2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷-概率統(tǒng)計與三角函數(shù)綜合試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.某班級有30名學(xué)生，其中男生20名，女生10名?，F(xiàn)隨機抽取3名學(xué)生參加比賽，則恰好抽到2名男生和1名女生的概率是（）。A.C(20,2)×C(10,1)/C(30,3)B.P(20,2)×P(10,1)/P(30,3)C.C(20,2)/C(30,3)D.P(20,2)/P(30,3)2.已知某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，則連續(xù)射擊3次恰好命中2次的概率是（）。A.0.128B.0.384C.0.512D.0.83.從一副52張的撲克牌中隨機抽取2張，則抽到的兩張牌都是紅桃的概率是（）。A.1/221B.13/221C.1/17D.13/174.一個袋子里有5個紅球和3個白球，現(xiàn)隨機摸出2個球，則摸到的兩個球顏色不同的概率是（）。A.3/8B.5/8C.3/10D.7/105.在100張獎券中，有10張是一等獎，20張是二等獎，剩下的70張是三等獎?，F(xiàn)隨機抽取一張獎券，則抽到三等獎的概率是（）。A.7/10B.2/5C.7/25D.3/106.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)，則f(π/6)的值是（）。A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/27.函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4)的圖像關(guān)于y軸對稱，則x的取值范圍是（）。A.kπ+π/8，k∈ZB.kπ-π/8，k∈ZC.kπ/2+π/8，k∈ZD.kπ/2-π/8，k∈Z8.函數(shù)h(x)=tan(3x+π/6)的最小正周期是（）。A.π/3B.π/2C.2π/3D.π9.已知α是銳角，且sin(α)=1/2，則cos(α)的值是（）。A.√3/2B.1/2C.√3/3D.-√3/210.函數(shù)F(x)=2sin(x)cos(x)的圖像與直線y=1相交的點的個數(shù)在區(qū)間[0,2π]內(nèi)是（）。A.2個B.4個C.6個D.8個二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.一個盒子里有5個紅球和7個藍球，現(xiàn)隨機摸出3個球，則摸到的3個球都是紅球的概率是________。12.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+π/3)，則f(π/4)的值是________。13.函數(shù)g(x)=sin(3x-π/6)的最小正周期是________。14.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，則邊AC的長度是________。15.從一副52張的撲克牌中隨機抽取3張，則抽到的3張牌都是黑桃的概率是________。三、解答題（本大題共5小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分14分）在某次籃球比賽中，甲、乙兩名球員分別投籃若干次。已知甲每次投籃命中的概率為0.7，乙每次投籃命中的概率為0.6。假設(shè)甲、乙每次投籃是否命中相互獨立，且兩人投籃次數(shù)相同。（1）若甲、乙各投籃3次，求甲、乙兩人命中次數(shù)相同的概率；（2）若甲、乙各投籃5次，求甲命中次數(shù)多于乙命中次數(shù)的概率。17.（本小題滿分14分）為了了解某市居民的平均睡眠時間，隨機抽取了100名居民進行調(diào)查，得到他們的睡眠時間數(shù)據(jù)（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：睡眠時間分組|頻數(shù)------------|---5.0~6.0|106.0~7.0|207.0~8.0|458.0~9.0|209.0~10.0|5（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市居民睡眠時間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；（3）若從睡眠時間在7.0~8.0小時的居民中隨機抽取2人，求這2人睡眠時間都不少于8.0小時的概率。18.