第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省寧德市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列求導(dǎo)運算中正確的是(

)A.(x+x3)′=1+x2 B.(xcosx)′=cosx+xsinx

2.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖(如圖)，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進行比較，正確的有(

)

A.r2<r4<0<r3<r3.已知向量a=(?1,x,2)，b=(6,3,y)，若a與b共線，則實數(shù)xy值為(

)A.?6 B.6 C.3 D.?34.隨機變量ξ服從兩點分布，其分布列如下表所示：ξ01P2p則p=(

)A.?1 B.12 C.13 D.?15.已知函數(shù)f(x)=sinx，若d趨近于0時，則f(π3+d)?f(πA.12 B.32 C.?6.已知某同學(xué)在高二期末數(shù)學(xué)考試中，甲和乙兩道選擇題同時答對的概率為35，在甲題答對的情況下，乙題也答對的概率為710，則甲題答對的概率為(

)A.14 B.34 C.577.若函數(shù)f(x)=x2?2ax+lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是A.[94,+∞) B.(?∞,2]8.在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=4，D為AC的中點，E為BC的中點，若M為該三棱錐外接球上的一點，則MD?ME的最大值為(

)A.12+43 B.14+23 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.對于變量x，y的部分成對觀測數(shù)據(jù)如下表所示x1234567y466891112則下列結(jié)論中正確的是(

)A.樣本數(shù)據(jù)y的第50百分位數(shù)為7

B.x?=4，y?=8

C.x，y兩組成對數(shù)據(jù)表示的向量在原點處夾角的余弦值大于0

D.用上表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x10.設(shè)f(x)=(x?2)2(x?5)，下列結(jié)論中正確的是A.f(x)在x=1處的切線斜率為9 B.f(x)有極大值，沒有極小值

C.若x∈(0,1)，則f(x)>f(x2) D.f(x)11.如圖，點P是棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的一個動點，A.若點P與點D1重合時，則異面直線AP與A1B所成的角的大小為π3

B.當(dāng)點P在側(cè)面BCC1B1上運動，且滿足AP⊥B1C時，則動點P的軌跡長度為32

C.當(dāng)P在底面ABCD上運動，且滿足PF/?/平面B1CD1時，則動點P的軌跡長度為32212.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,δ2)，且P(x>1)=0.8，則P(2<x<3)=13.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點A(2,4,1)，點C是點B(2,1,1)關(guān)于yOz平面的對稱點，則|AC|=______．14.已知直線y=ax?1與曲線y=ex+b相切，則5a?b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知：函數(shù)f(x)=x3+x2?x+1

(1)求f(x)在區(qū)間[?2,0]上的最大值和最小值；

(2)令g(x)=f(x)?x2?2x?a16.(本小題15分)

某校高中數(shù)學(xué)興趣小組共8人，分布如下：高一年級5人(含2個種子選手)，高二年級3人(含1個種子選手).現(xiàn)從數(shù)學(xué)興趣小組的8人中隨機抽取4人參加市級奧數(shù)選拔賽．

(1)設(shè)事件A為“抽取的4人中恰有2名是種子選手，且這2名選手分別來自兩個不同年級”，求事件A發(fā)生的概率；

(2)設(shè)隨機變量X為抽取的4人中種子選手的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．17.(本小題15分)

如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=2AB=6，E，F(xiàn)分別為線段CC1，A1B1上的點，且滿足A1F：FB1=18.(本小題17分)

近年來，寧德市的旅游業(yè)發(fā)展勢頭強勁.根據(jù)中新網(wǎng)報道，在今年“五一”假期，我市共接待游客達到352.26萬人次，旅游總收入約達到26.7億元，與去年同期相比，游客接待量增長了22.26%，旅游收入增長了20.84%.為了探究“五一”期間游客選擇我市A旅游線路是否受到某款“APP“宣傳的影響，一家研究機構(gòu)隨機抽取了100名來我市旅游的游客進行了調(diào)查，以下是調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：人)的統(tǒng)計結(jié)果：選擇A線路的游客不選擇A線路的游客合計受“APP“宣傳影響402060未受“APP″宣傳影響103040合計5050100(1)試計算χ2的觀測值，你有多大的把握認為受“APP“宣傳對今年“五一”假日期間到我市旅游的游客選擇A線路有影響？

(2)若從我市全體游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假設(shè)全體游客中男、女人數(shù)相等，第一次等可能地從男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，則第二次抽到男游客的概率為13；如果第一次抽到女游客，則第二次抽到男游客的概率為45，求第二次抽到男游客的概率．

(3)若已知樣本中男游客人數(shù)為50人，其中選擇A線路游客為30人；女游客人數(shù)為50人，其中選擇A線路游客為20人.以樣本頻率估計總體的概率.若從全體游客中男、女各隨機抽取2名，設(shè)2名男游客中選擇A線路人數(shù)為X，2名女游客中選擇A線路人數(shù)為Y，令ξ=X+Y，求ξ的分布列．

參考公式及數(shù)據(jù)：χP(0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小題17分)

