專題12.23三角形全等幾何模型-“一線三直角”模型（專項練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）知識儲備：1、模型一：三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA2、拓展：模型二：三等角全等模型圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA3、知識點(diǎn)補(bǔ)充：勾股定理圖三一、單選題1．已知：如圖所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，則不正確的結(jié)論是（）A．∠1=∠2 B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠A與∠D互為余角2．如圖，，，，，垂足分別為、，，，則的長（）．A． B． C． D．3．如圖，在等腰直角三角形中，，F(xiàn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上運(yùn)動，且保持，連接．在此運(yùn)動變化的過程中，下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②四邊形的面積保持不變；③．其中正確的是（）A．①②③ B．① C．② D．①②二、填空題4．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．點(diǎn)O在BC上，且CO=1，點(diǎn)M是AC上一動點(diǎn)，連接OM，將線段OM繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在AB上，CM的長度為__________．5．如圖，，，，，垂足分別為D，E，，，則______．6．如圖，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第一象限作等腰直角，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________7．如圖，點(diǎn)A在線段DE上，AB⊥AC，垂足為A，且AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分別為D、E，若ED＝12，BD＝8，則CE長為_____．8．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長是_____．9．如圖，直線經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，已知于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則線段的長為______．10．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，則的面積為_____cm2．11．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AB邊上的點(diǎn)，且AE⊥DF，垂足為點(diǎn)O，△AOD的面積為，則圖中陰影部分的面積為_____．三、解答題12．如圖：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．求證：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的長．13.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）說明△ADC≌△CEB；（2）說明AD+BE=DE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以說明．14．如圖，已知A、B、D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．求證：△CBE是等腰直角三角形．15．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線，MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證：DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不要證明．16．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相同）17．如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足．AE＝CF，求證：∠ACB＝90°．18．如圖，已知在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，，垂足分別為、，，求證：．19．如圖1．△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E，F(xiàn)作射線GA的垂線，垂足分別為P，Q．（1）求證：△EPA≌△AGB：（2）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2．若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說明理由：（4）在（3）的條件下，若BC＝10，AG＝12．請直接寫出S△AEF＝．20．如圖所示，，且，延長交于點(diǎn)，且．求證：．21．已知：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22.如圖，已知：，，，，那么AC與CE有什么關(guān)系？寫出你的猜想并說明理由．

參考答案1．A【分析】由題意易得∠ACD=90°，則有∠1+∠2=90°，進(jìn)而可證三角形全等，然后可排除選項．【詳解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=∠E=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，∵AC=CD，∴△ABC≌△CED（AAS），故C正確，∴∠A=∠2，故B正確，∴∠A+∠D=90°，故D正確，∴A選項錯誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】證△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到結(jié)論；【詳解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA，在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC∴BE=DC，CE=AD，，，，；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂直性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】連接，利用SAS可證，從而得出，從而求出，即可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出四邊形的面積為，從而判斷②；延長到G使，連接，證出和，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷③．【詳解】解：如圖，連接．∵，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．①正確．∵，∴，∴四邊形的面積為．∵，∴四邊形的面積為16，為定值．②正確．延長到G使，連接．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴．在中，∵，∴．③正確．①②③均正確，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和三角形的三邊關(guān)系，掌握構(gòu)造全等三角形的方法是解決的關(guān)鍵．4．5【分析】如圖，作輔助線；首先證明，得到，；其次證明，求出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)；，，；由題意得：；在與中，，，，；為等腰直角三角形，，，，，，故答案為5．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造全等三角形；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．5．【分析】先根據(jù)等角的余角相等得出∠EBC=∠DCA，再根據(jù)AAS證明△CEB≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)并結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】解∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE=DC，CE=AD=3cm∵DC=CE?DE，DE=1.8cm，∴DC=3－，∴BE故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于常考題型，難度不大，熟練掌握三角形全等的判定和方法是關(guān)鍵.6．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通過角的計算即可得出∠ABO＝∠BCD，再結(jié)合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS證出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合等腰直角三角形和坐標(biāo)點(diǎn)綜合考查，關(guān)鍵在于輔助線的作法，過C點(diǎn)作垂直于x軸的垂線還是垂直于y軸的垂線是解題關(guān)鍵．7．4【分析】根據(jù)已知條件及互余關(guān)系可證△ABD≌△CAE，得出BD＝AE＝8，AD＝CE，求出AD＝4，即可得出答案．【詳解】解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE＝8，AD＝CE，∴AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，∴CE＝4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等．找到證明三角形全等的條件，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．6【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AEC＝∠D＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥CD于點(diǎn)D，

