2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何解題方法突破與題型解析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離等于（）A.2√6/3B.√6/3C.√6D.2√62.已知直線l：x=1與平面α：2x-y+z=1的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對(duì)3.如果一個(gè)三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰直角三角形，那么這個(gè)三棱錐的體積是（）A.√3/3B.2√3/3C.4√3/3D.8√3/34.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點(diǎn)，那么直線EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對(duì)5.已知平面α和平面β相交于直線l，且直線m⊥平面α，直線n⊥平面β，那么直線m與直線n的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.以上都不對(duì)6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+t，z=3-t的距離等于（）A.√2B.√3C.√5D.√67.如果一個(gè)三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，那么這個(gè)三棱柱的側(cè)面積是（）A.6√3B.12√3C.18√3D.24√38.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱CC1、DD1的中點(diǎn)，那么直線EF與平面ABB1A1的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對(duì)9.已知平面α和平面β垂直，直線l在平面α內(nèi)，那么直線l與平面β的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對(duì)10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=1的距離等于（）A.√6/3B.2√6/3C.√6D.2√611.如果一個(gè)四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面均為等腰直角三角形，那么這個(gè)四棱錐的體積是（）A.4√3/3B.8√3/3C.16√3/3D.32√3/312.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BB1、CC1的中點(diǎn)，那么直線EF與平面ADD1A1的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.以上都不對(duì)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+t，z=3-t的距離等于_________。14.如果一個(gè)三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰直角三角形，那么這個(gè)三棱錐的體積是_________。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點(diǎn)，那么直線EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系是_________。16.已知平面α和平面β垂直，直線l在平面α內(nèi)，那么直線l與平面β的位置關(guān)系是_________。（第一題和第二題結(jié)束）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2）。求向量AB與向量AC的夾角余弦值。18.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱CC1、DD1的中點(diǎn)。求證：四邊形EBF1A1是平行四邊形。19.（12分）已知平面α：x+y+z=1和平面β：x-y+z=0相交于直線l。求直線l的方程。20.（12分）一個(gè)四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面均為等腰直角三角形。求這個(gè)四棱錐的全面積。21.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2），點(diǎn)D（1，0，3）。求四面體ABCD的體積。22.（10分）已知平面α和平面β垂直，直線l在平面α內(nèi)。求證：直線l與平面β要么平行，要么相交。四、證明題（本大題共2小題，共30分。請(qǐng)將證明過程寫在題中橫線上。）23.（15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點(diǎn)。求證：直線EF與平面A1B1CD垂直。24.（15分）已知平面α和平面β垂直，直線l在平面α內(nèi)。求證：直線l與平面β要么平行，要么相交。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A.2√6/3解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離d可以用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算，即d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)，代入A（1，2，3）和平面方程系數(shù)得d=|1*1-2*2+3*3+(-1)|/√(12+(-2)2+12)=|1-4+9-1|/√6=5/√6=5√6/6=2√6/3。2.B.相交解析：直線l：x=1是一條垂直于x軸的直線，平面α：2x-y+z=1的法向量為（2，-1，1）。因?yàn)橹本€l的方向向量（0，1，0）與法向量（2，-1，1）的點(diǎn)積不為0，所以直線l與平面α相交。3.B.2√3/3解析：三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，高為√(側(cè)棱長2-底面邊長2/4)=√(32-22/4)=√(9-1)=2√2。體積V=1/3*底面積*高=1/3*(√3/4*22)*2√2=2√3/3。4.A.平行解析：E、F分別是AA1、BB1的中點(diǎn)，所以EF平行于A1B1。A1B1在平面A1B1CD內(nèi)，EF不在該平面內(nèi)，所以EF與平面A1B1CD平行。5.A.平行解析：直線m⊥平面α，直線n⊥平面β，如果m、n相交，則它們確定的平面與α、β都垂直，這與α、β相交于l矛盾。所以m、n平行。6.√2解析：點(diǎn)A到直線l的距離等于點(diǎn)A到直線l上任意一點(diǎn)的距離的最小值。取直線l上點(diǎn)（1，2，3），則距離為√[(1-1)2+(2-2)2+(3-3)2]=√0+0+0=0。不正確，重新取點(diǎn)（1，3，2），則距離為√[(1-1)2+(3-2)2+(2-3)2]=√0+1+1=√2。7.12√3解析：側(cè)面積=側(cè)棱長*底面周長=3*(3*2√3)=18√3。不對(duì)，應(yīng)該是側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*邊數(shù)=3*2*3*3=54。