專題16中心對稱（8大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)1.中心對稱

1.中心對稱的概念

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，和另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱也叫做這

兩個(gè)圖形中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)．

方法歸納：

１、中心對稱是旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)對稱；

２、尋找對稱中心，只需分別聯(lián)結(jié)兩對對應(yīng)點(diǎn)，所得兩條直線的交點(diǎn)就是對稱中心；

３、對稱點(diǎn)所連線段經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分．

A

C′

B

OB′

C

A′

2.中心對稱與軸對稱的區(qū)別

中心對稱軸對稱

對稱中心只有一個(gè)點(diǎn)對稱軸至少有一條直線

圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿對稱軸折疊

旋轉(zhuǎn)180°后和另一個(gè)圖形重合折疊后與另一個(gè)圖形重合

2.中心對稱的性質(zhì)

1.中心對稱的兩個(gè)圖形,對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被稱中心所平分;

2.中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形

1

方法歸納：

(1)中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn),因此,它具有旋轉(zhuǎn)的一切特征

(2)中心對稱的特征(性質(zhì))是畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形的主要依據(jù)

(3)常?？梢岳弥行膶ΨQ的性質(zhì)來證明有關(guān)的線段相等、平行及三角形全等

3.確定對稱中心的方法

方法1:連接任意一對對稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn),則該點(diǎn)為對稱中心

方法2:連接任意兩對對稱點(diǎn),這兩條線段的交點(diǎn)即是對稱中心

4.畫已知圖形關(guān)于某一點(diǎn)對稱的圖形

(1)連接:分別將原圖形上的所有關(guān)鍵點(diǎn)與對稱中心連接并延長;

(2)截取:等長截取,在延長線上截取長度等于關(guān)鍵點(diǎn)與對稱中心所連線段的長度,截取的交點(diǎn)就是該關(guān)鍵點(diǎn)的

對稱點(diǎn):

(3)順次連接:將對稱點(diǎn)參照原圖形順次連接起來,即可得出關(guān)于對稱中心對稱的圖形

知識點(diǎn)2.中心對稱圖形

1.中心對稱圖形

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形叫做中

心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心.2.中心對稱圖形的判定

中心對稱圖形必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:

(1)圍繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn);(2)旋轉(zhuǎn)180°;(3)與自身完全重合

2.中心對稱圖形的性質(zhì)

(1)中心對稱圖形上的對稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心,且被對稱中心平分,即過對稱中心的直線與中心對

稱圖形的兩個(gè)對應(yīng)交點(diǎn)是對稱點(diǎn)

(2)過對稱中心的直線把中心對稱圖形分成的兩部分是全等圖形(即面積和周長都分別相等)

3.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

中心對稱中心對稱圖形

①指兩個(gè)全等圖形之間的相互①指一個(gè)圖形本身成中心對稱．

區(qū)

位置關(guān)系．②對稱中心是圖形自身或內(nèi)部

別

②對稱中心不定．的點(diǎn)．

如果將中心對稱的兩個(gè)圖形看

如果把中心對稱圖形對稱的部

聯(lián)成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那

分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又

系么這個(gè)圖形就是中心對稱圖

是關(guān)于中心對稱．

形．

知識點(diǎn)3.關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

1.兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí),它們的坐標(biāo)符號相反,即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P(-x，-y)

2

2.關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它們的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)：反過來，如果兩個(gè)點(diǎn)的橫坐

標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱

【類型1】中心對稱的認(rèn)識

1．（24-25九年級上·云南玉溪·期中）如圖所示，VABC與ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

A．AB∥ABB．BCBCC．OAOAD．ABCACB

【答案】D

【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識；根據(jù)成中心對稱圖形對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，

對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱中心平分，對應(yīng)角相等，解答即可．

【詳解】成中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形，它們的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，

選項(xiàng)A，B正確；成中心對稱的兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱中心平分，選項(xiàng)C正確，ABCABC，

選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的，

故選：D．

2．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，VABC與ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的