記f″(x)=(f′(x))′，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若對?x∈D，f″(x)>0，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的“凹函數(shù)”．

(1)請判斷g(x)=xlnx在定義域上是否為凹函數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax3+2x2?1．

(i)若f(x)為[2,+∞)上的凹函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)若f(x)在(1,+∞)上有極值，求a的最小整數(shù)值．

(參考數(shù)據(jù)：e2.6≈13.46答案解析1.【答案】C

【解析】解：(x+x3)′=1+3x2，A選項錯誤；

(xcosx)′=cosx?xsinx，B選項錯誤；

(lnxx)′=1x?x?lnxx2=1?lnxx2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)散點圖的特征，數(shù)據(jù)大致呈增長趨勢是正相關(guān)，數(shù)據(jù)呈遞減趨勢是負相關(guān)，

數(shù)據(jù)越集中在一條線附近，說明相關(guān)性越強，

故(1)(3)正相關(guān)，(2)(4)負相關(guān)，即r1>0，r3>0，r2<0，r4<0，

又(1)與(2)中散點圖更接近于一條直線，故r1>r3，r23.【答案】B

【解析】解：由已知條件得6?1=3x=y2，解得x=?12,y=?12，

所以xy=6．

故選：4.【答案】B

【解析】解：由分布列的概率和為1，可得2p2+p=1，解得p=12或p=?1(舍去)．

故選：B．

5.【答案】A

【解析】解：由題意f(x)=sinx，則f′(x)=cosx，

所以f′(π3)=cosπ3=12，

故d→06.【答案】D

【解析】解：設(shè)事件A=“答對甲題”，事件B=“答對乙題”，

由已知得P(AB)=35，P(B|A)=710，

所以P(A)=P(AB)P(B|A)=357.【答案】C

【解析】解：因為f(x)=x2?2ax+lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

所以，?x∈(1,2)，f′(x)=2x?2a+1x≥0恒成立，即2a≤2x+1x,x∈(1,2)恒成立，

由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，y=2x+1x在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以2a≤3，解得a≤328.【答案】D

【解析】解：設(shè)三棱錐P?ABC的外接球的球心為O，

∵PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=4，則AB=AC=BC=42；

三棱錐P?ABC的外接球的半徑為1242+42+42=23，

∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DE=12AB=22，

設(shè)N為DE為中點，則DN=2，OD=2∴ON=OD2?DN2=2，

∴MD?ME=(9.【答案】BCD

【解析】解：對于A，數(shù)據(jù)y的第50百分位數(shù)為8，即A錯誤；

對于B，由表格數(shù)據(jù)及回歸方程知x?=1+2+3+4+5+6+77=4,y?=4+6+6+8+9+11+127=8，即B正確；

對于C，x，y兩組成對數(shù)據(jù)表示的向量都在第一象限，所以原點處夾角的余弦值大于0，即C正確；

對于D，將樣本中心點代入y關(guān)于x的回歸直線方程為8=3728×4+a，則a=1910.【答案】ACD

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域為R，且f′(x)=3(x?2)(x?4)，

對于A，f(x)在x=1處的切線斜率k=f′(1)=9，A正確；

對于B，當(dāng)x<2或x>4時，f′(x)>0；當(dāng)2<x<4時，f′(x)<0，

所以x=2是極大值點，x=4是極小值點，B錯誤；

對于C，當(dāng)x∈(0,1)時，0<x2<x<1，

又由選項B知，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)>f(x2)，C正確；

對于D，函數(shù)y=f(x?1)的圖象可視為函數(shù)y=f(x)的圖象右移1個單位而得，

因此f(x)與f(x?1)有相同的極大值，D正確．

故選：ACD．

求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、單調(diào)性判斷11.【答案】ABC

【解析】解：對選項A：當(dāng)點P與點D1重合時，連接CD1，易知A1B/?/CD1，

則直線AP與直線A1B所成的角為∠AD1C，又△AD1C為等邊三角形，

所以∠AD1C=π3，所以A選項正確；

對選項B：因為B1C⊥平面ABC1D1，又A∈平面ABC1D1，

所以動點P的軌跡為線段BC1，動點P的軌跡為線段BC1的長，即為32，所以B選項正確；

對選項C：取A1D1，D1D，DC，CB，BB1，AB的中點分別為Q，R，N，M，T，H，如圖所示：

因為FT//D1C，F(xiàn)T?平面D1B1C，D1C?平面D1B1C，

所以FT//平面D1B1C，

又TM//B1C，同理可得TM//平面D1B1C，又TM∩FT=T，

所以平面FTM//平面D1B1C，

又QF//NM，QR//TM，RN//FT，

所以平面FTMNRQ和平面FTM是同一個平面，

則點P的軌跡為線段MN，所以MN=12BD=322，所以C選項正確；

對選項D：連接AC，AB1，以B為圓心，BB1為半徑畫弧B1C，如圖所示：

當(dāng)點P在弧B1C上時，因為直角三角形ABP中BA=BP12.【答案】0.3

【解析】解：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,δ2)，則該正態(tài)分布曲線關(guān)于X=2對稱，

