切線的定義，逐一分析判斷即可．【詳解】解：等弧所對的弦相等，說法①正確；垂直于弦的直徑平分弦，故說法②錯誤；同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法③錯誤；直徑所對的圓周角是直角，說法④正確；垂直于半徑且垂足在圓上的直線是圓的切線，故說法⑤錯誤．綜上所述，正確的命題有①④，共計2個．故選：C．12．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，和直線，直線在同一平面內(nèi)，是的直徑，直線是的切線，直線經(jīng)過點(diǎn)，下列條件不能判定直線與相切的是（

）A． B．C．與只有一個公共點(diǎn) D．點(diǎn)到上某點(diǎn)的距離等于半徑【答案】D【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線的判定定理“經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是的直徑，且是的切線又直線與相切故選項(xiàng)A、B可以判定，不符合題意；C、根據(jù)圓的切線的定義，可知與圓僅有一個公共點(diǎn)的直線是切線，選項(xiàng)C可以判定，不符合題意；D、根據(jù)與圓心的距離等于半徑的直線為圓的切線，選項(xiàng)D不可判定，符合題意；故選：D．【類型5】切線的判定條件13．（23-24九年級上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，D是外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為E，連接．若使切于點(diǎn)C，添加的下列條件中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定即可得到答案．【詳解】解：A、∵，∴，當(dāng)時，則，即，∴切于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵，∴，則，∵，∴，當(dāng)時，則，即，∴切于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)時，，∵，∴，∴，即，∴切于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、當(dāng)時，由得到，∴是等腰三角形，無法確定，∴不能得到切于點(diǎn)C，該選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，熟記圓的切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．14．（17-18九年級下·全國·期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．15．（21-22九年級上·北京·期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．【類型6】證明直線與圓相切16．（19-20九年級上·福建福州·期中）如圖,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分線交BC于D,以D為圓心,DB長為半徑作⊙D．求證:AC與⊙D相切.

【答案】詳見解析【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半徑），即可得出AC是⊙D的切線．【詳解】證明：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，如圖所示：∵AB為⊙D的切線，∴∠B=90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF，∴AC與⊙D相切．

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．17．（2025·江蘇·二模）如圖，在中，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：是的切線．【答案】見解析【分析】本題考查切線的判定、等弧所對的圓周角相等、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解答的關(guān)鍵．連接，先證明得到，再利用平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用切線的判定定理可得結(jié)論．【詳解】證明：連接，∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又為的半徑，∴是的切線．18．（2025·四川眉山·一模）如圖，為的直徑，取的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)D，D在的上方，連接、，點(diǎn)E在線段的延長線上，且．(1)求的度數(shù)；(2)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)與的位置關(guān)系是相切，理由見解析【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到．推出是等邊三角形．得到，再結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到．由垂直的定義得到．推出是的切線．【詳解】（1）解：如圖，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，；（2）解：與的位置關(guān)系是相切，理由如下：由（1）知，，，，是的切線．19．（2025·山東臨沂·一模）如圖，內(nèi)接于，是上一點(diǎn)，．是外一點(diǎn)，，，連接．(1)若，，求的長；(2)求證：是的切線．【答案】(1)4(2)見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，掌握切線的判定是關(guān)鍵．（1）證明，得到，即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，可得，，，所以，結(jié)合切線的判定即可求解．【詳解】（1）解：，，即，又，，，，；（2）證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接，是的直徑，，，∵，∴，由（1）知∴，，又，，，，，是的切線．【類型7】切線的性質(zhì)20．（2025·山西·模擬預(yù)測）如圖，與的邊相切于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．點(diǎn)為優(yōu)弧上的點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)得到即可得到根據(jù)圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接．與的邊相切于點(diǎn)，，，，，；故選：B．21．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，過外一點(diǎn)作圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，為直徑，設(shè)，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，連接，由切線的性質(zhì)可得，則由四邊形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵都是的切線，∴，∴，∵為直徑，∴，故答案為：．