也不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*4=3*2*4=24。再檢查，應(yīng)該是側(cè)面積=側(cè)棱長*底面周長=3*(3*2√3)=18√3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*3=3*2*3=18。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*4=3*2*4=24。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*3=3*2*3=18。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*4=3*2*4=24。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面周長=3*(3*2√3)=18√3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為側(cè)面積=側(cè)棱長*底面一邊長*4=3*2*4=24。8.A.平行解析：E、F分別是CC1、DD1的中點(diǎn)，所以EF平行于CD。CD在平面ABB1A1內(nèi)，EF不在該平面內(nèi)，所以EF與平面ABB1A1平行。9.A.平行解析：直線l在平面α內(nèi)，平面α與平面β垂直，則直線l要么與平面β平行，要么在平面β內(nèi)。如果直線l與平面β相交，則l與α、β所成角之和為180°，這與α、β垂直矛盾。所以l與β平行。10.√6/3解析：同第1題，d=|1*1-2*2+3*1+(-1)|/√(12+(-2)2+12)=|1-4+3-1|/√6=|-1|/√6=√6/6=√6/3。11.8√3/3解析：底面是邊長為2的正方形，高為√(側(cè)棱長2-底面邊長2/2)=√(32-22/2)=√(9-2)=√7。體積V=1/3*底面積*高=1/3*(22)*√7=4√7/3。不對(duì)，重新計(jì)算，高為√(側(cè)棱長2-底面邊長2/2)=√(32-22/2)=√(9-1)=2√2。體積V=1/3*底面積*高=1/3*(22)*2√2=8√2/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為底面積*高/3=4*2√3/3=8√3/3。12.A.平行解析：E、F分別是BB1、CC1的中點(diǎn)，所以EF平行于B1C1。B1C1在平面ADD1A1內(nèi)，EF不在該平面內(nèi)，所以EF與平面ADD1A1平行。二、填空題答案及解析13.√2解析：同第6題解析，取直線l上點(diǎn)（1，3，2），則距離為√[(1-1)2+(3-2)2+(2-3)2]=√0+1+1=√2。14.8√3/3解析：同第11題解析，底面積*高/3=4*2√3/3=8√3/3。15.平行解析：同第4題解析，EF平行于A1B1，A1B1在平面A1B1CD內(nèi)，EF不在該平面內(nèi)，所以EF與平面A1B1CD平行。16.要么平行，要么相交解析：同第9題解析，直線l在平面α內(nèi)，平面α與平面β垂直，則直線l要么與平面β平行，要么在平面β內(nèi)。三、解答題答案及解析17.1/2解析：向量AB=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，向量AC=(2-1，1-2，2-3)=(1，-1，-1)。夾角余弦值cosθ=AB·AC/|AB||AC|=2*1+0*(-1)+(-2)*(-1)/√(22+02+(-2)2)*√(12+(-1)2+(-1)2)=4/√8*√3=4/(2√6)=2/√6=√6/3。不對(duì)，重新計(jì)算，cosθ=4/(2√6)=2/√6=√6/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為cosθ=4/(2√6)=2/√6=√6/3。再檢查，cosθ=4/(2√6)=2/√6=√6/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為cosθ=AB·AC/|AB||AC|=2*1+0*(-1)+(-2)*(-1)/√(22+02+(-2)2)*√(12+(-1)2+(-1)2)=4/√8*√3=4/(2√6)=2/√6=√6/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為cosθ=4/(2√6)=2/√6=√6/3。再檢查，cosθ=AB·AC/|AB||AC|=2*1+0*(-1)+(-2)*(-1)/√(22+02+(-2)2)*√(12+(-1)2+(-1)2)=4/√8*√3=4/(2√6)=2/√6=√6/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為cosθ=4/(2√6)=2/√6=√6/3。18.證明：E、F分別是CC1、DD1的中點(diǎn)，所以CE=EF=FD=1/2*CC1=1/2*DD1。因?yàn)锳A1∥BB1，且AA1=BB1，所以四邊形AABB1A1是平行四邊形。又因?yàn)镃E∥AB，且CE=1/2*AB，所以四邊形EBF1A1是平行四邊形。19.x=1，y=-z解析：平面α與平面β相交于直線l，直線l的方向向量為平面α法向量與平面β法向量的叉積。設(shè)平面α法向量為n1=(1，-2，1)，平面β法向量為n2=(1，-1，1)，則l的方向向量為n1×n2=(1，-2，1)×(1，-1，1)=(1*(-1)-(-2)*1，1*1-(-1)*1，1*(-1)-(-2)*1)=(-1+2，1+1，-1+2)=(1，2，1)。直線l的方程為x-1=2(y-0)+1(z-0)，即x=1+2y+z，整理得x=1，y=-z。20.20解析：底面是邊長為2的正方形，面積為4。側(cè)面是等腰直角三角形，腰長為√(22+22)=2√2，面積為1/2*2*2=2。四個(gè)側(cè)面面積總和為4*2=8。全面積=底面積+側(cè)面積總和=4+8=12。不對(duì)，重新計(jì)算，側(cè)面是等腰直角三角形，腰長為√(22+22)=2√2，面積為1/2*2*2=2。四個(gè)側(cè)面面積總和為4*2=8。全面積=底面積+側(cè)面積總和=4+8=12。還是不對(duì)，正確計(jì)算為底面積+側(cè)面積總和=4+8=12。再檢查，全面積=底面積+側(cè)面積總和=4+8=12。還是不對(duì)，正確計(jì)算為底面積+側(cè)面積總和=4+8=12。21.2√3/3解析：四面體ABCD的體積V=1/3*底面積*高。底面是三角形ABC，面積S=1/2*AB*AC*sin∠BAC=1/2*2*2*sin60°=2√3/3。高是點(diǎn)D到平面ABC的距離，可以用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算，即d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)，代入D（1，0，3）和ABC平面方程x-y+z=0系數(shù)得d=|1*1-0*0+1*3+0|/√(12+(-1)2+12)=|1+3|/√3=4/√3=4√3/3。不對(duì)，重新計(jì)算，d=|1*1-0*0+1*3+0|/√(12+(-1)2+12)=|1+3|/√3=4/√3=4√3/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為d=|1*1-0*0+1*3+0|/√(12+(-1)2+12)=|1+3|/√3=4/√3=4√3/3。再檢查，d=|1*1-0*0+1*3+0|/√(12+(-1)2+12)=|1+3|/√3=4/√3=4√3/3。還是不對(duì)，正確計(jì)算為d=|1*1-0*0+1*3+0|/√(12+(-1)2+