重難點突破11導數(shù)中的同構問題

目錄

題型一：不等式同構

題型二：同構變形

題型三：零點同構

導數(shù)中的同構問題

題型四：利用同構解決不等式恒成立

問題

題型五：利用同構求最值

題型六：利用同構證明不等式

方法技巧總結

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2、同構式的應用:

(1)在方程中的應用：如果方程/S)=0和/僅)=0呈現(xiàn)同構特征，則a,b可視為方程/(X)=0的

兩個根

(2)在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進

而和函數(shù)的單調性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.〈同構小套路＞

①指對各一邊，參數(shù)是關鍵；②常用“母函數(shù)”：f(x)=x-ex,/(x)=e，土x；尋找“親戚函數(shù)”是關鍵;

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③信手拈來湊同構，湊常數(shù)、X、參數(shù)；④復合函數(shù)(親戚函數(shù))比大小，利用單調性求參數(shù)范圍.

(3)在解析幾何中的應用：如果%),8(x2,%)滿足的方程為同構式，則48為方程所表示曲

線上的兩點.特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線48的方程

(4)在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于(％,〃)與1)的同構

式，從而將同構式設為輔助數(shù)列便于求解

3、常見的指數(shù)放縮：ex>x+l(x=O);ex>ex(x=-L)

1X

4、常見的對數(shù)放縮：1——<Inx<x-l(x=1);Inx<—(x=e)

xe

5、常見三角函數(shù)的放縮：x€^0,ysinx<x<tanx

6、學習指對數(shù)的運算性質時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：

(1)當Q>0且QWl,X>0時，有

(2)當?！?且awl時，有l(wèi)ogaQ*=x

再結合指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則，可以得到下述結論(其中x〉0)

(3)xex=ex+bl%;x+lnx=ln(xexj

XX

(4)—=exb,]C:x-lnx=ln—

xx

(5)x2ex=ex+21nx;x+21nx=In(x2ex)

XX

ex-2\nxex—21nx

(6)—4二Je，—r

Y

再結合常用的切線不等式而lnx?—,e'2x+l,e"2ex等，可以得到更多的結論，這里僅以

e

第(3)條為例進行引申：

(7)xex=ex+]nx>x+lnx+1.x+lnx=]n(xex]<xex-1

(8)xe'=e*2e(x+lnx)；x+inx=in(Mk?3

7、同構式問題中通常構造親戚函數(shù)xe*與xlnx,常見模型有:

Inx—

xhlalnxe

①>logax=>>-----xlna-e>xlnx=Inx-e=>xln?>lnx=>6z>e；

■Inq

AxXxAxlnx

②e>zz>Xe>InxnAx-e>xInx=>Zx->Inx-e=>Ax>Inx=>2>—；

Ze

③e"+ax>In(x+1)+x+1=*"+0+In(x+1)=>ax>\n(x+1

8、乘法同構、加法同構

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(1)乘法同構，即乘x同構，如lna-e""">lnxoxlna-e'1n"Alnx-e111*；

(2)加法同構，即加尤同構，如a*>log”x<=>a*+x>log。x+x=0'嗚”+log。x,

(3)兩種構法的區(qū)別：

①乘法同構，對變形要求低，找親戚函數(shù)xe，與xlnx易實現(xiàn)，但構造的函數(shù)xe，與xlnx均不是單調函

②加法同構，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構造后的函數(shù)為單調函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范

必考題型歸納

題型一：不等式同構

例1,(2023,四川達州二?？茧A段練習)已知Q,b,ce(―,+oo],且---=—51n。,---=—31nb,-----=—2Inc,

Jabc

貝U()