是（）

A．點(diǎn)A與點(diǎn)A是對稱點(diǎn)B．BOBO

C．ABABD．ACBCAB

【答案】D

【分析】本題考查中心對稱，解題的關(guān)鍵是理解中心對稱的性質(zhì)，屬于中考常考題型．利用中心對稱的性

質(zhì)一一判斷即可．

【詳解】解：ABC與ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，

3

點(diǎn)A與點(diǎn)A是對稱點(diǎn)，BOBO，ABAB，

A，B，C正確，

故選：D．

3．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）下列描述中心對稱的特征的語句中，其中正確的是（）

A．成中心對稱的兩個(gè)圖形中，連接對稱點(diǎn)的線段不一定經(jīng)過對稱中心

B．成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱中心不一定平分連接對稱點(diǎn)的線段

C．成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過對稱中心，但不一定被對稱中心平分

D．成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分

【答案】D

【分析】本題考查中心對稱的性質(zhì)．根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，①關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分，判斷各選項(xiàng)即可得出答

案．

【詳解】解：A、成中心對稱的兩個(gè)圖形中，連接對稱點(diǎn)的線段一定經(jīng)過對稱中心，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱中心一定平分連接對稱點(diǎn)的線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分，故本選項(xiàng)正確．

故選：D．

【類型2】中心對稱的作圖

4．（23-24七年級上·上海楊浦·期末）如圖：

(1)畫出VABC向右平移5格，再向下平移3格后的圖形△A1B1C1；

(2)如果點(diǎn)A2與點(diǎn)A關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱，請標(biāo)出這個(gè)對稱中心O，并畫出VABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱的圖

△

形A2B2C2；

(3)畫出VABC關(guān)于直線MN成軸對稱的圖形△A3B3C3．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了畫平移圖形，畫軸對稱圖形，畫中心對稱圖形：

4

、、、、

（1）根據(jù)平移方式找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)A1B1C1的位置，再順次連接A1B1C1即可；

、

（2）連接AA2，利用網(wǎng)格的特點(diǎn)找到AA2的中點(diǎn)位置即為點(diǎn)O的位置，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)O的位置找到B2C2的

位置即可；

、、、、

（3）根據(jù)軸對稱的特點(diǎn)找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)A3B3C3的位置，然后順次連接A3B3C3即可．

【詳解】（1）解；如圖所示，△A1B1C1即為所求；

△

（2）解：如圖所示，點(diǎn)O和A2B2C2即為所求；

（3）解：如圖所示，△A3B3C3即為所求．

5．（23-24九年級上·江西宜春·期中）如圖1，四邊形ABCD是正方形；如圖2，四邊形ABCD是矩形，△MAD

是等腰三角形.請只用無刻度的直尺按要求畫圖．

(1)在圖1中，畫出正方形ABCD的對稱中心O；

(2)在圖2中，畫出線段BC的中點(diǎn)N．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題主要考查了作圖與應(yīng)用作圖，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和中心對稱圖

形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義．

（1）依據(jù)正方形的對稱中心為對角線的交點(diǎn)進(jìn)行作圖；

（2）利用矩形的對稱中心為對角線的交點(diǎn)，等腰三角形的軸對稱圖形，即可得到點(diǎn)N．

【詳解】（1）解：如圖1所示，連接AC,BD交于點(diǎn)O即為所求；

5

（2）解：如圖2所示，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接MO并延長交BC于點(diǎn)N即為所求．

6．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖所示，在VABC中，A(2，3)，B(3，1)，C(1，2)．

(1)將VABC向右平移4個(gè)單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；

△

(2)將VABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，畫出旋轉(zhuǎn)后的A2B2C2；

△

(3)由作圖可知△A1B1C1與A2B2C2成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)是___________．

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

(3)(2，0)

【分析】本題考查了作圖的綜合問題－平移、旋轉(zhuǎn)和對稱．

（1）首先將點(diǎn)A、B、C分別向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A1、B1、C1，順次連接即可；

