第七章空間向量與立體幾何

7.1.1空間幾何體(題型戰(zhàn)法)

知識(shí)梳理

一簡單幾何體

1.柱體

(1)棱柱

側(cè)面積：5側(cè)=。！(直)，5側(cè)=。/(C：直截

面周長，1：斜棱長)

體積:P=S底

(2)圓柱

表面積：S表=5側(cè)+5上+5卜.

側(cè)面積：5側(cè)=?！?/p>

體積：V=S&h

2.錐體

(1)棱錐

側(cè)面積：S=4C7r(C為底面周長，分為斜高)

2

體積：%=；S底/z

(2)圓錐

表面積：S表=%+s底

側(cè)面積：岳則=3。/

體積：展;S底力

3.臺(tái)體

(1)棱臺(tái)

體積：腺=；(S上+5下+心方)?力

(2)圓臺(tái)

表面積：S=Ry：+I+4/+々/)

體積：%?(02+八々+42),力

4.球體

表面積：S=4^r2

體積：V=-7vr3

3

二空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

第1頁共26頁

1.球的外接

R_Va2+b2+c2

(1)長方體外接球半徑計(jì)算公式為：-2

V3

R=-a

(2)正方體外接球半徑計(jì)算公式為：2

R---u

(3)正四面體外接球半徑計(jì)算公式：4(。為棱長)

(4)正棱錐外接球的半徑計(jì)算方法：頂點(diǎn)，球心，底面外接圓的圓心三點(diǎn)共線，可利用直角三角形求解;

即：八(h-R)2=R2(其中：：■為底面外接圓的半徑，可通過正弦定理進(jìn)行計(jì)算，力為三棱錐的高，R為

外接球的半徑)

(5)直三棱柱的外接球半徑計(jì)算方法：/+〃2=尺2(力為直棱柱高的一半，r為三角形外接球的半徑)

(6)直角四面體的外接球球心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處。

2.球的內(nèi)切

(1)正方體的內(nèi)切球半徑為：-；長方體無內(nèi)切球。

2

(2)直三棱柱的內(nèi)切球滿足條件：(1)棱柱的高為內(nèi)切球半徑的2倍，即：h=2r(2)記三棱柱底面三

邊長為a,6,c；貝!|g(a+6+c)r=S(S為底面三角形的面積)

2

(3)正三棱柱的內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：lar=^a,r=^a

246

(4)三棱錐的內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：1(S1+S2+S3+S4)7?=K

(5)正四面體內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：r=^a

12

(6)四棱錐內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：1(S1+S2+S3+S4+S5)A=F

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一柱體的表面積

第2頁共26頁

典例1.底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（）.

B,趙3+@

A.3C.3+—D.

242

【答案】D

【分析】直接求表面積即可.

【詳解】

表面積為2x」xlxlx巫+3x1x1=也+3.

22

故選：D.

變式11.正六棱柱的底面邊長為2,最長的一條對角線長為2指,則它的表面積為（）

C

尸》

Ei

A.4(36+4)B.12(73+2)

C.12(2A/3+1)D.3(6+8)

【答案】B

【分析】根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出棱柱的高，再計(jì)算它的表面積.

【詳解】正六棱柱的底面邊長為2,最長的一條對角線長為2岔，則高為期=J（2石『_（2X2/=2,

它的表面積為S表面積=S底面積+6S矩形=2x6x；x2x2xsin9+6x2x2=126+24=12（G+2）.

故選:B.

變式12.如圖，在正方體。中，三棱錐。-/5。的表面積與正方體的表面積的比

為（）

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c

A.1：1B.1：V2

C.1：V3D.1：2

【答案】C

【分析】首先設(shè)正方體的邊長為。，再計(jì)算正方體的表面積和三棱錐O/-Z8/C的表面積，即可得

到答案.

【詳解】設(shè)正方體的邊長為。，則表面積岳=6/,

因?yàn)槿忮F?！?呂。的各面均是正三角形，其邊長為正方體側(cè)面對角線.

則面對角線長為0a,三棱錐Di-ABiC的表面積S2=4x|x（怎『x*2&。,

2

所以叢：岳=26a2：6a=1:73.

故選：C

變式13.以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積

等于（）

A.8兀B.4兀C.8D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求出圓柱的底面半徑和高，直接求側(cè)面積即可.

