2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破基礎(chǔ)知識點試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到平面α：x-y+2z=0的距離為（）A.2√3B.√3C.3√2D.√2（我想，這道題考查的是點到平面的距離公式，其實挺基礎(chǔ)的，同學(xué)們應(yīng)該都記得，就是用公式直接算一下，不過要注意單位的轉(zhuǎn)換，別算錯了，畢竟高考嘛，一分都不能浪費。）2.已知直線l：x=2與平面α：x-y+2z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x=2，y=0，z=0B.y=2，x=0，z=0C.x=2，y=0，z任意D.y=2，z=0，x任意（這道題呢，其實挺有意思的，直線在平面上的投影，就是想象一下，把直線繞到平面里，變成一條線，然后寫出它的方程，大家想想，直線l是垂直于x軸的，那它在平面α上的投影，肯定是在平面α的一個垂直于x軸的平面上，對吧？所以，x的值肯定不變，y和z就可以任取，所以選C。）3.若直線l1：x+y+z=1與直線l2：x-y+z=2相交于點P，則點P到平面β：x+y+z=0的距離為（）A.√2/3B.2√2/3C.√3/3D.2√3/3（這道題啊，稍微有點難度，不過，只要大家掌握了直線與平面相交的幾何意義，以及點到平面的距離公式，就不難。首先，要找到直線l1和l2的交點P，這可以通過解方程組來實現(xiàn)，解出來P的坐標(biāo)，然后，再用點到平面的距離公式，求出P到平面β的距離，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）4.已知平面α：x-y+2z=0和平面β：2x+y+z=1，則平面α與平面β所成銳二面角的余弦值為（）A.1/3B.2√2/3C.√2/3D.√5/3（這道題，我覺得是考查平面間的關(guān)系，特別是二面角，大家要記得，求二面角的余弦值，首先要找到兩個平面的法向量，然后，用向量的點積公式，求出兩個法向量的夾角的余弦值，不過，要注意，要取銳角，所以，如果算出來的是鈍角的余弦值，要取它的相反數(shù)，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則直線AE與直線DF所成角的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√5/3（這道題，其實可以看作是空間中兩條異面直線所成角的計算問題，不過，由于正方體的特殊性，我們可以通過找兩條相交直線來代替這兩條異面直線，然后，再計算這兩條相交直線的夾角的余弦值，這就是異面直線所成角，所以，我們可以找到AE與AC的夾角，或者DF與DB的夾角，這兩個角都與AE與DF所成角相等，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）6.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的體積為（）A.√3/3B.√3C.2√3D.4√3（這道題，我覺得是考查三棱錐的體積計算，以及射影的概念，大家要記得，三棱錐的體積等于底面積乘以高除以3，而高就是頂點到底面的距離，這道題中，頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，所以，高就是重心到頂點的距離，而重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍，所以，高就是△ABC的邊長的2/3，再根據(jù)PA=PB=PC=2，可以求出△ABC的邊長，然后，就可以求出三棱錐的體積了，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）7.已知直線l：x=1與平面α：x+y+2z=1相交于點P，則點P到直線l的距離為（）A.√3/3B.√2/3C.1D.√5/3（這道題，其實挺簡單的，直線l在平面α上的投影是一條線段，而點P在平面α上，所以，點P到直線l的距離，就是點P到這條線段的距離，而這條線段就是直線l在平面α上的投影，所以，點P到直線l的距離，就是點P到這條線段的距離，而點P到這條線段的距離，就是點P到這條線段的垂線段的長度，所以，我們可以過點P作直線l的垂線，交直線l于點Q，然后，就可以求出點P到直線l的距離，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）8.已知平面α：x-y+2z=0和平面β：2x+y+z=1，則平面α與平面β所成銳二面角的正弦值為（）A.2√2/3B.√2/3C.1/3D.√5/3（這道題，其實和第4題類似，只是把余弦值換成了正弦值，大家要記得，求二面角的正弦值，首先要找到兩個平面的法向量，然后，用向量的叉積公式，求出兩個法向量的夾角的正弦值，不過，要注意，要取銳角，所以，如果算出來的是鈍角的正弦值，要取它的相反數(shù)，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則直線AE與直線DF所成角的正弦值為（）A.2√2/3B.√2/3C.1/3D.√5/3（這道題，其實和第5題類似，只是把余弦值換成了正弦值，大家要記得，求異面直線所成角的正弦值，首先要找到兩條相交直線來代替這兩條異面直線，然后，再計算這兩條相交直線的夾角的正弦值，這就是異面直線所成角，所以，我們可以找到AE與AC的夾角，或者DF與DB的夾角，這兩個角都與AE與DF所成角相等，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）10.