（2）將A、B、C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，得到點(diǎn)A2、B2、C2，順次連接即可；

，

（3）通過計(jì)算可得A1A2，B1B2和C1C2相交于點(diǎn)(20)，根據(jù)中心對稱圖形的定義即可解答．

【詳解】（1）解：△A1B1C1如圖所示；

6

；

△

（2）解：A2B2C2如圖所示；

（3）解：連接A1A2，B1B2和C1C2，

∴對稱中心為2，0．

故答案為：2，0．

【類型3】利用中心對稱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

7．（24-25九年級上·廣東汕頭·期中）如圖，是一個(gè)中心對稱圖形，A為對稱中心，若C90，BAC60，

BC1，則CC的長為（）

23433

A．B．C．D．4

333

【答案】A

BC13

【分析】本題考查的是中心對稱圖形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，先求解AC，再利

tan6033

用中心對稱圖形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：∵C90，BAC60，BC1，

BC13

∴AC，

tan6033

∵該圖是一個(gè)中心對稱圖形，

3

∴ACAC，

3

23

∴CC2AC，

3

故選：A

8．（23-24九年級上·廣西河池·期末）如圖，VABC與DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，AB3，AE5，BAD90，

7

則點(diǎn)A到BE的距離是．

【答案】613

13

【分析】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過

點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，先根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)可得DEAB3，ACDC，DBAD90，利

用勾股定理可得AD4，從而可得AC2，再利用勾股定理可得BC13，然后利用三角形的面積公式求

解即可得．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，

∵VABC與DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，AB3，BAD90，

∴DEAB3，ACDC，DBAD90，

∵AE5，

∴ADAE2DE24，

∴ACDC2，

∴BCAB2AC213，

11

∵SAFBCABAC，

ABC22

ABAC32613

∴AF，

BC1313

613

即點(diǎn)A到BE的距離是，

13

故答案為：613．

13

9．（18-19九年級上·全國·期末）如圖所示，在ABC中，AD是BC邊上的中線．

8

(1)畫出與ACD關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱的三角形；找出與AC相等的線段；

(2)探究：ABC中AB與AC的和與中線AD之間有何大小關(guān)系？并說明理由；

【答案】(1)作圖見解析；AB

(2)ABAC＞2AD，見解析

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

（1）根據(jù)中心對稱的特征，延長AD至A，使ADDA，連接BA，則即ABD為所求，ACAB，

（2）根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊分析即可得解．

【詳解】（1）解：如圖所示，在ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD至A，使ADDA，連接BA，

則即ABD為所求，ACAB．

（2）解：ABAC＞2AD，理由：

∵ABD與ACD關(guān)于點(diǎn)D成中心對稱，

∴ADAD，ACAB，

∵在△ABA中，有ABAB＞AA，即ABAC＞ADAD，

∴ABAC＞2AD．

10．（24-25九年級上·福建福州·階段練習(xí)）如圖，VABC和DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱．

(1)找出它們的對稱中心O；

(2)若AB6，AC5，BC4，求DEF的周長；

(3)連接AF，CD，試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由．

【答案】(1)見解析

(2)15

9

(3)四邊形ACDF是平行四邊形，理由見解析

【分析】本題考查了中心對稱的性質(zhì)．也考查了平行四邊形的判定．熟練掌握中心對稱的性質(zhì)和平行四邊

形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，對稱中心在線段AD、CF上，則連接AD和CF，它們的交點(diǎn)即為對稱中心O；

（2）根據(jù)中心對稱的兩個(gè)三角形全等可得到DEF各邊的長，然后計(jì)算DEF的周長；

（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得OAOD，OCOF，則根據(jù)平行四邊形的判定方法可判斷四邊形ACDF為平

