第2章電路的等效變換2.1電阻的串、并、混聯(lián)及其等效電阻由獨立電源和線性元件構成的電路稱為線性電路，如果構成線性電路的無源元件均為線性電阻，則稱為線性電阻電路，簡稱電阻電路。當電路中的電源都是直源電源時稱為直流電路。“等效”在電路理論中是一個重要的概念，本章著重介紹等效變換的概念及方法。本章介紹電路的等效變換。內(nèi)容包括：電阻的串、并、混聯(lián)及等效電阻；電阻的星形與三角形聯(lián)結及等效變換；兩種電源模型的等效變換及含受控源電路的等效變換。通過本章的學習，要求掌握等效的概念并能正確運用等效變換的方法化簡和求解電路。2.1.1等效變換的概念對電路進行分析和計算時，有時需要對電路中的某一部分進行化簡，即用一個較為簡單的電路替代原電路，從而使問題得以簡化。如在圖2-1a、b兩個電路中，虛線框內(nèi)的部分具有相同的伏安特性，即u和i對應相等。當圖2-1a中虛線框內(nèi)部分被替代后，虛線框外電路任何部分的電壓和電流都將維持與原電路相同，這就是電路的等效變換。電阻稱為等效電阻，其值取決于被等效的原電路中各電阻的值以及其連接方式。當電路中的某一部分用等效電路替代后，未被替代部分的電壓和電流均保持不變。用等效變換的方法求解電路時，電壓和電流保持不變的部分僅限于等效電路以外，這就是對外等效的概念，等效電路與被它替代的那部分電路顯然是不同的。如圖2-1a所示電路被簡化后，可按圖2-1b求得u和i，它們分別等于原電路中的u和i，但是如果要求出圖2-1a中虛線框內(nèi)各電阻的電壓和電流，就必須回到原電路中，根據(jù)已求得的u和i求解。圖2-1如果電路的某一部分只有兩個端子與外電路相聯(lián)，則這部分電路稱為二端網(wǎng)絡，也叫單口網(wǎng)絡。一個二端元件就是一個最簡單的二端網(wǎng)絡。如圖2-2a所示，方框內(nèi)的字母“N”代表網(wǎng)絡（Network）；內(nèi)部含有電源的二端網(wǎng)絡稱為含源（Active）二端網(wǎng)絡，方框內(nèi)用字母“A”表示，如圖2-2b所示；網(wǎng)絡內(nèi)不含有電源的，稱為無源（Passive）二端網(wǎng)絡，方框內(nèi)用字母“P”表示，如圖2-2c所示。圖2-22.1.2電阻的串聯(lián)及分壓

幾個電阻聯(lián)成一串，中間沒有分支，各電阻流過同一個電流的聯(lián)結方式稱為電阻的串聯(lián)，如圖2-3a是兩個電阻串聯(lián)的電路。

（2-2）（2-2）（2-3）圖2-3a若有n個電阻串聯(lián)，則第i個電阻Ri上的電壓為圖2-42.1.3電阻的并聯(lián)及分流

幾個電阻分別聯(lián)結在相同的兩點之間，各電阻的電壓都相等的聯(lián)結方式，稱為電阻的并聯(lián)。如圖2-5a所示是兩個電阻并聯(lián)的電路。圖2-5（2-4）式（2-4）表明，電阻并聯(lián)其等效電阻的倒數(shù)等于并聯(lián)的各電阻倒數(shù)之和。這一結論也同樣適用于兩個以上電阻的并聯(lián)。若有n個電阻并聯(lián)，則其等效電阻為可見，若干個電阻并聯(lián)后的等效電阻總是小于其中阻值最小的那個電阻。當兩個電阻并聯(lián)時，其等效電阻為下面分析并聯(lián)電阻的電流情況，在圖2-5a所示的電路中從而得分流公式為2.1.4電阻的混聯(lián)

。當電路中既有電阻串聯(lián)又有電阻并聯(lián)時，稱為電阻混聯(lián)電路。電阻混聯(lián)在實際電路中經(jīng)常出現(xiàn)，而且形式多樣。分析混聯(lián)電路的關鍵是找出電阻的串并聯(lián)關系，一般可從以下三個方面入手分析。

