猜押06平行四邊形與特殊的平行四邊形

QQQ

押題依據(jù)

（從歷年真題維度分析考情及押題依據(jù)）

猜

押3年浙江真

考情分析押題依據(jù)

考題

點

平平行四邊形的考查如果比較單

2024年浙江

行一，如2023年杭州卷的，只涉及

卷第10題；從2024年浙江統(tǒng)考卷和

四到簡單的證明和性質(zhì)的運用，屬

2024年浙江2022-2023年浙江各地區(qū)中考卷

邊于送分題，但如果是結(jié)合其對邊

卷第21題;分析，2025年浙江中考中，可能

形相等且平行，進行尺規(guī)作圖，那

2023年臺州在解答題中涉及平行四邊形的考

的么探究性就會增強，如2024年浙

卷第21題；查，考查一般在第18-20題的，

性江卷的第21題,2023年臺州和麗

2023年麗水一般只考查平行四邊形的性質(zhì)與

質(zhì)水也都考到了作圖問題.雖然在

卷第22題;判定定理；如果存在于21-23題

與2024年浙江卷第10題考查了平

2023年杭州中，那么會涉及在平行四邊形上

判行四邊形，但其核心是勾股定理

卷第19題；探究，或者結(jié)合平行四邊形考查

定和代數(shù)運算，總而言之，平行四

2023年紹興綜合性比較強的問題.

定邊形的考查最重要的還是在對邊

卷第24題；

理平行且相等這些性質(zhì)上.

矩2023年杭州矩形是中考考查中最重要的知識從2024年浙江統(tǒng)考卷和

形卷第4題；點之一，矩形的性質(zhì)可以與多個2022-2023年浙江各地區(qū)中考卷

的2023年臺州其他知識點結(jié)合進行考查，如正分析，2025年浙江中考中，出題

性卷第14題；方形，直角三角形和等腰三角形，考查矩形的知識要點是必然

質(zhì)2023年金華坐標系與函數(shù)等；矩形也可以看的.有可能在選擇填空中出現(xiàn)簡

與卷第21題;作是生活中的紙，考查折疊相關(guān)單的運用矩形的性質(zhì)的題目，也

試卷第1頁，共16頁

判2023年紹興的知識要點.因此在中考考查中，有可能在解答題中出現(xiàn)矩形的判

定卷第8題；對矩形的考查不可或缺.因此不定，性質(zhì)的運用；當然也有可能

定2023年溫州能因為2024年浙江統(tǒng)考卷中未明考查矩形的折疊問題，那么難度

理卷第21題;確出現(xiàn)以矩形為背景的題目就認會相對高一些，請結(jié)合對稱的知

為其不重要.事實上，根據(jù)2023識要點解決問題.矩形還有可能

矩

年考情，無論是矩形的性質(zhì)與判成為填空題的第16題，或成為解

形2023年衢州

定，還是折疊問題，還是對矩形答題的第24題，也就是難度最大

的卷第24題；

的綜合性探究，都有可能考查.的壓軸題，要做好攻堅的準備.

折2023年嘉興

疊舟山卷第7

問題

題

矩

形

2023年金華

綜

卷第16題;

合

2023年麗水

性

卷第22題;

問

2023年紹興

題

卷第16題;

探

究

菱2024年浙江無論是2024年浙江省統(tǒng)考還是在從2024年浙江統(tǒng)考卷和

形卷第16題;2023年各地中考卷中，菱形考查2022-2023年浙江各地區(qū)中考卷

的2023年麗水出現(xiàn)的概率也是相對頻繁的，但分析，2025年浙江中考中，菱形

性卷第7題；一般情況下難度不是很大，如依舊會大概率出現(xiàn)，但難度應該

質(zhì)2023年紹興2023年麗水卷、溫州卷和紹興中不大，掌握好菱形的性質(zhì)和判定

與卷第14題；作為選擇或填空題出現(xiàn)；在2023定理即可.另外，需回顧尺規(guī)作

判2023年溫州年嘉興舟山卷中在解答題第19題圖的步驟，復習一下在平行四邊

定卷第8題；出現(xiàn)，難度都不算大.而2024年形或三角形中作出菱形的幾個典

試卷第2頁，共16頁

2023年嘉興浙江省的統(tǒng)考卷中，將菱形作為型例題.

舟山卷第19特殊的平行四邊形的代表成為填

題空題的壓軸題，不是常見現(xiàn)象.