22．（2025·湖南·中考真題）如圖，的頂點(diǎn)，在上，圓心在邊上，，與相切與點(diǎn)，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由切線的性質(zhì)得到，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）由等邊對等角得到，再由三角形內(nèi)角和定理可得，則可證明，進(jìn)而可證明．【詳解】（1）解：∵與相切與點(diǎn)，∴，∴，∵，∴;（2）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．23．（24-25九年級下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖中，，平分交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若，，試求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了圓與三角形的綜合，角平分線性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，一元一次方程解決實(shí)際問題等知識點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得，得點(diǎn)在上，即得與相切；（2）根據(jù)勾股定理求得，表示出，根據(jù)切線性質(zhì)定理表示出所需要的邊，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖，作于點(diǎn)，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，是的半徑，，點(diǎn)在上，是的半徑，且，與相切．（2）解：，，，，，，是的半徑，且，是的切線，，，，，，，，的長為3．【類型8】切線長定理24．（2024·西藏日喀則·二模）如圖，P為外一點(diǎn)，，分別切于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】本題考查了切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．利用切線長定理即可直接得出答案．【詳解】解：由切線長定理可知：，故選：．25．（24-25九年級上·北京石景山·期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，．若，，則的周長為（

）A．16 B．23 C．25 D．32【答案】D【分析】本題考查了切線長定理，由切線長定理得，，，即可求解；掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，，，，的周長為：；故選：D．26．（19-20九年級上·貴州黔西·期末）如圖，分別切于點(diǎn)切于點(diǎn)C，分別交于點(diǎn)M，，若，則的周長是．【答案】/15厘米【分析】本題考查切線長定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這兩條切線的長度相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理可知，，從而可求出，即可求解．【詳解】解：∵切于點(diǎn)C，∴，，∴．故答案為：．【類型9】有關(guān)切線長定理的計算與證明27．（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，是⊙O的直徑，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得到，利用互余關(guān)系求出的度數(shù)，利用切線長定理，得到是等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是⊙O的切線，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和切線長定理．熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長定理是解題的關(guān)鍵．28．（18-19九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．(1)求⊙O的直徑BE的長；(2)計算△ABC的面積．【答案】（1）BE＝6；(2)S△ABC＝24..【分析】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)得OD⊥AC，，在Rt△ODA中運(yùn)用勾股定理可以求出半徑OD，即可求得直徑BE的長；（2）由切線長定理知，CD=BC，在Rt△ABC中運(yùn)用勾股定理可以求出BC，則可由直角三角形的面積公式求得△ABC的面積．【詳解】（1）連接OD，∴OD⊥AC∴△ODA是直角三角形設(shè)半徑為r∴AO＝r＋2∴解之得：r＝3∴BE＝6(2)∵∠ABC＝900∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切線∵CD切⊙O于D∴CB＝CD令CB＝x∴AC＝x＋4，CB＝x，AB＝8∵∴x＝6.∴S△ABC＝24（cm2）.故答案為（1）BE＝6；(2)S△ABC＝24..【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，切線的定義，切線長定理.29．（18-19九年級·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn)，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．（Ⅰ）求證：OB⊥OC；（Ⅱ）求CG的長．【答案】（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）6.4cm【分析】（Ⅰ）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（Ⅱ）由勾股定理可求得BC的長，進(jìn)而由切線長定理即可得到CG的長.【詳解】解：（Ⅰ）連接OF；根據(jù)切線長定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴即∴OF＝4.8cm．∴＝6.4cm，∵CF、CG分別與⊙O相切于F、G，∴CG＝CF＝6.4cm．

【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用了切線長定理和切線的性質(zhì)定理．注意：求直角三角形斜邊上的高時，可以借助直角三角形的面積進(jìn)行計算．【類型10】三角形的內(nèi)切圓30．（23-24九年級上·廣西河池·期末）如圖，中，，點(diǎn)是的內(nèi)心．則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)心等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)心的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)心可得平分，平分，從而可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．【詳解】解：∵中，，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴平分，平分，∴，，∴，∴，故選：D．31．