又P(x>1)=0.8，

根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性可得P(2<x<3)=P(1<x<2)=P(X>1)?P(X≥2)=0.8?0.5=0.3．

故答案為：0.3．

13.【答案】5

【解析】解：因為點A(2,4,1)，點C是點B(2,1,1)關(guān)于yOz平面的對稱點，

可得點C的坐標(biāo)為(?2,1,1)，

所以|AC|=(?2?2)2+(1?4)2+(1?1)2=5．

14.【答案】e5【解析】解：因為y=ex+b，所以y′=ex，

設(shè)直線y=ax?1與曲線y=ex+b相切于點(x0,ax0?1)，

所以a=ex0，又ax0?1=ex0+b，

所以b=ax0?1?ex0=ex0?x0?1?ex0=ex0(x0?1)?1，

所以5a?b=5ex0?ex0(15.【答案】最大值為2，最小值為?1；

(?1,3)．

【解析】(1)由f(x)=x3+x2?x+1，

令f′(x)=3x2+2x?1=(3x?1)(x+1)=0，

解得x1=?1，x2=13，

因為x∈[?2,0]，故x2=13舍去，

因為當(dāng)?2<x<?1時，f′(x)>0，當(dāng)?1<x<0時，f′(x)<0；

所以f(x)在(?2,?1)上單調(diào)遞增，f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減；

又因為f(?2)=?1，f(?1)=2，f(0)=1；

所以f(x)在區(qū)間[?2,0]上的最大值為2，最小值為?1．

(2)解法一：g(x)=f(x)?x2?2x?a=x3?3x+1?a在R上有三個零點，

則g′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)=0時，解得x3=?1，x4=1，

因為當(dāng)x<?1時，g′(x)>0，當(dāng)?1<x<1時，g′(x)<0，當(dāng)x>1時，g′(x)>0；

所以g(x)在(?∞,?1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，

所以g(x)的極大值為g(?1)=3?a，極小值為g(1)=?1?a；

又因為當(dāng)x趨于?∞時，g(x)趨于?∞，當(dāng)x趨于+∞時，g(x)趨于+∞；

所以要使g(x)在R上有三個零點，則g(?1)>0g(1)<0，

即3?a>0?1?a<0，

解得?1<a<3，

所以實數(shù)a的取值范圍為(?1,3)；

解法二：g(x)=f(x)?x2?2x?a=x3?3x+1?a在R上有三個零點，

即a=x3?3x+1在R上有三個解，

設(shè)?(x)=x3?3x+1，

則?′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)=0時，解得x3=?1，x4=1，

因為當(dāng)x<?1時，?′(x)>0，當(dāng)?1<x<1時，?′(x)<0，當(dāng)x>1時，?′(x)>0；

所以?(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞增，?(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減，

?(x)在(1,+∞)16.【答案】27；

分布列見解析，32【解析】(1)由題易知，事件A即為高一、高二各選1名種子選手，

則P(A)=C21C11C52C84=2070=27，

所以，事件A發(fā)生的概率為0.06×0.250.0525=27；

(2)由題易知，隨機變量X的所有可能取值為0，X0123P1331E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=32．

(1)根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；

17.【答案】證明見解析；

626【解析】(1)證明：過F點作FG//BB1交A1B于G點，連結(jié)EG，

∵A1F：FB1=2：1，

∴A1FA1B1=FGB1B=23，∴FG=23B1B，

∵C1E：EC=2：1，∴C1E=23C1C，

∵C1C=B1B，C1C//B1B，

∴FG=C1E，且FG//C1E，

∴四邊形FGEC1是平行四邊形，

∴C1F//GE，

∵GE?平面A1BE，C1F?平面A1BE，

∴C1F/?/平面A1BE，

(2)如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直線EF與平面A1BE所成角為18.【答案】16.667；有99.9%的把握．

1730．

分布列見解析．【解析】(1)假設(shè)H0：受“APP“宣傳對今年“五一”假日期間游客選擇我市的A線路無影響．

∵χ2=100×(40×30?20×10)260×40×50×50=503≈16.667>10.828，

∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷H0不成立，

∴有99.9%的把握認為受“APP“宣傳對今年“五一”假日期間游客選擇我市的A線路有影響．

(2)從我市全體游客中抽取2次，每次抽取1名游客，

假設(shè)全體游客中男、女人數(shù)相等，第一次等可能地從男、女游客中抽取1名，

若第一次抽到男游客，則第二次抽到男游客的概率為13，

如果第一次抽到女游客，則第二次抽到男游客的概率為45，

設(shè)Ai表示第i次抽到男游客，Bi表示第i次抽到女游客，i=1，2．

則P(A1)=P(B1)=12，P(A2|A1)=13，P(A2|B1)=45．

∴第二次抽到男游客的概率為：

P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)

=1ξ01234P3615624115636

(1)由卡方公式計算卡方值，對比臨界值即可得解；

(2)求得P(A1)=P(B1)=12，P(A2|A1)