第一章數(shù)的整除

1.1整數(shù)和整除的意義

1.在數(shù)物體的時(shí)候,用來表達(dá)物體個(gè)數(shù)時(shí)數(shù)1,2,3,4,5,……，叫做整數(shù)

2.在正整數(shù)1,2,3,4,5,……,時(shí)前面添上“一”號，得到的數(shù)一1,-2,-3,-4,一

5,……，叫做負(fù)整數(shù)

3.零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)

4.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)

5.整數(shù)a除以整數(shù)b,假如除得的商恰好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或

者說b能整除a。

1.2因數(shù)和倍數(shù)

1.假如整數(shù)a能被整數(shù)I:整除，a就叫做b倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)

2.倍數(shù)和因數(shù)是互相依存H勺

3.?種數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小日勺因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它自身

4.一種數(shù)的倍數(shù)D勺個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它自身

1.3能被2,5整除的數(shù)

1.個(gè)位數(shù)字是0,2,4,6,8U勺數(shù)都能被2整除

2.整數(shù)可以提成奇數(shù)和偶數(shù)，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)

3.在正整數(shù)中（除1外），與奇數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是偶數(shù)

4.在正整數(shù)中，與偶數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)

5.個(gè)位數(shù)字是0,5的數(shù)番能被5整除

6.0是偶數(shù)

1.4素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)

1.只具有因數(shù)1及自身的整數(shù)叫做素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)

2.除了1及自身尚有別的因數(shù)，這樣日勺數(shù)叫做合數(shù)

3.1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)

4.奇數(shù)和偶數(shù)統(tǒng)稱為正整數(shù)，素?cái)?shù)、合數(shù)和1統(tǒng)稱為正整數(shù)

5.每個(gè)合數(shù)都可以寫成兀種素?cái)?shù)相乘的形式，這幾種素?cái)?shù)都叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)

6.把?種合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表達(dá)出來，叫做分解素因數(shù)。

7.一般用什么措施分解素因數(shù)：樹枝分解法,短除法

1.5公因數(shù)與最大公因數(shù)

1.幾種數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公因數(shù)，其最大的一種叫做這幾種數(shù)的最大公因數(shù)

2.假如兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個(gè)數(shù)互素?cái)?shù)

3.把兩個(gè)數(shù)公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

4.假如兩個(gè)數(shù)中，較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)日勺最大公因數(shù)較小的數(shù)

5.假如兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1

1.6公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

1.幾種數(shù)公有的J倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)

2.幾種數(shù)中最小的公因數(shù)，叫做這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)

3.求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，只要把它們所有的公有日勺素因數(shù)和他們各自獨(dú)有的素因數(shù)連乘,

所得的積就是他們FI勺最小公倍數(shù)

4.假如兩個(gè)數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是較大的J那個(gè)數(shù)

5.假如兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那幺這兩個(gè)數(shù)的或小公倍數(shù)是；兩個(gè)數(shù)日勺乘積

第二束分?jǐn)?shù)

2.1分?jǐn)?shù)與除法

1.一般地，兩個(gè)正整數(shù)和除口勺商可用分?jǐn)?shù)表達(dá)，即被除數(shù)+除數(shù)=

用字母表達(dá)為p+q=-（p、q為正整數(shù)）

q

2.會用數(shù)軸上口勺點(diǎn)表達(dá)分?jǐn)?shù)

2.2分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

1.分?jǐn)?shù)的分子和分母同步乘以一種不為零的整數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變

2.分子分母只有公因數(shù)1曰勺分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)

3.把一種分?jǐn)?shù)化成同它相等，但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分

2.3分?jǐn)?shù)的比較大小

1.同分母分?jǐn)?shù)的I大小只需要比較分子的大小，分子大B勺比較大，分子小H勺比較小

2.通分的一般環(huán)節(jié)是：

（1）求公分母一一求分母的最小公倍數(shù)；

（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將每個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母相似的分?jǐn)?shù)。

3.異分母分?jǐn)?shù)比較大小需要先通提成同分母分?jǐn)?shù)再按照同分母分?jǐn)?shù)比較大小

2.4分?jǐn)?shù)的加減法

1.同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減

2.異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通提成同分母分?jǐn)?shù)，再按照同分母分?jǐn)?shù)相加減

3.分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)

4.分子不小于或者等于分母的J分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)

5.整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相加所成口勺分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)

6.假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)：分母不變，整數(shù)部分為原分子除以分母的商，分子則為原分子除以分

母的余數(shù)

7.列方程求未知數(shù)日勺一般書寫環(huán)節(jié)：（1）設(shè)未知數(shù)為x;（2）根據(jù)題意列出方程：（3）根

據(jù)加減互為逆運(yùn)算，表達(dá)出x等于那些數(shù)相加減；（4）計(jì)算出x的值，并寫出上結(jié)論

2.5分?jǐn)?shù)的乘法

1.兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，分子相乘作為分子，分母相乘作為分母

2.假如乘數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行運(yùn)算

2.6分?jǐn)?shù)的除法

1.一種數(shù)與其相乘的積為1的數(shù)為這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；0沒有倒數(shù)

2.除以?種分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)B勺倒數(shù)

3.被除數(shù)或除數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)的先化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行運(yùn)算

2.7分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化

1.一種分?jǐn)?shù)能不能化為有限小數(shù)和分?jǐn)?shù)的分母有關(guān)

2.從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不停地反更出現(xiàn)前一種或一節(jié)數(shù)字口勺無限小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)

3.被反復(fù)I內(nèi)一種或一節(jié)數(shù)碼稱為循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)

4.一種分?jǐn)?shù)總可以化為有限小數(shù)或無線循環(huán)小數(shù)

2.8分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算

2.9分?jǐn)?shù)運(yùn)算的應(yīng)用

第三*比和山/

3.1比的意義

1.將a與b相除叫a與匕H勺比，記作a:b,讀作a比b

2.求a與b日勺比，b不能為零

3.a叫做比例前項(xiàng)，b叫做比例后項(xiàng)，前項(xiàng)a除后來項(xiàng)b的商叫做比值

4.求兩個(gè)同類量的比值時(shí)，假如單位不一樣，先統(tǒng)一單位再做比

5.比值可以用整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)表達(dá)