但菱形因為其對角線平分一組對

尺

角的性質(zhì)，可能與角平分線的作

規(guī)2023年湖州

圖結(jié)合，考查尺規(guī)作圖問題.

作卷第9題；

圖2023年臺州

菱卷第21題

形

正

方

形

的

2023年杭州

從2024年浙江統(tǒng)考卷和

性

卷第21題;

在2023-2024年考查正方形的題2022-2023年浙江各地區(qū)中考卷

質(zhì)

2023年紹興

目中，相對難度都比較大一些.從分析，2025年浙江中考中，正方

與

卷第22題

23年各地中考分析中得知，一般形依舊是考查的重點熱門，在矩

判

會出現(xiàn)在選擇題或者填空題的最形、菱形或正方形三項中，必然

定

后一題中，而且經(jīng)常是綜合性考有一個類型會作為解答題考查對

定

查，或者結(jié)合弦圖或七巧板等背象之一，但難度相對不會太大.但

理

景進行出題.2024年浙江卷中，如果是出現(xiàn)在選擇題和填空題

2024年浙江

考題難度有所降低，相信在目前中，結(jié)合其他要點，或以弦圖七

弦

卷第8題；

浙江卷總體偏易的前提下，正方巧板等為背景，那么難度就會高

圖

2023年杭州

形的考查不會太難.很多，沖擊高分必須突破這個難

與

卷第10題；

點.

七

2023年溫州

巧

卷第16題;

板

2023年衢州

等

卷第16題

試卷第3頁，共16頁

正

方

形

綜2023年金華

合卷第10題；

性2023年湖州

問卷第24題

題

探

究

押題頸淵

題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定定理

(2025?嘉善縣一模)

1.如圖，8D是的中線，點E是線段AD的中點，連結(jié)CE并延長至點尸，使得斯=CE,

連接尸8,ED.求證：

(Y)BF〃CD；

(2)48與FD互相平分.

(創(chuàng)新考法)

2.如圖，在口N8CD中，點O是對角線NC的中點.某數(shù)學興趣小組要在/C上找兩個點

E,R使四邊形BEim為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：

甲方案乙方案

試卷第4頁，共16頁

Am------------z==^tD

義爐〃在N。，C。上分

作皿Q

--^c

別取點E,F,使得4E=CF點E,。尸工AC于點尸

請回答下列問題：

(1)選擇其中一種方案，并證明四邊形8功尸為平行四邊形；

⑵在(1)的基礎(chǔ)上，若EF=3AE,$:=5,則口4BCD的面積為

題型二矩形的性質(zhì)與判定

(2024?邛江區(qū)校級一模)

3.如圖，點/在乙0ON的邊CW上，ABLOM于B,AE=OB,DELON于

E,AD=AO,DC_L(W于C.

(1)求證：四邊形NBC。是矩形；

(2)若。E=3,OE=9,求的長.

(項目化數(shù)學)

4.請閱讀下列材料，完成相應的任務(wù)：

工人師傅在做門窗或矩形零件時，他是這樣做的：首先利用卷尺(有刻度)測量兩組對邊的

長度是否分別相等，其次利用卷尺測量該門窗的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.

我有如下思考：工人師傅的做法究竟是依據(jù)什么原理得到四邊形是矩形？.已知在四邊形

ABCD^P，AB=CD,AD=BC,AC=BD.求證：四邊形4BCD是矩形.

證明:

任務(wù)：

(1)上述做法是依據(jù)了矩形的一個判定定理:

試卷第5頁，共16頁

（2）補全材料中的證明過程；

（3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一種方法判定四邊形是矩形？（簡要寫出測量方法）.

題型三矩形的折疊問題

（2025?東營校級一模）

5.如圖，在矩形/BCD中，AB=S,BC=6,￡為4B上一點，連接。E,將△4DE沿

折疊，點A落在4處，連接4C,若尸、G分別為4。、3c的中點，則尸G的最小值為一.

6.綜合與實踐

【問題情境】如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60。、30。、15。等大小的角，該

怎么辦呢？

【實踐探究】小西進行了以下操作研究（如圖1）；

第1步：對折矩形紙片/3C。，使4D與8c重合，得到折痕所，把紙片展平.

第2步：再次折疊紙片，使點A落在斯上，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕9,同時得到

了線段BN.