【詳解】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，

其底面半徑尸2,高6=2,

故其側(cè)面積為S=2兀rxh=2ix2x2=8ji.

故選：A

變式14.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4%的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積是（）

A.8%+16萬之B.2%+4%2C.4萬+16/D.8萬+4/

【答案】A

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【分析】根據(jù)題意和題設(shè)條件，求得圓柱的底面半徑和母線長，結(jié)合圓的面積公式和圓柱的側(cè)面

積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為小母線長為/,

因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4兀的正方形，

所以2次=/=4%,可得r=2,/=44，

所以圓柱的表面積為S=242+2勿/=84+16萬2.

故選：A.

題型戰(zhàn)法二柱體的體積

典例2.如圖，在四棱柱/BCD-44GA中，底面ZBCD是正方形，底面ZBC。，&4=4,/8=1,

那么該四棱柱的體積為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】該四棱柱的體積為"=S.°XM，由此能求出結(jié)果.

【詳解】???在四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD是正方形，

4/±底面ABCD,//=4,AB=1,

???該四棱柱的體積為/=SABCDx蟲=仔,4=4.

故選：C.

變式21.底面邊長為2,高為1的正三棱柱的體積是（）

_C1

A.V3B.1C.—D.-

23

【答案】A

【分析】根據(jù)棱柱體積公式求得結(jié)果.

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【詳解】底面邊長為2,高為1的正三棱柱的體積是（1x22）xl=K

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查棱柱體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

變式22.正三棱柱力BC-4用G中所有棱長均為2,點(diǎn)￡是則棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列判斷，

正確的是（）

A.正三棱柱的側(cè)面積是4+242

B.正三棱柱的體積是3

C.當(dāng)￡是8片中點(diǎn)時(shí)，ZE與平面NCC/所成角的正弦值為學(xué)

D./E+E。的最小值為26

【答案】D

【分析】根據(jù)正三棱錐的特性，逐項(xiàng)判斷正誤.

【詳解】A項(xiàng)，正三棱柱得側(cè)面積為$=3x2x2=12,A項(xiàng)錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，正三棱柱得體積為展：X2X6X2=2V5,B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)E是8片中點(diǎn)時(shí)，|/同=右，點(diǎn)E到平面/CC/的距離為百，設(shè)/E與平面/CCM的夾

角為0,故sine=^=理，C項(xiàng)錯(cuò)誤.

V55

D項(xiàng)，由題可知，當(dāng)￡是中點(diǎn)時(shí)，ZE+EG的值最小，為2方，D項(xiàng)正確.

故選：D.

變式23.如圖，在矩形48CZ）中，AB=3,BC=2,將矩形48CZ）繞邊48所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成

一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為（）

【答案】C

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【分析】根據(jù)題意得到圓柱的底面半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】由題意，矩形中，AB=3,BC=2,

即圓柱的底面圓的半徑為r=2,身為力=3,

所以圓柱的體積為％=萬，人=獷22'3=12萬.

故選：C.

變式24.已知正三棱柱的體積為逅，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個(gè)側(cè)面的對角線長

2

為（）

A.1B.V3C.2D.V6

【答案】C

【分析】設(shè)該正三棱柱的底面邊長為。，由體積求出.=也，即可求出側(cè)面的對角線長.

【詳解】設(shè)該正三棱柱的底面邊長為。，由題可知該正三棱柱的體積

V=Sh=—xaxaxsin60°xfl=^-a3=,所以q=也，

242

即該正三棱柱的底面邊長為正,高為亞，故一個(gè)側(cè)面的對角線長為/=，（丁『+（女『=2.

故選：C

題型戰(zhàn)法三錐體的表面積

典例3.已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2,則該四棱錐的表面積為（）

A.4gB.475

C.46+4D.475+4

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱錐的底面及各側(cè)面面積計(jì)算作答.

【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4,四個(gè)側(cè)面是全等的正三角形，每個(gè)正三角形

面積為且x22=若，

4

所以四棱錐的表面積為4君+4.

故選：C

變式31.《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，

在四棱柱ABCD-4餐q4中，棱錐4-ABCD即為陽馬，已知441=2AB=2BC=2,則陽馬4-ABCD

的表面積為（）

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A.2+V5B.3+V5C.3+2石D.4+2石

【答案】B

【分析】結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)可得到A//。，A&4B,A&8C,“QC均為直角三角形，分

別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽馬的表面積.