3.2比的基本性質(zhì)

1.比的基本性質(zhì)是比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同步乘以或除以用似的數(shù)（0除外），比值不變

2.運(yùn)用比的基本性質(zhì)，可以把比華為最簡整數(shù)比

3.兩個(gè)數(shù)H勺比，可以用比號日勺形式表達(dá)，也可以用分?jǐn)?shù)的形式表達(dá)

4.三項(xiàng)連比性質(zhì)是：假如a：b=m：n,b：c=n：k,那么a：b：c=m：n：k

假如kHO,那么a:b:c=ak:bk:ck=::

5.將三個(gè)整數(shù)比化為最簡整數(shù)比，就是給每項(xiàng)除以最大公約數(shù)；

將三個(gè)分?jǐn)?shù)化為最簡整數(shù)比，先求分母的最小公倍數(shù)，再給各項(xiàng)乘以分母H勺最小公倍數(shù);

將三個(gè)小數(shù)比化為最簡整數(shù)比先給各項(xiàng)同乘以10,100,1000等，化為整數(shù)比，再化為最簡

整數(shù)比

6.求三項(xiàng)連比日勺一般環(huán)節(jié)是：（Do尋找關(guān)聯(lián)量，求關(guān)聯(lián)量對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)日勺最小公倍數(shù)

（2）根據(jù)畢的基本性質(zhì)，把兩個(gè)比中關(guān)聯(lián)量化成相似的數(shù)

（3）對應(yīng)寫出三項(xiàng)連比

3.3比例

1.a（第一比例項(xiàng)）：b（第二比例項(xiàng)）=c（第三比例項(xiàng)）：d（第四比例項(xiàng)）；其中a、d

叫做比例外項(xiàng)，b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)

2.假如兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)（外項(xiàng)）相似，即a:b=b:c,那么b叫做a、c比例中項(xiàng)

3.運(yùn)用比例的基本性質(zhì)，可以把比例方程轉(zhuǎn)化化為我們常見的形式ad=be,簡樸的說，就

是內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積

4.列方程解應(yīng)用題的一般書寫環(huán)節(jié)分四步：（1）設(shè)未知數(shù)（2）列方程（3）解方程（4）

答

5.列比例方程時(shí)，一定要注意對應(yīng)關(guān)系，一定要注意同類量R勺單位要對應(yīng)統(tǒng)一

3.4比例的意義

1表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾的）數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，表達(dá)n%,讀作百分之……

2.把百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)

3.把小教化為百分?jǐn)?shù)

3.5比例的應(yīng)用

1.三個(gè)關(guān)鍵詞：是，占.時(shí)

2.一條主線：求部分占全體的J百分?jǐn)?shù)；

三類情景：一般文字題，記錄圖和登記表，恩格爾系數(shù)

3.獲利問題的倆個(gè)基本公式：售價(jià)一成本二獲利，獲利率二獲利/成本X100%；在售價(jià)、成

本和獲利三個(gè)量中，只要懂得其中H勺兩個(gè)量，就可以計(jì)算出獲利率

打折問題的一?種基本公式：原（售）價(jià)X折數(shù);現(xiàn)（售）價(jià)：在原價(jià)、現(xiàn)價(jià)和折數(shù)三個(gè)量中,

只要懂得其中兩個(gè)量，就可以計(jì)算出第三個(gè)量

虧損時(shí)獲利意義相對的量：獲利=售價(jià)一成本，虧損=成本一售價(jià)

4.銀行利息的結(jié)算和本金、利率和期數(shù)有關(guān)(注意：貸款利息不納稅)

利息=本金X利率X期數(shù)；利息稅=利息X20%；

稅后本息和二本金+稅后利息:本金+利息一利息稅;本金+利息X(1-20%)

增長率=增長的量/本來的基數(shù)X100%

3.6等也許事件

1.從實(shí)際生活中感悟那些事件是也許事件，哪些事件是不也許事件

2.也許性的大小可以用一種真分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)表達(dá)

第皿章圓和扇形

4.1圓的周長

1.周長公式C=/d=2irr,其中冗是一種無限不循環(huán)小數(shù)，一般取兀=3.14

2.會根據(jù)題意，有其中2個(gè)量求第三個(gè)量的值

4.2弧長

1.如圖，圓上A.B兩點(diǎn)間H勺部分就是弧，記作讀作弧AB,NA0B稱為圓心角/

2.圓心角所對日勺弧長是圓周長日勺\

3.設(shè)圓的半徑為r,圓心角所對的弧長是，弧長公式：=7tr

4.3圓的面積

1.圓的J面積S=3T

2.環(huán)形的面積;大圓的面積一小圓的面積S=K(-)

4.4扇形的面積

1.扇形面積公式=T]=

2.現(xiàn)定陰影部分面積，要善亍抓住圖形冏依J氏尊關(guān)系和數(shù)量關(guān)系迸行合適的|物補(bǔ)

第五常有理數(shù)

5.1有理數(shù)的意義

1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.有理數(shù)整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

5.2數(shù)軸

1.數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。

2.數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、單位長度、正方向。

3.所有時(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上時(shí)點(diǎn)來表達(dá)。也可以用數(shù)軸來比較兩個(gè)數(shù)的大小

4.在數(shù)軸上表達(dá)H勺兩個(gè)數(shù)，正方向時(shí)數(shù)不小于負(fù)方向時(shí)數(shù)

3.零是正數(shù)和負(fù)數(shù)H勺分界。

4.只有符號不一樣的兩個(gè)效，我們稱其中一種數(shù)為另一種數(shù)的相反數(shù)，也稱為這兩個(gè)數(shù)互為

相反數(shù)，零的相反數(shù)是零。

5.3絕對值

1.一種數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)H勺距離，叫做這個(gè)數(shù)的I絕對值