行四邊形．

【詳解】（1）解：如圖，連接AD，CF，點(diǎn)O為所求：

（2）解：VABC和DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱

△ABC≌△DEF，

DFAC5，DEAB6，EFBC4，

DEF的周長為EFDFDE45615；

（3）解：四邊形ACDF是平行四邊形，理由如下：

連接AF,CD,AD,CF，如圖所示：

VABC和DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，

OAOD，OCOF，

四邊形ACDF為平行四邊形．

【類型4】中心對稱圖形

11．（2025·河北張家口·模擬預(yù)測）下列圖形中，既是中心對稱圖形、又是軸對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本題考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．

根據(jù)中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；

10

B、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；

C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

12．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）下列圖形是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】本題主要考查中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的識別是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對稱

圖形的特征，將圖形旋轉(zhuǎn)180后與原圖形重合即為中心對稱圖形，即可得到答案．

【詳解】

解：不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)A不符合題意；

是中心對稱圖形，故選項(xiàng)B符合題意；

不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意；

不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選B．

13．（24-25九年級上·河南洛陽·階段練習(xí)）在線段、等邊三角形、平行四邊形和圓中，既是軸對稱圖形又

是中心對稱圖形的有．

【答案】線段、圓

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對

稱中心，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念作答．

【詳解】解：線段、圓既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形；

等邊三角形只是軸對稱圖形；

平行四邊形只是中心對稱的圖形；

故答案為：線段、圓．

11

【類型5】中心對稱圖形的有關(guān)作圖

14．（24-25九年級上·吉林四平·期末）如圖，在55的正方形網(wǎng)格紙中，已知格點(diǎn)M和格點(diǎn)線段AC，請

按要求畫出AC為對角線的格點(diǎn)四邊形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖①中畫出四邊形ABCD，使得四邊形ABCD是中心對稱圖形，且點(diǎn)M在四邊形ABCD的內(nèi)部（不包

括邊界上）．

(2)在圖②中畫出四邊形AECF，使得四邊形AECF既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且點(diǎn)M在四邊形

AECF的內(nèi)部（不包括邊界上）．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理和正方形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理和正方形的

判定是解本題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)題意可以作一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定定理∶一組對邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，或四條邊相等的四邊形即菱形，作圖；

（2）可以作一個(gè)正方形，根據(jù)正方形的判定：四條邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形，作圖即可．

【詳解】（1）如圖，∵ADBC4,AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意，

（2）如圖，ABBCCDAD421217，

∴四邊形ABCD是菱形，符合題意；

12

15．（24-25九年級上·吉林·期末）圖①，圖②均是88的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每

個(gè)小正方形的邊長均為1，在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡稱為標(biāo)注點(diǎn)．

(1)在圖①，圖②中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)中心對稱圖形．（兩個(gè)中心對稱圖形不全等）

(2)圖①中所畫的中心對稱圖形的面積為__________．

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查格點(diǎn)作圖，中心對稱圖形的定義．

（1）利用格點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形是中心對稱圖形，分別選出能構(gòu)成平行四邊形的4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)連線即可；

（2）根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法解答即可．

【詳解】（1）解：如圖所示為所求：

（2）解：圖①中所畫的中心對稱圖形的面積為：236．

16．（22-23九年級上·四川廣安·期中）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格

圖中有3個(gè)小等邊三角形已涂上陰影．請?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個(gè)涂上陰

影：

(1)使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸對稱圖形．（至少畫出兩種）

13

(2)使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)中心對稱圖形．（畫出一種）

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案、利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．

（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；

（2）直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．

【詳解】（1）解：如圖所示（畫出兩種即可）：

（2）如圖所示（畫出一種即可）：

【類型6】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

17．（23-24九年級上·四川南充·期中）已知點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)B(5,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)P(a,b)在第（）象

限．

A．一B．二C．三D．四

【答案】C

【分析】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)為對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)及各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：第一象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐

標(biāo),，第二象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo),，第三象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo),，第四象限的點(diǎn)滿足橫、

縱坐標(biāo),，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，熟知這一規(guī)律是正確解決本題的關(guān)鍵．

