第06講實際問題與一元二次方程（6大知識點+8大典例+變式訓練+過關檢測）典型例題一傳播問題典型例題二握手、循環(huán)比賽問題典型例題三增長率問題典型例題四圖形問題典型例題五銷售問題典型例題六數(shù)字問題典型例題七幾何動點問題典型例題八行程問題知識點一：列一元二次方程解應用題審→設→列→解→驗→答.即：(1)審：審清題目的各量之間的關系：(2)設：恰當?shù)卦O出未知數(shù)，可直接設也可間接設：(3)列：根據問題中的等量關系，列出方程；(4)解：求出未知數(shù)的值：(5)驗：檢驗方程的解的正確性及是否符合實際情況；(6)答：寫出應用題的答案知識點二：傳播問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．【即時訓練】1．（2425九年級上·遼寧大連·期末）有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共有人患了流感，則可列方程（

）【答案】C【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，故選：C．2．（2425九年級上·湖南湘西·期中）有人患了流感，經過兩輪傳染后共有人患了流感，設每輪傳染中平均一個人傳染了人，根據題意列出方程為．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找出題中等量關系是解答關鍵．設每輪傳染中平均一個人傳染了人，根據題意列出方程求解．知識點三：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：(2)降低率問題：【即時訓練】1．（2425八年級下·浙江溫州·期中）春暖花開，溫州各園區(qū)的郁金香都盛開了．已知溫州某郁金香園區(qū)2023年的賞花人數(shù)為5500人，預計2025年賞花人數(shù)將達到6050人．若設2023年至2025年賞花人數(shù)年平均增長率為，由題可列方程為（

）【答案】A【詳解】解：2023年到2025年共經過2年，故增長次數(shù)為2次，故選：A2．（2425八年級下·安徽亳州·期中）某種品牌的手機經過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了1600元．設平均每月降價的百分率為，根據題意列出的方程是．知識點四：圖形問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.【即時訓練】1．（2025·遼寧·中考真題）中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何．”其大意是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？設這個矩形的寬為步，根據題意可列方程為（）【答案】A故選：A.【答案】故答案為：①②知識點五：數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x2，x+2.【即時訓練】1．（2425八年級下·黑龍江綏化·階段練習）已知相鄰的兩個偶數(shù)之積為360，若設較小的偶數(shù)為x，則可列方程為（

）【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找準等量關系列出方程是解題的關鍵．設較小的偶數(shù)為x，根據“相鄰的兩個偶數(shù)之積為360”作為等量關系列出方程即可．【詳解】解：設較小的偶數(shù)為x，故選：D．2．（2425八年級下·浙江溫州·期中）如圖，在2025年4月的日歷表上用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，則這個最小數(shù)為．【答案】故答案為：知識點六：利潤（銷售）問題利潤(銷售)問題中常用的等量關系：利潤=售價進價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)【即時訓練】1．（2425九年級上·云南·期中）某商場將進價為45元/件的甲商品以65元/件出售時，平均每天能賣出30件，若每降價1元，則每天可多賣出5件，如果降價元，每天盈利800元，那么可列方程為（