【詳解】由題意知：平面

???BCu平面ABCD,\AXA'BC,

又4B工BC,平面4皿AlAC\AB=A,,3C_L平面N/3,

■：AXB^^AXAB,:.BCVAXB-同理可得：CDLA.D.

則A//。，“ABC,A/QC均為直角三角形，

???84期=g必-3=gx2xl=1,S…B=-AA,-AB=^x2xl=l,

S,=-5C-45=-xlxV22+l2S.=-Cr>-4D=-xlxV22+l2=—,

Br2122△芻〃c2nr122

S口ABCD=AB-BC=1x1=1,

K3jAt-ABCD的表面積s=1+1+區(qū)正+1=3+技

22

故選：B.

變式32.已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2,側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上

的高為石，則這個(gè)三棱錐的表面積為（）

A.4+373+715B.4+V3+2V15

C.4+V3+V15D.4+273+715

【答案】C

【分析】依次計(jì)算4個(gè)三角形的面積，相加即可.

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結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB=AC=AD=2,CE=?,由題意是等腰直角

三角形，則叫CD=26,BE={（2⑸-（石『=6,BD=2f\AE={2+」r=1,則表面積為

S.血+S.4cB+S/B￡>+S.BCZ；=萬*"2+尸2x2+,2私1+丁2很6-4+43+V15.

故選：C.

變式33.若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（）

2799

A.—兀B?—〃C.3%D.—7i

424

【答案】A

【分析】先求得圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積公式求解即可

【詳解】由題可知，該圓錐的底面半徑吟因此，該圓錐表面積為獷目；33:,

故選：A

變式34.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為g,半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比

為（）

A.3:2B.2:1C.4:3D.5:3

【答案】C

【分析】利用圓的性質(zhì)可以列弧長與圓心角的等式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面

積與側(cè)面積即可得到比值

271

jr4A7r

【詳解】由題，2兀v_3_/_17_1,$側(cè)="/=；,S圓錐=S側(cè)+”2=,故S圓錐：S側(cè)=4:3

2兀/2兀33

故選：C

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題型戰(zhàn)法四錐體的體積

典例4.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為石，那么它的體積為（）

A.6B.26C.2D.2小

【答案】A

【分析】首先求出錐體的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】解：由題意得正六棱錐的高為“若了一仔=2,所以體積%=；X6X4X12X2=6.

故選：A

變式41.已知直三棱柱N5C-的體積為6,則三棱錐3-4夕C的體積是（）

A.5B.-4C.3D.2

【答案】D

【分析】利用錐體體積公式可求得三棱錐8-43c的體積.

【詳解】設(shè)三棱錐3-HBC的高為力，則

故選：D.

變式42.如圖，長方體ABCD-44的體積是36,點(diǎn)￡在棱CG上，且CE=2EQ,則三棱錐E-BCD

的體積是（）

第10頁共26頁

C.4D.6

【答案】C

【分析】三棱錐￡-55的底面積是長方體底面積的一半，高為長方體的2;，故體積為長方體的，1

112221

==

【詳解】「E-BCDf\RC.n,Cfi'=~*S/^BCD*—CCj=M%-BCD=g?%CQLBCB=4

故選：c.

變式43.在A/3C中，/=《-，AB=AC=4,以5c所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的

面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）

.16△兀014A瓦r?10#＞兀兀

3333

【答案】A

【分析】由題可得該幾何體由兩個(gè)底面重合的圓錐組成，其中圓錐的底面半徑為2,高為26,

進(jìn)而即得.

27r

【詳解】?.,在A/BC中，/=芋,AB=AC=4,

:.BC=g8c邊上的高為2,

由題可知該幾何體由兩個(gè)底面重合的圓錐組成，其中圓錐的底面半徑為2,高為26,

所以該幾何體的體積為2x』x4萬x2g="蛇.

33

第11頁共26頁

故選：A.

變式44.交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設(shè)施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12,側(cè)

面積為65TT,則該圓錐體交通錐的體積為（）

A.257rB.757rC.100兀D.300兀

【答案】C

【分析】設(shè)出底面半徑，利用側(cè)面積求出半徑，進(jìn)而利用圓錐體積公式進(jìn)行所求解.

