重難專攻（十一）概率中的綜合問題概率中的綜合問題是考查學生應用意識的重要載體，解決此類問題的關鍵是通過閱讀題意，作出分析判斷，獲取關鍵信息；搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關系，建立適當?shù)臄?shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題，結合已有的數(shù)學知識，對實際問題作出合理的解釋或決策.概率與函數(shù)的交匯問題【例1】某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨立答對的概率為12，若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為p（0＜p＜1），假設每道題答對與否互不影響（1）當p＝14時①在甲答對了某道題的條件下，求該題是甲自己答對的概率；②甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學期望E（X）﹔（2）乙答對每道題的概率為23（含親友團），現(xiàn)甲、乙兩人各答兩道題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個數(shù)多的概率不低于1536，求甲的親友團每道題答對的概率p解：（1）①記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“該題是甲自己答對的”，則P（A）＝12＋12×14＝58，P（AB）＝12，所以P（B｜A）＝P②由題意，X～B4，58，故E（X）＝4×5（2）記事件Ai為“甲答對了i道題”，事件Bi為“乙答對了i道題”，i＝0，1，2.其中甲答對某道題的概率為12＋12p＝12（1＋p），答錯某道題的概率為1－12（1＋p）＝12則P（A1）＝C21·12（1＋p）·12（1－p）＝12（1－p2），P（A2）＝12（1+pP（B0）＝132＝19，P（B1）＝C21×2所以甲答對題數(shù)比乙多的概率為P（A1B0∪A2B1∪A2B0）＝P（A1B0）＋P（A2B1）＋P（A2B0）＝12（1－p2）·19＋14（1＋p）2·49＋14（1＋p）2·19＝136（3p2＋10解得23≤p＜1，即甲的親友團每道題答對的概率p的最小值為2解題技法概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設置變量，利用隨機變量的概率、均值與方差的計算公式構造函數(shù).求解時可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或導數(shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應注意以下兩點：（1）準確構造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的均值、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復雜，所以準確運算化簡是關鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身范圍的限制.甲、乙兩人進行象棋比賽（沒有平局），采用“五局三勝”制.已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為p，0＜p＜1.（1）設甲以3∶1獲勝的概率為f（p），求f（p）的最大值；（2）記（1）中f（p）取得最大值時的p為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求X的分布列和均值E（X）.解：（1）甲以3∶1獲勝，則前三局中甲要勝兩局敗一局，第四局甲再獲勝，所以f（p）＝C32·p2·（1－p）·p＝3p3－3p4，0＜p＜則f'（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.令f'（p）＞0，得0＜p＜34；令f'（p）＜0，得34＜p所以f（p）在（0，34）上單調(diào)遞增，在（34，1）所以當p＝34時，f（p）取得最大值，為81（2）由（1）知p＝p0＝34由題意知X的所有可能取值為3，4，5.則P（X＝3）＝（34）3＋（14）3＝2764＋1P（X＝4）＝C32×（34）3×14＋C31×34×（14）P（X＝5）＝C42×（34）3×（14）2＋C42×（34）2×（14）所以X的分布列為X345P74527X的數(shù)學期望E（X）＝3×716＋4×45128＋5×27128概率與數(shù)列的交匯問題【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，解：（1）設“第2次投籃的人是乙”為事件A，則P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.（2）設“第i次投籃的人是甲”的概率為Pi，則第i－1次投籃的人是甲的概率為Pi－1，第i－1次投籃的人是乙的概率為1－Pi－1，則Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），即Pi＝15＋25Pi－1（i≥則Pi－13＝25（Pi－1－1又P1＝12，∴P1－13＝12－13＝∴數(shù)列Pi－13是以16為首項，25∴Pi－13＝16（25）i－1，即Pi＝16（25）i∴第i次投籃的人是甲的概率為16（25）i－1＋（3）設第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由（2）知，pi＝13＋16×（25）i∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×［1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1］＝n3＋16×1－（25）解題技法概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關于概率的遞推關系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率模型的依據(jù)，也是建立遞推關系的準則；（2）準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關系，轉化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構造的方法轉化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應用相關公式.（2024·臨沂一模）從甲、乙、丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列；（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n＝1，2，3，….①直接寫出p1，p2，p3的值；②求pn＋1與pn的關系式，并求pn（n∈N*）.