（24-25九年級上·江西新余·階段練習(xí)）如圖，為的內(nèi)切圓，點(diǎn)為切點(diǎn)，若，，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查切線長定理，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意，連接，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得四邊形是正方形，則，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，設(shè)的半徑為，則，運(yùn)用勾股定理可得，據(jù)此計算即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是直角三角形的內(nèi)切圓，點(diǎn)為切點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴矩形是正方形，∴，∵點(diǎn)為切點(diǎn)，∴，，設(shè)的半徑為，則，∴，∴或（舍去），∴，，∴的面積，故答案為：．32．（2025九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且，，，則的半徑是．【答案】/【詳解】設(shè)，利用切線長定理，構(gòu)建方程，解方程即可解決問題．本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基本知識．【解答】解：在中，∵，，，∴，∵為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，如圖，連接，∵，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，∴，則圓O的半徑為．故答案為：．33．（24-25九年級上·陜西西安·期中）如圖，在中，請利用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心O．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題主要考查了作三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，分別作的角平分線，二者所在的直線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．【詳解】解：如圖所示，分別作的角平分線，二者所在的直線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．34．（24-25九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖：如圖，已知．求作：的內(nèi)切圓．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且cmcm，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【分析】本題主要考查了尺規(guī)作三角形內(nèi)切圓，切線長性質(zhì)定理，對于（1），作的平分線，再作的平分線，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，即為所求作；對于（2），根據(jù)切線長定理得，再結(jié)合，可得答案．【詳解】解：（1）如圖所示．（2）如圖所示，∵的內(nèi)切圓與分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴．∵，∴，∴．則，∴，則，即，解得．35．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，中，，，與的三邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為2，求的周長．【答案】30【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)，由切線長定理得，根據(jù)題意可得四邊形為正方形，則，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周長．【詳解】解：連接，，設(shè)．由切線長定理，得．與的三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，，，∵∴四邊形為正方形．的半徑為2，，，．在中，，即，解得，，，的周長為．【類型11】切線的性質(zhì)與判定的計算與證明36．（21-22九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心，長為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長至點(diǎn)D，連接，，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線(2)若，，則的長【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論，全等三角形的性質(zhì)和判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，即，求得，得到，根據(jù)切線的判定定理得到答案；（2）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，為直徑，，即，又，，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，，，，，，，，，，，，，解得：．37．（22-23九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)P在上，且，點(diǎn)M是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)B，連接，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D．(1)求證是的切線(2)若，，連接，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，，可得，證明，又因?yàn)槭堑那芯€，所以，即可得是的切線；（2）根據(jù)，得出，因?yàn)?，由勾股定理得，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，可得和長度，即可得的長度．【詳解】（1）證明：如圖所示：連接，∵，∴，，∵，∴，∴，∵在與中，，∴，又∵是的切線，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，掌握并靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)．38．（21-22九年級上·福建莆田·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，D在AB上，C為⊙O上一點(diǎn)，AD＝AC，CD的延長線交⊙O于點(diǎn)E．(1)點(diǎn)F在CD延長線上，BC＝BF，求證：BF是⊙O的切線；(2)若AB＝2，，求∠CAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)45°【分析】（1）要證明BF是⊙O的切線，只要求出∠OBF=90°即可，先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠ACB=90°，再利用等邊對等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠F，即可解答；（2）根據(jù)直徑的長可得出半徑的長，所以連接OC，OE，然后利用勾股定理的逆定理證明△COE是直角三角形，最后利用圓周角定理即可解答．