抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是近幾年高考試題的熱點(diǎn)，抽象函數(shù)與函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性相結(jié)合的題目往往難度較大，綜合性強(qiáng)，本專題就抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用予以講解.一、抽象函數(shù)的奇偶性【例1】（1）（2021·新高考Ⅱ卷8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x＋2）為偶函數(shù)，f（2x＋1）為奇函數(shù)，則（）A.f－12＝0 B.f（－1C.f（2）＝0 D.f（4）＝0（2）已知函數(shù)f（x）滿足：f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y恒成立，且f（1）≠f（2），求證：f（x）是偶函數(shù).（1）解析：B法一（通解）∵f（x＋2）是偶函數(shù)，則f（－x＋2）＝f（x＋2）.令x＝1得f（1）＝f（3），又∵f（2x＋1）是奇函數(shù)，則f（－2x＋1）＝－f（2x＋1）.令x＝0得f（1）＝－f（1）可得f（1）＝0.令x＝1得f（－1）＝－f（3）＝－f（1）＝0.故選B.法二（優(yōu)解）可構(gòu)造f（x）＝cosπ2（x－（2）證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），∴f（0）＝0或f（0）＝1.令y＝0，若f（0）＝0，則f（x＋0）＋f（x－0）＝2f（x）·f（0），得f（x）＝0，與f（1）≠f（2）矛盾，∴f（0）＝1.令x＝0，y＝x，則有f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）·f（x），即f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性，需要利用已知條件找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，配湊出f（－x）與f（x）的關(guān)系，再利用函數(shù)奇偶性的定義加以判斷.①奇偶性問(wèn)題主要是函數(shù)的等價(jià)關(guān)系，對(duì)?x∈D，－x∈D，f（x）＋f（－x）＝0?f（x）為奇函數(shù)；f（x）－f（－x）＝0?f（x）為偶函數(shù)；②常賦值0，－1，1.已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（x＋5）＝－f（x）＋5，若函數(shù)f（x－1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，f（－3）＝2，則f（2023）＝（）A.5 B.－2C.1 D.2解析：D由函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱可知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故f（x）為偶函數(shù)，又由f（x＋5）＝－f（x）＋5，得f（x＋5＋5）＝－f（x＋5）＋5＝－[－f（x）＋5]＋5＝f（x），所以f（x）是周期為10的偶函數(shù).所以f（2023）＝f（3＋202×10）＝f（3）＝f（－3）＝2，故選D.二、抽象函數(shù)的周期性【例2】（2022·新高考Ⅱ卷8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，則∑k=122f（kA.－3 B.－2C.0 D.1解析：A因?yàn)閒（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的一個(gè)周期為6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3點(diǎn)評(píng)應(yīng)用抽象函數(shù)周期性解題的一般思路：①利用賦值法，結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特征，由特殊到一般尋找該函數(shù)的普遍規(guī)律，即求出該函數(shù)的變化周期；②利用函數(shù)的周期性，可將待求區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問(wèn)題，進(jìn)而求解；③求出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的每一個(gè)相關(guān)的函數(shù)值，再利用周期性求解.已知f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f（1）＜1，f（5）＝2a－3a+1，則實(shí)數(shù)A.（－1，4） B.（－2，0）C.（－1，0） D.（－1，2）解析：A∵f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù).∴f（5）＝f（－1）＝f（1）＜1.從而2a－3a+1＜1，解得－三、抽象函數(shù)的對(duì)稱性【例3】函數(shù)y＝f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則f（2023）＋f（2024）＋f（2025）＝（）A.0 B.1C.2 D.3解析：A因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，所以函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即f（－x）＝－f（x），又因?yàn)閒（x＋2）＝f（－x），所以f（x＋2）＝－f（x），即f（x＋4）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為T＝4，所以f（2023）＋f（2024）＋f（2025）＝f（－1）＋f（0）＋f（1）＝－f（1）＋f（0）＋f（1）＝0＋f（0）＝0.故選A.點(diǎn)評(píng)判斷抽象函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論y＝f（x）在定義域內(nèi)恒滿足y＝f（x）的圖象的對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）f（a＋x）＋f（a－x）＝0點(diǎn)（a，0）f（a＋x）＋f（b－x）＝0點(diǎn)（a＋bf（a＋x）＋f（b－x）＝c點(diǎn)（a＋b2f（a＋x）＝f（a－x）直線x＝af（a＋x）＝f（b－x）直線x＝a（表中a，b，c為常數(shù)）設(shè)函數(shù)y＝f（x）定義在R上，則函數(shù)y＝f（x－1）與函數(shù)y＝f（1－x）的圖象關(guān)于（）A.直線x＝0對(duì)稱 B.直線y＝0對(duì)稱C.直線x＝1對(duì)稱 D.直線y＝1對(duì)稱解析：C令g1（x）＝f（x－1），g2（x）＝f（1－x）.因?yàn)閒（1－x）＝f[（2－x）－1]，即g2（x）＝g1（2－x），所以g1（x）與g2（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故選C.