第八講假設(shè)檢驗(yàn)一、基本概念二、Neyman-Pearson引理三、一致最優(yōu)勢檢驗(yàn)一、基本概念在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等中，常常要對(duì)某些重要問題做出回答：是或否。如月球比地球早形成嗎？一種新藥對(duì)某種病有效嗎？某種股票會(huì)張嗎？新推出的電視節(jié)目收視率高嗎？等等。為了回答這些問題，我們需要對(duì)感興趣的問題進(jìn)行試驗(yàn)或觀察獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)決定是或否的過程稱為假設(shè)檢驗(yàn)。(HypothesisTesting)在這節(jié)，給出一般的Neyman-Pearson假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)架。原假設(shè)和備擇假設(shè)布或關(guān)于參數(shù)的推測，稱為假設(shè)，其中是的非空真子集。在一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)中，常涉及兩個(gè)假設(shè)。所要檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為。而與不相容的假設(shè)，稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為。對(duì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型而言，原假設(shè)和備擇假設(shè)這對(duì)矛盾的統(tǒng)一體稱為假設(shè)檢驗(yàn)問題。在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，不相交的非空子集，一定成立。保留這個(gè)的靈活性，不僅是理論的需要，也有其實(shí)際意義。這樣一個(gè)檢驗(yàn)就等同于將樣本空間分成兩個(gè)互不相交的子集和，絕，稱為拒絕域，(RejectionRegion)稱為接受域(AcceptanceRegion)。這樣檢驗(yàn)和拒絕域就建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了確定拒絕域，往往根據(jù)問題的直觀背景，尋找合適的統(tǒng)計(jì)量，要能由統(tǒng)計(jì)量確定出拒絕域，這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(TestStatistic)。為了便于描述拒絕域及數(shù)學(xué)理論上的需要，有必要引入函數(shù)它是拒絕于上的示性函數(shù)，稱其為檢驗(yàn)函數(shù)。種檢驗(yàn)函數(shù)也稱為非隨機(jī)化的，而隨機(jī)化的檢驗(yàn)函數(shù)的定義是：這在隨機(jī)化檢驗(yàn)時(shí)，有了樣本后，計(jì)算若兩類錯(cuò)誤、功效和功效函數(shù)由于樣本時(shí)隨機(jī)的，進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)可能犯兩類錯(cuò)誤，其一是當(dāng)為真時(shí)，卻拒絕，稱為第一類錯(cuò)誤，其概率為其二是當(dāng)為假時(shí)，卻接受，稱為第二類錯(cuò)誤，其概率為定義8.1一個(gè)檢驗(yàn)的功效(Power)定義為當(dāng)假時(shí)拒絕的概率，即而第一類錯(cuò)誤和功效可以看成函數(shù)的不同取值，這個(gè)函數(shù)稱為功效函數(shù)。(PowerFunction)檢驗(yàn)的水平當(dāng)樣本容量固定時(shí)，要減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率；反之，若要減少犯第二類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第一類錯(cuò)誤的概率。即就是說當(dāng)樣本容量固定時(shí)，不可能同時(shí)減少犯兩類錯(cuò)誤的概率，這是一對(duì)不可調(diào)和的矛盾。Neyman-Pearson檢驗(yàn)原理就是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率在給定的范圍內(nèi)，尋找檢驗(yàn)使得犯第二類錯(cuò)誤的概率盡可能的小，即就是使檢驗(yàn)的功效盡可能的大。這樣就是在給定一個(gè)較小的數(shù)(一般取為0.01,0.05,0.1等)，在滿足的檢驗(yàn)函數(shù)類中，尋找使得功效盡可能大的檢驗(yàn)函數(shù)。則稱是一個(gè)水平(Level)為的檢驗(yàn)。根據(jù)這個(gè)定義，水平不唯一。若是水平為的檢驗(yàn)，則對(duì)任何滿足的，也是水平為的檢驗(yàn)。稱為檢驗(yàn)的大小(Size)或真實(shí)水平。實(shí)用上當(dāng)提到一個(gè)檢驗(yàn)的水平時(shí)，一般是指它的真實(shí)水平。二、Neyman-Pearson引理設(shè)統(tǒng)計(jì)模型為，考慮檢驗(yàn)問題比檢驗(yàn)(LikelihoodRatioTest)。對(duì)較大拒絕原假設(shè)的檢驗(yàn)稱為似然定義似然比(LikelihoodRatio)為是統(tǒng)計(jì)量。在這節(jié)，我們先討論簡單原假設(shè)對(duì)簡單備擇假設(shè)的檢驗(yàn)問題，設(shè)統(tǒng)計(jì)模型為，下節(jié)討論較復(fù)雜的檢驗(yàn)問題。即參數(shù)空間僅包含兩個(gè)參數(shù)，所考慮的檢驗(yàn)問題為比較兩個(gè)檢驗(yàn)的優(yōu)劣的一個(gè)自然（1）的準(zhǔn)則就是比較它們功效的大小。若根據(jù)這點(diǎn)我們有所謂最優(yōu)的檢驗(yàn)定義如下。定義8.2在檢驗(yàn)問題(1)中，的檢驗(yàn)，有成立，(MostPowerfulTest)最優(yōu)功效檢驗(yàn)，簡記為MPT。對(duì)于檢驗(yàn)問題(1)，下面的N-P引理不但徹底解決了檢驗(yàn)問題(1)的而且還給出了構(gòu)造MPT檢驗(yàn)的方法。雖然這個(gè)引理僅針對(duì)檢驗(yàn)問題(1)，但它對(duì)解決復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)問題最優(yōu)檢驗(yàn)的存在起到非常重要的作用。似然比為MPT的存在問題，規(guī)定：就檢驗(yàn)問題(1)，(1)滿足（2）（3）(2)引理8.1(Neyman-Pearson引理)注:（1）MPT的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可取為非隨機(jī)化的形式這說明此種情形下引理的證明可參看《高等統(tǒng)計(jì)學(xué)》(鄭忠國)。（2）MPT的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有形式由于沒有給出N-P引理的證明，關(guān)于具有這種形式的原因解釋如下：（5）MPT的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量未必具有形式如果對(duì)給定的，存在k恰有（6）則MPT的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有形式(6)，即具有形為的拒絕域。的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，但由于故可能不存在k使得成立，卻只能找到k有就有必要改變可令注意這樣的做法是合適的，仍具有N-P引理中MPT的形式。從而可得所待定的r為由于即因此此時(shí)的水平為的MPT是隨機(jī)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有式(5)。由于當(dāng)時(shí)，所以式(5)更具一般性，包括了式(6)。例8.1的簡單樣本。求檢驗(yàn)問題解由N-P引理知，MPT的拒絕域具有形式似然比統(tǒng)計(jì)量為由于故～有這樣拒絕域?yàn)椤Ｗ⒁膺@個(gè)例子的MPT僅與水平有關(guān)，而與備擇假設(shè)中的具體取值無關(guān)，只要。作為課后練習(xí)，試求原假設(shè)不變而備擇假設(shè)改為時(shí)的MPT。例8.2樣本，試求檢驗(yàn)問題解似然比統(tǒng)計(jì)量為調(diào)減函數(shù)。根據(jù)N-P引理，水平為的MPT為例如取，若給定則由Poisson分布表，有從而可取k=5，因此有故水平為的MPT的檢