2.一種正數(shù)的絕對值是它自身c

3.一種負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

4.零的絕對值是零。

5.兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的那個(gè)數(shù)反而小。

5.4~5.5有理數(shù)的加減

1.有理數(shù)加法法則：

（1）同號兩數(shù)相加，取本來的符號，并把絕對值相加。

（2）異號兩數(shù)相加，絕對值相等時(shí)和為零，絕對值不相等時(shí)，其和"勺絕對值為較大絕對值減

去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)H勺符號。

（3）一種數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)。

2.有理數(shù)加法H勺運(yùn)算律:

（1）互換律:a+b=b+a

（2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

3.有理數(shù)的減法法則

（1）減去一種數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

（2）a-b=a+（-b）

5.6~5.7有理數(shù)的乘除

1.兩數(shù)相乘日勺符號法則：

正正得正，正負(fù)得負(fù)，負(fù)正得負(fù)，負(fù)負(fù)得正。

2.有理數(shù)的乘法法則

（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。

（2）任何數(shù)與零相乘，都得零。

3.注意連成的符號：

（1）幾種不等于零日勺數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)日勺個(gè)數(shù)決定

（2）當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)

（3）當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正

（4）幾種數(shù)相乘，有因數(shù)為零，積就為零

4.有理數(shù)除法法則：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

（2）零除以任何一種不為零的數(shù)，都得零。

5.8有理數(shù)的乘方

1.求N個(gè)相似因數(shù)U勺積的運(yùn)算，叫做乘方。乘法的成果叫做賽。在an中，a叫做底數(shù),n叫做

指數(shù)，讀作an次方,an看做是aH勺n次方成果時(shí)，讀作aH勺n次解。

5.9有理數(shù)的混合運(yùn)算

1.正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇多次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶多次幕是正數(shù)。

2.有理數(shù)混合運(yùn)算的次序：先乘方，后乘除，再加減；記錄運(yùn)算從左到右；假如有括號，先算

小括號，后算中括號，再算大括號。

5.10科學(xué)計(jì)數(shù)法

1.把一種數(shù)寫成aXIOn（其中l(wèi)WaV10,n是正整數(shù)），這種形式日勺計(jì)數(shù)措施叫做科學(xué)計(jì)數(shù)法

2.近似數(shù)與精確數(shù)H勺靠近程度即近似程度。對近似程度日勺規(guī)定，叫做精確度。

3.有效數(shù)字：從左邊第一種不為零H勺數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)H勺

有效數(shù)字

第六錄一次方程r組）

友一決不等式（i&）

6.1列方程

1.用字母x、y、等表達(dá)所規(guī)定日勺未知的數(shù)量，這些字母稱為未知數(shù)。具有未知數(shù)的等式叫做

方程。在方程中，所含的未知數(shù)又稱為元。

2.為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等量關(guān)系式，就是列方程。

6.2方程的解

1.假如未知數(shù)所取的某個(gè)值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)未知數(shù)的值叫做方程的解

6.3一元一次方程及其解法

1.只具有一種未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程

2.等式性質(zhì)：

（1）等式兩邊同步加上［或減去）同一種數(shù)或一種具有字母的式子，說得成果仍是等式。

（2）等式兩邊同步乘以同一種數(shù)（或除以同一種不為零艮I數(shù)），所得成果仍是等式。

3.去括號的法則是：

括號前帶“+”號，去掉括號時(shí)括號內(nèi)各項(xiàng)都不變符號。括號前帶“一”號，去掉括號時(shí)括號

內(nèi)各項(xiàng)都變化符號。

4.解一元一次方程口勺一般環(huán)節(jié)是：

（1）去分母；

（2）去括號;

（3）移項(xiàng)；

（4）化成ax=b（a#0）H勺形式

（5）兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解x=b/a

6.4一元一次方程的應(yīng)用

1.列方程解應(yīng)用題口勺一般環(huán)節(jié)是：

（1）設(shè)未知數(shù)（元）；

（2）列方程；

（3）解方程；

（4）檢查并作答。

6.4不等式及其性質(zhì)

用不等號隈”“2”表達(dá)的關(guān)系式,叫做“不等式”。

不等式性質(zhì)：

1.不等式的兩邊同步加上（或減去）同一種數(shù)或同一種具有字母H勺式子，不等號的方向不變,

即：

假如a>b,那么a+m>o+m

假如a<b,那么a+m<3+m

2.不等式的兩邊同步乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變，即：

假如a>b,且m>0,那么am>bm（或a/m>b/m）

假如a<b,H.m>0,那么amVbm（或a/m<b/m=

3.不等式的兩邊同步乘以（或除以）同一種負(fù)數(shù)，不等號的）方向變化，即：

假如a>b,且mVO,那么amVbm（或a/m>b/m）

假如aVb,且mVO,那么am>bm（或a/mVb/m）

6.6一元一次不等式的解法

1.在具有未知數(shù)H勺不等式中，能使不等式成立FJ勺未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

2.一般狀況下，一元一次方程的J解只有一種，一元一次不等式的解可以有無數(shù)個(gè)。不等式的I

解的全體叫做不等式的解集。

3.只具有一種未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式。

4.解一元一次不等式時(shí)一般環(huán)節(jié)與解一元一次方程類似。

6.7一元一次不等式組

1.由幾種具有同一種未知數(shù)的一次不等式構(gòu)成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

2.不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組I內(nèi)解集。

3.求不等式組日勺解集的過程叫做解不等式組。

4.假如各個(gè)不等式的解集沒有公共部分，那么這個(gè)不等式組無解。

5.解一元一次不等式組的一般環(huán)節(jié)是：

(1)求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

(2)在數(shù)軸上表達(dá)各個(gè)不等式的解集；

(3)確定各個(gè)不等式解集的公共部分，就得到這個(gè)不等式組口勺解集。

6.8二元一次方程

1.具有兩個(gè)未知數(shù)日勺一次方程叫做二元一次方程。

2.使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

3.二元一次方程H勺解有無數(shù)個(gè)，二元一次的解的全體叫做這個(gè)二元一次方程的解集。

6.9二元一次方程組及其解法

1.由幾種方程構(gòu)成日勺一組方程叫做方程組。假如方程組中具有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)H勺項(xiàng)

的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元??次方程組。

2.在二元一次方程組中，使每個(gè)方程都適合的解，叫做二元一次方程組的解。

3.通過“代入”消去一種未知數(shù)，將方程式轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法,