1．分析電路的結構特點。若兩個電阻聯(lián)成一串即是串聯(lián)；若兩個電阻聯(lián)結在相同的兩點間就是并聯(lián)。

2．分析電壓電流關系。若流經(jīng)兩個電阻的是同一個電流，就是串聯(lián)；若兩個電阻承受的是同一個電壓就是并聯(lián)。

3．對電路聯(lián)結變形。對電路作扭動變形，如左邊的支路扭到右邊，上面的支路翻到下面，彎曲的支路拉直；對電路中的短路線任意壓縮或拉伸，對多點接地的點用短路線聯(lián)結。

一般情況下，電阻的串并聯(lián)關系都可以應用上述方法辨別出來圖2-7例2-4

如圖2-8a所示是一個常用的電阻分壓器電路。分壓器的固定端a、b接至直流電壓源U。固定端b與活動端c接到負載。利用分壓器上滑動觸頭c點的移動，可向負載RL輸出0~U的可變電壓。已知：直流電壓源電壓U=18V，活動觸頭c的位置使R1=600Ω，R2=400Ω，求輸出電壓U2。若用內(nèi)阻RV=1200Ω的電壓表測量此電壓，求電壓表的讀數(shù)。圖2-8可見：當電壓表的內(nèi)阻與被測電路的電阻相比不是足夠大時，測量所得電壓存在一定的誤差。如果分壓器輸出端接有負載時，輸出電壓將隨負載的大小而變化。一個電路不論其聯(lián)結方式如何復雜，也不論其元件數(shù)目多少，只要能按電阻的串、并聯(lián)逐步簡化成一個無分支電路來計算，就稱為簡單電路，否則就稱為復雜電路。以后將著重介紹復雜電路的分析方法。思考與練習題2-1-1你怎樣理解等效的概念？兩個二端網(wǎng)絡滿足怎樣的條件才能彼此等效？2-1-2電阻串聯(lián)和并聯(lián)的特點是什么？2-1-3如圖2-9所示電路，求出下列各量。

2-1-4電路如圖2-10所示，求等效電阻。圖2-9圖2-102.2電阻的星形與三角形聯(lián)結及等效變換

在電路分析中，對于一些簡單的電阻電路，采用串、并聯(lián)的方法來分析，但有時電路中的電阻既不是串聯(lián)聯(lián)結也不是并聯(lián)聯(lián)結，如圖2-11所示是一種具有橋形結構的電路，它是測量中常用的電橋電路。當電橋不平衡時，等效電阻Req不能直接求得，須經(jīng)過一種專門的變換，即電阻的星形聯(lián)結和三角形聯(lián)結之間的等效變換才能求出。2.21電阻的星形、三角形聯(lián)結

1.電阻的星形聯(lián)結如圖2-12所示電路，三個電阻的一端聯(lián)結在一起，另一端分別與外電路相聯(lián)，這種聯(lián)結方式稱為電阻的星形聯(lián)結，圖2-12a電路的形狀像“Y”形，叫Y形聯(lián)結，圖2-12b的形狀像“T”形，也叫“T”形聯(lián)結。2.三角形聯(lián)結

如圖2-13所示電路，三個電阻首尾相聯(lián)，組成一個閉合回路，再從三個聯(lián)結點分別引出三根線與外電路聯(lián)結，這種聯(lián)結方式稱為電阻的三角形聯(lián)結。圖a形狀像“Δ”形，稱Δ形聯(lián)結，圖b形狀像“Π”形，也稱“Π”形聯(lián)結。電阻的星形與三角形聯(lián)結都是通過三個端子與外電路相聯(lián)的，它們都是三端網(wǎng)絡。在電路分析中，為了簡化電路的分析與計算，需要將電阻的星形與三角形聯(lián)結進行等效變換，把電路化簡成電阻串、并聯(lián)的簡單形式。等效變換的條件是變換前后對應端子之間的電壓不變，流入對應端子的電流分別相等。2.21星形與三角形聯(lián)結的等效變換