【詳解】設(shè)該圓錐體交通錐的底面半徑為廠，則wVi石下=65兀，解得：「=5,所以該圓錐體交

通錐的體積為"包=100兀

3

故選：C

題型戰(zhàn)法五臺(tái)體的表面積與體積

典例5.已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.80B.240C.350D.640

【答案】B

【分析】根據(jù)已知棱臺(tái)的上下底面邊長以及側(cè)棱長，可求得側(cè)面梯形的高，進(jìn)而求得側(cè)面積.

【詳解】由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上、下底分別為4和16,腰長為10的等腰梯形，

???等腰梯形的高為jo?,

二等腰梯形的面積為：x（4+16）x8=80,

，該棱臺(tái)的側(cè)面積為3x80=240.

故選：B.

變式51.若一個(gè)圓臺(tái)如圖所示，則其側(cè)面積等于（）

第12頁共26頁

A.6B.6兀

C.3石兀D.64511

【答案】C

【分析】根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積的計(jì)算公式代入即可.

【詳解】解：由題意得：

?.?圓臺(tái)的母線長為/=1（2-1）2+22=6

又???上底面圓的半徑為廠=1,下底面圓的半徑為尺=2

，圓臺(tái)的側(cè)面積為：S=%&+R）/="x（1+2）x逐=3行萬

故選：C

變式52.圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是兀，4兀，側(cè)面積是6兀，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）

A.空口B.2&C.逋兀D.述兀

363

【答案】D

【分析】求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,R,母線長為/,高為屋

由圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是無，4兀，得[所以『=1,R=2,

[TTR-=4TT,

由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得兀*（2+1）/=6兀，所以/=2,

所以/=商—但可=73,

所以該圓臺(tái)的體積

-=；?！ǎǔ?+/+尺外）=；無乂百乂（4+1+2）=子71.

故選：D.

變式53.已知圓臺(tái)的上底面半徑為2,下底面半徑為6,若該圓臺(tái)的體積為104兀，則其母線長為

（）（注：圓臺(tái)的體積%=,（S上+S下+1理5下），）

A.2MB.2而C.VlOD.V13

第13頁共26頁

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求出圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)軸截面性質(zhì)，利用勾股定理求出母線長

即可.

【詳解】依題意，圓臺(tái)的體積展;上+?+戶再)/=若上〃=104兀，

解得〃=6,故圓臺(tái)的母線長、病了=2萬，

故選：B.

變式54.如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長分別為15cm和

10cm,高為15cm.“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”.則該“升”的“平升”約可裝

(1000cm3=1L)()

A.1.9LB.2.2LC.2.4LD.4.6L

【答案】C

【分析】根據(jù)臺(tái)體的體積計(jì)算公式即可計(jì)算.

【詳解】由臺(tái)體的體積公式可知，

F-|X15X(102+152+^/102X152)=2375(cm3),2375cm3。2.4L,

故選：C.

題型戰(zhàn)法六球體的表面積與體積

典例6.一個(gè)球的體積為36兀，則這個(gè)球的表面積為()

A.9兀B.187rC.367rD.727r

【答案】c

【分析】根據(jù)球的體積可求球的半徑，從而可求球的表面積.

4

【詳解】設(shè)球的半徑為尺，則臺(tái)爐=36,故尺=3,所以球的表面積為4萬x9=36*

第14頁共26頁

故選：c.

變式61.表面積為4萬的球的體積為（）

,4-164一32〃

A.—B.-7iC.D.------

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)球的表面積公式求解球的半徑，再根據(jù)體積公式求解即可

44

【詳解】設(shè)該球的半徑為區(qū),則由題可得4萬笈=4乃，解得R=l,故體積為三萬

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題

變式62.一個(gè)球的表面積為144萬，則這個(gè)球的半徑為（）

A.6B.12C.6兀D.12萬

【答案】A

【分析】結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意得，設(shè)球的半徑為七

則4萬尺2=144%,

解得尺=6.

故選：A

變式63.如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9,那么兩個(gè)球的體積之比為（）

A.4：9B.2：3C.8：27D.4：27

【答案】C

【分析】由兩個(gè)球的表面積之比為4：9可得它們的半徑之比為2:3,然后可得它們的體積之比為

8:27.

【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e公式為S=4萬4，體積公式為％=g萬*

所以由兩個(gè)球的表面積之比為4：9可得它們的半徑之比為2:3

所以它們的體積之比為8:27

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是球的表面積和體積公式，較簡單.