小雅在小西研究的基礎(chǔ)上，再次動手操作（如圖2）；

AM

E

B

圖1

（1）直接寫出BE和BN的數(shù)量關(guān)系:

⑵請求出ZABM的度數(shù)；

⑶求證：四邊形8GHM是菱形.

題型四綜合性問題探究

試卷第6頁，共16頁

(2025?鏡湖區(qū)校級一模)

7.如圖，矩形/BCD中，AB=6,/。=10,點E在邊/。上，且4&:￡。=1:4,動點P

從點/出發(fā)，沿48運動到點8停止，過點￡作斯，PE交射線8c于點尸，連接尸尸，點

。是線段尸尸的中點，連接E。，則

(1)當4P=2時，BQ=:

(2)連接。。，則在點尸運動的整個過程中，線段。。長的最小值為.

(2025?德惠市一模)

8.【感知】在矩形4BCD中，48=8,40=6.將繞著點5順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

々(0°<&<360°)得至心曲，點/、。的對應點分別為樂F.若點E落在8D上，如圖①,

則。E=.

【探究】當點￡落在線段。尸上時，CD與BE交于點G.其它條件不變，如圖②.

圖①圖②

(1)求證：AADB^AEDB；

(2)CG的長為.

【拓展】連接CF,在AB/。的旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)ACEF的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

(課本延伸)

9.(1)如圖1,在矩形/8C7)中，點￡為邊48的中點，沿。E折疊，使點N落在點尸處,

把紙片展平，延長。尸與BC交于點G,請寫出線段FG與2G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖1,若/5=4,按照(1)中的操作進行折疊和作圖，當CG=2時，求4D的值；

(3)如圖2,四邊形為平行四形，其中//與NC是對角，點￡為邊N8的中點，沿

DE折疊，使點N落在點尸處,把紙片展平,延長。尸與射線BC交于點G,若AD=2,CG=0.5,

試卷第7頁，共16頁

請直接寫出線段。G的值.

圖1圖2

題型五菱形的性質(zhì)與判定

（2025?浙江模擬）

10.在一次數(shù)學活動中，王老師布置任務(wù)，讓同學們用己學知識制作一個菱形.小汪同學經(jīng)

過思考,

給出了如下作圖步驟：

①如圖，作直角三角形其中乙4。8=90。；

②分別延長/。至點C,使CO=/。；延長8。至點使DO=8。；

③連結(jié)BC,CD,ND,形成四邊形/BCD.

請根據(jù)上述步驟，解答以下問題：

（1）判斷四邊形/BCD是否為菱形，并說明理由.

⑵若AC=8,AB=5,求點C到/8的距離.

（創(chuàng)新情境）

11.小明和同學玩紙條重疊游戲，他將兩個寬度都為2厘米的足夠長紙條重疊在一起，得到

了四邊形/BCD,即直線43與C￡＞的距離為2厘米，直線/。與2C的距離為2厘米，如圖

所示，則四邊形N2CD面積的最小值為.平方厘米.

所

題型六尺規(guī)作圖菱形

（2025嚷州區(qū)二模）

試卷第8頁，共16頁

12.如圖，在平行四邊形/BCD中，分別以4c為圓心，大于!NC的長為半徑畫弧，兩弧

2

相交于兩點，作直線九W,分別與/O,8C,NC相交于點瓦￡0.連接NRCE.

⑴根據(jù)作圖過程，判斷斯與/C的位置關(guān)系是

(2)求證：四邊形NFCE是菱形.

(項目化探究)

13.小姜有一塊如圖為平行四邊形形狀的布料，春天到了，她打算做一個風箏.

制作準備

1.平行四邊

形N2C。形

狀的布料一

塊，其中3.用4軟件請教制作風箏在結(jié)構(gòu)上要注意的事

/5=40cm,A.項有：

(1)輕質(zhì)耐用：優(yōu)先選用竹蔑、塑料棒等輕質(zhì)且4.美觀大方的要求：

D有一定強度的骨架材料，搭配宣紙、尼龍布等輕便余下布料想要做四條

V蒙面材料，以減輕自重并提升抗風性；長方形尾帶.

(2)對稱平衡：確保骨架左右對稱，重心位置居

c中，避免飛行時偏斜失衡.

2.長度足夠

長的輕質(zhì)竹

條.

