第八節(jié)函數(shù)的零點與方程的解1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.1.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（）解析：A根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點.2.函數(shù)f（x）＝x2＋x－A.3 B.2C.7 D.0解析：B由x≤0，x2＋x－2=0或x>0，－1+lnx=0，解得x3.函數(shù)f（x）＝lnx－2x的零點所在的區(qū)間是（A.（0，1） B.（1，2）C.（2，e） D.（e，3）解析：C因為函數(shù)f（x）＝lnx－2x在定義域（0，＋∞）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，且f（2）＝ln2－1＜0，f（e）＝lne－2e＝1－2e＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函數(shù)f（x）＝lnx－2x的零點所在的區(qū)間是（2，4.（多選）已知函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x1234567f（x）－4－2142－1－3在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）必有零點的區(qū)間為（）A.（1，2） B.（2，3）C.（5，6） D.（5，7）解析：BCD由所給的函數(shù)值表知，f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（5）f（6）＜0，f（5）f（7）＜0，∴f（x）在區(qū)間（2，3），（5，6），（5，7）內(nèi)各至少有一個零點.5.方程2x＋3x＝k的解在[1，2）內(nèi)，則k的取值范圍是.答案：[5，10）解析：令函數(shù)f（x）＝2x＋3x－k，則f（x）在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在（1，2）內(nèi)時，f（1）·f（2）＜0，即（5－k）（10－k）＜0，解得5＜k＜10，又f（1）＝0時，k＝5.綜上，實數(shù)k的取值范圍是[5，10）.有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論（1）若連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）至多有一個零點；（2）連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；（3）連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.有如下說法，其中正確的有（）A.函數(shù)f（x）的零點為x0，則函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（x0，0）時，函數(shù)值一定變號B.相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值一定同號C.函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，若滿足f（a）·f（b）＜0，則方程f（x）＝0在區(qū)間[a，b]上一定有實根D.“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點都有效解析：C由結(jié)論知A錯誤；當(dāng)函數(shù)不連續(xù)時，B不一定成立，故B錯誤；由函數(shù)零點存在定理可得C正確；由于“二分法”是針對連續(xù)不斷的函數(shù)的變號零點而言的，所以D錯誤.故選C.函數(shù)零點區(qū)間的判定1.若a＜b＜c，則函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的兩個零點分別位于區(qū)間（）A.（a，b）和（b，c）內(nèi)B.（－∞，a）和（a，b）內(nèi)C.（b，c）和（c，＋∞）內(nèi)D.（－∞，a）和（c，＋∞）內(nèi)解析：A函數(shù)y＝f（x）是開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a＜b＜c，則a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在區(qū)間（a，b）和區(qū)間（b，c）內(nèi)各有一個零點.2.（多選）函數(shù)f（x）＝ex－x－2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點（）A.（－2，－1） B.（－1，0）C.（0，1） D.（1，2）解析：ADf（－2）＝1e2＞0，f（－1）＝1e－1＜0，f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2－4＞0，因為f（－2）·f（－1）＜0，f（1）·f（2）＜0，所以f（x）在（－2，－1）和（1，23.已知函數(shù)f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f（x）的零點x0∈（n，n＋1），n∈N*，則n＝.答案：2解析：對于函數(shù)y＝logax，當(dāng)x＝2時，可得y＜1，當(dāng)x＝3時，可得y＞1，如圖，在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝－x＋b的圖象，判斷兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標在（2，3）內(nèi)，∴函數(shù)f（x）的零點x0∈（n，n＋1）時，n＝2.練后悟通1.確定函數(shù)f（x）的零點所在區(qū)間的常用方法（1）利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有零點；（2）數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.2.函數(shù)零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，不滿足條件時，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行分析判斷.函數(shù)零點個數(shù)的判定【例1】（1）函數(shù)f（x）＝2x＋x3－2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.3（2）已知函數(shù)f（x）＝｜lnx|,x>0，－2x（x+2A.1 B.2C.3 D.4答案：（1）B（2）B解析：（1）法一∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個零點.法二設(shè)y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間（0，1）內(nèi)，兩圖象的交點個數(shù)即為f（x）的零點個數(shù).故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個零點.（2）法一（直接法）由y＝f（x）－3＝0得f（x）＝3.