“算兩次”在解三角形中的運(yùn)用“算兩次”就是從兩個(gè)不同的角度或用兩種不同的方法、途徑表示同一數(shù)學(xué)對(duì)象，根據(jù)結(jié)果的唯一性，得到方程的方法.“算兩次”在運(yùn)用的過程中要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光看問題，找尋等量關(guān)系，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等思維能力提出了較高要求，在解三角形中經(jīng)常通過特定關(guān)系的邊、角或面積，通過“算兩次”的方法找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn).真題展示【例】（2023·全國甲卷16題）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝.答案：2解析：在△ABC中，由正弦定理可得ABsinC＝BCsin60°，所以sinC＝22，因?yàn)锽C＞AB，所以C＝45°，∠ABC＝180°－60°－45°＝75°，又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAD＝30°，在△ADC中，由正弦定理得ADsin45°＝CDsin30°，所以2CD＝AD，①.在△ADB中，由正弦定理得ADsin75°＝BDsin30°，所以2＋62（6技法探究技法1“邊”算兩次1.同一邊算兩次【例1】在四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，BC＝2，CD＝1，則四邊形ABCD面積的最大值為.答案：26解析：在△ABD中，BD2＝32＋42－2×3×4×cosA＝25－24cosA，在△CBD中，BD2＝22＋12－2×2×1×cosC＝5－4cosC，所以25－24cosA＝5－4cosC，即6cosA－cosC＝5，①.又S＝12×3×4×sinA＋12×2×1×sinC＝6sinA＋sinC，即6sinA＋sinC＝S.②.由①②得37－12cos（A＋C）＝S2＋25，所以S2＝12－12cos（A＋C）≤12＋12＝24，所以S≤26，等號(hào)成立的條件是cos（A＋C）＝－1，即A＋C＝π，此時(shí)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以Smax＝2反思感悟本題選取了兩個(gè)三角形的公共“邊”為切入口，在不同的三角形中利用余弦定理兩次表示邊BD，即在△ABD中，BD2＝25－24cosA；在△CBD中，BD2＝5－4cosC，從而得到6cosA－cosC＝5，獲知角之間的關(guān)系.2.相關(guān)邊算兩次【例2】如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝π2，∠DAC＝2∠ACB，∠ADC＝π3，DC＝3AB，則cos∠ACB＝答案：3解析：設(shè)∠ACB＝θ，則∠DAC＝2θ，在△ACD中，根據(jù)正弦定理，得DCsin∠DAC＝ACsin∠ADC，即DCsin2θ＝ACsinπ3，得DC＝ACsin2θ32，在Rt△ABC中，由AC＝ABsinθ得，AB＝ACsinθ，因?yàn)镈C＝3AB，所以有ACsin2θ32＝3ACsinθ，則2sinθcosθ＝3反思感悟本題選取相關(guān)“邊”DC，AB為切入口，分別在兩個(gè)不同的三角形中表示，一方面在△ACD中利用正弦定理得DC＝ACsin∠ADC·sin∠DAC；另一方面在Rt△ABC中，得AB＝ACsin∠ACB，通過兩邊的相關(guān)關(guān)系技法2“角”算兩次1.同一角算兩次【例3】已知△ABC中AB＝4，AC＝7，AD為邊BC上的中線，若AD＝72，則BC＝答案：9解析：設(shè)BD＝x，在△ABD中，由余弦定理可得cosB＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝15+4x232x，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝BC反思感悟本題選取兩個(gè)三角形的公共角B為切入口，分別在兩個(gè)不同的三角形內(nèi)利用余弦定理對(duì)角進(jìn)行表示，構(gòu)建方程進(jìn)行求解.解題的關(guān)鍵是尋找兩個(gè)三角形的公共元素，在兩個(gè)三角形內(nèi)分別利用正、余弦定理、勾股定理進(jìn)行邊、角互化，獲得等量關(guān)系.2.補(bǔ)角算兩次【例4】（2021·新高考Ⅰ卷19題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.（1）證明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.解：（1）證明：因?yàn)锽Dsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b＞0，所以BD＝b.