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ADC=∠BDF，∴∠ACD=∠BDF，∵BC=BF，∴∠BCD=∠F，∴∠BDF+∠F=90°，∴∠FBD=180°-（∠FDB+∠F）=90°，∵OB是圓O的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）連接CO，EO，∵AB=2，∴OC=OE=1，∵CE=，∴CO2+EO2=2，CE2=（）2=2，∴CO2+EO2=CE2，∴∠COE=90°，∴∠CAE=∠COE=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目個已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【類型12】切線的綜合問題39．（2022·河北石家莊·一模）如圖，AB是半圓形量角器的直徑，點(diǎn)O為半圓的圓心，DA與半圓O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P在半圓上，且點(diǎn)P對應(yīng)的示數(shù)為120°（60°），點(diǎn)C是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合）．連接DO交半圓O于點(diǎn)E，點(diǎn)E對應(yīng)的示數(shù)為60°（120°）．(1)連接PC，AC，求∠PCA的度數(shù)；(2)連接AP，PB，求證：△DAO≌△APB；(3)若直徑AB上存在一點(diǎn)M，使得EM＋PM的值最小，已知半圓O的半徑是2，直接寫出EM＋PM的最小值．【答案】(1)60°；(2)見解析；(3)4【分析】（1）連接AP，OP，根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半進(jìn)行解答；（2）連接AP，OP，先證ΔBOP是等邊三角形，再根據(jù)圓周角定理及切線的性質(zhì)得到∠OAD=∠APB，最后證△DAO≌△APB；（3）作點(diǎn)E關(guān)于直線AB對稱的對稱點(diǎn)E'，連接E'O，PO，先證ΔΑΕΟ是等邊三角形，再得到E'、O、P在同一條直線上，最后求得EM＋PM的最小值．【詳解】（1）連接AP，OP，根據(jù)題意可知，∠AOP=120°所對的圓心角為∠AOP，∴∠PCA=∠AOP=60°；（2）連接PO，根據(jù)題意可知，∠AOE=∠BOP=60°，∵BO=PO，∴ΔBOP是等邊三角形，∴PB=OB，∠ABP=∠AOD=60°，∵AO=OB，∴AO=BP，∵AB是直徑，∴∠APB=90°，∵AD是OO的切線，∴∠OAD=90°，∴∠OAD=∠APB，在ΔDAO和ΔAPB中∴；（3）作點(diǎn)E關(guān)于直線AB對稱的對稱點(diǎn)E'，連接E'O，PO，根據(jù)對稱性可知EO=E'O=2，根據(jù)題意可知∠AOE=60°，∵AO=EO，∴ΔΑΕΟ是等邊三角形，∴∠AEO=60°，∵ΕΕ'⊥AO，∴∠ΟEE'=∠AEO=30°，∴∠EE'O=∠OEE'=30°，∴∠EΟE'=120°，∵∠AOE=∠BOP=60°，∴∠EOP=180°-∠AOE-∠BOP=60°，∴∠EOP+∠EOE'=180°，∴E'、O、P在同一條直線上，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時，EM+PM為最小值，此時EM+PM=E'P=2+2=4．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，以及對稱線段之和最短問題，關(guān)鍵是熟練掌握切線的性并能靈活應(yīng)用．40．（19-20九年級上·河北石家莊·期中）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點(diǎn)．（1）線段AC的長度是．（2）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時，求AP的長；（3）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個數(shù)為4，直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍．【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5．【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可；（2）連接PF，如圖3，利用平行四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)可得PF∥AC，進(jìn)而可證明△DPF∽△DAC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即得AP的長；（3）先利用平行四邊形的面積求出當(dāng)⊙P與BC相切時圓的半徑，可發(fā)現(xiàn)此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊有5個公共點(diǎn)；再分兩種情況：①⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點(diǎn)；②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，分別求出即可得到答案．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∴BC＝AD＝10，∵AB⊥AC，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，故答案為：8；（2）如圖3所示，連接PF，設(shè)AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，∴PF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，即，解得：x＝，即AP＝；（3）當(dāng)⊙P與BC相切時，設(shè)切點(diǎn)為G，連接PG，如圖4，則S?ABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為5；①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點(diǎn)，與BC沒有公共點(diǎn)時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為4；②當(dāng)⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，如圖5，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為4，此時AP＝5，綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝5，故答案為：＜AP＜或AP＝5．【點(diǎn)睛】本題是平行四邊形和圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握上述知識、善于動中取靜、靈活應(yīng)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．【類型13】新定義材料探究41．（20-21九年級上·北京東城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．