第十二章概率第一講隨機(jī)事件的概率1.[易錯(cuò)題]將一枚硬幣向上拋擲10次,其中“正面向上的恰有5次”是()A.必然事件 B.隨機(jī)事件C.不可能事件 D.無法確定2.[2018全國卷Ⅲ,5,5分]若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.73.把語文、數(shù)學(xué)、英語三本書隨機(jī)分給甲、乙、丙三位同學(xué),每人一本,記事件A為“甲分得語文書”,事件B為“乙分得數(shù)學(xué)書”,事件C為“丙分得英語書”,則下列說法正確的是()A.A與B是不可能事件B.A+B+C是必然事件C.A與B不是互斥事件D.B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件4.某人要去外地開會(huì),他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4.他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為.

5.[2019濰坊調(diào)研]甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,乙獲勝的概率是13,6.[2020石家莊高三摸底考試]有一勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤,圓盤上有一個(gè)固定的小目標(biāo)M,甲、乙兩人站在距離圓盤2米處,向圓盤拋擲小圓環(huán),已知甲、乙兩人拋擲的圓環(huán)能套上小目標(biāo)M的概率分別為14與15,現(xiàn)甲、乙兩人分別向圓盤各拋擲一次小圓環(huán),則小目標(biāo)M考法1求隨機(jī)事件的頻率與概率1[2019河北衡水二模]某商店銷售某海鮮,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該商店春節(jié)前后50天海鮮的需求量x(10≤x≤20,單位:千克),得到頻率分布直方圖如圖12-1-1所示,已知該商店每天進(jìn)該海鮮1次,商店每銷售1千克可獲利50元.若供大于求,剩余的低價(jià)處理,每處理1千克虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其他商店調(diào)撥,銷售1千克可獲利30元.假設(shè)該商店在此期間每天進(jìn)該海鮮14千克,商店的日利潤為y(單位:元).(1)求商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式.圖12-1-1(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,視頻率為概率.①求這50天該商店銷售該海鮮的日利潤的平均數(shù);②估計(jì)日利潤在區(qū)間[580,760)內(nèi)的概率.(1)根據(jù)不同的需求量,列出函數(shù)表達(dá)式即可.(2)①利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù),結(jié)合利潤函數(shù)得到平均利潤;②根據(jù)利潤區(qū)間,求出需求量x所在區(qū)間,從而求出對(duì)應(yīng)的概率即可.(1)商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為y=50x-10×化簡(jiǎn)得y=60(2)①由頻率分布直方圖得:海鮮需求量在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率是2×0.08=0.16;海鮮需求量在區(qū)間[12,14)內(nèi)的頻率是2×0.12=0.24;海鮮需求量在區(qū)間[14,16)內(nèi)的頻率是2×0.15=0.30;海鮮需求量在區(qū)間[16,18)內(nèi)的頻率是2×0.10=0.20;海鮮需求量在區(qū)間[18,20]內(nèi)的頻率是2×0.05=0.10.所以這50天商店銷售該海鮮的日利潤y的平均數(shù)為:(11×60-140)×0.16+(13×60-140)×0.24+(15×30+280)×0.30+(17×30+280)×0.20+(19×30+280)×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).②易知y=60x-140,10≤x<14,30x當(dāng)y=580時(shí),可得x=12,當(dāng)y=760時(shí),可得x=16.(求解端點(diǎn)值)所以日利潤y在區(qū)間[580,760)內(nèi)的概率即為海鮮需求量x在區(qū)間[12,16)內(nèi)的頻率,即0.24+0.30=0.54.1.[2018北京,17,13分]電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)考法2求互斥事件、對(duì)立事件的概率2某超市有獎(jiǎng)銷售中,購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C.求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.利用互斥事件的概率加法公式和對(duì)立事件的概率公式求解.(1)由題意得P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C故事件A,B,C發(fā)生的概率分別為11000,1100,(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)可能是中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M,則M=A∪B∪C.因?yàn)槭录嗀,B,C兩兩互斥,(A,B,C三個(gè)事件中任意兩個(gè)均不可能同時(shí)發(fā)生)所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+50=611000…(事件M發(fā)生的概率可拆為三個(gè)互斥事件發(fā)生的概率之和)故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為611000(3)抽1張獎(jiǎng)券的結(jié)果共有4種可能:中特等獎(jiǎng),中一等獎(jiǎng),中二等獎(jiǎng),不中獎(jiǎng).其中,事件“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”包含2種可能:中二等獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng).解法一(正面)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)”為事件D.由(2)得,P(D)=1-P(M)=1-611000=9391000,(“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”與“1張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)所以P(N)=P(C)+P(D)=120+9391000=9891000.