（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)-cos(2x)。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，求實數(shù)a的值。19.（本小題滿分16分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知a=3，b=√7，C=60°。（1）求邊c的長度；（2）求sin(A)的值；（3）若△ABC的面積為√3，求角B的大小。20.（本小題滿分16分）已知函數(shù)F(x)=sin^2(x)+cos^2(x)+tan(x)。（1）求函數(shù)F(x)的定義域；（2）求函數(shù)F(x)在區(qū)間(-π/2,π/2)上的值域；（3）若方程sin^2(x)+cos^2(x)+tan(x)=k在區(qū)間(-π/2,π/2)上有解，求實數(shù)k的取值范圍。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.（本小題滿分10分）已知α是銳角，且sin(α)=√3/2。求證：cos(2α)+sin(2α)=1。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：從30名學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，基本事件總數(shù)為C(30,3)。恰好抽到2名男生和1名女生的基本事件個數(shù)為C(20,2)×C(10,1)。根據(jù)古典概型概率公式，所求概率為C(20,2)×C(10,1)/C(30,3)。2.B解析：射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，未命中的概率為0.2。連續(xù)射擊3次恰好命中2次包含的基本事件有C(3,2)個，即{命中，命中，未命中}，{命中，未命中，命中}，{未命中，命中，命中}。每個基本事件發(fā)生的概率均為0.8^2×0.2，故所求概率為C(3,2)×0.8^2×0.2=0.384。3.A解析：從一副52張的撲克牌中隨機抽取2張，基本事件總數(shù)為C(52,2)。抽到的兩張牌都是紅桃的基本事件個數(shù)為C(13,2)。根據(jù)古典概型概率公式，所求概率為C(13,2)/C(52,2)=1/221。4.B解析：從袋子里隨機摸出2個球，基本事件總數(shù)為C(8,2)。摸到的兩個球顏色不同的基本事件個數(shù)為C(5,1)×C(3,1)。根據(jù)古典概型概率公式，所求概率為C(5,1)×C(3,1)/C(8,2)=5/8。5.A解析：從100張獎券中隨機抽取一張獎券，基本事件總數(shù)為100。三等獎的獎券數(shù)為70。根據(jù)古典概型概率公式，抽到三等獎的概率是70/100=7/10。6.B解析：f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1。7.C解析：函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4)的圖像關(guān)于y軸對稱，則2x-π/4=kπ+π/2，k∈Z。解得x=kπ/2+π/8，k∈Z。8.A解析：函數(shù)h(x)=tan(3x+π/6)的最小正周期為π/3。9.C解析：α是銳角，且sin(α)=1/2，則α=π/6。cos(α)=cos(π/6)=√3/2。10.B解析：F(x)=2sin(x)cos(x)=sin(2x)。令sin(2x)=1，在區(qū)間[0,2π]內(nèi)解得x=π/4，5π/4。故相交的點的個數(shù)為4個。二、填空題答案及解析11.7/27解析：從盒子中隨機摸出3個球，基本事件總數(shù)為C(12,3)。摸到的3個球都是紅球的基本事件個數(shù)為C(5,3)。根據(jù)古典概型概率公式，所求概率為C(5,3)/C(12,3)=10/220=7/27。12.√3/2解析：f(π/4)=cos(2×π/4+π/3)=cos(π/2+π/3)=-sin(π/3)=-√3/2。13.2π/3解析：函數(shù)g(x)=sin(3x-π/6)的最小正周期為2π/3。14.√7解析：由正弦定理，a/sin(A)=c/sin(C)。sin(A)=sin(60°)=√3/2，sin(C)=sin(60°)=√3/2。故a/c=√3/2/√3/2=1，即a=c=√7。15.13/170解析：從一副52張的撲克牌中隨機抽取3張，基本事件總數(shù)為C(52,3)。抽到的3張牌都是黑桃的基本事件個數(shù)為C(13,3)。根據(jù)古典概型概率公式，所求概率為C(13,3)/C(52,3)=286/2210=13/170。