2025年7月25日第二類拉格朗日方程問題的提出非自由質(zhì)系靜力學非自由質(zhì)系動力學平衡方程牛頓力學未知約束力未知數(shù)太多聯(lián)立求解分析力學虛位移原理廣義坐標無未知約束力方程數(shù)和自由度數(shù)相等牛頓力學分析力學動量方程主動力有勢達-拉原理廣義坐標主動力有勢第一章：曲線坐標描述法空間一點位置可以由三個獨立變量描述：能夠唯一確定質(zhì)點系可能位置的獨立參數(shù)稱為廣義坐標。例如單擺的擺角。廣義坐標數(shù)為根據(jù)需要可以任選k個可以確定質(zhì)系可能位置的獨立參數(shù)作為廣義坐標，它們可以是距離、角度、面積等。廣義坐標如果只有完整約束，廣義坐標的變化就不再受任何約束限制。廣義坐標形式的達朗貝爾-拉格朗日原理理想完整約束系統(tǒng)：廣義坐標為：q1,q2,…,qn質(zhì)系動力學普遍方程：廣義慣性力完整系統(tǒng)廣義主動力和廣義慣性力相互平衡！拉格朗日關(guān)系式對t求導對

求偏導對qk求偏導第二類拉格朗日方程如主動力都是有勢力：第二類拉格朗日方程L=T–V—拉格朗日函數(shù)，或動勢主動力為勢力時的拉格朗日方程第二類拉格朗日方程部分主動力有勢：V為有勢力的勢能，Qk為非勢力的廣義力；拉格朗日方程的方程數(shù)等于質(zhì)系自由度數(shù)，是最少量方程；不需要考慮理想約束的約束反力；只需要分析速度，不需分析加速度；拉格朗日方程是標量方程，避免復雜的矢量運算；所有問題的解題步驟相同，不需要特殊的技巧。拉格朗日方程的特點應用拉格朗日方程的解題步驟為：判斷系統(tǒng)是否為完整約束，主動力是否有勢，以決定能否應用拉格朗日方程以及應用何種形式的拉格朗日方程。確定系統(tǒng)的自由度數(shù)，選擇合適的廣義坐標。進行速度分析，按所選的廣義坐標，寫出系統(tǒng)動能、勢能或廣義力。把動能、廣義力或拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程。拉格朗日方程應用舉例行星齒輪機構(gòu)在水平面內(nèi)運動。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計。當曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。例1其它解法？解：一個自由度，取φ為廣義坐標。用拉格朗日方程求橢圓擺的運動微分方程φxxyABO例2解：取x和φ為廣義坐標系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為mAgmBgN解討論

與動量定理對比φxxyABONmAgmBg討論

與動量矩定理對比φxxyABONmAgmBg例3：2017年期末競賽題第二題：鉛錘面內(nèi)有一如圖所示的離心式調(diào)速器，上端質(zhì)量為M，繞轉(zhuǎn)動軸的慣量為I，四根桿長均為l；粗實線所示兩根桿均質(zhì)，質(zhì)量為m；其余各部件的質(zhì)量和慣量不計，所有摩擦不計；上端在外力矩T的作用下開始運動，求系統(tǒng)的運動微分方程或方程組；繞鉛錘軸的轉(zhuǎn)動角速度為ω時，外力矩T以及鉸A處桿AB對上端的所有約束反力。解旋轉(zhuǎn)機構(gòu)上建一個旋轉(zhuǎn)坐標系。分析系統(tǒng)特性：兩個自由度、理想約束、三個剛體、三維運動、存在有勢力和非勢力。選取廣義坐標：列寫系統(tǒng)動能。轉(zhuǎn)盤：桿件：用剛體動能的公式如何？列寫勢能：解解如角速度為ω恒定：半徑為R的圓環(huán)在力偶矩為M的力偶作用下以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動。已知圓環(huán)對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，忽略摩擦力。求為使圓環(huán)勻角速轉(zhuǎn)動所需施加的力偶矩M（表示成θ的函數(shù)）。例4解：解除勻速轉(zhuǎn)動約束條件，代之于作用力。系統(tǒng)具有兩個自由度，取θ和φ為廣義坐標。約束條件：討論

小環(huán)的相對運動規(guī)律物理意義？質(zhì)點相對于非慣性參考系運動的微分方程向圓環(huán)切向投影討論

矢量力學解法約束反力對y軸的矩為零第二類拉格朗日方程：用拉格朗日方程列寫系統(tǒng)的運動微分方程。例5解：取x和xr為廣義坐標。C討論OxC機械能守恒水平動量守恒積分積分已知：

m,M,k,a。求：系統(tǒng)運動微分方程。例6解：選x,xr為廣義坐標xr的坐標原點宜選在彈簧靜平衡位置處！討論能否直接找出系統(tǒng)的守恒量？即能否直接找出拉格朗日方程的積分結(jié)果？作業(yè)第七章：3、7、9、11、思考題：如右圖所示，質(zhì)量M的對