當(dāng)x＞0時，得lnx＝3或lnx＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；當(dāng)x≤0時，得－2x（x＋2）＝3，無解.所以函數(shù)y＝f（x）－3的零點個數(shù)是2，故選B.法二（圖象法）作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖，函數(shù)y＝f（x）－3的零點個數(shù)即y＝f（x）的圖象與直線y＝3的交點個數(shù)，作出直線y＝3，由圖知y＝f（x）的圖象與直線y＝3有2個交點，故函數(shù)y＝f（x）－3的零點個數(shù)是2，故選B.解題技法判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法（1）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；（2）定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）圖象法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.1.（2024·?？谫|(zhì)檢）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）＝ex＋x－3，則f（x）的零點個數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4解析：C因為函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即x＝0是函數(shù)f（x）的1個零點.當(dāng)x＞0時，令f（x）＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個交點，所以函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上有1個零點.根據(jù)對稱性知，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）也有1個零點.綜上所述，f（x）的零點個數(shù)為3.故選C.2.（2024·莆田模擬）函數(shù)f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)0≤x＜2時，f（x）＝x2－x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[－3，3]上與x軸的交點個數(shù)為（）A.6 B.7C.8 D.9解析：B令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f（1）＝0，因為函數(shù)的最小正周期為2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[－3，3]上與x軸的交點個數(shù)為7.函數(shù)零點的應(yīng)用考向1根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)（范圍）【例2】（1）（2024·武漢模擬）已知函數(shù)f（x）＝｜x2+2x|,x<0，1x，x>0，若關(guān)于x的方程f（x）＝A.（－∞，4－23） B.（4＋23，＋∞）C.（0，4＋23） D.（0，4－23）（2）（2024·合肥模擬）若函數(shù)f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（－1e，＋∞） B.（－e，＋∞C.（－∞，1e） D.（－∞，e答案：（1）D（2）D解析：（1）畫出f（x）的函數(shù)圖象，設(shè)y＝a（x＋3），該直線恒過點（－3，0），結(jié)合函數(shù)圖象，若y＝a（x＋3）與y＝－x2－2x相切，聯(lián)立得x2＋（a＋2）x＋3a＝0，Δ＝（a＋2）2－12a＝0，得a＝4－23（a＝4＋23舍），若f（x）＝a（x＋3）有四個不同的實數(shù)根，則0＜a＜4－23.（2）由題意，函數(shù)y＝e－x與g（x）＝ln（x＋a）的圖象在（0，＋∞）上有交點，當(dāng)a＞0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝lnx的圖象向左平移a個單位長度得到的，根據(jù)圖象可得只需要g（0）＝lna＜1，即0＜a＜e；當(dāng)a≤0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝lnx向右平移a個單位長度得到的，此時在（0，＋∞）上恒有交點，滿足條件，綜上可得：a＜e，即實數(shù)a的取值范圍是（－∞，e），故選D.解題技法1.已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主要方法有：（1）直接求方程的根，構(gòu)建方程（不等式）求參數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合.2.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.考向2探究函數(shù)多個零點（方程根）問題【例3】已知函數(shù)f（x）＝－x2－2x，x≤0，｜log13x|,x>0，若a，b，c，d互不相等，且f（a）＝f（解：如圖為函數(shù)f（x）的大致圖象，因為a，b，c，d互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），所以不妨設(shè)a＜b＜c＜d，由圖可知－2＜a＜－1＜b＜0＜c＜1＜d＜3，由f（a）＝f（b），得a＋b2＝－1，所以a＋b又f（c）＝f（d），所以log13c＝－log13d，所以cd＝1，即所以a＋b＋c＋d＝d＋1d－2令g（d）＝d＋1d－2（1＜d＜3），由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知g（d）＝d＋1d－2在（1，3）所以g（d）∈（0，43解題技法探究函數(shù)多個零點（方程根）問題的常用方法（1）解方程法：若對應(yīng)方程f（x）＝0可解，通過解方程，則方程有幾個解，對應(yīng)函數(shù)就有幾個零點；（2）定理法：利用函數(shù)零點存在定理時，不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等）進行判斷；（3）圖象法：①使用前提：方程F（x）＝0不易解答，且只要求判斷函數(shù)零點的個數(shù)時，可以用圖象法解答；②實施方法：（?。┤艉瘮?shù)F（x）的圖象易畫出，則可以直接畫出圖象判斷；（ⅱ）若函數(shù)F（x）的圖象不易畫出，可把F（x）變形為F（x）＝f（x）－g（x），作出f（x）與g（x）的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)F（x）的零點.1.（2024·嘉興模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2（x＋1）－1x＋m在區(qū)間（1，3]上有零點，則m的取值范圍為（A.（－53，B.［－53，C.（－∞，－53］∪（0，＋∞D(zhuǎn).（－∞，－53）∪（0，＋∞解析：B由于函數(shù)y＝log2（x＋1），y＝m－1x在區(qū)間（1，3]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在（1，3]上單調(diào)遞增，由于函數(shù)f（x）＝log