解：（1）X的可能取值為1，2，3，P（X＝1）＝C31C22C53＝310，P（P（X＝3）＝C33C所以隨機變量X的分布列為X123P331（2）①若剛好抽到甲、乙、丙三個人做傳球訓練，且n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n＝1，2，3，…，則有p1＝0，p2＝222＝12，p3＝2②記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后，球在甲手中”，An＋1＝An·An＋1＋An·An＋1，所以pn＋1＝P（An·An＋1＋An·An＋1）＝P（An·An＋1）＋P（An·An＋1）＝P（An）·P（An＋1｜An）＋P（An）·P（An＋1｜An）＝（1－pn）·12＋pn·0＝1即pn＋1＝－12pn＋12，n∈N所以pn＋1－13＝－12（pn－13），且p1－1所以數(shù)列{pn－13}表示以－13為首項，－1所以pn－13＝－13×（－12）n所以pn＝－13×（－12）n－1＋13＝13［1－（－12即n次傳球后球在甲手中的概率是13［1＋(概率中的證明問題【例3】（2022·新高考Ⅰ卷20題節(jié)選）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，P（B｜A）P（B｜A（1）證明：R＝P（A｜（2）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A｜B），P（A｜B）的估計值，并利用（1）的結果給出R的估計值.解：（1）證明：R＝P（B｜由題意知，證明P＝P（A左邊＝P（AB）右邊＝P（AB）左邊＝右邊，故R＝P（A｜（2）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P（A｜B）＝40100＝2P（A｜B）＝10100＝1且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝910所以R＝2535×解題技法解決概率中的證明問題的關鍵是理解隨機事件中互斥、對立、獨立事件的概念及相互關系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨機變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式進行邏輯推理、數(shù)學運算，進而推出要證結論成立.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結果為成功或不成功，且每次試驗的成功概率為p（0＜p＜1）.現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復試驗，若試驗成功，則試驗結束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學期望為E（X）.（1）證明：E（X）＜1p（2）某公司意向投資該產(chǎn)品，若p＝0.2，每次試驗的成本為a（a＞0）元，若試驗成功則獲得8a元，則該公司應如何決策投資？請說明理由.解：（1）證明：由題意，X＝1，2，3，…，8，故P（X＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，…，7，P（X＝8）＝（1－p）7.分布列如下表所示：X1234Ppp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3X5678Pp（1－p）4p（1－p）5p（1－p）6（1－p）7所以X的數(shù)學期望E（X）＝p（1－p）0＋2p（1－p）1＋3p（1－p）2＋…＋7p（1－p）6＋8（1－p）7，記S＝（1－p）0＋2（1－p）1＋3（1－p）2＋…＋7（1－p）6，（1－p）S＝（1－p）1＋2（1－p）2＋3（1－p）3＋…＋7（1－p）7，作差可得，pS＝（1－p）0＋（1－p）1＋（1－p）2＋…＋（1－p）6－7（1－p）7＝1-(1－p）7p－則E（X）＝pS＋8（1－p）7＝1-(1－p）7p＋（1－（2）由（1）可知E（X）＜1p＝5，則試驗成本的期望小于5a元試驗成功則獲利8a元，且8a＞5a，則該公司應該投資該產(chǎn)品.1.為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、B進行體育運動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍.決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結束.若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天、A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍.設每局比賽A部獲勝的概率為p（0＜p＜1），每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立.（1）記第一天需要進行的比賽局數(shù)為X.①求E（X），并求當E（X）取最大值時p的值；②結合實際，談談①中結論的意義.（2）當p＝12時，記一共進行的比賽局數(shù)為Y，求P（Y≤5）解：（1）①X的所有可能取值為2，3.P（X＝2）＝p2＋（1－p）2＝2p2－2p＋1；P（X＝3）＝2p（1－p）＝－2p2＋2p.故E（X）＝2（2p2－2p＋1）＋3（－2p2＋2p）＝－2p2＋2p＋2，即E（X）＝－2（p－12）2＋52，則當p＝12時，E（X②結合實際，當p＝12時，雙方實力最接近比賽越激烈，則一天中進行比賽的局數(shù)會更多.（2）當p＝12時，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為12×12比分為2∶1或1∶2的概率均為2×12×12×12Y≤5則Y＝4或Y＝5.Y＝4即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，故P（Y＝4）＝2×14×14＝Y＝5即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，故P（Y＝5）＝2×（14×14×2＋14×14×2×1所以P（Y≤5）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＝18＋38＝2.（2024·朔州模擬）某校數(shù)學組老師為了解學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學生進行針對性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值；（2）若所有學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數(shù)；（3）復試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎.已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為a，第三道題答對的概率為b.若他獲得一等獎的概率為18，設他獲得二等獎的概率為P，求P的最小值附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.解：（1）設樣本平均數(shù)的估計值為x，則x＝10×（40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004）＝62.所以樣本平均數(shù)的估計值為62.（2）因為學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.所以P（X≥90）＝P（X≥μ＋2σ）≈12×（1－0.9545）＝所以估計能參加復試的人數(shù)為0.02275×8000＝182.（3）由該學生獲得一等獎的概率為18可知：a2b＝1則P＝a2（1－b）＋C21a（1－a）b＝a2＋2ab－38＝a2＋1令P＝f（a）＝a2＋14a－38，0＜a＜1.f'（a）＝2a－14a當0＜a＜12時，f'（a）＜0當12＜a＜1時，f'（a）＞所以f（a）在區(qū)間（0，12）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（12，1）所以f（a）min＝f（12）＝14＋12－3所以P的最小值為383.