第九節(jié)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新性問題重點(diǎn)解讀函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新性問題以往在自主命題卷中出現(xiàn)較多，可以出現(xiàn)在各個(gè)題型中，其題型靈活，可以單獨(dú)考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，也可以與其他知識(shí)交匯命題，還可以引用高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)作為試題背景命題，試題新穎，對(duì)考生的文字閱讀、信息提取、轉(zhuǎn)化與化歸能力的要求較高.創(chuàng)設(shè)新定義（師生共研過關(guān)）〔多選〕（2024·貴州天柱民族中學(xué)段考改編）若存在m，使得f（x）≥m對(duì)任意x∈D恒成立，則函數(shù)f（x）在D上有下界，其中m為函數(shù)f（x）的一個(gè)下界；若存在M，使得f（x）≤M對(duì)任意x∈D恒成立，則函數(shù)f（x）在D上有上界，其中M為函數(shù)f（x）的一個(gè)上界.如果一個(gè)函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.則下列說法正確的是（）A.1是函數(shù)f（x）＝x＋1x（x＞0）B.函數(shù)f（x）＝xlnx有下界，無上界C.函數(shù)f（x）＝exx2D.函數(shù)f（x）＝sinxx2解析：AB當(dāng)x＞0時(shí)，x＋1x≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)），∴f（x）＞1恒成立，∴1是f（x）的一個(gè)下界，故A正確；f'（x）＝lnx＋1（x＞0），∴當(dāng)x∈（0，1e）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（1e，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1e）上單調(diào)遞減，在（1e，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（1e）＝－1e，f（x）有下界.又當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→＋∞，∴f（x）無上界.綜上所述，f（x）＝xlnx有下界，無上界，故B正確；∵x2＞0，ex＞0，∴exx2＞0，∴f（x）有下界，故C錯(cuò)誤；∵sinx∈[－1，1]，∴－1x2+1≤sinxx2+1≤1x2+1.又－1x解題技法解決新定義問題，有時(shí)需要用類比的方法來理解新定義，這樣有助于更為透徹地理解新定義.此類問題對(duì)閱讀理解能力有一定的要求，但是要學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，新定義問題考查的還是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好“四基”，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.已知定義在R上的函數(shù)f（x），若對(duì)于任意的正整數(shù)n，有fn（x）＝f（x),f（x）≥n，n，f（x）＜n，則稱fn（x）為f（x）的“n階臨界函數(shù)”.已知函數(shù)f（x）＝ax2－（a＋1）x＋5，且a＜0，若f4（x）在區(qū)間解析：令ax2－（a＋1）x＋5≥4，解得1a≤x≤1，所以f4（x）＝ax2-(a+1）x+5，1a≤x≤1，4，x＜1a或x>1，要使f4（x）在[－1，1]內(nèi)單調(diào)遞減，創(chuàng)新情境設(shè)置（師生共研過關(guān)）若函數(shù)g（x）在區(qū)間D上滿足?a，b，c∈D，g（a），g（b），g（c）為一個(gè)三角形的三邊長，則稱函數(shù)g（x）在區(qū)間D上為“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)f（x）＝lnxx＋m在區(qū)間［1e2，e2］上是“穩(wěn)定函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.（2e＋1e，＋∞） B.（2e2＋1e，＋C.（4e＋1e，＋∞） D.（4e2＋1e，＋解析：Df（x）＝lnxx＋m，則f'（x）＝1－lnxx2，當(dāng)1e2≤x＜e時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)e＜x≤e2時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.所以在區(qū)間［1e2，e2］上，f（x）max＝f（e）＝m＋1e，又f（1e2）＝m－2e2，f（e2）＝m＋2e2，所以在區(qū)間［1e2，e2］上，f（x）min＝m－解題技法解答此類問題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目情境表述，厘清已知條件、特定規(guī)則及待求問題，從中獲取關(guān)鍵信息再將信息利用熟悉的知識(shí)和方法破譯、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式（或數(shù)學(xué)圖形），然后求解，得出結(jié)論，一般解題步驟如下所示：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三元二次方程所對(duì)應(yīng)的曲面統(tǒng)稱為二次曲面.比如方程x2＋y2＋z2＝1對(duì)應(yīng)的曲面球面，就是一種常見的二次曲面.二次曲面在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.