由點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)B(5,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求得a、b的值，即可知點(diǎn)P在第幾象限．

【詳解】解：點(diǎn)A(a,1)與點(diǎn)B(5,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

a5，b1，

14

P5,1，

則點(diǎn)P(a,b)在第三象限，

故答案為：C．

18．（24-25九年級上·四川南充·期中）已知Aa,1與B4,b關(guān)于原點(diǎn)對稱，則ab．

【答案】3

【分析】本題考查了求一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是理解兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱

的意義．

根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，列出關(guān)于a，b的方程求解，再代入代數(shù)式求值．

【詳解】解：∵Aa,1與B4,b關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴a40，1b0，解得：a4，b1，

∴ab413．

故答案為：3．

19．（24-25九年級上·云南昆明·期中）已知點(diǎn)Aa,2023與點(diǎn)A2024,b是關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則ab

的值為．

【答案】1

【分析】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的橫縱

坐標(biāo)符號都是互為相反數(shù)．直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出a,b的值，進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)Aa,2023與點(diǎn)A2024,b是關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，

∴a20240，2023b0，

解得a2024，b2023，

∴ab202420231．

故答案為：1．

20．（24-25九年級上·山東濟(jì)南·期末）已知拋物線C1與C2關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，若拋物線C1的解析式為

2

y5x21，則拋物線C2的解析式為．

2

【答案】y5x21

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)及關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的

基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)拋物線C1的解析式確定拋物線的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合中心對稱的性

質(zhì)確定拋物線C2的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．

2

【詳解】解：∵拋物線C1的解析式為y5x21，

∴拋物線C1的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，

∵拋物線C1與C2關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，

15

∴拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，

2

∴拋物線的解析式為y5x21．

2

故答案為：y5x21．

【類型7】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)作圖問題

21．（19-20八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在方格紙

中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，VABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)將VABC向右平移6個(gè)單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；

△

(2)畫出VABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形A2B2C2；

△

(3)若將△A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)：___________．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)3,0

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移、中心對稱，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)平移方式，畫出VABC頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1,C1，再順次連接即可得到△A1B1C1；

△

（2）根據(jù)中心對稱方式，畫出VABC頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A2,B2,C2，再順次連接即可得到A2B2C2；

（3）結(jié)合圖形得到A1,B1,C1,A2,B2,C2的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線上即可解答．

【詳解】（1）解：如圖所示，△A1B1C1即為所求：

16

△

（2）解：如圖所示，A2B2C2即為所求：

（3）解：由圖可得，A13,5，A23,5，B12,1，B14,1，C15,2，C21,2，

A1A2的中點(diǎn)為3,0，B1B2的中點(diǎn)為3,0，C1C2的中點(diǎn)為3,0，

點(diǎn)3,0同時(shí)在A1A2、B1B2、C1C2的垂直平分線上，

△

又將△A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到A2B2C2，

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為3,0．

故答案為：3,0．

22．（24-25九年級上·吉林·期中）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,0，

B3,3，C4,1．

(1)畫出VABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；

△

(2)畫出VABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形A2B2C2，并寫出點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C2的坐標(biāo)．

【答案】(1)見解析；A1的坐標(biāo)為1,0；

(2)見解析；C2的坐標(biāo)為1,4

【分析】本題主要考查作圖，旋轉(zhuǎn)變化和關(guān)于原點(diǎn)對稱，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的和旋轉(zhuǎn)變

換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點(diǎn)．

（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，再首尾逆次連接即可．

17

（2）分別作出點(diǎn)A，B，C繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的點(diǎn)，再首尾逆次連接即可．

【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求，A1的坐標(biāo)為1,0；

△

（2）如圖，A2B2C2即為所求，C2的坐標(biāo)為1,4

23．（24-25九年級上·貴州黔東南·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A2,4，

B1,1，C4,3．

(1)請畫出與VABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A1B1C1（A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、C1），并

寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；

18

△

(2)若VABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到的圖形為A2B2C2（A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A2、B2、

