2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何應(yīng)用題突破模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，E為棱PC的中點(diǎn)，那么直線BE與平面PAC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/32.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)E為棱SC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱SD的中點(diǎn)，那么三棱錐EAF的體積是（）A.√2/3B.√3/3C.1D.23.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=1，那么點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√5/2B.√10/2C.√15/2D.√17/24.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A.60°B.90°C.120°D.180°5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，那么直線A1B與平面A1AC所成角的正切值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/3D.16.已知球O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C都在球面上，且OA=OB=OC=2√2，那么二面角A-OB-C的余弦值是（）A.-1/2B.0C.1/2D.17.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，那么點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√3/3B.√3C.2√3/3D.2√38.一個(gè)正方體的棱長為2，那么這個(gè)正方體的外接球的表面積是（）A.16πB.24πC.32πD.48π9.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，那么點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√3B.√6/2C.√7/2D.√8/210.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長為4，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的面積是（）A.4πB.8πC.16πD.32π11.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，那么點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√2B.√3C.√5D.√612.一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，那么這個(gè)正四棱錐的體積是（）A.√2/3B.√3/3C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)位置。）13.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是________。14.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)E為棱SC的中點(diǎn)，那么三棱錐EAB的體積是________。15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=1，那么點(diǎn)D到平面PAC的距離是________。16.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的面積與底面面積之比是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，E為棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB的中點(diǎn)。（1）求證：平面BEF⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。18.（本小題滿分12分）已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)E為棱SC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱SD的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形EFAB是平行四邊形；（2）求三棱錐EAF的體積。19.（本小題滿分12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=1，求點(diǎn)A到平面PBC的距離。20.（本小題滿分12分）一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角。21.（本小題滿分12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，求直線A1B與平面A1AC所成角的正切值。22.（本小題滿分10分）一個(gè)正方體的棱長為2，求這個(gè)正方體的外接球的表面積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：取PC的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥PC。又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥BE。又BE與PA相交于點(diǎn)P，所以BE⊥平面PAC。因此，直線BE與平面PAC所成角即為∠PEB。在等邊三角形PBC中，PE=√3/2*2=√3，PB=2，所以sin∠PEB=BE/PB=1/2。2.B解析：連接EF，因?yàn)镋、F分別為SC、SD的中點(diǎn)，所以EF∥CD。又因?yàn)镃D∥AB，所以EF∥AB。因此，四邊形EFAB是平行四邊形。連接AF，因?yàn)镕為SD的中點(diǎn)，所以AF=√(AB^2+(AD/2)^2)=√(2^2+1^2)=√5。三棱錐EAF的體積V=1/3*S△ABF*AF=1/3*(1/2*2*1)*√5=√3/3。3.A解析：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BC。又因?yàn)锳B⊥BC，所以BC⊥平面PAB。因此，AH⊥BC。在矩形ABCD中，AH=AD*sin∠ABC=2*sin60°=√3。PH=√(PA^2+AH^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7。所以，點(diǎn)A到平面PBC的距離為√3/2。4.C解析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其圓心角為θ，弧長等于圓錐底面周長，即θ*母線長=2*π*底面半徑。θ*4=2*π*2，解得θ=120°。5.B解析：過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，連接A1H。因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1，所以AA1⊥底面ABC。因此，A1H⊥AC。又因?yàn)锳B=AC，所以BH=√2/2*AB=√2/2。A1H=√(AA1^2+BH^2)=√(2^2+(√2/2)^2)=√(4+1/2)=√(9/2)=3√2/2。因此，直線A1B與平面A1AC所成角的正切值為tan∠A1BH=A1H/BH=3√2/2/(√2/2)=√2/2。6.C解析：連接OA、OB、OC，因?yàn)镺A=OB=OC=2√2，所以△OAB、△OBC、△OCA都是等邊三角形。二面角A-OB-C即為∠BOC。在等邊三角形OBC中，cos∠BOC=OC/OB=1/2。7.A解析：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥BC。又因?yàn)锳B⊥BC，所以BC⊥平面PAB。因此，AH⊥BC。在等邊三角形PBC中，PH=√3/2*2=√3。AH=√(PA^2+PH^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7。所以，點(diǎn)A到平面PBC的距離為√3/3。8.A解析：正方體的外接球直徑等于正方體的對(duì)角線長，即√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3。外接球半徑為√3，表面積為4*π*(√3)^2=12π。但這里計(jì)算有誤，應(yīng)該是4π*2^2=16π。9.B解析：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BC。又因?yàn)椤螦BC=60°，所以AH=AB*sin∠ABC=2*sin60°=√3。PH=√(PA^2+AH^2)=√(2^2+(√3)^2)=√7。所以，點(diǎn)A到平面PBC的距離為√6/2。10.B解析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其面積等于圓錐的側(cè)面積，即π*底面半徑*母線長=π*2*4=8π。11.A解析：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥BC。又因?yàn)锳B=AC，所以BH=√2/2*AB=√2。PH=√(PA^2+BH^2)=√(2^2+(√2)^2)=√6。所以，點(diǎn)A到平面PBC的距離為√2。12.C解析：正四棱錐的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*2^2*√(√3^2-1^2)=1。二、填空題答案及解析13.1/2解析：同第1題解析。14.√2/3解析：同第2題解析。15.√2/2解析：過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AC。因此，DH⊥AC。在矩形ABCD中，DH=AD*sin∠ADC=2*sin45°=√2。PH=√(PA^2+DH^2)=√(2^2+(√2)^2)=√6。所以，點(diǎn)D到平面PAC的距離為√2/2。16.2:1解析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其面積等于圓錐的側(cè)面積，即π*底面半徑*母線長=π*2*4=8π。底面面積為π*2^2=4π。面積之比為8π:4π=2:1。三、解答題答案及解析17.解析：（1）取PC的中點(diǎn)E，連接BE，因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥BE。又因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以PE=EC。又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形，所以BE⊥AC。因