四、抽象函數(shù)的綜合問(wèn)題【例4】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，＋∞）上的增函數(shù)，且f（xy）＝f（x）－f（y）（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，求不等式f（x＋3）＋f（1x）≤2的解集解：（1）將x＝y(tǒng)＝1代入f（xy）＝f（x）－f（y得f（1）＝f（1）－f（1），所以f（1）＝0.（2）因?yàn)閒（6）＝1，所以2＝f（6）＋f（6），于是f（x＋3）＋f（1x）≤2等價(jià)于f（x＋3）－f（6）≤f（6）－f（1x），即f（x+36）≤f又函數(shù)f（x）是定義在（0，＋∞）上的增函數(shù)，所以x+36≤6x因此原不等式的解集為［335，＋∞點(diǎn)評(píng)（1）解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要緊扣定義及題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)表達(dá)式，依據(jù)一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中的變量對(duì)某個(gè)范圍內(nèi)的一切值都成立，則對(duì)該范圍內(nèi)的特殊值必然成立這一關(guān)鍵思想賦予某些特殊值（如0，1，－1等），由特殊到一般尋找規(guī)律，使問(wèn)題由抽象到具體，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單；（2）充分利用題設(shè)中的條件等式，使其變形為滿足函數(shù)某些性質(zhì)的定義表達(dá)式，從而再利用這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2），對(duì)任意x和y，有f（x＋y）＝f（x）·f（y）.（1）求f（0）；（2）對(duì)任意x∈R，判斷f（x）值的正負(fù).解：（1）將y＝0代入f（x＋y）＝f（x）·f（y），得f（x）＝f（x）·f（0），于是有f（x）[1－f（0）]＝0.若f（x）＝0，則對(duì)任意x1≠x2，有f（x1）＝f（x2）＝0，這與已知題設(shè)矛盾，所以f（x）≠0，從而f（0）＝1.（2）設(shè)x＝y(tǒng)≠0，則f（2x）＝f（x）·f（x）＝[f（x）]2≥0，又由（1）知f（x）≠0，所以f（2x）＞0，由x為任意實(shí)數(shù)，知f（x）＞0.故對(duì)任意x∈R，都有f（x）＞0.1.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝｜lnx｜ D.y＝2－x解析：B根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f（－x）＝f（x）且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)椋?，＋∞），不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).2.已知函數(shù)f（x）＝x2－ax，x≤0A.－1 B.1C.0 D.±1解析：A∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x），則有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1（符合題意）.故選A.3.（2024·臨泉第一中學(xué)一模）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x＋2）＝－f（x），則f（8）＝（）A.1 B.2C.0 D.－1解析：C根據(jù)題意，若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）＝0，又由f（x＋2）＝－f（x），則有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），則f（8）＝f（4）＝f（0）＝0，故選C.4.（2024·九江一模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3－x－3＋a，若函數(shù)f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則a＝（）A.－1 B.0C.1 D.2解析：B因?yàn)楹瘮?shù)f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即f（x）為奇函數(shù)，f（0）＝0，故a＝0.故選B.5.（多選）（2024·汕頭一模）已知f（x）為奇函數(shù)，且f（x＋1）為偶函數(shù)，若f（1）＝0，則（）A.f（3）＝0B.f（3）＝f（5）C.f（x＋3）＝f（x－1）D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1解析：ABC因?yàn)楹瘮?shù)f（x＋1）為偶函數(shù)，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期為4，又因?yàn)閒（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正確；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正確；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同時(shí)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互為相反數(shù)，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1對(duì)于x＝0不成立，故D不正確.6.（多選）（2024·臨沂一模）已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，若f（12）＝f（－2）＝1，則下列命題中正確的是（A.f（x）有兩個(gè)零點(diǎn) B.f（－1）＞－1C.f（－3）＜1 D.f（12）＞f（2解析：BD根據(jù)題意可得函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）上單調(diào)遞減.f（0）＝0，由f（12）＝f（－2）＝1可得f（－12）＝f（2）＝－1.對(duì)于A，由f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，且f（12）＝1，f（2）＝－1，所以存在x0∈（12，2），f（x0）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，同理f（x）在（－∞，0）上也有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)閒（0）＝0，所以f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，所以f（－1）＞f（－12）＝－1，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，所以f（－3）＞f（－2）＝1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f（12）＝1，f（2）＝－1，所以f（12）＞f（2），故7.