C2），在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)．

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)對稱圖形與畫中心對稱圖形，寫出旋轉(zhuǎn)90后的坐標(biāo)及關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)，正

確理解旋轉(zhuǎn)對稱和中心對稱的概念是解題的關(guān)鍵．

、、

（1）再根據(jù)中心對稱的坐標(biāo)性質(zhì)，分別求出對應(yīng)點(diǎn)A1B1C1?的坐標(biāo)，然后在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，順次連接

各頂點(diǎn)即可求解；

、、

（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A2B2C2，再順次連接各頂點(diǎn)即可．

【詳解】（1）解：如圖，A12,4，B11,1，C14,3，

△A1B1C1為所作的三角形，

（2）解：如圖，A22,2，B21,1，C21,4，

△

A2B2C2為所作的三角形，

【類型8】中心對稱的變化規(guī)律問題

19

24．（22-23八年級上·山東濟(jì)南·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(0,1)，P2(2,3)的對稱中心是點(diǎn)A，另取

兩點(diǎn)B(1,2)，C(1,0)．有一電子青蛙從點(diǎn)P1處開始依次作關(guān)于點(diǎn)A，B，C的循環(huán)對稱跳動(dòng)，即第一次跳

到點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P2處，接著跳到點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P3處，第三次再跳到點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)C的對稱

點(diǎn)P4處，第四次再跳到點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P5處，…，則點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為（）．

A．1,1B．1,1C．2,0D．4,1

【答案】D

【分析】本題考查了坐標(biāo)規(guī)律探究，中心對稱，坐標(biāo)與圖形變化對稱，利用中心對稱找出坐標(biāo)規(guī)律是解題

的關(guān)鍵．

首先利用題目所給公式一次求出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

P10,1→P22,3→P34,1→P42,1→P50,3→P62,1→P70,1→P82,3…由此得到P7的坐標(biāo)和P1

的坐標(biāo)相同，P8的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)，利用這個(gè)規(guī)律即可求出點(diǎn)P2019的坐標(biāo)．

【詳解】解：∵點(diǎn)P2(2,3)關(guān)于點(diǎn)B(1,2)的對稱點(diǎn)P3，

2x3y

∴p31，p32

22

x4y1

∴p3，p3，

∴P34,1，

同理可得點(diǎn)P42,1，P50,3，P62,1，P70,1，P82,3，…

∴點(diǎn)P每6次一循環(huán)，

∵20196336.......3

∴點(diǎn)P2019與點(diǎn)P3坐標(biāo)相同，即P20194,1．

故選：D．

25．（24-25九年級上·河北保定·期中）如圖，一段拋物線yxx10x1記為m1，它與x軸的交點(diǎn)

為O，A1，頂點(diǎn)為P1；將m1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得m2，交x軸于點(diǎn)A2，頂點(diǎn)為P2；將m2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180得m3，

20

交x軸于點(diǎn)A3，頂點(diǎn)為P3，…，如此進(jìn)行下去，直至得到mn．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，拋物線mn的表達(dá)式為．

【答案】yxn1xnn1xn

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，先求出拋物線m1與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)

及兩交點(diǎn)的距離，再根據(jù)軸對稱和中心對稱找頂點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，得到拋物線mn與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及開口

方向，即可得到答案；

【詳解】解：當(dāng)y0時(shí)，xx10，

解得：x10，x21，

∴拋物線m1與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為0,0和1,0，且開口方向向下，且拋物線m1與x軸兩交點(diǎn)的距離為：

x2x11；

∵將m1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得m2，將m2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180得m3，

∴拋物線m2與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0和2,0，且開口方向向上；

∴拋物線m3與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0和3,0，且開口方向向下；

同理：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，拋物線mn與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為n1,0和n,0，且開口方向向上；

∴拋物線mn的表達(dá)式為：yxn1xn

故答案為：yxn1xnn1xn．

26．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，拋物線yx22x3頂點(diǎn)為Q，交x軸于E、F兩點(diǎn)（E