(故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為9891000解法二(反面)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(11000+1100)=9891000故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為98910002.[2019山東煙臺(tái)模擬]已知甲袋中有1個(gè)紅球、1個(gè)黃球,乙袋中有2個(gè)紅球、1個(gè)黃球,這些小球除顏色外完全相同,現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一個(gè)球,則取出的兩球中至少有1個(gè)紅球的概率為()A.13 B.12 C.2數(shù)學(xué)應(yīng)用通過數(shù)據(jù)分析求解概率問題3隨機(jī)抽取一個(gè)年份,對(duì)某市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任選一天,估計(jì)該市在該天不下雨的概率;(2)已知該市某學(xué)校在該年4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì),估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.(1)用頻率估計(jì)概率→據(jù)表計(jì)算該市在該天不下雨的概率(2)找出從晴天開始的兩個(gè)日期(稱為互鄰日期對(duì))的總數(shù)→計(jì)算出第二天不下雨的總數(shù)→計(jì)算頻率即為要估計(jì)的概率(1)由表可知,在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,用頻率估計(jì)概率,在4月份任選一天,該市在該天不下雨的概率為2630(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為互鄰日期對(duì)(如1日與2日,2日與3日等).這樣,在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè),其中后一天不下雨的有14個(gè),所以晴天的次日不下雨的頻率為1416=78.以頻率估計(jì)概率素養(yǎng)探源核心素養(yǎng)考查途徑素養(yǎng)水平數(shù)據(jù)分析從所給的表中提取數(shù)據(jù),并用概率的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析處理.二數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算概率.一備考指導(dǎo)本題從所給的一個(gè)月的天氣情況中收集數(shù)據(jù),計(jì)算頻率,再用頻率估計(jì)概率,根據(jù)概率的意義解決問題,考查了考生的數(shù)據(jù)收集與數(shù)據(jù)處理的能力,考查了考生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).解決本題第二問的關(guān)鍵有如下兩點(diǎn):一是正確理解題意:“從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)”即是選擇“從晴天開始的連續(xù)兩天”的互鄰日期對(duì)作為一個(gè)“基本事件”.二是從表中提取信息:根據(jù)表中數(shù)據(jù)準(zhǔn)確數(shù)出互鄰日期對(duì)的個(gè)數(shù).這類數(shù)據(jù)分析應(yīng)用問題是近年來高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容,概率知識(shí)來源于生活,也應(yīng)用于生活,要善于從實(shí)際問題中提取數(shù)據(jù),用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)處理數(shù)據(jù),再回到實(shí)際中去解決實(shí)際問題.一般地,這類題的題干較長(zhǎng),數(shù)據(jù)信息繁雜,做題時(shí)要耐心、仔細(xì)讀題審題,理解題意,從實(shí)際問題中抽出所需要的數(shù)據(jù)信息,再綜合分析這些信息,從而找到解決問題的突破口.3271.B拋擲10次硬幣,正面向上的次數(shù)可能為0~10,都有可能發(fā)生,所以“正面向上的恰有5次”是隨機(jī)事件.故選B.2.B設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A,“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B,“不用現(xiàn)金支付”為事件C,則P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故選B.3.C事件A,事件B,事件C都是隨機(jī)事件,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,故A,B兩項(xiàng)錯(cuò)誤;事件A,事件B可能同時(shí)發(fā)生,故事件A與事件B不互斥,C項(xiàng)正確;事件B與事件C既不互斥,也不對(duì)立,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.【方法總結(jié)】互斥、對(duì)立事件的兩種判斷方法定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷.不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件,兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.集合法①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.4.0.7設(shè)此人乘火車、飛機(jī)去開會(huì)分別為事件A,B,則易知事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為0.7.5.56乙不輸包含兩人下成和棋和乙獲勝,易知它們是互斥事件,所以乙不輸?shù)母怕蕿?6.25小目標(biāo)M被套上包括:甲拋擲的小圓環(huán)套上了、乙拋擲的小圓環(huán)沒有套上;乙拋擲的小圓環(huán)套上了、甲拋擲的小圓環(huán)沒有套上;甲、乙拋擲的小圓環(huán)都套上了.所以小目標(biāo)M被套上的概率P=14×(1-15)+(1-141.(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為502000=0.025(2)由題意知,樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300