變式64.已知兩個(gè)球的表面積之比為1：9,則這兩個(gè)球的體積之比為（）

A.1:73B.1:3C.1：9D.1:27

【答案】D

第15頁共26頁

【分析】根據(jù)兩個(gè)球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.

?、4缶、,口￡1R1

【詳解】由題知不=6=1"訶=方=々，

o2，7nK2K2J

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

題型戰(zhàn)法七外接球問題（柱體或可還原為柱體的錐體）

典例7.我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡墉（dao）,周四丈八尺，

高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表

面積約為（）（注：1丈=10尺，萬取3）

A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作圖，再由底面周長求得底面半徑，連接上下底面圓心，取中點(diǎn)為外接圓的圓

心，根據(jù)勾股定理，可得外接圓半徑，可得答案.

【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：

貝I]8C=11,2萬48=48,gpAB=8,

假設(shè)點(diǎn)。為圓柱外接圓的圓心，即/。為外接圓的半徑，且2D=DC=m，

在RtA43D中，AB2+BD2=AD2,解得/》=94.25,

則外接球的表面積S=4萬爐工1131,

故選：B.

變式71.已知正三棱柱N8C-4耳G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

第16頁共26頁

A.48KB.64兀C.8471D.144兀

【答案】c

【分析】根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG〃皿，OG=；441,利用OC2=（?G2+CG2求外接球的

半徑.

【詳解】如圖，。為棱2C的中點(diǎn)，G為正△ZBC的中心，。為外接球的球心

根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知0G〃/4，OG=：/4=3,外接球半徑火=OC,

?正△/BC的邊長為6,則CG=2退

R2=OC2=OG2+CG2=21

外接球的表面積S=4成2=8471

故選：C.

變式72.《九章算術(shù)?商功》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體成為鱉腌.在鱉席/BCD中，ABI

平面5c0,BCLCD,且/3=1,8C=2,CD=3,則四面體/BCD外接球的表面積為（）

14兀

A.—B.7兀C.13KD.14兀

【答案】D

【分析】根據(jù)題意將四面體畫在長方體中，即可知道四面體的外接球直徑為長方體的體對角線，

則可求出答案.

【詳解】由題意可知四面體如圖所示，

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D

則面體ABCD外接球的半徑為之=廿++才=[,

42

7

所以四面體48CD外接球的表面積為5=4成2=47tx-=147t.

故選：D.

變式73.據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉月需”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)

“鱉麻”，尸N_L底面NBC,ABVBC,且尸/=/B=BC=2,三棱錐外接球表面積為（）

A.10%B.12?C.14萬D.161

【答案】B

【分析】用補(bǔ)形法還原為正方體問題，然后用公式求解.

【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，

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aB

則外接球半徑R=—=L>+/*+時(shí)=3+4+4=G

222

所以三棱錐外接球表面積S=4%火2=47x3=12%.

故選：B.

變式74.在四面體/BCD中，AB=AC=BC=GD4_L平面4BC,且/。=2,則該四面體的外接

球的表面積是（）

A.B.—71C.4萬D.8%

33

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，將四面體/夙力補(bǔ)形成如圖所示的正三棱柱尸石，其中底面邊長

為百，側(cè)棱長為2,則四面體/BCD的外接球即為正三棱柱/BC-OFE的外接球；由直棱柱的特

點(diǎn)可知上下底面的中心?！浮?連線的中點(diǎn)。，即為正三棱柱/5C-D廢外接球的球心，由此構(gòu)造直

角三角形即可求出外接球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，將四面體/BCD補(bǔ)形成如圖所示的正三棱柱N2C-，其中底面邊長為名,

側(cè)棱長為2，則四面體/BCD的外接球即為正三棱柱/8C-D/￡的外接球；

第19頁共26頁

D

取上下底面的中心。”。2，則線段。。2的。，即為正三棱柱/8。-。尸￡外接球的球心，

根據(jù)正弦定理可知O,B=Lx工—=1,

22sin60°

222

連接OB,O2B,則在直角三角形。O28中，OB=OO2+O2B=1+1=2,即外接球的半徑為亞,

所以四面體/8CD外接球的表面積為4萬x（血『=8萬.

故選：D.

題型戰(zhàn)法八外接球問題（正棱錐、圓錐'臺(tái)體）

典例8.一個(gè)正四面體的棱長為2,則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（）

A.a兀B.2乃C.3%D.2^/2^

【答案】A

【分析】將正四面體補(bǔ)形成正方體，借助正方體求出外接球半徑作答.