）【答案】D故選D．2．（2425九年級上·重慶巴南·階段練習）“雙11”購物節(jié)，某電商平臺的一款智能電飯煲經過了兩次降價，售價由原來的元降到元，設平均每次降價的百分率為，那么可列方程為．【分析】本題考查一元二次方程的知識，解題的關鍵是根據題意，設平均每次降價的百分率為，列出方程，即可．【詳解】解：設平均每次降價的百分率為，【典型例題一傳播問題】1．（2425九年級上·遼寧營口·階段練習）為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉發(fā)的方式傳播，他設計了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請個好友轉發(fā)倡議書，每個好友轉發(fā)倡議書之后，又邀請個互不相同的好友轉發(fā)倡議書．以此類推，已知經過兩輪傳播后，共有人參與了傳播活動，則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，分析實際問題中的數(shù)量關系，利用其中的相等關系列出方程，找到“等量關系”列方程是解決問題的關鍵．第一輪傳播了個人，第二輪傳播了個人，根據兩輪傳播后，共有111人參與列出方程求解即可．【詳解】解：由題意得，的值是，故選：C．2．（2223九年級上·湖北咸寧·期末）張亮為了響應學?！皭坌Ｗo?！被顒犹栒伲瑳Q定牽頭成立“愛校護校志愿服務團”．并走入各班級號召大家加入“志愿服務團”．假定從張亮一個人開始號召，被他號召加入團隊的人和他一起下一周繼續(xù)號召，每人每周能夠號召相同人數(shù)加入，兩周后，共有121人成為“志愿服務團”成員，求每人每周能夠號召多少人加入“志愿服務團”．【答案】每人每周能夠號召10人加入“志愿服務團”【分析】設每人每周能夠號召x人加入“志愿服務團”．根據每人每周能夠號召相同人數(shù)加入列出方程，解方程即可．【詳解】解：設每人每周能夠號召x人加入“志愿服務團”．根據題意得：答：每人每周能夠號召10人加入“志愿服務團”．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意列出方程是解題的關鍵．1．（2425九年級上·甘肅定西·期中）育才中學九（1）班學生畢業(yè)時，老師要求每位同學向班上其他同學寫一條畢業(yè)祝福語，全班共送出祝福語2070條，問九（1）班共有多少名學生？設九（1）班共有x名學生，則可列方程（

）【答案】D故選：D．【答案】A∵全班有名同學，故選：A．3．（2425九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）某種植物的主干長出若干個分支，每個支干又長出同樣個數(shù)的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是241，設每個支干長出小分支的個數(shù)是x，則可列方程為．【分析】本題考查一元二次方程的應用，根據“主干長出若干個分支，每個支干又長出同樣個數(shù)的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是241”列方程求解即可．【詳解】解：設每個支干長出小分支的個數(shù)是x，4．（2324九年級上·廣東惠州·期末）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，如果外出時能夠戴上口罩、做好防護，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個人患了支原體肺炎，經過兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎(假設每個人每輪傳染的人數(shù)同樣多)，求每輪傳染巾平均一個人傳染了幾個人？【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程，解題的關鍵是找到等量關系，列方程計算．【詳解】解：設每輪傳染巾平均一個人傳染了個人，答：每輪傳染巾平均一個人傳染了個人．【典型例題二握手、循環(huán)比賽問題】1．（2425九年級上·陜西咸陽·期末）在某次籃球比賽中，參賽的每兩隊之間都進行一場比賽，計劃安排28場比賽，若邀請x個球隊參加比賽，則可列的方程為（

）【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意正確列方程即可．故選：C．2．（2425八年級下·遼寧大連·期中）2024年11月3日，大連足球在萬眾期待中迎來歷史性時刻，時隔一年重返中國足球超級聯(lián)賽（中超），彰顯了大連在中國足球歷史上的重要地位．2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽240場．求本次聯(lián)賽共有多少支球隊．【答案】本次聯(lián)賽共有16支球隊【分析】本題考查一元二次方程的應用，根據題意找準等量關系并正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設本次聯(lián)賽共有支球隊，根據2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽240場，列出一元二次方程，求解并取符合題意的值即可．【詳解】解：設本次聯(lián)賽共有支球隊，本次聯(lián)賽共有16支球隊．1．（2425九年級上·福建福州·階段練習）我國的乒乓球“夢之隊”在巴黎奧運賽場上大放異彩，奧運會乒乓球比賽的第一階段是團體賽，賽制為單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一場）．共安排28場比賽，設邀請個球隊參加比賽，可列方程得（

）【答案】D故選：D．2．（2425九年級上·廣東廣州·期中）某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1482張照片，如果全班有名同學，根據題意，列出方程為（