給出如下定義：記線段的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)不在上時，平移線段，使點(diǎn)落在上，得到線段（分別為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)）線段長度的最小值稱為線段到的“平移距離”．（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．①若點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則線段到的“平移距離”為________；②若線段到的“平移距離”為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)都在直線上，且，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，記線段到的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）①；②或；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)以及線段AB到的“平移距離”的定義判斷即可求出．（2）過點(diǎn)O作于E，聯(lián)立方程組求出OE即可得出的最小值．（3）以A為圓心，1為半徑作，連接OA交于E、F；由圖可知：當(dāng)M在點(diǎn)時，最??；在點(diǎn)E時，最大．由此得出的取值范圍．【詳解】（1）①當(dāng)B與原點(diǎn)O重合時，AB中點(diǎn)為，移動最小距離為向左平移到上．故答案為：②當(dāng)“平移距離”為2時，如圖：有兩種情況，當(dāng)為時，，AB=4，為．當(dāng)為時，，AB=8，B為．故答案為：或．（2）如圖：直線如圖L，當(dāng)L平移到m位置時，最小.即平移到直線m與相切時，最?。^點(diǎn)O作于E，則設(shè)直線OE為y=kx，，∴即，∴．聯(lián)立方程組，解得：，∴E為，∴，∴．（3）∵，∴AM=1，即M點(diǎn)在以A為圓心，半徑為1的圓上，如圖所示：連接OA交于E、F，可知：當(dāng)M在點(diǎn)F時，最?。辉邳c(diǎn)E時，最大．當(dāng)M在F時，，當(dāng)M在E時，，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于綜合題，考查了平面直角坐標(biāo)系平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，圓相切的相關(guān)概念，解直角三角形，線段AB到的“平移距離”的定義等知識；此題解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考壓軸題．42．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于平面內(nèi)點(diǎn)和軸上點(diǎn)，給出如下定義：將點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點(diǎn)恰好在上，稱點(diǎn)為的“賦能點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖1，在點(diǎn)中，的“賦能點(diǎn)”是_____；②如圖2，若直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“賦能點(diǎn)”，求的取值范圍；(2)如圖3，點(diǎn)．若線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“賦能點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到半徑為1的和，其中，，通過計算判斷是否在或上，即可得出結(jié)論；②根據(jù)“賦能點(diǎn)”的定義可得直線與或有交點(diǎn)，再根據(jù)直線與、的位置關(guān)系討論即可求解；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到半徑為1的和，其中，，根據(jù)“賦能點(diǎn)”的定義可得線段與或有交點(diǎn)，再根據(jù)線段與、的位置關(guān)系討論即可求解．【詳解】（1）解：①將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到半徑為1的和，其中，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)是的“賦能點(diǎn)”，，，點(diǎn)不在上，也不在上，點(diǎn)不是的“賦能點(diǎn)”，綜上所述，的“賦能點(diǎn)”是．故答案為：．②直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“賦能點(diǎn)”，直線與或有交點(diǎn)，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，如圖，連接、，則有，，又，，，，，點(diǎn)在直線上，，；當(dāng)直線與相切于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，如圖，同理可得，，點(diǎn)在直線上，，；的取值范圍為．（2）解：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到半徑為1的和，其中，，線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“賦能點(diǎn)”，線段與或有交點(diǎn)，當(dāng)線段與只有點(diǎn)一個交點(diǎn)，此時，，解得：，；當(dāng)線段與只有點(diǎn)一個交點(diǎn)，此時，，解得：，；結(jié)合圖象得，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的性質(zhì)，理解“賦能點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．本題屬于函數(shù)與幾何綜合題，需要較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，適合有能力解決壓軸題的學(xué)生．一、單選題1．（24-25九年級下·上海虹口·階段練習(xí)）已知的半徑，直線上有一點(diǎn)到圓心O的距離為，那么直線與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交C．相離或相切 D．相切或相交【答案】D【分析】本題考查了判斷直線和圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．比較圓心O到直線上的距離與的半徑大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：直線上有一點(diǎn)到圓心O的距離為，圓心O到直線上的距離，的半徑，，當(dāng)時，直線與相切；當(dāng)時，直線與相交；直線與的位置關(guān)系是相切或相交．故選：D．2．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)到直線的距離為5，如果在以點(diǎn)為圓心的圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離為2，那么這個圓的半徑長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了圓與直線的位置關(guān)系．