如圖2-14所示Y形和Δ形聯(lián)結的兩個電路，當外部電流I1，I2，I3對應相等，電壓U12、U23、U31對應相等的條件下，可以推導出等效變換的公式（推導從略）。將Y形聯(lián)結等效變換為Δ形聯(lián)結時，已知R1、R2、R3求等效電阻R12、R23、R31的公式為將Δ形聯(lián)結的電阻等效變換為Y形聯(lián)結的電阻時，已知R12、R23、R31求等效電阻R1、R2、R3的公式為為了便于記憶，Y形聯(lián)結電阻與Δ形聯(lián)結電阻等效變換的公式可歸納為通式在進行電阻的Y形與Δ形聯(lián)結等效變換時，應注意“等效”是對外部電路等效，變換時應找準與外界相聯(lián)的三個端子，保證變換前后對應位置不變。當Y形聯(lián)結的三個電阻都相等，即R1=R2=R3=RY等效成Δ形聯(lián)結的三個電阻也相等，

R12=R23=R31=RΔ且有這種Y形或Δ形聯(lián)結也稱對稱聯(lián)結。

例2-5

計算圖2-15a所示電路中的電流I1。解

此電路為電橋電路，因為所以電橋不平衡，不能用簡單的電阻串、并聯(lián)的關系求解。將接到1、2、3作三角形聯(lián)結的三個電阻等效變換為星形聯(lián)結，如圖2-15b所示。將圖2-15b化簡為圖2-15c的電路，則R4=1Ω+2Ω=3ΩR5=5Ω+1Ω=6Ω所以本題中也可將5Ω、4Ω、4Ω三個電阻等效成三角形聯(lián)結來求解，同學們自己完成。在用Y-Δ等效變換的方法求解問題時，應先考慮一下如何變換較簡捷，免得進行多次變換。練習與思考2-2-1將如圖2-16所示電路由Y形聯(lián)結等效成Δ形聯(lián)結，或由Δ形聯(lián)結等效成Y形聯(lián)結。

2-2-2請將例2-5中的電阻做Y-Δ變換重新求解，并比較計算結果是否相同。2.3兩種電源模型及等效變換2.3.1實際電源的兩種模型實際電源有一定的內(nèi)阻（如干電池），工作時其內(nèi)部有損耗，其端口電壓與輸出電流要隨著它所接負載情況的改變而改變。對于一個實際電源，可以用圖2-17a所示電路來測量端電壓和電流的伏安關系，由測量結果，得到如圖2-17b所示的伏安關系曲線。由伏安特性曲線可以看出，實際電源的端電壓在一定范圍內(nèi)隨著輸出電流的增大而逐漸減小，這一點既不同于理想電壓源的伏安特性，也不同于理想電流源的伏安特性，寫出實際電源伏安特性的直線方程為U=US–RSI上式也就是實際電源的數(shù)學模型，按照這個數(shù)學模型可以畫出實際電源的電路模型如圖2-18所示，這種模型用一個理想電壓源和一個內(nèi)阻RS的串聯(lián)組合來表示，稱為實際電源的電壓源模型。如果對上式變形，則得到令，并代入上式得由上述數(shù)學模型，畫出對應的電路模型如圖2-19所示，用一個數(shù)值等于IS的理想電流源和內(nèi)阻RS的并聯(lián)組合來表示，稱為實際電源的電流源模型。圖2-18圖2-19從實際電源的電壓源模型可以看出，實際電源的輸出電流越大，內(nèi)阻RS上的壓降越大，其輸出電壓U也就越低，若輸出電流為零（外部開路）時，內(nèi)阻RS上的壓降也為零，此時端電壓等于理想電壓源的電壓US。常見實際電源（如發(fā)電機，蓄電池等）的工作機理比較接近電壓源，其電路模型是電壓源與電阻的串聯(lián)組合。光電池工作時的特性比較接近電流源，其電路模型是電流源與電阻的并聯(lián)組合。例2-6

寫出圖2-20所示各段電路的Uab。解

圖b圖c圖d圖2-20

圖2-20a

圖2-20b

圖2-20c

圖2-20d2.3.2兩種電源模型的等效變換一個實際電源既可以用電壓源模型來等效代替，也可以用電流源模型來等效代替。兩種電源模型反映的是同一個實際電源的外特性，只是表現(xiàn)形式不同而已。在對含有兩種電源模型的電路進行分析計算時，為了方便，有時需將電壓源等效變換成電流源，而有時又需要將電流源等效變換成電壓源。再次強調，等效變換是對外電路而言的，即變換前后外電路的電壓和電流關系不變。如圖2-21所示電路，當實際電壓源與實際電流源之間進行等效變換時，要保證通過負載的電流及其兩端的電壓不變，對負載來說，電壓源供電和電流源供電效果是一樣的。圖2-21a有圖2-21b有比較以上兩式可得兩種電源模型等效變換的公式為