）【答案】B【分析】本題考查一元二次方程在實際生活中的應用．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關鍵．【詳解】解：全班有名同學，又是互送照片，故選：B．3．（2025·廣東東莞·二模）北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，設有x支隊伍參加比賽，可列方程為：．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意是解題的關鍵．4．（2425九年級上·陜西寶雞·期末）寶雞辣椒身條細長、皺紋均勻、肉質豐厚、色澤紅亮、辣味佳美，在國內外市場，被譽為“椒中之王”．某辣椒種植基地2022年的單位面積產椒量為50千克，因為改進了種植技術，單位面積產椒量逐年增加，到2024年該基地的單位面積產椒量達到了72千克．請你計算該基地這兩年單位面積產椒量的年平均增長率．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找準等量關系列出方程是解題的關鍵．設該基地這兩年單位面積產椒量的年平均增長率為，根據題意列出方程即可求解．【詳解】解：設該基地這兩年單位面積產椒量的年平均增長率為，答：該基地這兩年單位面積產椒量的年平均增長率為．【典型例題三增長率問題】1．（2425八年級下·全國·期中）某企業(yè)2024年1月份產值1千萬，2024年第一季度總產值5千萬，若該企業(yè)2024年第一季度月產值的平均增長率為x，則下列方程中符合題意的是（

）【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應用平均增長率問題，分別求出2月份產值和3月份產值即可求解．【詳解】解：∵1月份產值為1千萬，第一季度月產值的平均增長率為x，故選：C2．（2425九年級下·甘肅武威·開學考試）為了保障人民群眾的生命安全和身體健康，某感冒退燒藥生產企業(yè)產能逐步提升，10月份產量為200萬片，11月、12月兩個月增長率相同，預計12月份產量可達到338萬片．求11月、12月這兩個月該企業(yè)感冒退燒藥產量的月增長率．【分析】本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題），讀懂題意，根據題中的等量關系正確列出方程是解題的關鍵．設11月、12月這兩個月該企業(yè)感冒退燒藥產量的月增長率為，根據題意，列出一元二次方程，解方程并取符合題意的值即可．【詳解】解：設11月、12月這兩個月該企業(yè)感冒退燒藥產量的月增長率為，1．（2425八年級下·湖南長沙·期末）隨著環(huán)保意識的增強和技術的革新，新能源汽車逐漸成為消費者的熱門選擇，某品牌新能源汽車今年3月份的銷量為1200輛，由于國補政策的連月升溫，5月份的銷量為3500輛，設每個月銷量的平均增長率為，則下列方程正確的是（

）【答案】B故選：B．2．（2425八年級下·浙江溫州·期中）隨著科技水平的提高，某種電子產品的價格呈下降趨勢，今年的價格恰為兩年前的一半．假設該電子產品每年降價的百分率均為，則以下所列方程正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，涉及連續(xù)降價問題．故選C．【分析】本題考查了一元二次方程解決增長率問題，解題關鍵是列出方程求解．【詳解】解：設每年的增長率為，4．（2425九年級上·廣東江門·期中）某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，求航空公司共有多少個飛機場？【答案】5個【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用，根據等量關系，列出方程是解題的關鍵．設這個航空公司共有x個飛機場，根據等量關系，列出方程，即可求解．【詳解】解：設這航空公司共有x個飛機場，根據題意，得：答：航空公司共有5個飛機場．【典型例題四圖形問題】【答案】A【詳解】解：設該草坪的長和寬各增加，根據題意得故選：A．【答案】8米【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，理解數(shù)量關系，正確列式面積的計算方法是解題的關鍵．答：的長為米．1．（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）哈爾濱第六十九中學建設的校區(qū)籃球場是一個面積為608平方米的矩形活動場地，它的長比寬多13米，設場地的寬為x米，則可列方程為（