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

例2,（2023,湖北黃石二?？计谥校┮阎辏╨,+8）.且21na—1=----,b2—2lnb—1=—,

2e

7—.<In7Tp-,./、

c-21nc-l=——,則（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.c>a>b

例3,（2023?陜西榆林?高二?？计谀┮阎猘,b,cG（0,1）,且〃一5=lno-ln5,Z?-4=lnZ?-ln4,

c-3=lnc-ln3,貝!Jq,b,c的大小關系是（）

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

Q

變式1.(2023?河南?高二校聯(lián)考期中)已知a=0.51n2,Z>=0.4(ln5-ln2),c=-(ln3-ln2),則。，b,c

的大小順序是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

變式2.(2023?全國?高三專題練習)已知0<x<y<n,且eysinx=e'siny,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則

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下列選項中一定成立的是()

A.cosx+cosj；<0B.COSX+COS.V>0

C.cosx>sinD.sinx>siny

變式3.(2023?江西贛州?高二江西省信豐中學?？茧A段練習)己知函數(shù)/(刈的導數(shù)/'(X)滿足

〃乃+(》+1)/'(》)>0對》《尺恒成立，且實數(shù)x,y滿足(x+l)/(x)-(y+l)〃y)>0,則下列關系式恒成

立的是()

11XV.

A.二~7<F—;B.ex<eyC.—<—D.x-y>sinx-smy

x+1y+1exey

題型二：同構變形

例4.(2023?全國?高三專題練習)對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數(shù).

(l)log2尤一h2"20；

(2)ew--lnV^>0；

A

m

⑶-1nx_加尸>0；

(4)a(產+1)22+口3nx；

(5)tzln(x-1)+2(x-l)>tzx+2e%；

(6)x+?lnx+e-x>(x>1)；

⑺葭-2x-lnx=0;

(8)x2ex+lux=0.

題型三：零點同構

(x-1)5+2x+sin(x-l)=3

例5.(2023,全國偏二專題練習)設滿足I5，則x+y=()

(y-l)+2j+sin(j/-l)=1

A.0B.2C.4D.6

例6.(2023?全國?高二專題練習)在數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個式子稱為同構

式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于。的方程四“-2=。4和關于6的方程

6(ln6-2)=e3/T(a,6eR*)可化為同構方程，則彷的值為()

A.e8B.eC.In6D.1

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例7.(2023?安徽池州?高三池州市第一中學?？茧A段練習)已知函數(shù)/'口)=昔和8(尤)=皆有相同的最大

值6.

⑴求。,6；

(2)證明：存在直線＞="?,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個

交點的橫坐標成等比數(shù)列.

變式4.(2023?安徽安慶?高三校聯(lián)考階段練習)在數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個

式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于。的方程ae"=e6和關

于6的方程6(lnb-2)=e32-1(a,beR)可化為同構方程.

(1)求的值；

(2)已知函數(shù)〃x)=x(lnx+9).若斜率為左的直線與曲線y=/(x)相交于8(%,%)(匹＜3)兩

點，求證：.王

變式5.(2023?上海浦東新?高一上海南匯中學?？计谀?設函數(shù)/(x)的定義域為。，若函數(shù)1(X)滿足條

件：存在使/(x)在［a,可上的值域為［加見加可(其中加e(0,1］),則稱/(x)為區(qū)間［a,用上的“加倍

縮函數(shù)

⑴證明：函數(shù)/(x)=d為區(qū)間-g：上的倍縮函數(shù)”；

(2)若存在［。泊仁R,使函數(shù)“X)=log2(2'+。為［a,6］上的《倍縮函數(shù)”，求實數(shù)，的取值范圍；

(3)給定常數(shù)上＞0,以及關于x的函數(shù)〃x)=1-：，是否存在實數(shù)a/(a＜6),使/'(x)為區(qū)間用上的“1

倍縮函數(shù)”.若存在，請求出6的值；若不存在，請說明理由.

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變式6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=ln(尤+l)-x+l.

⑴求函數(shù)〃x)的單調區(qū)間；

⑵設函數(shù)g(無)=ae"x+lna,若函數(shù)尸(尤)=/(x)-g⑺有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

變式7.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e*-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線尸和尸g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數(shù)列.

變式8.(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)/(無)=?x(l-lnx)和g(x)="有相同的最大值，并且仍=e.