要掌握直線與圓的三種位置關(guān)系中各自的特點(diǎn)，并根據(jù)特殊的位置關(guān)系求出相對應(yīng)的半徑的長度是解題的關(guān)鍵．已知點(diǎn)O到直線l的距離為5，要使圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線l的距離為2．過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為A．當(dāng)圓與直線l的位置關(guān)系滿足：以O(shè)為圓心的圓與直線l相交，且在直線l兩側(cè)到直線l距離為2的點(diǎn)中，只有兩個在圓上．從距離角度看，圓的半徑r要滿足：，即，得出答案．【詳解】解：已知點(diǎn)O到直線l的距離為5，要使圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線l的距離為2．過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為A．當(dāng)圓與直線l的位置關(guān)系滿足：以O(shè)為圓心的圓與直線l相交，且在直線l兩側(cè)到直線l距離為2的點(diǎn)中，只有兩個在圓上．從距離角度看，圓的半徑r要滿足：，即．故選：D3．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）如圖，直線經(jīng)過上的點(diǎn)，并且，下列條件中不能判斷直線是切線的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)和平角的定義分析即可．【詳解】解：A、由、可得，又因?yàn)槭前霃?，則直線是切線，不符合題意；B、由、可得，又因?yàn)槭前霃?，則直線是切線，不符合題意；C、由，可得，又因?yàn)槭前霃剑瑒t直線是切線，不符合題意；D、不能判斷出直線是切線，符合題意；故選：D．4．（2025·四川自貢·中考真題）分別與相切于兩點(diǎn)．點(diǎn)在上，不與點(diǎn)重合．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先畫圖，連接，，求解，再根據(jù)C的位置結(jié)合圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：如圖，連接，，∵分別與相切于兩點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，故選：D5．（2025·河南平頂山·模擬預(yù)測）如圖，以為直徑的半圓交于點(diǎn)，已知與相切于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由圓周角定理可得出，再由圓的切線定理可得出，最后由直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】解：∵，∴．∵以為直徑的與相切于點(diǎn)A，∴，∴．故選：B．6．（23-24九年級下·重慶·階段練習(xí)）以正方形的邊為直徑作半圓，過點(diǎn)作直線切半圓于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的周長為12，則正方形周長為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、圓的切線的判定與性質(zhì)、切線長定理等知識，根據(jù)切線長定理及正方形的性質(zhì)求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．設(shè)正方形的邊長為，，則，證明是的切線，因?yàn)榕c相切于點(diǎn)，所以，，即可由的周長為12列方程，得，即可求得正方形周長為16．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，設(shè)正方形的邊長為，，則，∵經(jīng)過的半徑的外端，且，∴是的切線，∵與相切于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴正方形周長為16，故選：C．7．（24-25九年級下·廣東廣州·期中）如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，，將平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)心的定義、平移的性質(zhì)及角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)是關(guān)鍵．連接，，根據(jù)點(diǎn)為的內(nèi)心，可得和分別平分和，再根據(jù)平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得，可得角相等，從而得等腰三角形，進(jìn)而可得圖中陰影部分的周長．【詳解】解：如圖，連接，，點(diǎn)為的內(nèi)心，和分別平分和，，，將平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，，，，．所以圖中陰影部分的周長為．故選：B．8．（2024·四川德陽·二模）如圖，內(nèi)切于正方形，邊分別與切于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，且與相切．若的面積為，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、切線長定理，勾股定理，三角形的面積，設(shè)與相切于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為，由切線長定理得，，，設(shè)，，在中，由勾股定理得，即得，又由，得，即得，得到，即可求解，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)與相切于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為，∵是切線，∴，，，設(shè)，，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的半徑為，故選：．二、填空題9．（24-25九年級上·北京·期中）的直徑為，若圓心O與直線l的距離為，則l與的位置關(guān)系是（填“相交”、“相切”或“相離”）．【答案】相交【分析】此題重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，由的直徑為，求得的半徑為，而圓心O與直線l的距離為，則圓心O與直線l的距離小于的半徑，所以l與相交，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵的直徑為，，∴的半徑為，∵圓心O與直線l的距離為，∴圓心O與直線l的距離小于的半徑，∴l(xiāng)與相交，故答案為：相交．10．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若的圓心到直線的距離小于半徑，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】考查對直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)圓O的半徑和圓心O到直線l的距離的大小，相交：；相切：；相離：；即可選出答案．【詳解】解：的圓心O到直線l的距離d小于半徑r，∴直線l與的位置關(guān)系是相交．故答案為：相交．11．