）【答案】C【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程；根據矩形的面積公式得到方程是解決本題的基本思路．根據題意設出未知數(shù)，利用矩形的面積公式列出方程即可．故選：C．2．（2425八年級下·上?！るA段練習）如圖，從一個長10分米、寬8分米的鐵片中間截去一個面積為60平方分米的小長方形，使剩下長方形框四周寬度一樣，如果設這個寬度為分米，那么所列出的方程是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是設這個寬度為分米，根據中間小長方形面積為60平方分米，列出方程即可．故選：C．3．（2024九年級上·全國·專題練習）若一個正方形的面積比它的周長在數(shù)值上大，則此正方形的面積為．【答案】【詳解】解：設正方形的邊長為，∴正方形的邊長為，故答案為：．4．（2425九年級上·四川內江·期中）如圖，在長為62米、寬為42米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪．要使草坪的面積為2400平方米，求道路的寬為多少米？【答案】2米【分析】本題考查的是根據實際問題列一元二次方程解決問題，找到關鍵描述語，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．答∶道路的寬為2米．【典型例題五銷售問題】1．（2324九年級上·山西晉中·期中）山西垣曲縣的菖蒲酒，遠在漢代就已名噪酒壇，為歷代帝王將相所喜愛，被列為歷代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍貴，主要在于它采用了當?shù)靥禺a“九節(jié)菖蒲”這種名貴中藥材．近年來，受旅游業(yè)以及民眾養(yǎng)生意識的影響，菖蒲酒在市場上的銷量逐年增長．已知某代銷商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若設這兩年菖蒲酒銷量的年平均增長率為，則可列方程為（

）【答案】D故選D．2．（2425八年級下·安徽合肥·期中）某種進價為100元的服裝，當售價為130元時，每天可售出70件，每漲價1元，日銷量就減少5件，若設每件漲價元．(1)根據題意，填表：每件盈利（元）銷售量（件）每天盈利（元）漲價前3070___________漲價后______________________/(2)由于所剩服裝不多，商家決定漲價，但仍希望每天盈利1815元，則每件應漲價多少元？【答案】(1)見解析(2)3元【分析】本題考查了列代數(shù)式、一元二次方程的應用，理解題意正確列出代數(shù)式和方程是解題的關鍵．（1）根據題意用代數(shù)式填表即可；（2）設每件應漲價元，結合（1）中的表格，再根據題意列出方程，解出的值即可解答．【詳解】（1）解：根據題意，填表如下：每件盈利（元）銷售量（件）每天盈利（元）漲價前30702100漲價后/（2）解：設每件應漲價元，答：每件應漲價3元．【答案】A故選：．【點睛】本題主要考查一元二次方程與銷售問題的綜合，理解題目中的數(shù)量關系，掌握一元二次方程的運用是解題的關鍵．【答案】D【分析】根據題意，分別計算出每件商品降價元后，銷售的數(shù)量（件），每件盈利的數(shù)量（元），根據銷售數(shù)量與每件盈利數(shù)量的積即為該商品日盈利額，由此列式即可求解．【詳解】解：每件商品每降價元，商場平均每天可多售出件，設每件商品降價元，∵每件盈利元，每件商品降價元，故選：．【點睛】本題主要考查一元二次方程與銷售，利潤的問題的綜合，理解題目中的數(shù)量關系，掌握運用一元二次方程解決銷售、盈利問題的方法是解題的關鍵．3．（2425九年級上·黑龍江鶴崗·期中）某商店經銷一批小家電，每個小家電成本為40元，經市場預測，每個小家電定價為50元時，可銷售200個，每個小家電定價每增加1元，銷售量將減少10個，且定價不得超過55元．如果商店進貨后全部銷售完，賺了2160元，那么該小家電每個定價是元．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用（營銷問題），讀懂題意，根據題中的數(shù)量關系正確列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設該小家電每個定價是元，定價不得超過55元，即：該小家電每個定價是元，故答案為：．4．（2021九年級上·廣東深圳·期末）某商場銷售某款上衣，剛上市時每件可盈利100元，銷售一段時間后開始滯銷，經過連續(xù)兩次降價后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價盈利減少的百分率；(2)為盡快減少庫存，商場決定再次降價．每件上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2940元，每件應降價多少元？(2)每件應降價60元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（2）設每件應降價元，由題意得方程，進而求解．【詳解】（1）解：設平均每次降價盈利減少的百分率為，要盡快減少庫存，答：每件應降價60元．【典型例題六數(shù)字問題】1．（2324九年級上·重慶·階段練習）兩個連續(xù)奇數(shù)的積為99，設較小的奇數(shù)為，列方程為（