或

等效變換僅對外電路成立，電源內(nèi)部是不等效的。只有實際電源之間才可以進行等效變換。理想電壓源與理想電流源之間不能進行等效變換，因為兩者的伏安特性不同。變換時應注意電源的極性和方向，即電壓源電壓從負極到正極的方向與電流源的方向在變換前后應保持一致。兩種電源模型的等效變換，可進一步理解為對含源支路的等效變換。即一個電壓源與電阻的串聯(lián)組合和一個電流源與電阻的并聯(lián)組合之間可以進行等效變換，這個電阻不要求一定是電源的內(nèi)阻。例2-7

求與圖2-22a、c兩電路對應的等效電源模型。在進行電源模型的等效變換時，應注意以下幾個問題：圖2-22解圖2-22a是實際電壓源模型，等效為實際電流源模型。則等效電源模型如圖2-22b所示。圖2-22c為實際電流源模型，等效為實際電壓源模型。則等效電壓源模型如圖2-22d所示。2.3.3幾種含源支路的等效變換電阻元件串并聯(lián)時，可以用一個電阻來等效。同樣，含源支路的串并聯(lián)也可以進行等效化簡。圖2-23電壓源串聯(lián)圖2-23a所示為兩個電壓源串聯(lián)的電路，由KVL有也就是說，兩個電壓源串聯(lián)，可以等效為一個電壓源，其值U=US，如圖2-23b所示。依此類推，若干個電壓源串聯(lián)的電路，等效成一個電壓源，其電壓值等于串聯(lián)的各電壓源電壓的代數(shù)和。求代數(shù)和時，與等效電壓源參考方向一致的，其電壓取正號；相反則取負號。2．電流源并聯(lián)圖2-24a所示為兩個電流源并聯(lián)的電路，由KCL有圖2-24即兩個電流源并聯(lián)，可以等效為一個電流源，如圖2-24b所示。依此類推，若干個電流源并聯(lián)的電路，等效成一個電流源，其電流值等于并聯(lián)的各電流源電流的代數(shù)和。求代數(shù)和時，與等效電流源參考方向一致的，其電流取正號；相反取負號。3．電壓源并聯(lián)幾個電壓源，只有在各電壓源的電壓值相等的情況下才允許并聯(lián)，而且要同極性相并，并聯(lián)后等效為一個等值的電壓源，如圖2-25所示為兩個等值電壓源的并聯(lián)電路。由于并聯(lián)部分的電壓相等，根據(jù)電壓源的基本特點，所以電壓值不相等的電壓源絕對不允許并聯(lián)。4．電流源串聯(lián)

幾個電流源，只有在各電流值相等的情況下才允許串聯(lián)，且要同方向串聯(lián)，串聯(lián)后等效為一個等值的電流源，如圖2-26所示為兩個等值電流源串聯(lián)的電路。同理，電流值不相等的電流源絕不允許串聯(lián)。5．與電壓源并聯(lián)的任一元件或支路如圖2-27a電路中的電流源IS，以及圖2-27b中的電阻R都是與電壓源US并聯(lián)的，根據(jù)并聯(lián)電路特點，它們對輸出電壓無影響。由等效的概念可知，這兩種并聯(lián)電路都可以用一個電壓源來等效代替，等效電壓源的電壓仍為US。注意：等效電壓源的電流，不等于等效前的電壓源支路的電流，如圖2-27c所示。圖2-26

6．與電流源串聯(lián)的任一元件或支路電路如圖2-28a中的電壓源US，以及圖2-28b中的電阻R都是與電流源IS串聯(lián)的，根據(jù)串聯(lián)電路的特點，它們對輸出電流均無影響。由等效的概念可知，這兩種串聯(lián)電路都可以用一個電流源來等效代替，等效電流源的電流仍為IS。但要注意，等效電流源兩端的電壓，不等于等效前電流源兩端的電壓，如圖2-28c所示。圖2-27圖2-28含源電路的等效變換，首先應牢記等效的原則，然后根據(jù)電路的具體結構，靈活運用上述各種方法進行化簡。下面舉例說明。例2-8試求圖2-29所示各電路的等效電路。圖2-29解