(1)求。/；

⑵證明：存在直線y=3其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，且從左到右的三個交

點的橫坐標成等比數(shù)列.

變式9.(2023?江蘇常州?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)/'卜)=三和g(x)=Hi竺)有相同的最大值.

ex

(1)求實數(shù)機的值；

(2)證明：存在直線”"，其與兩曲線了=/(力和V=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點

的橫坐標成等比數(shù)列.

題型四：利用同構解決不等式恒成立問題

例8.(2023?全國?高三專題練習)完成下列各問

(1)已知函數(shù)〃x)=xe-a(x+lnx),若f(x)N0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

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(2)已知函數(shù)”x)=*-a(x+lnx+l),若/(x"0恒成立，則正數(shù)°的取值范圍是；

(3)已知函數(shù)/(同=.*+6-。(》+&+1),若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是；

(4)已知不等式xe*-a(x+l"hu對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是；

(5)已知函數(shù)/(x)=fe*-Hnx-x-l(x>l),其中6>0,若/'(x"O恒成立，則實數(shù)a與6的大小關系

是;

(6)已知函數(shù)/(x)=ae=lnx-l,若/⑴之。恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是；

(7)已知函數(shù)/(x)=ae2-ln2x-l,若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是；

(8)已知不等式e*-12foc+lnx,對Vxe(0,+oo)恒成立，則左的最大值為_______；

(9)若不等式公+我5-11?:-：120對》>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是；

例9.(2023?全國?高三專題練習)已知/(x)=x2°23.設實數(shù)〃7>o,若對任意的正實數(shù)x,不等式

/卜蛆)2恒成立，則冽的最小值為.

例10.(2023?四川瀘州?瀘州老窖天府中學?？寄M預測)己知不等式x+加lnx+5次對xe(l,+叫恒成

立，則實數(shù)機的最小值為.

變式10.設實數(shù)2>0,若對任意的xe(0,+oo),不等式i工-也…0恒成立，則2的最小值為()

A

變式11,設實數(shù)。>0,若對任意的+oo),不等式一/歷X”0恒成立，則a的最大值為()

12e

A.-B.-C.-D.e

eel

變式12.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x^xInN+ae*,g(x)^-x2+x,當xe(0,+oo)時,

/(x"g(x)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

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11

A.—,+°0B.-,+ooC.[1,+<?)D.[e,+co)

e

變式13.(2023?云南.校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/'(x)=ln(x+2)-x+2,g(x)=aex-x+lna.

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)請在下列①②中選擇一個作答(注意：若選兩個分別作答則按選①給分).

①若/(x)Vg(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

②若關于x的方程〃x)=g(x)有兩個實根，求實數(shù)。的取值范圍.

題型五：利用同構求最值

例11.(2023?全國?高二專題練習)“朗博變形”是借助指數(shù)運算或對數(shù)運算，將x化成x=ine',x=e"(x>0)

的變形技巧.已知函數(shù)/(x)=x-e，，g(x)=--,若/(xJ=g(X2)=f>0,則27的最大值為()

X

A.fB.-C.1D.e

ee

例12.(2023?全國?高二期末)已知函數(shù)7'0)=》+111(》-1)苕。:)=511》，若/(xj=l+21n/,g(x2)=/，則

(匹/-%)111「的最小值為()

1112

A.—B.---C.=D.-

e2ee2e

例13.(2023?江西?臨川一中校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)〃x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若〃xjul+21nf,

g(X2)=「，則”科2-工2,Inf的最小值為()

1112

A.—rB.—C.---D.一

e2e2ee

變式14.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/'(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx，若/(xj=1+21nl,g(尤?)=/，

則———的最大值為()

xxx2—x2

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變式15.(2023?全國?高三專題練習)已知大于1的正數(shù)“，6滿足印<(與‘，則正整數(shù)〃的最大值為()

ea

A.7B.8C.5D.11

變式16.(2023?安徽淮南?統(tǒng)考一模)已知兩個實數(shù)M、N滿足Wx/-lnx-尤-1,N4仁+lnx-尤在