）【答案】A【分析】兩個連續(xù)的奇數(shù)相差2，據此即可建立方程【詳解】解：∵較小的奇數(shù)為x故選：A【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．注意正確理解題意．2．（2025·廣東深圳·二模）2025年6月26日?28日是深圳市中考的日子，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．【答案】5【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，理解日歷表的中數(shù)與數(shù)的關系，正確列式求解是關鍵．答：這個最小數(shù)為5．1．（2324九年級上·湖北恩施·期末）兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，求這兩個數(shù).若設較小的奇數(shù)為，則根據題意列出的方程正確的是（

）【答案】B【分析】根據連續(xù)奇數(shù)的關系用x表示出另一個奇數(shù)，然后根據乘積列方程即可．【詳解】解：根據題意：另一個奇數(shù)為：x＋2故選B．【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用，掌握數(shù)字之間的關系是解決此題的關鍵．2．（2324九年級上·江蘇宿遷·期末）連續(xù)兩個整數(shù)的乘積為12，則這兩個整數(shù)中較小的一個是（）A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3【答案】D【分析】設這兩個整數(shù)中較小的一個是x，則較大的一個是（x+1），根據兩數(shù)之積為12，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設這兩個整數(shù)中較小的一個是x，則較大的一個是（x+1），根據題意得：x（x+1）＝12，解得：x1＝3，x2＝﹣4．故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（2324九年級上·江蘇徐州·期中）兩個連續(xù)的偶數(shù)乘積為224，設較小的偶數(shù)為x，可得方程為．4．（2425九年級上·江蘇無錫·階段練習）已知一個數(shù)的平方與10的差等于這個數(shù)與10的和，求這個數(shù)．【答案】這個數(shù)為或【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，根據“一個數(shù)的平方與的差等于這個數(shù)與的和”列方程求解．找到相等關系是解題的關鍵．【詳解】解：設這個數(shù)為x，則：則這個數(shù)為或．【典型例題七幾何動點問題】A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意正確列方程是解題的關鍵．【詳解】解：設移動時間為秒，故選：A．2．（2324九年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動．點Q到達點C后，點P、Q停止運動．設P、Q從點A、B同時出發(fā)，經過多少秒后，△PBQ的面積是10cm2？【答案】1秒【分析】可設經過x秒后，△PBQ的面積是10cm2，根據三角形面積公式建立等量關系，列出方程求解即可．【詳解】解：設x秒鐘后，△PBQ的面積等于10cm2，由題意可得：4x（6﹣x）÷2＝10，解得x1＝1，x2＝5（不合題意舍去）．答：經過1秒鐘后，△PBQ的面積等于10cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，抓住關鍵描述語“△PBQ的面積是10cm2”，找到等量關系是解決問題的關鍵．A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的應用——幾何問題，用運動路程表示相關線段的長度是解題的關鍵．故選：B．A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒【答案】D【詳解】解：設運動時間為秒，故選：D．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的應用．在解答時要注意所求的解使實際問題有意義．根據三角形的面積公式建立方程就可以求出的值．故答案為：14．（2324九年級上·福建廈門·期中）如圖是一個三角形點陣，從上到下有無數(shù)行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第n行有n個點…，三角點陣前n行的點數(shù)之和用n表示是：1+2+3+…+n＝n（n+1），三角點陣的前n行之和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．【答案】不存在n使得三角點陣的前n行之和能是600，理由見解析【分析】根據題意列出方程求出n的值，再根據n為正整數(shù)判斷是否可行.因為n是正整數(shù)，而求出的n的值非整數(shù)故不存在n使得三角點陣的前n行之和能是600.【點睛】本題考查了一元二方程的實際應用，依題意建立方程求解是解題關鍵.【典型例題八幾何動點問題】A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意得：故選：C.2．（2425八年級下·上?！て谥校┦且粭l東西方向的道路，是一條南北方向的道路，這兩條道路相交于點．小明和小麗分別從十字路口點處同時出發(fā)，小麗沿著以4千米/時的速度由西向東前進，小明沿著以5千米/時的速度由南向北前進，有一棵百年古樹位于圖中點處，古樹與、的距離分別為3千米和2千米．問離開路口后經過多少時間，兩人與這棵古樹的距離恰好相等．【答案】小時【詳解】解：設兩人離開路口時間為，小明看作點，小麗看作點，根據題意處與、的距離分別為3千米和2千米答：離開路口后經過小時，兩人與這棵古樹的距離恰好相等．1．（2324八年級上·全國·課后作業(yè)）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面26m處有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車，問剎車后汽車滑行到16m時約用了（）A．1s B．1.2s C．2s D．4s【答案】A【分析】等量關系為：平均速度×時間=16，把相關數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設約用了x秒．汽車每秒減少的速度為：20÷[25÷（20÷2）]=8，∴16米時的平均速度為：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，∵20﹣8x＞0，∴x=1，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點為：勻變速運動的物體的平均速度=初速度與末速度和的一半；每秒減少的速度等于初速度與末速度之差與所用時間的比值．2．（2425八年級下·全國·單元測試）如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時的速度從A地出發(fā)向正東方向前進，乙以12千米/時的速度從C地出發(fā)向正南方向前進，那么最快經過()小時，甲、乙兩人相距6千米？A． B． C．1.5 D．【答案】A【分析】根據題意表示出BC，DC的長，進而利用勾股定理求出答案【詳解】解：設最快經過x小時，甲、乙兩人相距6km，根據題意可得：BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，因為BC2+DC2＝BD2，則（10﹣16x）2+（12x）2＝62，解得：x1＝x2＝0.4．答：最快經過0.4小時，甲、乙兩人相距6km．故選A．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應用，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．【答案】故答案為：．【答案】解得：t1=10（舍去），t2=．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意把s的值代入求解．1．（2324九年級上·黑龍江雞西·期末）早期，甲肝流行，在一天內，一人能傳染4人，若有三人患上甲肝，那么經過兩天患上甲肝的人數(shù)為（