圖2-29a與10V電壓源并聯(lián)的是電流源，b與10V電壓源并聯(lián)的是電阻，對于a，b兩端口而言，它們都等效為10V的電壓源，如圖e所示。圖2-29c與2A電流源串聯(lián)的是電壓源，d與2A電流源串聯(lián)的是電阻，對于a，b兩端口而言，它們都等效為2A的電流源，如圖f所示。例2-9

將圖2-30a所示電路化簡為電壓源模型。解

圖示電路整體為串聯(lián)，局部為并聯(lián)。應先將電流源模型等效為電壓源模型，然后再進行合并化簡?；嗊^程如圖2-30b、c所示。例2-10將圖2-31a所示電路化簡為一個串聯(lián)模型。解圖示電路整體為并聯(lián)，局部為串聯(lián)。應先將電壓源模型等效為電流源模型，然后進行化簡，最后再等效變換為串聯(lián)模型?；嗊^程如圖2-31b、c、d所示。從上述分析過程看，利用電源模型的等效變換可以將一個較為復雜的電路等效為比較簡單的電路，從而簡化計算過程。但要注意的是，待求量所在的支路在化簡過程中要保留，不能參與變換。解本題結構較復雜，我們從左向右逐步化簡，等效變換的過程如圖2-31b～f，最后將a，b端左側的電路化簡為電流源模型。利用分流公式得例2-11利用電源模型的等效變換，求圖2-32a電路所示的電流I。圖2-32思考與練習2-3-1理想電壓源與理想電流源能否彼此等效？為什么？2-3-2某電源的開路電壓UOC＝12V，短路電流ISC＝2A，求該電源的電壓源模型。2-3-3化簡圖2-33所示各含源網(wǎng)絡。圖2-332.4受控源及含受控源電路的等效變換2.4.1受控源前面介紹的電壓源和電流源，其電壓或電流不受所聯(lián)結的外電路的影響而獨立存在，所以稱為獨立源。獨立源常作為激勵對電路起作用，在它們的作用下，電路才產(chǎn)生響應。在電子電路中，為了描述一些電子器件的實際性能，在電路模型中常遇到另一類電源――受控源。所謂受控源，就是它們的電壓或電流受電路中其它部分的電壓或電流控制的電源。當作為控制量的電壓或電流消失或等于零時，受控源的電壓或電流也將消失或等于零；當作為控制量的電壓或電流增大、減小或改變極性時，受控源的電壓或電流也將跟著增大、減小或改變極性，即受控源的電壓或電流不是獨立存在的，所以受控源又稱為非獨立電源。大家熟悉的晶體管三極管的集電極電流受基極電流控制的現(xiàn)象可以用受控源模型來描述。

受控源有兩對端子，一對是控制端，也叫輸入端；另一對是受控端，也叫輸出端。輸入端是控制量所在的支路，稱為控制支路，輸出端是受控源所在的支路。受控源有四種類型，分別是電壓控制電壓源（VoltageControlledVoltageSource，簡稱VCVS）、電流控制電壓源（CurrentControlledVoltageSource，簡稱CCVS）、電流控制電流源（CurrentControlledCurrentSource，簡稱CCCS）、電壓控制電流源（VoltageControlledCurrentSource，簡稱VCCS），這四種受控源的電路模型如圖2-34所示。圖2-34特別指出，受控源與獨立源在電路中的作用有著本質的區(qū)別。受控源在電路中不是激勵，不是真正意義上的電源，只是用來反映電路中某處的電壓或電流可以控制另一處的電壓或電流這一現(xiàn)象。而獨立源作為電路的輸入，代表著外界對電路的激勵作用，是電路中產(chǎn)生響應的“源泉”。2.4.2含受控源電路的等效變換運用等效的概念同樣可以解決一些含受控源電路的分析問題。受控源和獨立源一樣也可以進行電壓源模型與電流源模型的等效變換。但受控源有兩條支路，一般來說，作等效變換處理時，要保留控制量所在的支路不變，目的在于保留控制量。下面通過例題，具體介紹含受控源電路的等效變換及化簡。例2-12

電路如圖2-35所示，已知U＝4.9V，求US。圖2-35解

把受控電流源與獨立電流源一樣看待，即受控電流源所在支路的電流為0.98I，由歐姆定律，5Ω電阻的電壓為所以由KVL得例2-13