(1)以點/為圓心，AB為半徑作弧，交AD于點尸，再分別以點8,F

為圓心，大于;尸為半徑作弧，兩弧交于點射線交于點￡.沿

制作5G,/G2c

著所將四邊形/BE尸剪下.如下圖①

試卷第9頁，共16頁

題型七正方形的性質(zhì)與判定定理

（2024?臺州模擬）

14.如圖，在RtZUBC中，N4cB=90。,以N5為邊向三角形外作正方形4BDE,作EF工8C

于點尸，交對角線40于點G,連接2G.要求ABRG的周長，只需知道（）

A.NC的長B.8c的長C.B尸的長D.FG的長

（2024?青田縣校級模擬）

試卷第10頁，共16頁

15.如圖，已知正方形/BCD,43=4,點河在邊C。上，射線4W交2D于點￡,交射線8c

于點尸，過點C作CPLCE,交/月于點尸.

⑴求證：△ADE^ACDE.

（2）判斷AC尸尸的形狀，并說明理由.

（3）作DM的中點N,連接尸N,若PN=3,求CF的長.

題型八弦圖與七巧板等

（文化背景）

16.我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形

拼成的一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角

三角形的兩直角邊長分別為。力，那么（。-6）2的值是（）

C.3D.4

（文化背景）

17.我國三國時期的數(shù)學家趙爽巧妙地利用面積關(guān)系（后人稱“趙爽弦圖”）證明了勾股定理,

是我國古代數(shù)學的驕傲.如圖，該“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形

EFG8拼成的一個大正方形/BCD.已知小正方形的邊長為3,大正方形的邊長為7.設(shè)每

個直角三角形的周長介于〃和〃+1之間，則整數(shù)"的值為.

（文化背景）

試卷第11頁，共16頁

18.如圖，是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形MG〃拼成的趙爽弦圖，連結(jié)CE

并延長，交BG于點M,交42于點N.記的面積為R，△CGM的面積為S?.

s

(1)若NA=NE,則寸的值為.

S1

(2)若U=且斯=9,則的長度為.

(文化背景)

19.如圖，在趙爽弦圖中，正方形是由四個全等的直角三角形N5尸，BCG,CDH,

D4E和一個小正方形EFG//組成的.若把四個直角三角形分別沿斜邊向外翻折，可得正方

形MNPQ,連接？耳并延長，交M0于點。.若正方形肱\丁0的面積為196,正方形EFGH

的面積為4,貝!］：

(1)正方形/BCD的面積為

(2)的長為

(文化背景)

20.七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板由邊長為2后的正方形可以制

作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在拼成如圖2所示的造型恰好放入矩形ABCD

中(其中點E,F,G,H都在矩形邊上)，若AB：BC=7:6,則//G尸的正切值為.

試卷第12頁，共16頁

EC

（創(chuàng)新情境）

21.如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形恰好拼成對角互

補的四邊形/BCD,相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰

RLBCF,③和④分別是Rt4COG和⑤是正方形EFGH,直角頂點E,F,G,

”分別在邊8兄CG,DH,4E上.

（1）若跖=3cm,AE+FC=\\cm,則BE的長是cm.

（2）若空=3,則tan/D4”的值是.

GH4

題型九正方形常見模型考查

半角模型

（2025?浙江一模）

22.如圖，在邊長為6的正方形4BCD中，點E是邊CD的中點，尸在2c邊上，且

ZEAF=45°,連接ER則8尸的長為（）

試卷第13頁，共16頁

3

A.2B.-V2C.3D.2V2

2

弦圖模型

（2025?洞頭區(qū)模擬）

23.如圖是由四個全等的直角三角形（AABF,△助，KDG,"DE）組成的新圖形,

若EF=2,GH=8,則正方形4BCL?的邊長為（）

對角線動點模型

（2024?上城區(qū)校級模擬）

24.正方形中，尸是對角線AD所在直線上一點.若尸在對角線2。上（如圖1）,連接

PC,過點尸作尸。,。交于點Q.若尸。=2&，AB=6,則8。的長為；

若尸在AD的延長線上（如圖2）,連接4P,過點尸作PEL4P交5c延長線于點￡,連接

DE,若CE=8,ADPE的面積是20,則PE的長為.

題型十正方形綜合性問題探究

（2024?舟山三模）

試卷第14頁，共16頁

25.如圖1,正方形N8CD邊長為6,點E是線段8c上一點，且BE=2,點尸是直線CD上

一點，以跖為邊作正方形EFGH（E,F,G,〃逆時針排列），連接H4,直線必與直線

。交于點P.