已知函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f（x）＋g（x）＝2·3x，則函數(shù)f（x）＝.答案：3x＋3－x解析：因?yàn)閒（x）＋g（x）＝2·3x，所以f（－x）＋g（－x）＝2·3－x，又f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝2·3－x，則f（x）＋g（x）=2·3x，f（x)-g（x）=2·3－x，兩式相加得，2f8.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝2x－x2.（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式.解：（1）證明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.∴f（x）是周期為4的周期函數(shù).（2）∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.∵f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），∴－f（x）＝－x2＋6x－8，即當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）＝x2－6x＋8.9.已知定義在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，且滿足f（－1）＝0，f（2）＝1，則關(guān)于x的不等式f（x）＜sinπx的解集為（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（0，1） D.（－1，0）∪（0，1）解析：C∵f（x）為（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函數(shù)，由此可在坐標(biāo)系中畫出y＝f（x）與y＝sinπx的大致圖象，如圖所示，由圖象可知，當(dāng)x∈（－∞，－1）∪（0，1）時(shí)，f（x）＜sinπx.10.（多選）已知函數(shù)f（x），對(duì)?x∈R，都有f（－2－x）＝f（x），且任取x1，x2∈[－1，＋∞），f（x2)-f（x1）x2－A.f（0）＞f（－3）B.?x∈R，f（x）≤f（－1）C.f（a2－a＋1）≥f3D.若f（m）＜f（2），則－4＜m＜2解析：AB根據(jù)題意，函數(shù)f（x）對(duì)?x∈R，都有f（－2－x）＝f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞），f（x2)-f（x1）x2－x1＜0（x1≠x2），則f（x）在區(qū)間[－1，＋∞）上單調(diào)遞減，則f（x）在（－∞，－1]上單調(diào)遞增；據(jù)此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f（－3）＝f（1），則有f（0）＞f（1）＝f（－3），A正確；對(duì)于B，f（x）在區(qū)間（－∞，－1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－1，＋∞）上單調(diào)遞減，故f（x）在x＝－1時(shí)，取得最大值，即有?x∈R，f（x）≤f（－1），B正確；對(duì)于C，f（x）在區(qū)間[－1，＋∞）上單調(diào)遞減，又由a2－a＋1＝a－122＋34≥34，則f（a2－a＋1）≤f34，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若f（m）＜f（11.（多選）已知函數(shù)f（x）＝1－cosπx，g（x）＝e｜x－1｜，則（）A.曲線y＝f（x）＋g（x）是中心對(duì)稱圖形B.曲線y＝f（x）＋g（x）是軸對(duì)稱圖形C.函數(shù)y＝f（D.函數(shù)y＝f（解析：BC因?yàn)閥＝f（x）＋g（x）＝e｜x－1｜－cosπx＋1，f（－x）＋g（－x）＝e｜x＋1｜－cosπx＋1≠－[f（x）＋g（x）]，所以曲線y＝f（x）＋g（x）不是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）＝1－cosπx的圖象是軸對(duì)稱圖形，令πx＝kπ，k∈Z，解得x＝k，k∈Z，令k＝1，可得函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝1.函數(shù)g（x）＝e｜x－1｜的圖象為軸對(duì)稱圖形，且其對(duì)稱軸為直線x＝1，所以曲線y＝f（x）＋g（x）是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線x＝1，故B正確；因?yàn)間（x）≥1，0≤f（x）≤2，所以0＜1g（x）≤1，0≤f（x）g（x）≤2.又g（x）在x＝1處取得最小值1，而f（x）＝1－cosπx在x＝1處取得最大值2，在x＝0處取得最小值0，所以函數(shù)y＝f（x）g（x）在x＝1處取得最大值為2，在x＝0處取得最小值為012.設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1）上，f（x）＝x＋a,-1≤x<0，｜25－x|,0≤x<1，其中a∈R.答案：－2解析：由題意可得f（－52）＝f（－12）＝－12＋a，f（92）＝f（12）＝｜25－12｜＝110.∵f（－52）＝f（92），∴－12＋a＝110，解得a＝35，∴f（5a）＝f（3）13.若函數(shù)f（x）稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)a，b，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意x值，均有f（x）＋f（2a－x）＝2b，請(qǐng)寫出一個(gè)a＝2，b＝2的“準(zhǔn)奇函數(shù)”.（填寫解析式）答案：f（x）＝2x－3x－解析：由f（x）＋f（2a－x）＝2b，知“準(zhǔn)奇函數(shù)”f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，若a＝2，b＝2，即f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，2）對(duì)稱，如y＝1x向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到f（x）＝2＋1x－2＝2x－3x－2，14.我們知道，函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x＋a）－b為奇函數(shù).（1）判斷函數(shù)f（x）＝2x－12x+1的奇偶性，并求函數(shù)g（x（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.解：（1）f（x）＝2x－證明如下，首先f(wàn)（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（－x）＝2－x－12－x+1＝1－2x1+2x1＋g（x）＝1－22x－1+1＝2x－1+1故g（x）＝f（x－1）－1，于是g（x＋1）＋1＝f（x）是奇函數(shù)，由題意知，g（x）對(duì)稱中心是（1，－1）.（2）函數(shù)y＝f（x）的圖