簡稱代入法。

4.通過將兩個(gè)方程相加(或相減)消去一種未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解

法叫做加減消元法。

6.10三元一次方程組及其解法

1.假如方程組中有三個(gè)未知數(shù)，且具有未知數(shù)日勺項(xiàng)的次數(shù)都是一次，這樣日勺方程組叫做三元

一次方程組。

6.11一次方程組的應(yīng)用

1.列方程解應(yīng)用題時(shí)要靈活選擇未知數(shù)I向個(gè)數(shù)。

2.對于具有兩個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題一般采用列二元一次方程組求解；對于具有三個(gè)未知數(shù)H勺應(yīng)

用題一般采用列三元一次方程組求解。

第七*線段芍角的面法

7.1線段的大小比較

1.聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)II勺線段的長度叫做兩點(diǎn)之間的距離。

7.2畫線段的和、差、倍

1.兩條線段可以相加（或相減），它們口勺和（或差）也是一條線段，其長度等于這兩條線段

的長度附和（或差）。

2.將一條線段提成兩條相等線段歐I店叫做這條線段口勺中點(diǎn)。

7.3角概念與比較

1.角是具有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形。公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線叫做角E勺邊。

7.4角的大小比較、畫相等的角

1.角是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一種位置所成的圖形。處在初始位置的那條射線叫

做角。勺始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊。

7.5畫角的和、差、倍

1.兩個(gè)角可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一種先，它II勺度數(shù)等于這兩個(gè)角U勺角

度的和（或差）。

2.從一種角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角提成兩個(gè)相等日勺角，這條射線叫做這個(gè)角的平分

線。

7.6余角、補(bǔ)角

1.假如兩個(gè)角口勺度數(shù)的和是90二，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，簡稱互余。其中一種角成為

另一種角的余角。

2.假如兩個(gè)角的度數(shù)的和是180二，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)。其中一種角稱為

另一種角的補(bǔ)角。

3.注意：

（1）同角（或等角）H勺余角相等；

（2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等；

4.提問：

（1）一種角與它"勺余角相等，這個(gè)角是怎樣的角？是銳角

（2）一種角與它的補(bǔ)角相等，這個(gè)角是怎樣日勺角？是直角

（3）.互補(bǔ)的兩個(gè)角能否都是銳角？不能

（4）互補(bǔ)的J兩個(gè)角能否都是直角？也許

（5）互補(bǔ)的兩個(gè)角能否都是鈍角？不能

第八重氏方體時(shí)再以聚

1.長方體有六個(gè)面，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱。

2.長方體的每個(gè)面都是長方形。

3.長方體的十二條棱可以分為三組，每組中H勺四條棱的長度相等。

4.長方體的六個(gè)面可以分為三組，每組中H勺兩個(gè)面的形狀和大小都相似。

5.長方體中棱與棱位置關(guān)系的認(rèn)識：

一條棱與另一條棱所在的直線在同一種面內(nèi)，它們有惟一H勺公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱相交。

一條棱與另一條棱所在的直線在同一種面內(nèi)，但它們沒有公共點(diǎn)，我們稱這兩條楂平行。

一條棱與另一條棱所在的直線既不平行，也不相交，我們稱這兩條棱異面。

6.一般地，假如直線AB與直線CD在同一平面內(nèi)，具有惟一公共點(diǎn)，那么稱這兩條直線日勺位

置關(guān)系為相交，讀作：直線AB與直線CD相交。

7.假如直線AB與直線CD在同一平面內(nèi)，但沒有公共點(diǎn)，那么稱這兩條直線的位置關(guān)系為平

行，記作:AB〃CD,讀作：直線AB與直線CD平行。

8.假如直線AB與直線CD既不平行，也不相交，那么稱這兩條直線的位置關(guān)系為異面，讀作:

直線AB與直線CD異面。

9.直線PQ垂直于平面ABCD,記?。褐本€PQ_L平面ABCC,讀作：直線PQ垂直于平面ABCD。

10.怎樣檢查直線與平面垂直呢？可以用“鉛垂線”檢查。

假如細(xì)棒垂直于墻面，可以用“三角尺”檢查。

還可以用“合頁型折紙”檢查直線與否垂直于平面。

11.直線PQ平行于平面ABCD,記作：直線PQ〃平面ABCD,讀作：直線PQ平行于平面ABCD.

12.怎樣檢查直線與平面平行呢？可以用“鉛垂線”檢查。

也可以用“長方形紙片”檢杳。

第九束整我

9.1字母表達(dá)數(shù)

9.2代數(shù)式

1.代數(shù)式：用括號和運(yùn)算符號把數(shù)或表達(dá)數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式。單獨(dú)時(shí)數(shù)或字

母也是代數(shù)式。

2.代數(shù)式的書寫：

（1）代數(shù)式中出現(xiàn)乘號一般寫作“-”或省略不寫，但數(shù)與數(shù)相乘不遵照此原則。

（2）數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)要寫在無理數(shù)的前面。

（3）帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)形式。

（4）相似字母相乘一般不把每個(gè)因式寫出來，而寫成幕的形式。

（5）代數(shù)式不能具有“=、W、＜、＞、2、符號。

9.3代數(shù)式的值

1.用數(shù)值替代代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式H勺運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出H勺成果，叫代數(shù)式的值。

2.注意：

(1)代數(shù)式中省略了乘號，帶入數(shù)值后應(yīng)添加義。

(2)若帶入時(shí)值是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號。

(3)注意解題格式規(guī)范，應(yīng)寫“當(dāng)……時(shí)，原式=……

(4)在實(shí)際問題中代數(shù)式所取的值應(yīng)使實(shí)際問題故意義。

9.4整式

1.由數(shù)與字母H勺乘積構(gòu)成時(shí)代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。單獨(dú)一種數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

2.系數(shù)：單項(xiàng)式中日勺數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一種單項(xiàng)式中所有字母H勺指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

4.多項(xiàng)式：幾種單項(xiàng)式的卻叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母H勺項(xiàng)

叫做常數(shù)項(xiàng)。

5.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高H勺項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)

6.整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

9.5合并同類項(xiàng)