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的外心，若PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的表面積為（）A.4√3B.8√3C.12√3D.16√3（這道題，我覺得是考查三棱錐的表面積計算，以及外心的概念，大家要記得，三棱錐的表面積等于各個面的面積之和，而每個面的面積都可以用海倫公式來計算，不過，這道題中，頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的外心，所以，我們可以利用外心的性質(zhì)，即外心到三角形各個頂點的距離相等，所以，PA=PB=PC，所以，三棱錐P-ABC是一個正三棱錐，所以，我們可以直接利用正三棱錐的表面積公式來計算，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）11.已知直線l：x+y=1與平面α：x+y+2z=0垂直，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x-y=0，z=0B.y-x=0，z=0C.x+y=0，z=0D.x-y=0，z任意（這道題，我覺得是考查直線與平面垂直的關(guān)系，以及投影的概念，大家要記得，直線與平面垂直，意味著直線的方向向量與平面的法向量平行，所以，我們可以先找到直線l的方向向量，然后，找到平面α的法向量，然后，判斷這兩個向量的關(guān)系，如果它們平行，那么，直線l在平面α上的投影就是一條直線，這條直線的方向向量與平面α的法向量垂直，所以，我們可以通過解方程組來找到這條直線的方程，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）12.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的垂心，若PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的高為（）A.√3B.√2C.2√2D.2√3（這道題，我覺得是考查三棱錐的高計算，以及垂心的概念，大家要記得，三棱錐的高等于頂點到底面的距離，而頂點到底面的距離，可以通過頂點到垂心的距離乘以sin∠APB來計算，不過，這道題中，頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的垂心，所以，我們可以利用垂心的性質(zhì)，即垂心到三角形各個頂點的距離的平方和最小，所以，我們可以通過解方程組來找到垂心的坐標(biāo)，然后，再計算頂點P到垂心的距離，這就是三棱錐的高，我覺得，這道題能考察出同學(xué)們的空間想象能力和計算能力，希望大家認(rèn)真思考。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知平面α：x-y+2z=0和平面β：2x+y+z=1，則平面α與平面β所成銳二面角的余弦值為________。（這道題，其實和第4題類似，只是把題目換成了填空題，大家要記得，求二面角的余弦值，首先要找到兩個平面的法向量，然后，用向量的點積公式，求出兩個法向量的夾角的余弦值，不過，要注意，要取銳角，所以，如果算出來的是鈍角的余弦值，要取它的相反數(shù)，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則直線AE與直線DF所成角的余弦值為________。（這道題，其實和第5題類似，只是把題目換成了填空題，大家要記得，求異面直線所成角的余弦值，首先要找到兩條相交直線來代替這兩條異面直線，然后，再計算這兩條相交直線的夾角的余弦值，這就是異面直線所成角，所以，我們可以找到AE與AC的夾角，或者DF與DB的夾角，這兩個角都與AE與DF所成角相等，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）15.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的體積為________。（這道題，其實和第6題類似，只是把題目換成了填空題，大家要記得，三棱錐的體積等于底面積乘以高除以3，而高就是頂點到底面的距離，這道題中，頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，所以，高就是重心到頂點的距離，而重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍，所以，高就是△ABC的邊長的2/3，再根據(jù)PA=PB=PC=2，可以求出△ABC的邊長，然后，就可以求出三棱錐的體積了，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）16.已知直線l：x=1與平面α：x+y+2z=1相交于點P，則點P到直線l的距離為________。（這道題，其實和第7題類似，只是把題目換成了填空題，大家要記得，直線l在平面α上的投影是一條線段，而點P在平面α上，所以，點P到直線l的距離，就是點P到這條線段的距離，而這條線段就是直線l在平面α上的投影，所以，點P到直線l的距離，就是點P到這條線段的距離，而點P到這條線段的距離，就是點P到這條線段的垂線段的長度，所以，我們可以過點P作直線l的垂線，交直線l于點Q，然后，就可以求出點P到直線l的距離，這道題，大家要仔細(xì)計算，別算錯了。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，且AD⊥BC，AD=BC=2，求四邊形EFGH的面積。（嗯，這道題啊，看著有點復(fù)雜，不過沒關(guān)系，咱們一步一步來。首先，根據(jù)題意，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，所以，EF是△ABC的中位線，同理，GH也是△ADC的中位線，而且，EF∥GH，EF=GH=1/2BC=1。又因為E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，所以，EH是△ABD的中位線，同理，F(xiàn)G也是△BCD的中位線，而且，EH∥FG，EH=FG=1/2AD=1。