5/5回歸直線與實(shí)際生活中預(yù)測進(jìn)入信息社會，數(shù)據(jù)信息無處不在，小到日常生活中的物價變動、股市走向，大到企業(yè)的生產(chǎn)調(diào)整、控制，國家的經(jīng)濟(jì)決策等都離不開對數(shù)據(jù)信息的收集和整理，我們已學(xué)會對有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并能利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系，經(jīng)歷了有不同的估算方法描述兩個變量線性關(guān)系的過程，因此掌握利用線性回歸方程解決實(shí)際問題迫在眉睫，下面略舉幾例讓同學(xué)們從中體會如何利用回歸直線對實(shí)際生活中的有關(guān)問題進(jìn)行預(yù)測。一、預(yù)測生產(chǎn)能耗例1下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值：)17.解：(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如下圖(2)由對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得=32.5+43+54+64.5=66.5==4.5，==3.5，=+++=86，故線性回歸方程為y=0.7x+0.35(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)友情提醒：解決本題的關(guān)鍵要學(xué)會線性回歸方程的求法和應(yīng)用，因此需對方程中的系數(shù)及方程中的變量x、y表示的含義有深刻的理解，體會學(xué)以致用的目的。二、預(yù)測飲食支出例2、某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x（萬元）24466677810年飲食支出y（萬元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3若有資料知，y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求出家庭年收入與年飲食支出之間的回歸直線方程，并預(yù)測家庭收入為9萬元時，年飲食支出約為多少？解析：根據(jù)題意可算出：，所以，，，把x=9代入方程，得（萬元），即當(dāng)家庭收入為9萬元時，年飲食支出約為2.346萬元。三、預(yù)測污水排放量例3、下表是我國居民生活污水排放量的一組數(shù)據(jù)年份19971998199920002001200220032004排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.3試估計(jì)1998年我國居民生活污水排放量，并預(yù)測2006年生活污水排放量，（單位：）分析：直接利用表格數(shù)據(jù)運(yùn)算量太大，本題只是利用回歸方程預(yù)測估計(jì)，可以將變量作適當(dāng)調(diào)整，以體現(xiàn)出變量的取值及兩變量的變化趨勢相關(guān)關(guān)系。解析：設(shè)1997年為第1年，…，2004年為第8年，列表如下，用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i12345671345678151189.1194.8203.8220.9227.7232.3151567.3779.210191325.41593.91858.4,,,,,，所以回歸方程為，從而當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以1998年污水排放量估計(jì)為，2006年污水排放量預(yù)測為。點(diǎn)評：靈活的選取數(shù)據(jù)可以簡化運(yùn)算，當(dāng)只要求分析兩變量相關(guān)關(guān)系來解決實(shí)際問題時，可選取恰當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行分析。四、預(yù)測商品的銷售額例4、設(shè)一城市居民的年收入為x（20億元），商品A的銷售額為y（20萬元），y與x之間具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系，10年來觀測值的散點(diǎn)圖大致分布在直線的附近，現(xiàn)有2006年，2007年和2008年的觀測近似值（）（其中）如下：年收入/x122銷售額/y211年份200620072008利用直線對這3年里商品A銷售額y的估計(jì)值分別為（1）試用配方法確定參數(shù)a、b的值，使得代數(shù)式取到最小值；（2）有關(guān)部門預(yù)計(jì)2010年該城市居民年收入約50億元，根據(jù)上述結(jié)論預(yù)測2010年商品A的銷售額大約為多少萬元？解析：（1）現(xiàn)將代數(shù)式Q展開、配方整理，，為使Q取到最小值，a、b需滿足方程組，解方程組，得。（2）預(yù)測方程為，當(dāng)時，。五、預(yù)測控制范圍例5、一臺機(jī)器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些缺點(diǎn)，每小時生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y（件）11985（1）如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零