）A．50 B．75 C．25 D．70【答案】B【分析】根據一人能傳染4人，第一天被傳染3×4+原來3人=15人，第二天被傳染15×4+第一天15計算即可．【詳解】解：第一天3×（1+4）=15人，第二天3×（1+4）2=3×25=75人．故選擇B．【點睛】本題考查傳播問題應用題，掌握傳播問題應用題的解題方法與步驟，關鍵抓住傳染后成倍數(shù)增加規(guī)律，a人患病，每人傳染x人，一輪后a(1+x)，兩輪后a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2，三輪后a(1+x)3等等．【答案】B【詳解】解：設這種放射性同位素質量的年平均減少率為，故選：B．3．（2025·云南昆明·模擬預測）近十年來，云南鐵路“八出省五出境”骨架網絡基本成型，形成了以昆明為中心，1小時覆蓋滇中城市群，2至3小時覆蓋滇西、滇南、滇東南地區(qū)，2至5小時通達周邊省會城市，6至11小時輻射北上廣深和香港的高鐵交通圈．2023年春運期間，國鐵昆明局累計發(fā)送旅客約1042萬人次；2025年春運期間，國鐵昆明局累計發(fā)送旅客約1485萬人次．設國鐵昆明局春運期間累計發(fā)送旅客人次的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（

）【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找準等量關系列出方程是解題的關鍵．設國鐵昆明局春運期間累計發(fā)送旅客人次的年平均增長率為x，根據題意列出方程即可解答．【詳解】解：設國鐵昆明局春運期間累計發(fā)送旅客人次的年平均增長率為x，故選：A．4．（2324九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）三國時期的數(shù)學家趙爽，在其所著的《勾股圓方圖注》中記載用圖形的方法來解一元二次方程，四個相等的矩形（每一個矩形的面積都是35）拼成如圖所示的一個大正方形，利用所給的數(shù)據，能得到的方程是（