（2）如圖所示，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，因?yàn)锳D＝2DC，所以AEEB＝ADDC＝2，DEBC所以BE＝c3，DE＝2在△BDE中，cos∠BED＝B＝c29＋4a在△ABC中，cos∠ABC＝AB2＋BC因?yàn)椤螧ED＝π－∠ABC，所以cos∠BED＝－cos∠ABC，所以c2+4a2－9ac4ac＝－c2＋a2－ac2ac，化簡得3c2＋6a2－11ac＝0，方程兩邊同時(shí)除以a2，得3當(dāng)ca＝23，即c＝23a時(shí)，cos∠ABC＝c2＋當(dāng)ca＝3，即c＝3a時(shí)，cos∠ABC＝c2＋a2－ac2ac＝綜上，cos∠ABC＝712反思感悟本題選取兩個(gè)三角形中的相關(guān)“角”，兩個(gè)角互為補(bǔ)角即∠BED＋∠ABC＝π為切入口，通過兩次計(jì)算相關(guān)角的余弦值，從而得到a，b，c的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求解.3.相關(guān)角算兩次【例5】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足a＝4，C＝2B.（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面積為23，求tanB.解：（1）因?yàn)镃＝2B，所以sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以c＝2bcosB，又cosB＝c2b＝所以ac2＝b（a2＋c2－b2），則4c2＝2（16＋c2－4），解得c2＝12，c＝23.（2）①若C為銳角，過A作AH⊥BC于H（圖略），設(shè)BC邊上的高為h，則S△ABC＝12·4·h＝23，h＝3設(shè)BH＝x，則HC＝4－x，tanB＝hx，tanC＝h因?yàn)镃＝2B，所以tanC＝tan2B＝2tanB即h4－x＝2·hx1－（hx）2，所以1－（則tanB＝33②若C為鈍角，過A作AH⊥BC的延長線于H（圖略），設(shè)BC邊上的高為h，則S△ABC＝12×4×h＝23，h＝3設(shè)CH＝x，則BH＝4＋x，則tanB＝h4+x，tan（π－C）＝hx＝－所以由tanC＝tan2B知，－h(huán)x＝2所以1＋2x4+x－3（4+x）2＝0，因?yàn)閤＞0，綜上所述，tanB＝33反思感悟本題選取相關(guān)角為切入口，在兩個(gè)三角形內(nèi)分別表示出相關(guān)角C，B的正切值，再借助C＝2B以及其正切值的等量關(guān)系，取得問題的關(guān)鍵點(diǎn)，獲得結(jié)論.技法3“面積”算兩次1.同一面積算兩次【例6】△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S＝（b＋c）2－a2，則sinA＝.答案：8解析：由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，b2＋c2－a2＝2bccosA.又S＝（b＋c）2－a2＝b2＋c2－a2＋2bc＝2bc（cosA＋1），S＝12bcsinA，所以2bc（cosA＋1）＝12bcsinA，即cosA＋1＝14sinA，故cosA＝14sinA－1，所以sin2A＋（14sinA－1）2＝反思感悟本題以三角形的面積為突破口，采用“算兩次”的方法對(duì)面積進(jìn)行表示，從而得到等量關(guān)系進(jìn)而得解.2.相關(guān)面積算兩次【例7】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，a＋b＝5，∠ACB＝120°，∠ACD＝30°，則a＝.答案：5解析：因?yàn)椤螦CB＝120°，∠ACD＝30°，所以∠BCD＝90°.S△ACD＝12·b·CDsin∠ACD＝14·b·CD，S△BCD＝12·a·CD，因?yàn)辄c(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，所以S△ACD＝S△BCD，所以14·b·CD＝12·a·CD，即b＝2a，又a＋b＝5，反思感悟本題的解法多樣，但由于D為線段AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ADC和△BDC面積相等，如果把面積作為解題“橋梁”，在兩個(gè)三角形中進(jìn)行面積的表示，充分運(yùn)用“算兩次”的運(yùn)算思想，即可巧妙地回避邊長之間的運(yùn)算及繁瑣關(guān)系，大大減小計(jì)算量.高考還可這樣考如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝23，BD＝3＋6，△BCD的面積為S＝3（2＋3）（1）求CD；（2）求∠ABC.解：（1）在△BCD中，S＝12BD·BC·sin∠CBD＝3∵BC＝23，BD＝3＋6，∴sin∠CBD＝12∵∠ABC為銳角，∴∠CBD為銳角，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝（23）2＋（3＋6）2－2×23×（3＋6）×32＝∴CD＝3.（2）在△BCD中，由正弦定理得B