三、解答題答案及解析16.解析：（1）甲、乙各投籃3次，甲命中0次、1次、2次、3次的概率分別為C(3,0)×0.7^0×0.3^3、C(3,1)×0.7^1×0.3^2、C(3,2)×0.7^2×0.3^1、C(3,3)×0.7^3×0.3^0。乙同理。甲、乙命中次數(shù)相同的情況有4種：都命中0次、都命中1次、都命中2次、都命中3次。所求概率為(0.3^3+3×0.7×0.3^2+3×0.7^2×0.3+0.7^3)×(0.4^3+3×0.6×0.4^2+3×0.6^2×0.4+0.6^3)=0.328。（2）甲命中次數(shù)多于乙命中次數(shù)的情況有：甲命中3次，乙命中0次、1次、2次；甲命中2次，乙命中0次、1次。所求概率為[C(5,3)×0.7^3×0.3^2+C(5,2)×0.7^2×0.3^3]+[C(5,3)×0.7^3×0.3^2+C(5,2)×0.7^2×0.3^3+C(5,1)×0.7×0.3^4]=0.528。17.解析：（1）頻率分布表：睡眠時間分組|頻數(shù)|頻率------------|---|---5.0~6.0|10|0.16.0~7.0|20|0.27.0~8.0|45|0.458.0~9.0|20|0.29.0~10.0|5|0.05頻率分布直方圖：以橫軸表示睡眠時間分組，縱軸表示頻率，繪制5個矩形，分別代表5個分組，矩形高度對應(yīng)頻率。（2）眾數(shù)：7.0~8.0小時。中位數(shù)：將頻數(shù)累加，位于中間的是第50個數(shù)據(jù)，在7.0~8.0小時組內(nèi)，中位數(shù)為7.0+(50-45)/(45-20)×(8.0-7.0)=7.4小時。平均數(shù)：(5.0+6.0)/2×0.1+(6.0+7.0)/2×0.2+(7.0+8.0)/2×0.45+(8.0+9.0)/2×0.2+(9.0+10.0)/2×0.05=7.4小時。（3）睡眠時間在7.0~8.0小時的居民共有45人，其中睡眠時間不少于8.0小時的有20人。隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為C(45,2)，抽到的2人睡眠時間都不少于8.0小時的基本事件個數(shù)為C(20,2)。所求概率為C(20,2)/C(45,2)=190/1980=19/198。18.解析：（1）f(x)=sin(2x+π/3)-cos(2x)=√3/2sin(2x)+1/2sin(2x)-cos(2x)=sin(2x-π/6)。最小正周期為π/|ω|=π/(2)=π。最大值為1。（2）令2kπ-π/2≤2x-π/6≤2kπ+π/2，k∈Z。解得kπ-π/6≤x≤kπ+π/3，k∈Z。在區(qū)間[0,π]上，單調(diào)遞增區(qū)間為[0,π/3]和[2π/3,π]。（3）函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(a+Δx)-f(a)=0。取特殊值，令x=0，f(a)=sin(π/3)-1。令x=π/3，f(a+π/3)=sin(π/2)-cos(π/3)=1-1/2=1/2。由對稱性，sin(π/3+2a)-cos(π/3+2a)=sin(π/3)-cos(π/3)。解得a=kπ-π/6，k∈Z。19.解析：（1）由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcos(C)=3^2+(√7)^2-2×3×√7×cos(60°)=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。（2）由正弦定理，a/sin(A)=c/sin(C)。sin(A)=(a/c)×sin(C)=(3/√(16-3√7))×(√3/2)=3√3/(2√(16-3√7))。（3）由三角形面積公式，S=(1/2)absin(C)=√3?！?=(1/2)×3×√7×sin(B)。sin(B)=2√3/(3√7)。B=arcsin(2√3/(3√7))。20.解析：（1）函數(shù)F(x)=sin^2(x)+cos^2(x)+tan(x)=1+tan(x)。tan(x)的定義域為{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}。（2）函數(shù)F(x)=1+tan(x)在區(qū)間(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增。當(dāng)x=-π/2時，F(xiàn)(x)趨近于負無窮。當(dāng)x=π/2時，F(xiàn)(x)趨近于正無窮。故值域為(1,+∞)。（3）方程sin^2(x)+cos^2