1.同類項(xiàng)：所含字母相似，并且相似字母日勺指數(shù)也相似的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2.合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。一種多項(xiàng)式合并后具有兒

項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。

3.合并同類項(xiàng)的法則是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的成果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)

不變。

9.6整式的加減：

1.去括號法則：

(1)括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里各項(xiàng)的不變號；

(2)括號前面是“一”號，去抻“一”號和括號，括號里H勺各項(xiàng)都變號。

2.添括號法則

(1)所添括號前面是“+”號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；

(2)所添括號前面是“一”號，括到括號里的各項(xiàng)都變化符號。

9.7同底數(shù)瓶的乘法

1.同底數(shù)聚相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加:am?an=am+n(m、n都是正整數(shù))。

9.8賽的乘方

1.冢的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘：(am)n=amn(m.n都是正整數(shù))

9.9積的乘方

1.積的乘方等于各因式乘方的積：(ab)n=anbn(m,n都是正整數(shù))

2.任何一種不等零日勺數(shù)的?p(p是正整數(shù))指數(shù)累，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)帚的倒數(shù)：

3P=1自壬Cn層TF螃新1

9.10整式的乘法

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們H勺系數(shù)、相似字母分別相乘，對于只在一種單項(xiàng)式里具有日勺

字母，則連同它的指數(shù)作為積的一種因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分派率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得I為積相加,

即。

注意：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分派率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。

3.多項(xiàng)式H多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一種多項(xiàng)式U勺每一項(xiàng)乘另一種多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積

相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。

9.11平方差公式

1.內(nèi)容：（a+b）?（a—b）=a2—b

2.意義：兩個(gè)數(shù)日勺和與這兩個(gè)數(shù)日勺差日勺乘積，等于這兩個(gè)數(shù)日勺平方差。

3.特性：

(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相似，另一項(xiàng)互為相反數(shù)：

(2)右邊是乘式中兩項(xiàng)H勺平方差；

(3)公式中的a和b可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

4.幾何意義：平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等的體現(xiàn)式。

5.拓展：

(1)立方和公式：(a+b)(a?—ab+b?)=a3+b3；

233

(2)立方差公式：(a-b)(a?+ab+b)=a-bo

(a-b)(a+ab+ab2+***+a2b+ab+b)=a-b□

9.12完全平方公式：

i.內(nèi)容：

(a+b)2=a2+b24-2ab;

222

(a-b)=a-I-b-2abo

2.意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的2倍。

兩數(shù)差日勺平方，等于它們的平方和，減去它們積的2倍。

3.特性：

(1)左邊是一種二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一種二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)

式中每一項(xiàng)口勺平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，可簡記為“首平方，尾平方，積

日勺2倍在中央?！?/p>

(2)公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

4.拓展：

(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2;

33322

(3)(a-b)=a-b-3ab+3abo

9.13提取公因式法：

1.因式分解的意義：把一種多項(xiàng)式化為兒種整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式

分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾種整式的積。

2.注意：

①因式分解的規(guī)定：

(1)成果一定是積的形式，分解H勺對象是多項(xiàng)式；

(2)每個(gè)因式必須是整式；

(3)各因式要分解到不能分解為止.

②因式分解與整式乘法的關(guān)系：是兩種不一樣的變形過程，即互逆關(guān)系。

3.提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。

這里的m可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，m稱為公因式。

4.確定公因式措施：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。

字母(或多項(xiàng)式因式)：取各項(xiàng)都具有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次繇。

9.14公式法

1.平方差公式：a2—b2=(a4-b)?(a—b),,

2.完全平方公式：a24-b2+2ab=(a4-b)2;

a2+b2-2ab=(a-b)2<>

3.立方和與立方差公式：a34-b3=(a4-b)(a2—ab4-b2)；

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)o

4.注意：

(1)公式中日勺字母a、b可代表一種數(shù)、一種單項(xiàng)式或一種多項(xiàng)式。

(2)選擇使用公式B勺措施：重要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)考慮平方差或立方和、

立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完全平方公式。

9.15.十字相乘法

運(yùn)用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的措施叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分組分解法：

1.將多項(xiàng)式的項(xiàng)合適的分組后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。

2.合用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的原則為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式.

3.其他措施：

求根公式法：x2+bx+c=O(aHO)的兩根是x1、x2,

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)o

4.因式分解的一般環(huán)節(jié)及注意問題：

(1)對多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。

(2)多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，假如是二項(xiàng)式就考慮與否符合平方差公式；假如是三項(xiàng)式

就考慮與否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；假如是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,

一般采用分組分解法。分解因式，必須進(jìn)行到每一種多項(xiàng)式都不能再分解為止。

9.17同底數(shù)賽的除法

1.同底數(shù)帚相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減:am-?an=am-n(aKO,mn都是正整數(shù)，Jim>n)

2.任何一種不等于零的數(shù)E勺零指數(shù)艱都等于1:aO=l(a^O)

9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除，作為商H勺因式，對于只在被除式里具有

的字母，則連同它日勺指數(shù)作為商歐I?種因式。

2.注意：

(1)兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)累分別相除即可。

(2)只在被除式里具有H勺字母不不要遺漏。

9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

1.多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除日勺法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以

這個(gè)單項(xiàng)式，再把所洱的商■相加，即

(ma+mb+mc+dm)+m=am+m+bm+m+cm+m+dm+m。

2.注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這

樣計(jì)算的。

3.整式的J混合運(yùn)算：關(guān)鍵是注意運(yùn)算次序，先乘方，在乘除，后加減，有括號時(shí)，先去小括號,

再去中括號，最終去大括號，先做括號里的。

X內(nèi)容整頓

第十常分穴

10.1分式的意義

兩個(gè)整式A/B相除，即A+B時(shí),可以表達(dá)為A/B.假如B中具有字母,那么A/B叫做分式。A

叫做分式的分子,B叫做分式的分母。

假如一種分式的分母為零，那么這個(gè)分式無意義。

10.2分式的基本性質(zhì)

2.分式的分子和分母同步乘以（或除以）同一種不為。的整式，

分式I總值不變。用式子表達(dá)為:A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B?C

（A,B,C為整式,且B.C#為

3.約分:把一種分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

4分式的約分環(huán)節(jié)：

（1）假如分式的分子和分母都是或者是幾種乘積的形式,將它們的公因式約去

（2）分式的分子和分母都是將分子和分母分別，再將公因式約去.