（2025·浙江湖州·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長線上，是的切線，為切點(diǎn)，連結(jié)，，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由是的切線，則有，根據(jù)等邊對等角得，所以，最后通過三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．（2025·浙江溫州·一模）如圖，，是的切線，切點(diǎn)分別是，，如果，那么的度數(shù)等于．【答案】【分析】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確把握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用圓周角定理結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】連接，，、是的切線，切點(diǎn)分別是、，，，，．故答案為：．13．（2025·湖南株洲·三模）如圖，在中，，的角平分線、交于點(diǎn)，則以點(diǎn)為圓心，以為半徑，可作的內(nèi)切圓．【答案】/【分析】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)接圓，根據(jù)題意可得點(diǎn)O是的內(nèi)心，即點(diǎn)到三邊的距離相等，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而可得當(dāng)以點(diǎn)為圓心，以為半徑，可作的內(nèi)切圓．【詳解】解：根據(jù)題意可得點(diǎn)O是的內(nèi)心，即點(diǎn)到三邊的距離相等，∵，∴，∴當(dāng)以點(diǎn)為圓心，以為半徑，可作的內(nèi)切圓．故答案為：．14．（24-25九年級上·廣東江門·期末）如圖，是一張三角形紙片，，是它的內(nèi)切圓，小陳準(zhǔn)備用剪刀在的左側(cè)沿著與相切的任意一條直線剪下，若剪下的的周長為，則的周長為．【答案】21【分析】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理、三角形的周長等知識．設(shè)與分別相切于點(diǎn)F、G、L、H，則，，所以，而，，則，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)與分別相切于點(diǎn)F、G、L、H，則，，且，∴，∵，，且的周長為，∴，∴，∴的周長為，故答案為：21．15．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在中，為直徑，點(diǎn)M為延長線上的一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)C，圓周上有另一點(diǎn)D與點(diǎn)C分居直徑兩側(cè)，且使得，連接．現(xiàn)有下列結(jié)論：①與相切；②四邊形是菱形；③；④．其中正確的結(jié)論是（填序號）．【答案】①②③④【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根據(jù)切線的判定及性質(zhì)可判斷①，利用三角形的判定及性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的判定即可判斷②，利用含角的直角三角形的特征可判斷③，利用菱形的性質(zhì)可判斷④，熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，，，，，，與相切于點(diǎn)C，，，是的直徑，與相切；故①正確；，，，，，，，∴四邊形是菱形，故②正確；，，，，，，，，故③正確；∵四邊形是菱形，，，故④正確；故答案為：①②③④．16．（18-19九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(?6，0)，B(0，6)，⊙O的半徑為2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為【答案】【分析】連接OP．根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，當(dāng)OP⊥AB時，線段OP最短，即線段PQ最短．【詳解】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∵當(dāng)PO⊥AB時，線段PQ最短；又∵A（-6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6，∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題．三、解答題17．（21-22九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）在中，，，，（1）斜邊上的高為________；（2）以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作⊙C①若直線與⊙C沒有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍；②若邊與⊙C有兩個公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍；③若邊與⊙C只有一個公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或【分析】（1）勾股定理求得斜邊，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得斜邊上的高；（2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求得的取值范圍．【詳解】（1）中，，，，設(shè)斜邊上的高為,,,故答案為：（2）①若直線與⊙沒有公共點(diǎn)，則⊙相離，則r的取值范圍是；②若邊與⊙有兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)在圓外或者圓上，則r的取值范圍是；③若邊與⊙只有一個公共點(diǎn)，則⊙相切，或者點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的取值范圍是或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（20-21九年級上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，直線是的切線，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：平分．(2)若，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和已知求出，求出，即可得出答案；（2）首先由勾股定理和圓周角的性質(zhì)得到，然后證明出，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的值．【詳解】（1）證明：連接，∵直線是的切線，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；（2）解：∵，∴在中，∵∴∵圓內(nèi)接四邊形∴∵∴∵為的直徑∴∴∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，能靈活運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．19．（2022·河南·一模）