（1）如圖2,當/恰好過點”時，跖的長為；

26.如圖，點。和點?！謩e是正方形N8C。和正方形HB'C。對角線的交點，邊A'B'〃AB

且過點。，與邊2C交于點E,與邊。C交于點尸，連接OO'.已知28=8,

A'O=EB'=a(a>0).

⑴求證：重疊部分的四邊形H尸CE是矩形.

（2）若tanZO'OB'=-1,求a的值.

（3）若正方形和正方形HB'C'。'分別繞點。和點O'順時針旋轉(zhuǎn)相同的角度后，重疊部

分的四邊形恰好為正方形，且。0'=舊，求重疊部分正方形邊長.

（2025?西湖區(qū)校級一模）

27.綜合與實踐

【問題情境】

如圖，在正方形48。中，點E在線段AD上，點尸在線段CD上，且始終滿足/E=C/連

試卷第15頁，共16頁

接BE,BF,將線段BE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到線段EG（點G是點3旋轉(zhuǎn)后的

對應點），并使點G落在線段上，EG與BF交于息H.

【初步分析】

（1）線段EG與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

【深入分析】

（2）如圖②，再將線段EG繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段（點加■是點G旋轉(zhuǎn)后的

對應點），連接請判斷四邊形8EMF的形狀，并說明理由.

（3）如圖③，若點G落在的延長線上，且當點H恰好為EG的中點時，設(shè)。與EG

交于點N,AD=4,求CG的長.

圖①圖②圖③

試卷第16頁，共16頁

1.（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形8CD尸為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出

5/〃CZ）即可；

（2）連接力/，證明四邊形ADAF為平行四邊形，得出與ED互相平分.

【詳解】（1）證明：?.?點￡是線段8。的中點，EF=CE,

二四邊形BCQF為平行四邊形，

.-.BF//CD；

（2）證明：連接4尸，如圖所示：

???5D是△4BC的中線，

AD=CD,

?.?四邊形BCD尸為平行四邊形，

BF//CD,BF=CD,

:.BF=AD,BF//AD,

???四邊形廠為平行四邊形，

???/3與五?；ハ嗥椒?

2.（1）見解答

⑵50

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與

性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

（1）甲方案，由平行四邊形的性質(zhì)得N2〃C。,=8,則=可證明

△ABE沿4CDF,得BE=DF,2AEB=NCFD,所以NBEF=NDFE,則尸，即可

證明四邊形BEDF是平行四邊形；

答案第1頁，共38頁

乙方案，由于點瓦近。于點尸，得BE〃DF,/AEB=/CFD=90。,由平行

四邊形的性質(zhì)得45〃8,45=CQ,則/"￡=/。。尸，可證明45〃C2/B=CZ),得

BE=DF,即可證明四邊形甲是平行四邊形；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得4E=CF,再證4C=54￡,然后由三角形面積關(guān)系得

S/U8C二邑4女=SSUEQ=25,即可解決問題.

【詳解】(1)解：甲方案，證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

.?.AB//CD,AB=CD,

/./BAE=/DCF,

在和△CO尸中，

AB=CD

</BAE=DCF,

AE=CF

.?.△ABEmACDFISAS),

BE=DF,NAEB=ZCFD,

ABEF=180?！狽AEB,/DFE=180?！猌CFD,

???ABEF=ZDFE,

???BE〃DF,

.??四邊形BEDF是平行四邊形.

乙方案，證明：于點瓦。廠，/C于點/，

BE//DF,ZAEB=ZCFD=90°,

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

AB〃CD,AB=CD,

???/BAE=NDCF,

在和△C。尸中，

ZEB=ZCFD

</BAE=/DCF,

AB=CD

,“ABE%CDF(AAS),

BE-DF,

答案第2頁，共38頁

四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)解：由(1)得4ABE公ACDF,

：.AE=CF,

EF=3AE,

AC=5AE,

?.?四邊形N8CD是平行四邊形，

SRABC=^^ADC=^^NAED=5x5=25,

^OABCD=2x25=50,

故答案為：50.

3.⑴見詳解

(2)5

【分析】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.注意利用勾股定理求線段的長是

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】(1)證明：于B,DELON于E,

NABO=ZDEA=90°.

在RtAABO與RtADEA中，

'[OB=AE

.-.^.^ABO^^DEA(HL),

ZAOB=ZDAE.