∴∠AEC＝∠D＝90°，

在Rt△AEC與Rt△CDB中，

∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），

∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，

∴DE＝CD?CE＝10?4＝6，

故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判定三角形的全等．9．11【分析】根據(jù)題意易得△AEB≌△DFA，則有BE=AF，DF=AE，進(jìn)而問題可得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵，，∴∠DFA=∠AEB=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，又∵∠FAD+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE，∴△AEB≌△DFA，∵，，∴BE=AF=3，DF=AE=8，∴EF=AF+AE=3+8=11；故答案為11．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．8．【分析】作DH⊥BC，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH＝BC＝4，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)H，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠HCD，在△ABC和△CHD中，，∴（AAS），∴DH＝BC＝4，∴的面積＝（cm2），故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11．【分析】先證得△ADF△BAE，再利用等量代換即可求得陰影部分的面積等于△AOD的面積．【詳解】正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，∵AE⊥DF，∴∠DOA=∠DAF=90，∴∠DAO+∠ADF=∠DAO+∠FAO=90，∴∠ADF=∠FAO，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF△BAE，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得陰影部分的面積等于△AOD的面積是解題的關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再結(jié)合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，證明△DBC≌△ECA，即可得證；

（2）由（1）可得△DBC≌△ECA，可得CE=BD，根據(jù)BC=AC=12cmAE是BC的中線，即可得出，即可得出答案．【詳解】證明：（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．

∴∠D＝∠AEC．

又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，

在△DBC和△ECA中，∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE＝CD；

（2）由（1）可得△DBC≌△ECA∴CE=BD，∵BC=AC=12cmAE是BC的中線，∴，∴BD=6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，證明△DBC≌△ECA解題關(guān)鍵．13．（1）見詳解；（2）見詳解；（3）DE+BE=AD，理由見詳解【分析】（1）由題意易得∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE=∠CAD，進(jìn)而問題可得證；（2）由（1）可得AD=CE，BE=CD，進(jìn)而根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求證；（3）由題意易證△ADC≌△CEB，則有AD=CE，BE=CD，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，∵∠DCA+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，∵AC=CB，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）由（1）得：△BCE≌△CAD，∴AD=CE，BE=CD，∵DE=DC+CE，∴DE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，∵∠DCA+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，∵AC=CB，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴DC=BE，AD=CE，∵CE=CD+DE，∴AD=DE+BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的兩個銳角互余，數(shù)量掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．14．見解析【分析】由題意易證△ABC≌△DEB，則有BC=BE，∠EBD=∠BCA，進(jìn)而問題可證．【詳解】證明：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（AAS），∴BC=EB，∵∠1=∠2，∠2+∠DBE=90°，∴∠1+∠DBE=90°，∴∠CBE=180°﹣（∠1+∠DBE）=90°，∴△BCE是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．15．（1）見解析；（2）見解析；（3）DE＝BE﹣AD【分析】（1）由題意易得∠DAC+∠ACD＝90°，則∠DAC＝∠BCE，進(jìn)而可證△ADC≌△CEB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）由題意易得∠CEB=∠ADC=90°，則可求∠CAD=∠BCE，進(jìn)而可證△CAD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（3）根據(jù)題意可證△CAD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．16．（1）見詳解；（2）砌墻磚塊的厚度a為5cm．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．

（2）利用（1）中全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：∵一塊墻磚的厚度為a，

∴AD＝4a，BE＝3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，

∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，

∴a＝5，

答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．17．見解析【分析】根據(jù)題意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，則有∠EAC＝∠BCF，然后根據(jù)等角的余角相等及領(lǐng)補(bǔ)角可求證．【詳解】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．見解析【分析】根據(jù)HL證明Rt△DAE≌Rt△EBC即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°又∵∠1＝∠2∴DE＝CE在Rt△DAE和Rt△EBC中，∴Rt△DAE≌Rt△EBC（HL）∴AE＝BC．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．19．（1）證明見解析；（2）結(jié)論：EP＝FQ，證明見解析；（3）結(jié)論：EH＝FH，理由見解析；（4）60．【分析】（1）根據(jù)等腰Rt△ABE的性質(zhì)，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根據(jù)AAS推出△EPA≌△AGB．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代換即可得出答案．（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根據(jù)AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH與FH的大小關(guān)系．（4）根據(jù)全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，∴∠PEA＝∠BAG，在△EPA和△AGB中，∴△EPA≌△AGB（AAS），（2）結(jié)論：EP＝FQ，證明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，∴EP＝AG，如圖1，∵∠FAC＝90°，F(xiàn)Q