已知點(diǎn)P（x，y，z）是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一點(diǎn)，且x＞0，y＞0，z＞0，則當(dāng)zxy取得最小值時(shí)，1x（1y－1z）的最大值為解析：由題意知，z＝4x2－xy＋y2，故zxy＝4xy＋yx－1≥24xy·yx－1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝6x2，所以1x（1y－1z）＝1xy－1xz＝12x2－16x3.令t＝1x＞0，f（t）＝t22－t36（t＞0），故f'（t）＝t（2－t）2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)f'（t）＞0，當(dāng)t＞2時(shí)f'（t）＜0，所以f（t）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，＋∞）上單調(diào)遞減.故f（t）≤f（2）＝23，故1x高數(shù)背景下的創(chuàng)新題（師生共研過關(guān)）（2024·襄陽三模）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足：①圖象在[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)?x∈（a，b），g'（x）≠0，則?ξ∈（a，b），使得f（b)特別地，取g（x）＝x，則有：?ξ∈（a，b），使得f（b)-f（a（1）設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（0）＝0，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，證明：函數(shù)y＝f（x）x在（0，＋（2）若?a，b∈（0，e）且a＞b，不等式lnab－lnba＋m（ba－ab）≤0解：（1）證明：由題f（x）由柯西中值定理知，對(duì)?x＞0，?ξ∈（0，x），使得f（x)-f（0即f（x）x＝又f'（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則f'（x）＞f'（ξ），則f'（x）＞f（x）x，即xf'（x）－f（所以［f（x）x］'＝故y＝f（x）x在（0，＋（2）lnab－lnba＋m（ba－ab）≤0?alna－blnba2－b2≤m，因?yàn)閍＞b，所以由柯西中值定理知，?ξ∈（b，a），使得f（a)-f（b由題意有1+lnξ2ξ設(shè)G（x）＝1+lnx2x（0＜x＜e），G'（x當(dāng)0＜x＜1時(shí)，G'（x）＞0，當(dāng)1＜x＜e時(shí)，G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，所以G（x）max＝G（1）＝12故m≥12，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是［12，＋∞解題技法高數(shù)背景下的創(chuàng)新題很多，涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)過的就有十幾處，如泰勒公式、拉格朗日中值定理、歐拉公式等，解決該類問題不必增加高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而是把題目背景的條件，結(jié)論理解清楚（不必過多探究為什么），重要的是將其轉(zhuǎn)化為用中學(xué)數(shù)學(xué)解決的問題.此類題目主要考查創(chuàng)新思維與遷移能力.（2025·貴陽適應(yīng)性考試）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：ex＝1＋x＋x22！＋x33?。玿nn?。?，其中n?。?×2×3×4×…×n，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…….以上公式稱為泰勒展開式.設(shè)f（x）＝ex－e－（1）證明：ex≥1＋x；（2）設(shè)x∈（0，＋∞），證明：f（x）x＜證明：（1）設(shè)h（x）＝ex－x－1，則h'（x）＝ex－1.當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x.（2）因?yàn)閑x＝1＋x＋x22?。玿33?。玿44！＋x所以e－x＝1－x＋x22?。瓁33?。玿44?。瓁55?。散佗诘胒（x）＝ex－e－x2＝x＋x33！g（x）＝ex＋e－x2＝1＋x22！所以f（x）x＝1＋x23！＋x45?。玿2n－2（2n－1即f（x）x＜1.（2024·臨沂一模）已知函數(shù)sgn（x）＝1，x>0，0，x=0，－1，x<0，則“sgn（ex－1）＋sgn（－xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：B當(dāng)sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0時(shí)，取x＝－12，則ex－1＜0，－x＋1＞0，此時(shí)sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝－1＋1＝0，則x＞1不成立，即充分性不成立；當(dāng)x＞1時(shí)，ex－1＞0，－x＋1＜0，所以sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝1－1＝0，即必要性成立.所以“sgn（ex－1）＋sgn（－x＋1）＝0”是“x＞1”的必要不充分條件2.對(duì)于三次函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點(diǎn)”，則下列命題中不正確的是（）A.任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”B.任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心C.任何一個(gè)三次函數(shù)都有極值D.三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心解析：Cf（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f″（x）＝6ax＋2b，令f″（x）＝0，則此方程為一元一次方程，解得x＝－b3a，而f（－b3a－x）＝－f（－b3a＋x），所以A、B、D正確，但C不正確，比如，f（3.