AD//BC.

XvAB±OM,DCVOM,

AB//DC.

二四邊形48C￡)是平行四邊形，

/ABC=90°,

二四邊形/BCD是矩形；

(2)解：由(1)知RtA/B。且RtA￡>E4,

答案第3頁，共38頁

/.AB=DE=3,

設(shè)AD=x,貝!JOA=x,AE=OE—OA=9—x.

222

在RtZ\DE4中，由/石2+?！?=/。2得：（9-X）+3=X,

解得x=5.

AD=5.

4.（1）對角線相等的平行四邊形是矩形

（2）見解析

（3）見解析

【分析】本題考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，進行作答即可；

（2）先證明四邊形/BCD是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可；

（3）根據(jù)勾股定理定理逆定理，得到四邊形/BCD的一個內(nèi)角是直角，根據(jù)有一個角是直

角的平行四邊形是矩形，即可。

【詳解】（1）解：判定定理為：對角線相等的平行四邊形是矩形；理由見（2）

（2）證明：???/8=CD,40=8。，

二四邊形N3CD是平行四邊形，

■：AC=BD,

???四邊形/BCD是矩形.

（3）首先利用卷尺測量兩組對邊長度是否相等，確保形狀是平行四邊形；然后再量一條對

角線的長度，如果一組鄰邊長度的平方和等于對角線長度的平方時，就確保了它是矩形（有

一個角是直角的平行四邊形是矩形）.

5.2

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形中位線將

所求的尸G轉(zhuǎn)化為

連接4瓦8。，由RG分別為&C、8c的中點可得尸G=；4B,在中有

A{B+AXD>BD,由勾股定理可得80,由折疊性質(zhì)和矩形性質(zhì)可得4。==2C,即可

求解.

【詳解】解：如圖，連接4比8。，

答案第4頁，共38頁

FG——A[B,

2

當尸G的最小時，即45最小，

???四邊形Z5CD矩形，AB=S,BC=6,

AD=BC=6,NZ=90。，

-BD=^IAB2+AD2=10,

???△4DE沿折疊，

AXD=AD=6,

在AA'BD中有+AXD>BD,

：,AXB>BD-AXD,

即4824,

.■.FG^A[B>2,

??1G的最小值為2,

故答案為：2.

6.(1)BE=3BN

(2)30°

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可解決問題；

(2)結(jié)合(1)證明/瓦VE=30。，由折疊可得3M平分2/2N,進而可以解決問題；

(3)根據(jù)翻折的性質(zhì)證明ABMW知BNG(ASA),得BM=BG,然后證明四邊形是

平行四邊形，進而可證四邊形是菱形.

答案第5頁，共38頁

【詳解】⑴解：由折疊可知，AE=BE=-AB,AB=BN,

2

.-.BE=-BN,

2

故答案為：BE=；BN；

(2)解：;/BEN=9Q°,BE=-BN,

sinZBNE=-=-,

BN2

/.ZBNE=30°,

:./ABN=60。,

由折疊可知：/ABM==/ABN=30。,

2

的度數(shù)為30。；

(3)證明：由(1)知：ZNBM=ZABM=30°9

???四邊形是矩形，

:,AD〃BC,ZA=ZABC=90°,

??.ZCBN=30°=ANBM,

/.4MBN=/CBN=30。,

由翻折可知：ZBNM=ZA=90°,

又???BN=BN,

.?.△BNM均BNGgZ,

BM=BG,

??.AD//BC,

/BHM=/CBN=30°,

/BHM=/MBN=30。，

BM=HM,

/.BG=HM,

-AD//BC9

???四邊形是平行四邊形，

?/BM=HM,

二?四邊形5G//M是菱形.

答案第6頁，共38頁

【點睛】本題考查了矩形與折疊，正弦，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，菱形的判

定等知識，掌握相關(guān)知識并靈活應用是解題的關(guān)鍵.

7.2至巫

5

【分析】(1)過尸作尸于K,連接2。，證明四邊形相是矩形，可得

AK=BF,FK=AB=6.證明NKE尸=45。=NKFE,可得EK=FK=6,最后根據(jù)直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可.

(2)連接BE，BQ,取BE的中點K,連接。K并延長與./的延長線交于點J,連接二，

證明0在BE的垂直平分線上，即得出當時，。。最小，結(jié)合勾股定理求出

4/=8,證明乙=即得出cos/3￡/=cos/Qr%=^,再求出8￡=2而，即

可列出空=叵，求解即可.

