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24.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓24.1.2垂直于弦的直徑1.進(jìn)一步認(rèn)識圓,了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論,并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.重點(diǎn):垂直于弦的直徑的性質(zhì)及其應(yīng)用.難點(diǎn):靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)問題:趙州橋是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?情境導(dǎo)入折一折:你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎?圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.在折的過程中你有何發(fā)現(xiàn)?不借助任何工具,你能找到圓形紙片的圓心嗎?(1)圓是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸?(2)你是怎么得出結(jié)論的?圓的對稱性:
圓是軸對稱圖形,任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.用折疊的方法●O知識點(diǎn)一:垂徑定理及其推論新知探究問題:如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE劣弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圓沿著直徑CD折疊時,CD兩側(cè)的兩個半圓重合,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,AE與BE重合,AC和BC,AD與BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?。逤D是直徑,CD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式:溫馨提示:垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.歸納總結(jié)下列哪些圖形可以用垂徑定理?你能說明理由嗎?圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖7圖8練一練垂徑定理的幾個基本圖形:歸納總結(jié)例1
如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=
cm.·OABE解析:連接OA,∵OE⊥AB,∴AB=2AE=16cm.16∴(cm).典型例題例2
如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑CE⊥AB于D,DC=2cm,求半徑OC的長.·OABECD解:連接OA,∵
CE⊥AB于D,∴.設(shè)OC=xcm,則OA=x,OD=(x-2)cm.在Rt△OAD中,根據(jù)勾股定理,得解得x=5.即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2,如果把垂徑定理(垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條,命題是真命題嗎?①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)??;⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎?思考探索新知探究
DOABEC舉例證明其中一種組合方法已知:求證:①CD是直徑②CD⊥AB,垂足為E
③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想如圖,AB是⊙O的一條弦,作直徑CD,使AE=BE.(1)CD⊥AB嗎?為什么?(2)·OABCDE⌒AC與BC相等嗎?AD與BD相等嗎?為什么?⌒(2)由垂徑定理可得AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒解:(1)連接AO,BO,則AO=BO.又AE=BE,∴△AOE≌△BOE(SSS).∴∠AEO=∠BEO=90°.∴CD⊥AB.證明舉例⌒⌒
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明:圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)“不是直徑”這個條件能去掉嗎?如果不能,請舉出反例.思考根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說.如果具備:(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)?。?)平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任意
個條件都可以推出其他
個結(jié)論.即知二推三兩三例3
已知:⊙O中弦AB∥CD.求證:AC=BD.⌒⌒.MCDABON證明:作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.則AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?
∴AM-CM=BM-DM.∴AC=BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒典型例題
解決有關(guān)弦的問題,經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,連接半徑等輔助線,為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)試一試:根據(jù)剛剛所學(xué),你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?知識點(diǎn)二:垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用新知探究經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,垂足為D,與弧AB交于點(diǎn)C,則D是AB的中點(diǎn),C是弧AB的中點(diǎn),CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.解得R≈27.3(m).即主橋拱半徑約為27.3m.解:如圖,用
表示主橋拱,設(shè)
所在圓的圓心為O,半徑為R.∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.=18.52+(R-7.23)2
如圖a、b,一弓形弦長為
cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,則弓形的高分別為
.CDCBOADOAB圖a圖b2cm和12cm練一練弦a,弦心距d,弓形高h(yuǎn),半徑r之間有以下關(guān)系:弓形中重要數(shù)量關(guān)系
d+h=r
ABCDOhrd歸納總結(jié)1.已知⊙O中,弦AB=8cm,圓心到AB的距離為3cm,則此圓的半徑為
.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°,則弦AC=
.
3.(分類討論題)已知⊙O的半徑為10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為
.14cm或2cmcm當(dāng)堂檢測4.已知:如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系?為什么?解:AC=BD.理由如下:
過O作OE⊥AB,垂足為E,則AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE,
即AC=BD..ACDBOE注意:解決有關(guān)弦的問題,常過圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,它是一種常用輔助線的添法.拓展提升:
如圖,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P為弦AB上的一個動點(diǎn),那么OP長的取值范圍
.3≤OP≤5BAOP拓展提升圓材埋壁
問徑幾何?“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題.今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?
用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述為:“如圖,CD為
的直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,CE=1寸,AB=10寸,求直徑CD的.”解:連接OA,設(shè)OA=r,由CE=1寸,則OE=(r-1)寸CD為直徑,弦AB
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