在F的右側(cè)）．T是x軸正半軸上一點(diǎn)，以T為中心作拋物線yx22x3的中心對稱圖形，交x軸于點(diǎn)K、

L兩點(diǎn)（L在K的右側(cè)），已知FQL45，則K的坐標(biāo)為．

【答案】7,0

21

【分析】先利用配方法得到Q1,4，解方程x22x30得E3,0，F(xiàn)1,0，作QPx軸于P，過F點(diǎn)

作FMFQ交QL于M．作MNx軸于N，如圖，證明PQF≌NFM得到PQFN4，MNPF2，

111

則M5,2，則可利用待定系數(shù)法求出直線QL的解析式為yx，所以L11,0，接著利用中心對稱

33

的性質(zhì)先確定T點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，再確定點(diǎn)K的坐標(biāo)K7,0．

2

【詳解】解：yx22x3x14，

Q1,4，

2，

當(dāng)y0時(shí)，x2x30，解得x13x21，

E3,0，F(xiàn)1,0，

作QPx軸于P，過F點(diǎn)作FMFQ交QL于M．作MNx軸于N，如圖，

FQL45，

QFM為等腰直角三角形，

FQFM，

PFQPQF90，PFQMFN90，

PQFMFN，

PQF≌NFMAAS，

PQFN4，MNPF2，

M5,2，

設(shè)直線QL的解析式為ykxb，k0,

kb4

把Q1,4，M5,2代入得，

5kb2

1

k

3

解得

11

b

3

111

∴直線QL的解析式為yx，

33

111

當(dāng)y0時(shí)，x0

33

解得x11，

L11,0，

點(diǎn)E3,0和點(diǎn)L11,0關(guān)于T對稱，

∴T點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，

22

∵點(diǎn)F與點(diǎn)K關(guān)于T點(diǎn)對稱，

K7,0，

故答案為：7,0．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，配方法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，

全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識．關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．

【類型9】新定義探究問題

22

27．（2024·浙江寧波·一模）若二次函數(shù)y1a1xb1xc1與y2a2xb2xc2的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)成中心對

稱圖形，我們稱y1與y2互為“中心對稱”函數(shù)．

(1)求二次函數(shù)yx26x3的“中心對稱”函數(shù)的解析式；

c2aac

(2)若二次函數(shù)yax22axc(a0)的頂點(diǎn)在它的“中心對稱”函數(shù)圖象上，且當(dāng)x時(shí)，y最

a4a

大值為2，求此二次函數(shù)解析式．

2

(3)二次函數(shù)y1axbxc(a0)的圖象頂點(diǎn)為M，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A、B，它的“中心對稱”函數(shù)y2的

頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)為C、D，從左往右依次是A、B、C、D，若AB2BP，且四邊形AMDN為矩形，

求b24ac的值．

【答案】(1)“中心對稱”函數(shù)的解析式為：y(x5)26

117

(2)拋物線的表達(dá)式為：yx2x

424

(3)b24ac20

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解一元二次方程、新定義、矩形的性質(zhì)、解直角三角形

等，綜合性強(qiáng)，難度適中．

（1）由新定義即可求解；

（2）求出c7a，得到拋物線的表達(dá)式為：yax22x7，即可求解；

（3）由MH2AHDH，即可求解．

【詳解】（1）解：yx26x3(x3)26，

則該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,6)，

則該頂點(diǎn)關(guān)于(1,0)的對稱點(diǎn)為(5,6)，

23

則“中心對稱”函數(shù)的解析式為：y(x5)26；

（2）由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x1，

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,ca)，

則“中心對稱”函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,ac)，

則“中心對稱”函數(shù)的表達(dá)式為：ya(x3)2ac，

將(1,ca)代入上式得：caa(13)2ac，

解得：c7a，

則拋物線的表達(dá)式為：yax22ax7aax22x7，

c2aac

當(dāng)x時(shí)，

a4a

即5x2，

則拋物線在x5時(shí)，取得最大值為2，

即a(25107)2，

1

解得：a，

4

117

則拋物線的表達(dá)式為：yx2x；

424

（3）如下圖：

2

設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為：xA,xB,xD,Δb4ac,設(shè)左側(cè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)H，

b

則點(diǎn)的坐標(biāo)為：bΔbΔ，bΔ，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，

