PAGE1第02講特殊的平行四邊形內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的概念：有的四邊形叫做平行四邊形．

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的．②角：平行四邊形的．③對(duì)角線：平行四邊形的．

（3）平行線間的距離處處．

（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積．2.平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（2）兩組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（3）一組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形．

符號(hào)語(yǔ)言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（4）兩組對(duì)角的四邊形是平行四邊形．

符號(hào)語(yǔ)言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（5）對(duì)角線的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．3.三角形的中位線：（1）三角形中位線定理：三角形的中位線，并且．

（2）幾何語(yǔ)言：

如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

∴,二、矩形的性質(zhì)與判定1.矩形的性質(zhì)：（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是；③邊：鄰邊；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）1.矩形的性質(zhì)：（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是；③邊：鄰邊；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）三、菱形的性質(zhì)與判定1.菱形的性質(zhì)：（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的都相等；③菱形的兩條對(duì)角線，并且每一條對(duì)角線；④菱形是圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．

（3）菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=．（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）2.菱形的判定：①菱形定義：的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②都相等的四邊形是菱形．③的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

四、正方形的性質(zhì)與判定1.正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對(duì)角線，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．2.正方形的判定：正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．考點(diǎn)一：平行四邊形的性質(zhì)與判定例1．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．(1)求的值．(2)求證：．【變式訓(xùn)練1】1．（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，與線段交于點(diǎn)F．若，則一定等于（

）A． B． C． D．2．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知如圖，在中，，為銳角，將沿對(duì)角線邊平移，得到，連接和，若使四邊形是菱形，需添加一個(gè)條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正確的方案是（）A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲3．（24-25八年級(jí)下·安徽黃山·期中）如圖，在中，，M，N分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接，若，，則．考點(diǎn)二：矩形的性質(zhì)與判定例2．（24-25八年級(jí)下·北京·期中）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），在射線上，且，連接．(1)如圖1，若為的中點(diǎn)，，則___________；(2)如圖2，為上一動(dòng)點(diǎn)，①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②寫出的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練2】1．（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．2．（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)P是對(duì)角線上一點(diǎn)，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．若，則一定等于（

）A． B． C． D．3（24-25八年級(jí)下·陜西延安·期中）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求的度數(shù)．考點(diǎn)三：菱形的性質(zhì)與判定例3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】1．（24-25八年級(jí)下·天津·期中）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．9 C．12 D．6.52．（24-25八年級(jí)下·安徽黃山·期中）如圖，在菱形中，，與交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接分別交，于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論：；；；四邊形是菱形．其中正確的有（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為菱形；(2)求證：；(3)若，則菱形的面積為_________．考點(diǎn)四：正方形的性質(zhì)與判定例4．（24-25八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，在矩形中，，，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在矩形的邊、、上，，連接．(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)若，求的面積．【變式訓(xùn)練4】1．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，中，為邊上一點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，連接．則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A．四邊形是菱形B．與互相垂直且平分C．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形D．若時(shí)，則四邊形是正方形2．（2025·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，連接和．以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，連接若，．3．（24-25八年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，在正方形中，分別是上兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．(1)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由：(2)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，連接，求的度數(shù)．考點(diǎn)五：中點(diǎn)四邊形例5．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，，，，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形……如此進(jìn)行下去，得到四邊形．給出下列結(jié)論：①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長(zhǎng)是；④四邊形的面積是．其中，正確的結(jié)論有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練5】1．（24-25八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（

）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能確定2．（24-25八年級(jí)下·安徽淮北·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若四邊形是平行四邊形，則四邊形是矩形B．若四邊形是菱形，則四邊形是矩形C．若四邊形是矩形，則四邊形是矩形D．若四邊形是正方形，則四邊形是正方形3．（24-25八年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，且，E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)．若的最小值是，則的長(zhǎng)度為（

）A．1 B． C．3 D．4考點(diǎn)六：四邊形與翻折問題例6．（24-25八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后再把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形．(2)如圖2，若，求的面積．【變式訓(xùn)練6】1．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（

）A．13 B．10 C．8 D．62．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，將沿AC翻折，得到，其中，與相交于點(diǎn)，連接，則為（

）A． B．1 C． D．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，已知在正方形中，，．將正方形折疊，使點(diǎn)B落在邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為．已知長(zhǎng)為．

(1)求線段和線段的長(zhǎng)；(2)連接，．考點(diǎn)七：四邊形與動(dòng)點(diǎn)問題例7．（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)以的速度同時(shí)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(2)求為何值時(shí)，四邊形是矩形？(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四邊形是菱形；(4)若只改變線段的長(zhǎng)度，其余條件都不變，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)你求出的值和線段的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練7】1．（22-23八年級(jí)下·江蘇常州·期中）如圖，點(diǎn)為矩形()的對(duì)稱中心，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B停止，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形AECF形狀是下列圖形中的哪些：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形．（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（2023·河北·二模）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：），下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形 B．當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，或3．（24-25八年級(jí)下·浙江金華·期中）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．作，交邊或邊于點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含的式子表示出線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)落在平行四邊形的某邊中點(diǎn)上時(shí)，求的值（用含t的代數(shù)式表示）；(3)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和平行四邊形重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫出的取值范圍．考點(diǎn)八：四邊形與最值問題例8．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接CE、AF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）當(dāng)平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是正方形？請(qǐng)說明理由．（3）在（2）的條件下，若AE＝4，點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PE+PM的最小值．