所以，四邊形EFGH是一個平行四邊形，而且，EF=EH=1，所以，四邊形EFGH是一個菱形。接下來，咱們要計算菱形的面積，菱形的面積等于對角線乘積的一半，所以，咱們只需要找到對角線EF和GH的長度就可以了。由于EF∥GH，且EF=1，GH=1，所以，四邊形EFGH的對角線EF和GH互相垂直，而且，EF=1，GH=1，所以，四邊形EFGH的面積等于1/2×1×1=1/2。不過，這個結(jié)果好像不太對，咱們再仔細(xì)想想。實際上，EF和GH是菱形的兩條鄰邊，它們的長度都是1，所以，四邊形EFGH的面積等于1×1×sin∠EFH=1×1×sin90°=1。對，應(yīng)該是這個結(jié)果。所以，四邊形EFGH的面積是1。大家看，其實這道題并不難，關(guān)鍵是要找到四邊形EFGH是一個菱形，然后，利用菱形的面積公式來計算。）18.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，求三棱錐D-AEF的體積。（這道題，求三棱錐的體積，體積公式是底面積乘以高除以3，所以，咱們首先要找到底面和高。底面可以是△AEF，高是D到平面AEF的距離。不過，D到平面AEF的距離不好求，咱們換個思路，找三棱錐的其他頂點到底面的距離。比如，找A到平面DEF的距離。因為D、E、F分別是棱CC1、BB1、CC1的中點，所以，DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，而且，DE=EF=DF=1/2。所以，△DEF是一個邊長為1的正三角形。所以，△DEF的面積是1/4×√3。接下來，咱們要找A到平面DEF的距離。因為A在正方體上，所以，A到平面DEF的距離，就是A到BC的距離，也就是1。所以，三棱錐D-AEF的體積是1/3×1/4×√3×1=√3/12。大家看，這道題其實也挺簡單的，關(guān)鍵是要找到△DEF是一個正三角形，然后，利用三棱錐的體積公式來計算。）19.已知平面α：x-y+2z=0和平面β：2x+y+z=1，求平面α與平面β所成銳二面角的平面角。（求二面角的平面角，咱們可以先找到兩個平面的法向量，然后，用向量的點積公式，求出兩個法向量的夾角的余弦值，不過，要注意，要取銳角。平面α的法向量是（1，-1，2），平面β的法向量是（2，1，1），它們的點積是1×2+(-1)×1+2×1=3，它們的模長分別是√6和√6，所以，夾角的余弦值是3/(√6×√6)=1/2，所以，夾角是60°，這就是銳二面角的平面角。大家看，這道題其實挺基礎(chǔ)的，只要大家掌握了法向量的概念和點積公式，就能輕松解決。）20.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若PA=PB=PC=2，求三棱錐P-ABC的表面積。（求三棱錐的表面積，咱們要分別計算各個面的面積，然后，把它們加起來。因為頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，所以，三棱錐P-ABC是一個正三棱錐，底面是邊長為2√3的正三角形，面積是1/4×(2√3)2×√3=3√3。高是2，所以，三個側(cè)面的面積都是1/2×2×2×sin60°=2√3。所以，三棱錐P-ABC的表面積是3√3+3×2√3=9√3。大家看，這道題其實也挺簡單的，只要大家掌握了正三棱錐的面積公式，就能輕松解決。）21.已知直線l：x+y=1與平面α：x+y+2z=0垂直，求直線l在平面α上的投影方程。（求直線在平面上的投影方程，咱們可以先找到直線的方向向量和法向量，然后，用向量的點積公式，求出直線的方向向量與平面的法向量的夾角的正弦值，然后，用正弦值和直線的方向向量，求出投影直線的方向向量，最后，用投影直線上的一點和投影直線的方向向量，求出投影直線的方程。不過，這個方法有點復(fù)雜。其實，咱們可以換個思路，因為直線l與平面α垂直，所以，直線l的方向向量與平面α的法向量平行。直線l的方向向量是（-1，1），平面α的法向量是（1，1，2）。所以，投影直線的方向向量是（-1，1，0），投影直線上的一點可以是（0，1，0）。所以，投影直線的方程是x-0=-1(y-1)，z=0，即x+y=1，z=0。大家看，這道題其實也挺簡單的，只要大家掌握了直線與平面垂直的關(guān)系，就能輕松解決。）22.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的垂心，若PA=PB=PC=2，求三棱錐P-ABC的高。（求三棱錐的高，咱們可以先找到底面的面積，然后，用三棱錐的體積公式，求出高。因為頂點P在底面ABC上的射影是△ABC的垂心，所以，△ABC是一個等邊三角形，邊長為2√3，面積是1/4×(2√3)2×√3=3√3。三棱錐的體積是1/3×3√3×2=2√3。所以，三棱錐P-ABC的高是2√3/(3√3)=2。大家看，這道題其實也挺簡單的，只要大家掌握了等邊三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，就能輕松解決。）本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點A到平面α的距離d=|1*1-2*2+2*3|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=2√32.C解析：直線l在平面α上的投影是過點(2,0,0)且平行于平面α的法向量(1,-1,2)的直線，方程為x=2,y=0,z任意3.B解析：解方程組得P(1/2,1/2,1/2)，則P到平面β的距離d=|1/2+1/2+1/2|/√(1^2+1^2+1^2)=2√2/34.A解析：平面α的法向量n1=(1,-1,2)，平面β的法向量n2=(2,1,1)，cosθ=|n1·n2|/(|n1||n2|)=|1*2+(-1)*1+2*1|/(√6*√6)=1/3，銳二面角的余弦值為1/35.B解析：向量AE=(0,-1,1)，向量DF=(-1,-1,1)，cos