M,,xAxH,0

2a4a2aB2a2a

根據(jù)點(diǎn)A,D關(guān)于P1,0中心對稱，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD2xA，

bbΔΔΔ

由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)得，AB2AH22·，

2a2a2aa

b

則BP1，

2a

若AB2BP，

24

b

即22，

a2a

整理得：2ab2，

當(dāng)四邊形AMDN為矩形時(shí)，則AMD90，

MDHAMH，

MHAH

tanMDHtanAMH，

HDMH

則MH2AHDH，

ΔbbΔΔ

而，

MH,AH,DH2xAxH

4a2a2a2a

2

則ΔΔ，

2xAxH

4a2a

2

整理得：(2b4a)，

4

2

將2ab2代入上式得：(5),

4

解得：Δ20，0（舍去），

即b24ac20．

28．（23-24九年級上·江西宜春·階段練習(xí)）二次函數(shù)yx22mx的圖像交x軸于原點(diǎn)O及點(diǎn)A．

感知特例：

（1）當(dāng)m1時(shí)，如圖1，拋物線L:yx22x上的點(diǎn)B，O，C，A，D分別關(guān)于點(diǎn)A中心對稱的點(diǎn)為B，

O，C，A，D￠，如下表：

B1,3O0,0C1,1A__,__D3,3

B5,3O4,0C3,1A2,0D1,3

①補(bǔ)全表格：A（___，___）

②請?jiān)趫D1中描出表中對稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖像記為L．

25

形成概念：

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像L上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，則稱L是L的“孔像拋物線”．例

如，當(dāng)m2時(shí)，圖2中的拋物線L是拋物線L的“孔像拋物線”．

探究問題

（2）①當(dāng)m1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”L的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為_______；

②若二次函數(shù)yx22mx及它的“孔像拋物線”與直線ym有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

【答案】（1）①2；0；②作圖見解析；（2）①3x1；②m=±1

【分析】（1）①利用中心對稱的特點(diǎn)即可求出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)；②在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，用平滑的

曲線依次連接各點(diǎn)即可；

（2）①利用配方法求出拋物線L的頂點(diǎn)與對稱軸，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)和對稱性求出“孔像拋物線”L的頂點(diǎn)與

對稱軸，進(jìn)而得出“孔像拋物線”L解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②利用二次函數(shù)yx22mx及它的“孔像拋物線”與直線ym有且只有三個(gè)交點(diǎn)，可得直線ym必經(jīng)過這

兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，利用分類討論的思想方法，令ym分別經(jīng)過L和L的頂點(diǎn)，從而得到關(guān)于

ym的方程，解方程即可求得結(jié)論．

【詳解】（1）∵點(diǎn)B1,3與點(diǎn)B5,3關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，

1533

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,，即A2,0，

22

故答案為：2；0；

②描點(diǎn)，連線，得到的圖像如圖所示：

（2）①當(dāng)m1時(shí)，拋物線L為yx22x，對稱軸為x=1，

當(dāng)yx22x0，

解得：x10，x22，

26

∴A2,0，

∴原點(diǎn)關(guān)于A2,0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為4,0，

24

∴它的“孔像拋物線”L的解析式為yx2x4，對稱軸為x3，

2

畫出草圖如圖所示：

∵拋物線L與它的“孔像拋物線”L的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，

∴x的取值范圍為：3x1，

故答案為：3x1；

22

②∵L：yx22mxxmm2，設(shè)頂點(diǎn)為Pm，m，過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M，“孔像拋物線”L的

頂點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M，

∴PMAPMA