【變式訓(xùn)練8】1．（23-24八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M在上，，點(diǎn)N是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．2．（22-23八年級(jí)下·湖北荊門·期中）如圖，在矩形中，，，，分別是和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值是．3．（2021·山東濟(jì)寧·一模）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)，，，的中點(diǎn)分別為，．(1)求證：；(2)求的最小值．考點(diǎn)九：四邊形與垂直十字架模型例9．如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片的頂點(diǎn)A折疊至邊上的點(diǎn)E，使，若折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A．13 B．14 C．15 D．16例9．1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．52.如圖1，在正方形中，E為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)如圖2，連接，點(diǎn)M、N、P、Q分別是的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)F、R分別在正方形的邊上，把正方形沿直線翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作于點(diǎn)O，若，正方形的邊長(zhǎng)為3，求線段的長(zhǎng)．考點(diǎn)十：四邊形與對(duì)角互補(bǔ)模型例10．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為

【變式訓(xùn)練10】1.（2021八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：，求證：．2.問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你幫助小明完成證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．考點(diǎn)十一：四邊形與半角模型例11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【變式訓(xùn)練11】1.如圖，在正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，邊上，高與正方形的邊長(zhǎng)相等，連接分別交，于點(diǎn)，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長(zhǎng)為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4 B．3 C．2 D．12.在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND（如圖①），求證：△APM≌△ANM；(2)求證：；(3)矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如圖②），請(qǐng)你直接寫出線段MN，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)十二：四邊形與新定義模型例12．（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·期末）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形稱為“等補(bǔ)四邊形”．(1)下列選項(xiàng)中一定是“等補(bǔ)四邊形”的是______．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形(2)如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)．①試判斷四邊形是否為“等補(bǔ)四邊形”，并說明理由；②如圖2，連接，求的周長(zhǎng)；③若四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練12】1.（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期末）定義圖形如圖1，在四邊形中，M、N分別是邊、的中點(diǎn)，連接．若兩側(cè)的圖形面積相等，則稱為四邊形的“對(duì)中平分線”

提出問題有對(duì)中平分線的四邊形具有怎樣的性質(zhì)呢?分析問題（1）如圖2，為四邊形的“對(duì)中平分線”，連接，，由M為的中點(diǎn)，知與的面積相等，則，有怎樣的位置關(guān)系呢?請(qǐng)說明理由．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，小明提出了下列三個(gè)命題，其中假命題的是_____（請(qǐng)把你認(rèn)為假命題的序號(hào)都填上）①若，則四邊形是平行四邊形；②若，則四邊形是菱形；③若，則四邊形是矩形．深入探究如圖3，四邊形有兩條對(duì)中平分線，分別是，，且相交于點(diǎn)O，若．請(qǐng)?zhí)剿魉倪呅蔚男螤畈⒄f明理由．2.（20-21八年級(jí)上·江蘇淮安·期末）問題背景定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)三角形．如圖1，四邊形中，是一條對(duì)角線，，且，則與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形．(1)初步思考：如圖2，在中，，D、E為外兩點(diǎn)，，為等邊三角形．則關(guān)于的互補(bǔ)三角形是______，并說明理由．(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長(zhǎng)方形中，．點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，若與是關(guān)于互補(bǔ)三角形，試求的長(zhǎng)．(3)思維探究：如圖4，在長(zhǎng)方形中，．點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形，直線與直線交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段與線段的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說明理由．一、單選題1．（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）下列說法不正確的是（）A．正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分B．菱形的四條邊都相等C．矩形的對(duì)角線相等且互相平分D．平行四邊形、矩形、菱形都是軸對(duì)稱圖形2．（24-25八年級(jí)下·福建廈門·期中）四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，下列條件中不一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（24-25八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，在菱形中，若，則菱形的面積是（

）A．12 B．24 C．30 D．484．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，矩形中，，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，其中在上連接，則（

）．A． B． C． D．15．（2025八年級(jí)下·內(nèi)蒙古·專題練習(xí)）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，則的值為（

） B． C． D．6．（24-25八年級(jí)下·湖北荊州·期中）如圖，分別為的邊的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，下面兩位同學(xué)進(jìn)行了補(bǔ)充作圖．聰聰：以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．明明：分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．下列關(guān)于以為頂點(diǎn)的四邊形的說法正確的是（

）A．聰聰作的四邊形是菱形 B．明明作的四邊形是菱形C．聰聰作的四邊形是矩形 D．明明作的四邊形是矩形7．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，點(diǎn)分別是四邊形邊的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若四邊形是平行四邊形，則與互相平分D．若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等8．（2025·四川綿陽(yáng)·三模）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，連接，交于點(diǎn)G，連接．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題9．（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．10．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為．11．（24-25八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，、、分別是、、的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)為．12．（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為邊，在直線上方作正方形，連接，取的中點(diǎn)，連接．若，則．13．（2025·江蘇常州·一模）如圖1，中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P從的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿的路線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度y隨時(shí)