第十一節(jié)立體幾何中的創(chuàng)新性問題重點解讀面對新情境、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結合.明確解題目標后，靈活運用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計算公式.在解題過程中，合理構造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關系，簡化問題.對于復雜問題，可嘗試建立空間直角坐標系，利用向量法進行計算和證明.同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象.定義新概念（師生共研過關）（1）等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已知一個長方體的體積為12，則由長方體的四個頂點構成的等腰四面體的體積為（）A.3B.4C.6D.8（2）（2025·上海普陀區(qū)測評）對于一個三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標系O-xyz中，球O的半徑為1，記平面xOy、平面zOx、平面yOz分別為α，β，γ.①若棱長為a的正方體、棱長為b的正四面體的內(nèi)切球均為球O，求ab的值②若球O在點（16，13，12）處有一切平面λ0，求λ0與α的交線方程解題技法解決定義新概念型問題的關鍵是把新概念理解透徹（如等腰四面體、球切面等），再逐步轉(zhuǎn)化為用熟知的符號知識、方法表示解決.本例（2）破障關鍵為理解α與λ0兩平面的位置特征及交線的位置特征.將幾何特征用向量表示，確定在平面α上的直線方程，再確定該直線在空間中的一個方向向量.定義新運算（師生共研過關）（1）〔多選〕設Ox，Oy，Oz是空間中兩兩夾角均為θ（θ∈（0，π2］）的三條數(shù)軸，e1，e2，e3分別是與x，y，z軸正方向同向的單位向量，若OP＝xe1＋ye2＋ze3（x，y，z∈R），則把有序數(shù)對（x，y，z）θ叫做向量OP在坐標系Oxyz中的坐標，則下列結論正確的是（）A.若向量a＝（－1，3，－7）θ，向量b＝（3，－2，4）θ，則a＋b＝（2，1，3）θB.若向量a＝（2，6，－3）π2，向量b＝（3，－1，0）π2，則aC.若向量a＝（x，y，0）θ，向量b＝（1，2，0）θ，則當且僅當x∶y＝1∶2時，θ＝πD.若向量OA＝（1，0，0）π3，向量OB＝（0，1，0）π3，向量OC＝（0，0，1）π3，則二面角O（2）設全體空間向量組成的集合為V，a＝（a1，a2，a3）為V中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“因變量”也是向量的“向量函數(shù)”f（x）：f（x）＝－x＋2（x·a）a（x∈V）.①設u＝（1，0，0），v＝（0，0，1），若f（u）＝v，求向量a；②對于V中的任意兩個向量x，y，證明：f（x）·f（y）＝x·y；③對于V中的任意單位向量x，求｜f（x）－x｜的最大值.解題技法定義新運算問題一般先考查對運算法則的理解，這時只需一一驗證新運算滿足的條件.再考查滿足該新運算后要解決什么問題.如本例（2），滿足新運算的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新背景下研究“舊”性質(zhì)，此時需結合新運算下新的數(shù)學表達式，依據(jù)熟知的運算法則和定理進行邏輯推理與運算，創(chuàng)造性地證明更新的結論成立.定義新性質(zhì)（師生共研過關）類比思想在數(shù)學中極為重要，例如類比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線PA，PB，PC構成的三面角P-ABC，記∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B的大小為θ，則cosγ＝cosαcosβ＋sinαsinβcosθ.如圖2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝π3，AA1＝23，AB＝2，且A1點在底面ABCD內(nèi)的射影為AC的中點O.（1）求cos∠A1AB的值；（2）直線AA1與平面ABCD內(nèi)任意一條直線夾角為φ，證明：π3≤φ≤π解題技法用類比方法求解定義新性質(zhì)創(chuàng)新問題的三個切入角度（1）從兩個性質(zhì)的相似性和差異性上理解新性質(zhì)的準確性；（2）從兩個性質(zhì)的內(nèi)涵、應用環(huán)境上的差異刻畫新性質(zhì)的“全貌”（本質(zhì)）；（3）從類比方法獲得啟示，從而應用新性質(zhì)解決問題.定義新情境（師生共研過關）（1）胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰·泰勒（JohnTaylor，1781—1864）在其《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時利用黃金比例（1+52≈1.618），泰勒還引用了古希臘歷史學家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個側面的面積都等于金字塔高的平方.如圖，若h2＝as，則由勾股定理，as＝s2－a2，即（sa）2－sa－1＝0，因此可求得sa為黃金數(shù)，已知四棱錐底面是邊長約為856英尺的正方形（2a＝856），頂點P的投影為底面中心O，H為BC中點，根據(jù)以上信息，PH的長度（單位：英尺）A.611.6 B.481.4C.692.5 D.512.4（2）我國南北朝時期的著名數(shù)學家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即12V球＝πR2·R－13πR2·R＝23πR3.現(xiàn)將橢圓x24＋y29＝1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（解題技法新情境創(chuàng)設的幾種常見類型（1）從情境的復雜程度出發(fā)，高考一般從學生的“熟悉情境、關聯(lián)情境、綜合情境”三個層次命題；（2）從情境與學科知識的融合度上可分為“情境分離型”（去掉情境素材，仍能完成學科任務）；“情境嵌入型”（此類題目中的情境與題目中的學科任務相互融合，