（2024·石家莊一模）為了弘揚中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某校將舉辦一次剪紙比賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結果互不影響.比賽規(guī)則如下：每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，若有不少于3幅作品入選，將獲得“巧手獎”.5輪比賽中，至少獲得4次“巧手獎”的同學將進入決賽，某同學經(jīng)歷多次模擬訓練，指導老師從訓練作品中隨機抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各5幅，其中有4幅規(guī)定作品和3幅創(chuàng)意作品符合入選標準.（1）從這10幅訓練作品中，隨機抽取規(guī)定作品和創(chuàng)意作品各2幅，試預測該同學在一輪比賽中獲“巧手獎”的概率；（2）以上述兩類作品各自入選的頻率作為該同學參賽時每幅作品入選的概率.經(jīng)指導老師對該同學進行賽前強化訓練，規(guī)定作品和創(chuàng)意作品入選的概率共提高了110，以獲得“巧手獎”次數(shù)的期望為參考，試預測該同學能否進入決賽解：（1）由題可知，所有可能的情況有：①規(guī)定作品入選1幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率P1＝C41·②規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選1幅的概率P2＝C42·③規(guī)定作品入選2幅，創(chuàng)意作品入選2幅的概率P3＝C42·故所求的概率為325＋925＋950（2）設強化訓練后，規(guī)定作品入選的概率為p1，創(chuàng)意作品入選的概率為p2，則p1＋p2＝45＋35＋110由已知可得，強化訓練后該同學某一輪可獲得“巧手獎”的概率為：P＝C21p1（1－p1）·C22p22＋C22p12·C21p2（1－p2）＋C22p12·C22p22＝2p1p2（p1＋p2）－∵p1＋p2＝32，且p1≥45，p2≥35，也即32－p2≥45，32－p1≥35，即p2≤故可得45≤p1≤910，35≤p2p1·p2＝p1（32－p1）＝－（p1－34）2＋∴p1·p2∈［2750，1425令p1p2＝t，則P（t）＝－3t2＋3t＝－3（t－12）2＋34在［2750，14∴P（t）≤P（2750）＝－3×（250）2＋34∵該同學在5輪比賽中獲得“巧手獎”的次數(shù)X～B（5，P），∴E（X）＝5P＜5×34＝154＜4，4.（2024·寧波一模）某中學在運動會期間，舉行了繩子打結計時的趣味性比賽，若現(xiàn)場有n（n∈N*）根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有繩頭打結完畢視為結束.（1）當n＝3時，記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）求證：這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率為22解：（1）由題知，隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，P（X＝1）＝C41·P（X＝2）＝C31·2CP（X＝3）＝1C62所以X的分布列為X123P821所以E（X）＝1×815＋2×615＋3×115（2）證明：不妨令繩頭編號為1，2，3，4，…，2n，可以與繩頭1打結形成一個圈的繩頭有2n－2種可能，假設繩頭1與繩頭3打結，那么相當于對剩下n－1根繩子進行打結.令n（n∈N*）根繩子打結后可圍成一個圈的種數(shù)為an，那么經(jīng)過一次打結后，剩下n－1根繩子打結后可圍成一個圈的種數(shù)為an－1，由此可得an＝（2n－2）an－1，n≥2，所以anan－1＝2n－2，an－1an－2所以ana1＝（2n－2）×（2n－4）×…×2＝2n－1·（n顯然a1＝1，故an＝2n－1·（n－1）！.另一方面，對2n個繩頭進行任意2個繩頭打結，打結種數(shù)N＝C2n2·C所以這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率P＝anN＝2n5.“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子”.某公司組織全員每天進行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風云”的系列紀念幣獎勵員工，該系列紀念幣有A1，A2，A3，A4四種.每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進行鍛煉.鍛煉結束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀念幣.（1）某員工活動前兩天獲得A1，A4兩種紀念幣，則前四天恰好能集齊“百年風云”系列紀念幣的概率是多少？（2）通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，活動首日有34的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類”的員工中，次日會有13的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有12的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”.用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為①計算P1，P2，并求Pn；②該公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？解：（1）設事件E為“該員工前四天恰好能集齊這4枚紀念幣”，由題意知，樣本點總數(shù)N＝4×4＝16，事件E包含的樣本點的個數(shù)n＝2×1＝2，所以該員工前四天恰好能集齊這四枚紀念幣的概率P（E）＝216＝1（2）①由題意知，P1＝34P2＝13P1＋12（1－P1）＝12－16P1＝12－1當n≥2時，Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝12－16P所以Pn－37＝－16（Pn－1－3又因為P1－37＝34－37所以{Pn－37}是以928為首項，以－1所以Pn－37＝928×（－16）n即Pn＝37＋928×（－16）n②由①知，當n足夠大時，選擇“球類”的概率近似于37假設用ξ表示一天中選擇“球類”的人數(shù)，則ξ～B（1400，37）所以E（ξ）＝1400×37＝600即選擇“球類”的人數(shù)的均值為600，所以選擇“田徑”的人數(shù)的均值為800.即經(jīng)過足夠多天后，估計該公司接下來每天有600名員工參加球類運動，800名員工參加田徑運動.6.（2024·大連一模）國學小組有編號為1，2，3，…，n的n位同學，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為23，答對第二題的概率為12，每個同學的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同