〔多選〕已知△ABC的面積為1，AB的平行線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接BD，△DCE，△DBE，△DBA的面積分別記為S1，S2，S3，則（）A.max{S1，S2，S3}的最小值為1B.max{S1，S2，S3}的最小值為3C.max{S1，S2，S3}的最大值為3+D.min{S1，S2，S3}的最大值為1解析：BD如圖1，設(shè)CDCA＝CECB＝x，x∈（0，1），則S1（x）＝x2，S2（x）＝x－x2，S3（x）＝1－x，如圖2，P點(diǎn)為函數(shù)S1（x）與函數(shù)S3（x）圖象的公共點(diǎn)，Q點(diǎn)為函數(shù)S1（x）與函數(shù)S2（x）圖象的公共點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為P（5－12，3－52），Q（124.〔多選〕在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)（x，y），定義變換σ：將點(diǎn)（x，y）變換為點(diǎn)（a，b），使得x＝tana，y＝tanb，其中a，b∈（－π2，π2），這樣變換σ將坐標(biāo)系A(chǔ).函數(shù)y1＝2x（x＞0）在坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標(biāo)系aOb內(nèi)的曲線是②B.函數(shù)y2＝x2（x＞0）在坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標(biāo)系aOb內(nèi)的曲線是①C.函數(shù)y3＝ex（x＞0）在坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標(biāo)系aOb內(nèi)的曲線是③D.函數(shù)y4＝lnx（x＞0）在坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖象變換為坐標(biāo)系aOb內(nèi)的曲線是④解析：AD對(duì)于函數(shù)y1＝2x（x＞0）變換后為tanb＝2tana，當(dāng)a＝0時(shí)，tanb＝0，即b＝0，排除①④；當(dāng)a＝π4時(shí)，tanb＝2＞tanπ3，所以b＞π3，排除③，y1＝2x變換后是②，A正確；對(duì)于函數(shù)y2＝x2（x＞0）變換后為tanb＝tan2a，當(dāng)a＝0時(shí)，tanb＝0，即b＝0，排除①④，y2＝x2變換后是③，B錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)y3＝ex（x＞0）變換后為tanb＝etana，當(dāng)a＝0時(shí)，tanb＝1，即b＝π4，排除④，y3＝ex變換后是①，C錯(cuò)誤；對(duì)于y4＝lnx（x＞0）變換后為④，D正確.所以A5.設(shè)定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若存在m，n∈N*（m＜n），使得mf（x）＜xf'（x）＜nf（x）恒成立，則稱f（x）具有“可構(gòu)造性”.（1）當(dāng)m＝2，n＝3時(shí)，f（x）具有“可構(gòu)造性”，求f（2（2）對(duì)于常數(shù)m，n∈N*（m＜n），f（x）具有“可構(gòu)造性”，求f（2解：（1）令g（x）＝f（x）x2，則g'由題設(shè)知恒有2f（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝f（2）4＞f（1）1＝g令h（x）＝f（x）x3，則h'由題設(shè)知恒有3f（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝f（2）8＜f（1）1＝h（1）?f（2故f（2）f（1（2）令g（x）＝f（x）xm，則g'由題設(shè)知恒有mf（x）＜xf'（x），所以g'（x）＞0，g（2）＝f（2）2m＞f（1）1＝g令h（x）＝f（x）xn，則h'由題設(shè)知恒有nf（x）＞xf'（x），所以h'（x）＜0，h（2）＝f（2）2n＜f（1）1＝h（1）?f（2）f故f（2）f（1）的取值范圍為6.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f'（x）的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的曲率K＝｜f（1）求曲線f（x）＝lnx在（1，0）處的曲率；（2）已知函數(shù)g（x）＝cosx＋1（x∈R），求g（x）曲率的平方的最大值.解：（1）因?yàn)閒（x）＝lnx，則f'（x）＝1x，f″（x）＝－1x2，所以K＝｜f″（2）因?yàn)間（x）＝cosx＋1（x∈R），則g'（x）＝－sinx，g″（x）＝－cosx，所以K＝｜g″（則K2＝cos2x令t＝2－cos2x，則t∈[1，2]，K2＝2－設(shè)p（t）＝2－tt3，則p'（t）＝顯然當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，p'（t）＜0，p（t）單調(diào)遞減，所以p（t）max＝p（1）＝1，所以K2的最大值為1.7.（2025·湖北七市州聯(lián)合測(cè)試）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對(duì)于函數(shù)f（x）＝1x（x＞0），f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，如圖，從幾何上看，定積分ab1xdx便是由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f（x）＝1x（x＞0）所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形ABQP）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得ab