注:公因式的提取措施:取分子和分母系數(shù)的，字母取分子和分母共有的字母,指數(shù)取公共字

母『、J最小指數(shù)，即為它們的公因式.

5.一種分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡分式.約分時(shí)，一般將一種分式化

為最簡分式。

6.通分：把幾種異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

7.分式的通分環(huán)節(jié):先求出所有分式分母口勺最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?

同步各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù)，對應(yīng)擴(kuò)大各自"勺分子.

8.注:

最簡公分母確實(shí)定措施:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相似字母口勺及單獨(dú)字母的箱的乘

積。

9.注:⑴約分和通分的根據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。

（2）分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過程。

103分式的運(yùn)算

1.分式的乘法法則:兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積I向分

母.用字母表達(dá)為:a/b*c/d=ac/bd

2.分式的除法法則：

（1）兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘:a/b-rc/d=ad/bc

（2）除以一種分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b+c/d=a/b*d/c異分母分式通分時(shí)，關(guān)鍵是

確定公分母，一般取各分母所有因式的最高次賽的積作為公分母，這樣日勺公分母叫做最簡公

分母。

10.4分式附加減

L同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減.用字母表達(dá)為：a/c±

b/c=a±b/c

2.異分母分式加減法則:異分母的分式相加減，先通分,化為同分母口勺分式，然后再按同分母分

式的J加減法法則進(jìn)行計(jì)算用字母表達(dá)為：a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程

1.分式方程的意義:分母中具有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法：

（1）去分母（方程兩邊同步乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）；

（2）按解整式方程小J環(huán)節(jié)求出未知數(shù)日勺值；

（3）驗(yàn)根（求出未知數(shù)的蒞后必須臉根,由于在把分式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未

知數(shù)的取值范圍,也許產(chǎn)生增根）.

10.6整數(shù)指數(shù)賽及其運(yùn)算

第十BB形的運(yùn)財(cái)

11.1圖形的平移

1.平移H勺定義：在平面內(nèi)，將一種圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平

移。平移后各對應(yīng)點(diǎn)之間的距離叫做圖形平移的距離。

2.關(guān)鍵：（1）平移不變化圖形的形狀和大?。ㄒ膊粫兓瘓D形H勺方向，但變化圖形H勺位置）。

（2）圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。

3.平移的規(guī)律（性質(zhì)）：通過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)

角相等。

4.簡樸的平移作圖:

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一種特性點(diǎn)按一

定方向和一定的距離平行移動。

11.2圖形的旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一種圖形饒一種定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一種角度，這樣的運(yùn)動叫

做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

2.關(guān)鍵：（1）旋轉(zhuǎn)不變化圖形的形狀和大?。ǖ珪兓瘓D形的J方向，也變化圖形的位置）△

（2）圖形旋轉(zhuǎn)四要索,：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。

3.旋轉(zhuǎn)日勺規(guī)律（性質(zhì)）：通過旋轉(zhuǎn)，圖形上H勺每?種點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相似方向轉(zhuǎn)動了相似日勺

角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心口勺連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相

等。（旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。）

4.簡樸的旋轉(zhuǎn)作圖：

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一

種特性點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動。

11.3旋轉(zhuǎn)對稱圖形與中心對稱圖形

1.旋轉(zhuǎn)對稱圖形：把一種圖形繞著一種定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一種角度a后，與初始圖形重疊，這種圖形

叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角a滿足0<

a<360）

2.中心對稱圖形：假如把一種圖形繞著一種定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重疊，那么這個(gè)圖

形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。

11.4中心對稱

1.把一種圖形繞著一種定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一種圖形重疊，那么叫做這兩個(gè)圖形有關(guān)這點(diǎn)

對稱，也叫做這兩個(gè)圖形成中興對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做有

關(guān)中心的對稱點(diǎn)。

11.5翻折與軸對稱圖形

1.軸對稱圖形定義：假如一種圖形沿著一條直線折光后，直線兩旁的部分可以互相重疊，那

么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做對稱抽。

11.6軸對稱

1.兩個(gè)圖形有關(guān)這條直線成軸對稱：假如把一種圖形沿某一條直線翻，能與另一種圖形重疊,

那么叫做這兩個(gè)圖形有關(guān)這條直線成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫

做有關(guān)這條直線H勺對稱點(diǎn)，

2.注意：

（1）軸對稱是說兩個(gè)圖形的J位置關(guān)系；而釉對稱圖形是說一種具有特殊形狀的圖形。

（2）成軸對稱的兩個(gè)圖形，必然是全等圖形。

3.軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱釉垂直平分；對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等。

圖形的平移

旋轉(zhuǎn)對稱圖形中心對稱圖形

圖形的運(yùn)動圖形的旋轉(zhuǎn)

中心對稱

軸對稱圖形

圖形的翻折

軸對稱

軸對稱和軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)

軸對稱油對稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對一種圖形而言；

別②指兩個(gè)圖形口勺一種形狀與位置關(guān)系。②指一種圖形的特殊形狀。

聯(lián)①均有一條直線，都要沿這條直線折若重疊；

絡(luò)②把兩個(gè)成軸對稱的圖形當(dāng)作?種整體，就是?種軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形

沿對稱軸提成兩部分，這兩部分有關(guān)這條直線成軸對稱。

②把兩個(gè)成軸對稱的圖形當(dāng)作一種整體.就是一種軸對稱圖形：反過來,把軸對稱圖形

沿對稱軸提成兩部分，這兩部分有關(guān)這條直線成軸對稱。

軸對稱與否是軸對稱圖形對稱軸有幾條對稱軸的位置

幾何圖

形的對

稱軸：

名稱

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的宜線

長方形是2條對邊中線所在的直線

正方形是4條對邊?口線所在的直線和對角線所在H勺直線

圓是無數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊形不是0條

第十二章實(shí)數(shù)

