第46練平面向量中的最值與范圍問題(分值：42分)平面向量中的最值與范圍主要有以下幾種題型(1)與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問題，一般考查利用平面向量基本定理或共線定理求參數(shù)的最值(范圍).(2)與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題，解題方法一般有兩種：①形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識來解決.(3)與向量模有關(guān)的最值(范圍)問題，通常是通過|a|2=a2轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.(4)與向量夾角有關(guān)的最值(范圍)問題，主要方法是將夾角與其某個三角函數(shù)值用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(值域)問題，要注意變量之間的關(guān)系.一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=π3，AB=2，BC=4，AD=1，點P，Q在線段BC上移動，且PQ=1，則DP·DQ的最小值為(A.1 B.112 C.132 D答案D解析如圖，以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，0)，不妨取點Q在點P的右側(cè)，則Q(x+1，0)(0≤x≤3)，因為AD∥BC，∠B=π3，AB=2，AD=1所以D(2，3)，則DP·DQ=(x-2，-3)·(x-1，-3)=(x-2)(x-1)+3=x2-3x+5=x-32所以當(dāng)x=32時，DP·DQ取得最小值112.(2024·深圳模擬)過△ABC的重心G的直線l分別交線段AB，AC于點E，F(xiàn)，若AE=λAB，AF=μAC，則λ+μ的最小值為()A.23+2 B.2+223 C.4答案C解析如圖，若D為BC的中點，又G為△ABC的重心，則A，G，D三點共線，且AG=23因為AD=12AB+12AC=所以32AG=12即AG=13λAE又E，G，F(xiàn)三點共線，所以13λ+1故λ+μ=(λ+μ)13λ+1≥23+13×2μλ當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=23時，等號成立3.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|對任意的θ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為()A.[-1，3] B.[-1，5]C.[-7，3] D.[5，7]答案A解析∵非零向量a，b的夾角為θ，|a|=2|b|=2，∴|a|=2，|b|=1，a·b=2×1×cosθ=2cosθ，∵不等式|2a+b|≥|a+λb|對任意的θ恒成立，∴(2a+b)2≥(a+λb)2，∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2，整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cosθ≥0恒成立，∵cosθ∈[-1，1]，∴13-解得-1≤λ≤3.4.已知向量a，b滿足|a-b|=3，|a|=2|b|，設(shè)a-b與a+b的夾角為θ，則cosθ的最小值為()A.45 B.35 C.13答案B解析令b2=t，則a2=4b2=4t，則a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9，2a·b=5由5t-9=2a·b≤2ab=4t得t≤9由5t-9=2a·b≥-2ab=-4t得t≥1所以1≤t≤9，a+b=a2+2a所以cosθ=(a+=t10t-9令y=t210t-9，1≤t≤9t2-10yt+9y=0，所以Δ=100y2-36y≥0，y≥925當(dāng)y=925時，t=95∈[1，9所以cosθ的最小值為925=3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·濮陽統(tǒng)考)已知向量a，b滿足a=1，b=2，則()A.a-bB.a+bC.a-b+a+D.a-b+a答案ACD解析因為a-b2=a-b2=a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈所以1≤a-b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時取得最大值，同向時取得最小值，故因為a+b2=a+b2=a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈所以1≤a+b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時取得最小值，同向時取得最大值，故設(shè)〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=a-b+a+b=所以y2=10+225-16cos2θ∈[16，所以4≤y≤25，故CD正確.6.(2024·岳陽模擬)如圖，正方形ABCD的邊長為2，P是正方形ABCD的內(nèi)切圓上任意一點，AP=λAB+μAD(λ，μ∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A.AP·AB的最大值為4B.λ-μ的最大值為2C.AP·BD的最大值為2D.λ+μ的最大值為1+2答案ABD解析以正方形ABCD的中心為原點，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1，-1)，B(1，-1)，D(-1，1)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，則AP=(1+cosθ，1+sinθ)，AB=(2，0)，BD=(-2，2)，AD=(0，2)，所以AP·AB=2(1+cosθ)，所以當(dāng)θ=0時，AP·AB的最大值為4，A正確；AP·BD=-2(1+cosθ)+2(1+sinθ)=2(sinθ-cosθ)=22sinθ-所以當(dāng)θ=3π4時，AP·BD的最大值為22，C由AP=λAB+μAD知(1+cosθ，1+sinθ)=λ(2，0)+μ(0，2)，所以1+cosθ=2則λ-μ=12(cosθ-sinθ)=22cos所以當(dāng)θ=7π4時，λ-μ的最大值為22，λ+μ=1+12(cosθ+sinθ)=1+22sin所以當(dāng)θ=π4時，λ+μ的最大值為1+22，D三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·安慶模擬)已知非零向量a，b的夾角為θ，a+b=2，且ab≥43，則夾角θ答案π解析由a+ba2+b2+2abcos即4≥2ab(1+cosθ)≥83(1+cosθ前一個等號成立條件為|a|=|b|，整理得cosθ≤12.由于θ∈[0，π]，所以π3≤θ≤8.已知平面向量a，b滿足a·b=|a|=|b|=2，且向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是.

答案[23-1，23+1]解析∵a·b=|a|=|b|=2，設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b=|a||b|cosθ=2×2×cosθ=2，∴cosθ=12，又θ∈[0，π]