【詳解】如圖，四面體瓦是正四面體，棱長3。=2,將其補(bǔ)形成正方體GBCD-METVF,

則正方體的棱長G5岑皿3,此正方體的體對角線長為人

第20頁共26頁

正四面體與正方體G5CD-MF2VF有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑A=亞,

2

所以正四面體瓦如乂的外接球體積為P=3加屋=3乃.（"y=%..

332

故選：A

變式81.某圓錐的母線長為4,高為3,則該圓錐外接球的表面積為（）

,—-1964c2567r

A.16TTB.------C.24"D.------

99

【答案】D

【分析】由圓錐的外接球與軸截面相關(guān)線段的幾何關(guān)系列方程求外接球的半徑，進(jìn)而求外接球的

表面積.

【詳解】設(shè)該圓錐外接球的半徑為凡則左=（3一R）2+42一32,解得R=|,

故該圓錐外接球的表面積S=4/?2=

故選：D

變式82.已知正四棱錐尸-4BCD中，AB=&,PA=2/,則該棱錐外接球的體積為（)

16兀

A.47iB.----C.16兀D.

3亍

【答案】B

【分析】求得外接球的半徑，從而求得外接球的體積.

【詳解】正方形/BCD的對角線長訪m=26，

正四棱錐的高為J（2百”=3,

設(shè)外接球的半徑為尺,則（3-R『+［言］=R5=2,

所以外接球的體積為?義23=券.

故選：B

變式83.在正三棱錐尸-/BC中，PALPB,尸到平面/3C的距離為2,則該三棱錐外接球的表

面積為（）

第21頁共26頁

p

16%

A.36%B.16?C.亍D.4〃

【答案】A

【分析】由正棱錐以及等體積法得出尸4尸民PC的長，再由正方體的外接球的半徑得出該三棱錐

外接球的半徑，進(jìn)而得出所求外接球的表面積.

【詳解】因?yàn)槭?,由正三棱錐的性質(zhì)知，PA,PB,PC兩兩垂直且相等.設(shè)尸/=P3=PC=a,

則AB=BC=CA=41a.

根據(jù)Vp-ABC=^A-PBC>)sin6CPx2

3232

解得a=2G.

設(shè)三棱錐P-43。外接球的半徑為我,則2火=尸/+夕。2=屆=6,所以氏=3.

故所求外接球的表面積為36萬.

故選：A.

變式84.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3君兀，則該圓臺(tái)的外接球半徑為()

AJ105口yj65「J185”J105

5444

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式可求母線長/="，進(jìn)而可求圓臺(tái)的高，根據(jù)球的性質(zhì)，即可

利用球心與底面圓心的連線垂直與底面，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高和母線分別為瓦/,球心到圓臺(tái)上底面的距離為x,

根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得兀(1+2)/=3屆n1=45,

因此圓臺(tái)的高〃=囚-(2一1『=2,

當(dāng)球心在圓臺(tái)內(nèi)部時(shí)，則/+，=22+(〃一解得方：，故此時(shí)外接球半徑為小胃=點(diǎn)=等，

當(dāng)球心在圓臺(tái)外部時(shí)，則12+X2=22+(X-")2,x>h,解得x=(不符合要求，舍去，

故球半徑為返

4

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故選：B

題型戰(zhàn)法九內(nèi)切球問題

典例9.已知正方體的表面積為24,設(shè)它的外接球的表面積為S,它的內(nèi)切球的體積為廣，貝依與

%的值分別為：（）

444

A.12萬，一萬B.16%,一萬C.4〃，4乃D.4〃，—%

333

【答案】A

【分析】求出正方體棱長，外接球直徑等于對角線長，內(nèi)切球直徑等于棱長，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)正方體棱長為。，外接球半徑為尺,內(nèi)切球半徑乙則6/=24na=2,則正方體對角

線長度為26.

2/*=2=>r=1,27?=2V3nR=百,

4,4

，內(nèi)切球體積％=§%/，外接球表面積S=4"R2=12".

故選：A.

變式91.如圖是一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.設(shè)圓柱的

體積與球的體積之比為孫圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，則'的值為（）

n

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得見”，進(jìn)而求得竺.

n

【詳解】設(shè)球的半徑為小則圓柱的底面半徑為小高為