12.1實(shí)數(shù)的概念

1.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

2.實(shí)數(shù)按如下方式分類：

正有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)

實(shí)數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每i種實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一種點(diǎn)來表達(dá)：反過來，數(shù)

軸上的每一種點(diǎn)表達(dá)一種實(shí)數(shù)。

2.正數(shù)不小于零，負(fù)數(shù)不不小于零，正數(shù)不小于負(fù)數(shù)。

3.兩個(gè)正數(shù)，絕對值大口勺數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大口勺數(shù)反而小。

4.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

12.2平方根和開平方

1.假如一種數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。

2.求一種數(shù)。的平方跟的運(yùn)算叫做開平方，。叫做被開方數(shù)。

3.一種正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

4.正數(shù)aH勺兩個(gè)平方根可以用“土”表達(dá)，其中表達(dá)a的正時(shí)平方根(又叫算術(shù)平方根)，讀作

“根號a”；表達(dá)aH勺負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號

零的平方根記作JO,V0=0.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，(0)2=a,(0)2=a.

(2)當(dāng)a孑。時(shí)，口=a;

當(dāng)a￡0時(shí)，0=-a

12.3立方根和開立方

1.假如一種數(shù)目勺立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用“”表達(dá)，讀作“三次根號

中的。叫做被開方數(shù)，"3"叫做根指數(shù)。

2.求一種數(shù)a時(shí)立方根的運(yùn)算叫做開立方。

3.正數(shù)H勺立方是一種正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一種負(fù)數(shù)，零口勺立方等于零，因此正數(shù)的立方根是

一種正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一種負(fù)數(shù)，零日勺立方根是零。

4.任意一種實(shí)數(shù)均有立方根，并且只有一種立方根。

12.4n次方根

L假如一種數(shù)的n次方（n是不小于11向整數(shù)）等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做all勺n次方根，當(dāng)n為奇

數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為。的I奇次方根：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為。的偶次方根

2.求一種數(shù)a的n次方跟的運(yùn)算叫做開n次方，a叫做被開方數(shù),n叫做根指數(shù)。

3.實(shí)數(shù)aH勺奇次方根有且只有一種，用“團(tuán)”表達(dá)，其中被開方數(shù)。是任意一種實(shí)數(shù),根指數(shù)n

是不小于1的奇數(shù)。

4.正數(shù)a日勺偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“團(tuán)”表達(dá)，負(fù)n次方根用“一”

表達(dá)，其中被開方數(shù)a>0,根指數(shù)n是正偶數(shù)（當(dāng)n=2時(shí)，在土團(tuán)中省略n）

5.負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。

6.零的n次方根等于零，表達(dá)為0=0

7.“近”讀作“n次根號a”

12.5用數(shù)軸上的點(diǎn)表達(dá)數(shù)

1.有理數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)意義：一種實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)H勺點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)

數(shù)的絕對值。實(shí)數(shù)a日勺絕對值記作|a|.

2.絕對值相等，符號相反#J兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)；

3.零時(shí)相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是一a。

4.實(shí)數(shù)大小的比較：

（1）負(fù)數(shù)不不小于零；零不不小于正數(shù)。

（2）兩個(gè)正數(shù)，絕對值大H勺數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。

（3）從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所示時(shí)數(shù)總比左邊H勺點(diǎn)所示的數(shù)大。

5.兩點(diǎn)間的距離:

在數(shù)軸上，假如點(diǎn)A、點(diǎn)B所對應(yīng)口勺數(shù)分別為a、b,那么A、B兩點(diǎn)的距離AB=Ia-bI.

12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)a>0,b>0,可知(0?團(tuán))=(0)2?0)2=abo

根據(jù)平方根的意義，得團(tuán)=m?0o

何理：00

12.7分?jǐn)?shù)指數(shù)賽

1.々a'=(a>0)

0=0(a>0)其中m、n為止整數(shù)，n>l.

2.有理數(shù)指數(shù)幕有下列性質(zhì)：

設(shè)a>b,b>0,P、q為有理數(shù)，那么

(1)0?0=0,000=0

⑵SA二十

本章小結(jié)

有理數(shù)

t無理數(shù)

實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表達(dá)數(shù)

運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)

《

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

近似數(shù)及近似計(jì)算

、「

數(shù)的開方分?jǐn)?shù)指數(shù)事有理數(shù)指數(shù)轉(zhuǎn)運(yùn)算性質(zhì)

第十三重相交線、平行線

13.1鄰補(bǔ)角，對頂角

1.相交線的定義：在同一平面內(nèi)，假如兩條直線只有一種公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交

線。

2.(1)對頂角的定義：一種角的兩邊分別是另一種角的兩邊"勺反向延長線，這兩個(gè)角叫做

對頂角。

(2)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

3.(1)鄰補(bǔ)角叫定義：有公共頂點(diǎn)和?條公共邊，并且互補(bǔ)叼兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。

(2)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。

13.2垂線

1.垂線的定義：垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的1一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

2.垂線aJ性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有旦只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得所有線段中，垂線段最短。

3.點(diǎn)到直線的距離：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段H勺長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

13.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（三線八角）

1.同位角：兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角。

2.內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線時(shí)兩旁，這樣H勺一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

3.同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。

平行線日勺概念

13.4平行線的鑒定

1.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

2.平行公理：通過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理歐I推論：假如兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行，被稱為平行

的傳遞性。

3.平行線的鑒定：

（1）兩條直線被第三條直線所截，假如同位角相等，那么這兩條直線平行。

（同位角相等，兩直線平行）

（2）兩條直線被第三條直線所截，假如內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。

（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

（3）兩條直線被第三條直線所截，假如同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

13.5平行線的性質(zhì)

1.兩條直線被第通過直線外地?點(diǎn)，有且只有?條直線與已知直線平行。

2.兩條平行線被第三條直線所載，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

3.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行?，內(nèi)錯(cuò)角相等）

4.兩條平行線被第三條直線所械，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

5.兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的）距離都

是?種定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間H勺距離。

笫十皿章三角形

14.1三角形的有關(guān)概念

1.三角形的有關(guān)線段：三角形的高，中線，角平分線

2.三角形的分類：

銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形

14.2三角形的內(nèi)角和

1.三角形的內(nèi)角和等于0,三角形的）外角和等于團(tuán)O

2.三角形的一種外角等于與它不相鄰H勺兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的一種外角不小于任何一種與它不相鄰日勺內(nèi)角。