1810

【詳解】解：(1)過尸作尸KL4D于K,連接8。，

?.?矩形/8CZ)中，AB=6,AD=10,

CD=AB=6,BC=AD=1Q,ZA=ZABC=ZBCD=ZD=90°

四邊形/跳K是矩形，

AK=BF,FK=AB=6.

???:￡￡)=1:4,

AE-2,DE=8.

vAP=2,

AE=AP,BP=6-2=4,

.\ZAPE=ZAEP=45°.

??,EF上PE,

/KEF=45°=/KFE,

.?.EK=FK=6,

AK=BF=8,

答案第7頁，共38頁

???PF=yJBP2+BF2=V42+82=475.

???點0是線段P廠的中點，

：.BQ=；PF=2G

故答案為：2石；

（2）如圖，連接3￡,BQ,取砥的中點K,連接0K并延長與加的延長線交于點J,連接

：.EQ=；PF=BQ,

???。在BE的垂直平分線上，

???當QK為線段BE的垂直平分線且。。，然時，DQ最小,

■.JE=JB=AJ+2,EB//DQ.

■■JB2=AB2+AJ2,

(AJ+2^=62+AJ2,

AJ=8,

.??㈤=4/+/。=8+10=18.

rEBHDQ,

/BEA=AJDQ,

cos/BEA=cosZQDA=—.

JD

???/￡=2,AB=6,ABAD=90°,

■■BE=S)22+62=2y/10，

2Vio

???cosZ.BEA=-----

BE2V10-10

答案第8頁，共38頁

.QDVio

>.---------=------------

1810

.⑺。的最小值為亞.

5

故答案為：典典.

5

【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰直角三

角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，較難.正確作出

輔助線是解題關(guān)鍵.

7

8.感知：2；探究：（1）見解析；（2）-；拓展：6Vs442

4

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系的意義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

感知：先由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出8。的長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE的長，據(jù)此根據(jù)

線段的和差關(guān)系可得答案；

探究：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=84ZBEF=ZA=90°,貝ij/BED=90°,再利用HL證

明AADB%EDB即可；

（2）證明/GD8=/GAD,得到DG=2G,設(shè)CG=x,貝ljDG=BG=8-x,再利用勾股定

理建立方程求解即可；

（3）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得2WCEV14,設(shè)點C到環(huán)的距離為/I,則CENT/,據(jù)此

可確定h的最大值和最小值，進而求出S的最大值和最小值即可得到答案.

【詳解】解；感知：???四邊形ABC。是矩形，

：.AA=90°,

,：AB=8,AD=6,

BD=^AB2+AD2=10，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=AB=8,

:.DE=BD-BE=2；

探究：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=34/BEF=/A=90。,

???點E落在線段。尸上，

:"BED=180。-ZBEF=90°,

又?：BD=BD,

答案第9頁，共38頁

Pd^ADB=^t^EDB（HL）；

（2）nADBaEDB,

???/ABD=ZEBD,

???在矩形45CD中，AB//CD,

/ABD=NCDB,CD=AB=8,

ZGDB=ZGBD,

:.DG=BG,

設(shè)CG=x,則DG=BG=8-x,

在RL5CG中，由勾股定理得5G2=5C2+CG2,

.-.X2+62=（8-X）2,

7

解得x=T，

4

7

CG=-；

4

拓展：-BE-BC<CE<BE+BC,

.-.2<C^<14,

設(shè)點。到防的距離為人則C￡2/z,

二當CE取得最小值時，且當歷時，〃有最小值2,即此時黑比尸有最小值，最小值為

—1x2Cx6=6「；

2

當C￡取得最大值時，且當尸時，〃有最大值14,即此時黑。所有最大值，最大值為

—X14x6=42?

