14.3角的平分線第1課時角的平分線的畫法及性質(zhì)

知識關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測知識關(guān)聯(lián)如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上。找出圖中的全等三角形，并說出判定方法△ABD≌△ACD(SSS)△ABE≌△ACE(SAS)△BDE≌△CDE(SAS)

【探究1】角的平分線的畫法

【嘗試交流】探究與應(yīng)用1.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M、N分別是OA、OB上的點(diǎn)，當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時，PM=PN?分析：容易發(fā)現(xiàn)在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON。如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.

【探究1】角的平分線的畫法

【嘗試交流】

2.如圖，M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的點(diǎn)，OM=ON，點(diǎn)P是在∠AOB的內(nèi)部，PM=PN.連接OP，可以得到點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？理由是什么?探究與應(yīng)用分析：容易發(fā)現(xiàn)在△OPM和△OPN中，OP=OP已知PM=PN,OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON。即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

【探究1】角的平分線的畫法【嘗試交流】3.根據(jù)上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎?探究與應(yīng)用

歸納作角平分線的步驟:①先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn).②再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn).③以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn),作過這個點(diǎn)的射線.即為這個角的平分線.

【探究1】角的平分線的畫法出示作圖過程:探究與應(yīng)用已知:∠AOB(如圖).

求作:∠AOB的平分線.

【理解應(yīng)用】

例1已知平角∠AOB.求作:平角∠AOB的角平分線.探究與應(yīng)用解

:

如圖結(jié)論

:

作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線.

【探究2】

角平分線的性質(zhì)

【思考交流】如圖，OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P1、P2、P3,…在OC上,過點(diǎn)P1、P2、P3,…分別畫OA與OB的垂線，垂足分別為D1與E1、D2與E2、D3與E3…….分別比較P1D1與P1E1、P2D2與P2E2、P3D3與P3E3……，你有什么發(fā)現(xiàn)?

【概括新知】角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.探究與應(yīng)用

【探究2】

角平分線的性質(zhì)【證明】

探究與應(yīng)用已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分別為D、E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.【概況歸納】

文字證明題的一般步驟:①寫出命題中的已知和求證(分別對應(yīng)條件和結(jié)論);②根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證;③經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.探究與應(yīng)用

【探究2】

角平分線的性質(zhì)例2，如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證:EB=FC.探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.

例3如圖在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求證:M為BC的中點(diǎn).【探究2】有理數(shù)的概念及分類探究與應(yīng)用

【拓展提升】

證明：如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AD于點(diǎn)N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM.∴BM＝CM，即M為BC的中點(diǎn)．

【小結(jié)】課堂小結(jié)與檢測角的平分線尺規(guī)作圖作一個角的平分線，熟練掌握性質(zhì)定理一個點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段

【檢測】課堂小結(jié)與檢測1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E、F，

DE=DF，∠EDB=60°，則

∠EBF=

°，BE=

.60BFEBDFACG

【

檢測】課堂小結(jié)與檢測2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距是

.ABCD3E

【

檢測】課堂小結(jié)與檢測ABCP3.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面積.D·AB·PD=28.解:∵AP平分∠BAC，∠C=90°，PD⊥AB,∴PD=PC=