）【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程與圖形面積，數(shù)形結合是解題的關鍵．根據每一個矩形的面積都是35建立方程即可．故選：A．5．（2024·安徽合肥·模擬預測）春節(jié)期間，阜陽市商務局組織舉辦了“皖美消費，樂享阜陽”—2022年跨年迎新購物季，系列促銷活動，某超市對一款原價位a元的商品降價銷售一段時間后，為了加大促銷力度，再次降價，此時售價降低了b元，則（

）【答案】B【分析】根據某超市對一款原價位元的商品降價銷售一段時間后，為了加大促銷力度，再次降價，此時售價降低了元列方程即可得到結論．故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確地理解題意是解題的關鍵．A． B．或 C． D．或【答案】A點的運動時間是．故選：A．7．（2425九年級上·全國·期末）學校要組織籃球邀請賽，賽制采用雙循環(huán)制（每兩隊之間要進行兩場比賽）．計劃安排場比賽，應邀請多少個球隊參加比賽？設邀個球隊參賽，根據題意列方程正確的是（）【答案】C故選：C．8．（2425九年級上·遼寧大連·期末）元旦將至，九年三班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡2070張，若設九年三班共有x名學生，那么所列方程為（

）【答案】D【詳解】解：設九年三班共有名學生，故選：．9．（2425九年級上·山東聊城·期末）葡萄中含有多種維生素，可以幫助抗氧化，保護細胞不受自由基的侵害，延緩衰老，增強免疫力，保護心臟健康，深受消費者喜愛，某超市以每千克9元的價格購進一批葡萄，然后以每千克12元的價格出售，一天可售出100千克，通過調查發(fā)現(xiàn)，每千克的售價每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若設超市需要將每千克的售價降低x元，則可列方程為（

）【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．利用總利潤=每千克的銷售利潤×一天的銷售量，可得出關于x的一元二次方程，即可得出結論．故選：DA． B． C． D．或【答案】A【詳解】解：由題意，設這個數(shù)為，故選：．11．（2025·河南·模擬預測）最近兩年價格持續(xù)走高，2023年4月3日國際大盤金價為424元/克，到2025年4月3日國際大盤金價上漲到735元/克，若這兩年金價的平均增長率為，那么可列出的方程是．【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，這兩年金價的平均增長率為，根據題意列出方程即可，弄清題意，列出方程是解題的關鍵．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意表示出墻的對面的一條邊的長是解答關鍵．【詳解】解：設與墻垂直的邊長為，13．（2425九年級上·湖南婁底·期末）已知一個數(shù)x與比它大2的數(shù)的積等于35．請根據題意，列出關于x的方程．【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據“一個數(shù)x與比它大2的數(shù)的積等于35”，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．14．（2324九年級上·全國·課后作業(yè)）將進貨單價為40元/件的商品按50元/件出售，每天能售出500件，如果該商品每件每漲價1元，那么每天的銷售量就要減少10件，為了每天獲得8000元的利潤，銷售單價應定為多少元/件？思路分析：設每件商品漲價x元時，每天能獲得8000元的利潤．當銷售單價是50元/件時，每天能售出件，那么每件商品漲價x元后的銷售單價為元/件，每天的銷售量為件，每件的利潤為元；【分析】根據題意逐步分析即可．【詳解】解：根據題意可得銷售單價是50元/件時，每天能售出500件；該商品每件每漲價1元，那么每天的銷售量就要減少10件，【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．15．（2424九年級上·遼寧錦州·階段練習）在某次運動會上足球比賽實行單循環(huán)賽（即每兩個隊都比賽一場），如果所有隊伍總共比賽15場，那么共有個球隊參賽．【答案】6【分析】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型．設有個球隊參賽，根據題意列出方程即可求出答案．【詳解】解：設有個球隊參賽，答：參賽的球隊數(shù)為6．故答案為：6．16．（2324八年級下·吉林長春·期末）為滿足師生閱讀需求，學校建立“閱讀公園