2

6<S<42

圖②

9.（1）FG=BG,見解析；（2）V5+1;（3）3.5或4.5

答案第10頁，共38頁

【分析】（1）連接EG,根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明Rt△斯G四Rt△班G,即可得

出結(jié)論；

（2）勾股定理求出。G的長，設(shè)/。=x,根據(jù)。G=。尸+FG,進行求解即可；

（3）分點G在線段8c上和在線段8c的延長線上，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】（1）解：FG=BG,理由如下：

連接EG,如圖：

???四邊形為矩形，

.■.ZA=ZB=90°,

???點￡為的中點，

*'?AE=BE,

?折疊，

：.AE=EF,ZEFD=ZA=90°,

BE=EF,ZEFG=90°=ZB,

又EG=EG,

：.RtZ\EFG沿RtAEBG,

:.FG=BG；

（2）???四邊形叫CD為矩形,

.-.CD=AB=4,ZC=90°,

???DG=y/CD2+CG2=275，

設(shè)NO=x,則：DF=AD=BC=x,

由（1）知：GF=BG=x-2,

■.■DG^DF+FG,

；?x+x-2=2-\/5,

*'?x=y/s+1,

答案第11頁，共38頁

*'*AD=5/5+1;

(3)當點G在線段5。的延長線上時，連接班"如圖:

/、j

A""'EB

圖2

???平行四邊形/5C。，

.-.AD=BC=2,AD//BC,

.,.乙4+/4BC=180°,

???點￡是AB的中點，

*'?AE=BE,

,?,折疊，

???AE=EF=BE,ZA=ZDFE,

???/DFE+/EFG=18。。,

???/EBG=ZEFG,

-EF=BE,

???AEFB=ZEBF,

ZGFB=ZGBF,

FG=BG=BC+CG=2+05=25,

??.DG=DF+FG=2+25=45；

當點G在線段BC上時：如圖：

AEB

同法可得：FG=BG=BC—CG=\5,

=+=2+1.5=3.5；

綜上：0G=3.5或4.5.

【點睛】本題考查矩形與折疊，平行四邊形與折疊，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形

答案第12頁，共38頁

的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三

角形是解題的關(guān)鍵.

10.(1)四邊形/BCD是菱形，理由見解析

24

⑵行

【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理.

(1)根據(jù)題意可得。4=。。,。8=。。，易證四邊形/BCD是平行四邊形，再根據(jù)

AAOB=90°,推出即可證明四邊形4BCD是菱形；

(2)由題意易求/O=CO=4,利用勾股定理求出8。=3,得到8。=6,設(shè)點C到N8的

距離為兒利用菱形/BCD的面積即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形是菱形，理由如下：

根據(jù)題意得OA=OC,OB=OD,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

ZAOB=90°,

：.AC工BD,

.??四邊形ABCD是菱形；

(2)解：???AB=%,

OA=OC=4,

ZAOB=90°,AB=5

■■BO=4AB1-AO1-3

--OB=OD,四邊形ABCD是菱形，

BD-6,

設(shè)點。到力8的距離為九

：.-ACBD=ABh,

2

724

/z=—,

24

???點C到N8的距離為行.

11.4

【分析】作/E，5c于點￡,于點尸，由/2〃0,40〃。5,證明四邊形/BCD

是平行四邊形，由4后=/尸=2,且端邊畛86=20斤，得28c=2CD,所以

答案第13頁，共38頁

8C=CD,則四邊形/BCD是菱形，所以2C=4B,由22,可知的最小值為2,則8c

的最小值為2,所以當BC=2時，S四邊畛sc。最小=4,于是得到問題的答案.

【詳解】解：作/ELBC于點E,于點尸，

AB//CD,AD//CB

二四邊形/BCD是平行四邊形,

???直線AB與CD的距離為2厘米，直線/。與BC的距離為2厘米,

.-.AE=AF=2,

'''S四邊孫BC?=BC.AE=CD-AF,

2BC=1CD,

BC=CD,

四邊形/BCD是菱形，

BC=AB,

AB>AE,

AB22,

48的最小值為2,

.-.的最小值為2,

S四邊形/Be。=BC-AE=IBC,

...當2c=2時，S四邊必最小=2x2=4,

故答案為：4.

【點睛】此題考查兩條平行線之間的距離、平行四邊形的判定、根據(jù)面積等式證明線段相等、

菱形的判定、垂線段最短等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.(1)￡尸垂直平分/C

(2)見解析

【分析】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形

全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

(1)由作圖可得斯垂直平分/C,即可得到結(jié)果；

答案第14頁，共38頁

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證明絲AC。尸(ASA),推出

EA=EC=FC=FA,即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：由作圖可得E尸垂直平分NC,

EF與AC的位置關(guān)系是:EF垂直平分AC-

(2)證明：由作圖可知：直線是線段ZC的垂直平分線，

EA=EC,FC^FA,EF1AC,OA^OC,

???四邊形/BCD