14.3全等三角形的概念與性質(zhì)

1.可以重疊的兩個(gè)圖形叫做全等形“

2.兩個(gè)三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形，通過運(yùn)動后一定重疊，互

相重疊的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；互相重疊的邊叫做對應(yīng)邊；互相重疊的角叫做對應(yīng)角。

3.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

14.4全等三角形的鑒定

1.鑒定措施1在兩個(gè)三角形中，假如有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形

全等（簡記為S.A.S）。

2.鑒定措施2在兩個(gè)三角形中，假如有兩個(gè)角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形

全等（簡記為A.S.A）。

3.鑒定措施3在兩個(gè)三角形中，假如有兩個(gè)角及其中一種角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)

三角形全等（簡記為A.A.S）。

4.鑒定措施4在兩個(gè)三角形中，假如有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為

S.S.S）o

5.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等mr兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。

6.SSA、AAA不能識別兩個(gè)三角形全等，識別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，假

如有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊H勺夾角,三角形全等H勺證明思緒

三角形全等的證明思緒

*

找夾角一sAS

【.已知兩邊找直角一一HL

找另一邊一一SSS

’找邊的對角一一AAS

?

n.已知一邊一角邊為角的鄰邊［找夾角的另一邊一一sAS

找夾邊的另一角一一ASA

邊為角H勺對邊一一找任意一角一一AAS

HI.已知兩角?找夾邊一一ASA

我任意一邊----AAS

14.5等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形H勺兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）。

2.等腰三角形日勺頂角平分線、底邊上口勺中線、底邊上口勺高互相重疊（簡稱為“等腰三角形的

三線合一”）。

3.等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角平分線所在的直線。

14.6等腰三角形的鑒定

1.假如一種三角形有兩個(gè)魚相等，那么這兩個(gè)角所對。勺邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形

（簡稱為“等角對等邊”八

14.7等邊三角形

1.等邊三角形是特殊的等腰三角形，它日勺三邊都相等。

2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于0o

3.鑒定等邊三角形口勺措施：

（1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

（2）有種角等「60MJ等腰三角形是等邊三角形。

第十五*平面直角坐株茶

15.1平面直角坐標(biāo)系

1.在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過點(diǎn)回畫兩條互相垂直日勺數(shù)軸，且使它們以點(diǎn)團(tuán)為公共原點(diǎn)。這樣，就

在平面內(nèi)建立了一種直角坐標(biāo)系。一般，所畫H勺兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的I,它的正

方向向右，這條數(shù)軸叫做橫軸(記作團(tuán)軸)；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸

叫做縱軸(記作團(tuán)軸)。如圖所示，記作平面直角坐標(biāo)系(3；點(diǎn)團(tuán)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(簡稱原點(diǎn))，

團(tuán)軸和回軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸3

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作Pla,b),

其中°叫做橫坐標(biāo),b叫做縱坐標(biāo)。

3.象限的劃分：

4.通過點(diǎn)A(a,b)且垂直于x軸的直線可以表達(dá)為直線XM,通過點(diǎn)A(a,b)且垂直「y軸的直線

可以表達(dá)為直線丫=4

15.2直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動

L點(diǎn)的坐標(biāo)

有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一種有序數(shù)對來表達(dá),a點(diǎn)對應(yīng)x軸的數(shù)值為

橫坐標(biāo),b點(diǎn)對應(yīng)y軸小J數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作(a,b)。

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，

2.平行于x軸的直線上日勺兩點(diǎn)A(“?,y)、B(W,y)Kl距離

AB=|X、_X*?.

平行于y軸的直線上日勺兩點(diǎn)C(x,幾)、D(x,小的距離

CD=|八一力|.

3.點(diǎn)的平移

在平面直角坐標(biāo)系中，（m>0）

將點(diǎn)（x,y）向右平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)：x+m,y）；

將點(diǎn)（x,y）向左平移m個(gè)單位長度，可以得到時(shí)應(yīng)點(diǎn)：x-m,y）；

將點(diǎn)（x,y）向上平移m個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)：x,y+m）；

將點(diǎn)）向下平移個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（）

（x,ymx,y-m0

4.坐標(biāo)平面圖

坐標(biāo)平面圖是由兩條坐標(biāo)軸和四個(gè)象限構(gòu)成口勺，也可以說坐標(biāo)平面內(nèi)口勺點(diǎn)可以分為

六個(gè)區(qū)域：x軸上,y軸匕第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個(gè)區(qū)域中，除

x軸與y軸的一種公共點(diǎn)（原點(diǎn)）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點(diǎn)。

建立了直角坐標(biāo)系H勺平面叫做直角坐標(biāo)平面（簡稱坐標(biāo)平面）。這樣，本來平面內(nèi)的點(diǎn)都可

以用有序?qū)崝?shù)對來表達(dá)。

在平面直角坐標(biāo)系回中，點(diǎn)回所對應(yīng)口勺有序?qū)崝?shù)對團(tuán)叫做點(diǎn)回的I坐標(biāo)，記作回,其中B叫做

橫坐標(biāo)，團(tuán)叫做縱坐標(biāo)。

原點(diǎn)團(tuán)日勺坐標(biāo)是回。團(tuán)的坐標(biāo)是回看H勺坐標(biāo)是團(tuán)。

5.在平面直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特點(diǎn)：

（1）有關(guān)x成軸對稱H勺點(diǎn)H勺坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相似，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫同縱反）

(2)有關(guān)y成軸對稱時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相似，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。(橫反縱同)

(3)有關(guān)原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相

反數(shù)。(橫縱皆反)

一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)有關(guān)X軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y);與點(diǎn)M(x,y)有關(guān)

V軸對稱的點(diǎn)口勺坐標(biāo)為(-XJ).

一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)有關(guān)原點(diǎn)對稱W、J點(diǎn)口勺坐標(biāo)為(-x,-y)。

第十六章二次板式

16.1二