線

性

代

數(shù)第3版

線性代數(shù)是高等院校理工科及經(jīng)濟管理等專業(yè)的學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課，屬于考試課．

本課程為后繼一些專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．課

程

簡介

比如化學(xué)專業(yè)的學(xué)生要學(xué)習(xí)的物理化學(xué)、量子化學(xué)、分析化學(xué)、高分子化學(xué)等課程.線性代數(shù)課程對化學(xué)專業(yè)的作用還體現(xiàn)在：在處理多原子分子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)時，需要通過線性組合原子軌道來構(gòu)建分子軌道.分子軌道理論通過線性代數(shù)中的矩陣運算，可以確定晶體在不同對稱操作下的變換規(guī)律，從而深入理解晶體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).晶體結(jié)構(gòu)分析量子化學(xué)中薛定諤方程求解離不了線性代數(shù)的理論和方法.量子化學(xué)方面線性代數(shù)的地位和作用線性代數(shù)的主要內(nèi)容矩陣線性方程組行列式矩陣矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性相似矩陣二次型工具：行列式和矩陣主線：矩陣課程特點和學(xué)習(xí)要求課程特點內(nèi)容抽象，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透；邏輯性較強；概念多、性質(zhì)結(jié)論多，符號多；計算原理簡單但思路靈活且計算量大；證明簡潔但技巧性強.學(xué)習(xí)要求理解基本概念和原理，多做練習(xí)，通過練習(xí)來加強對理論、方法的理解和掌握.加強交流，學(xué)習(xí)過程中遇到自己無法解決的問題時，不妨多向老師或同學(xué)尋求幫助，或參考一些優(yōu)秀教材、參考書或在線資源或借助AI等及時解決問題.01行列式主要內(nèi)容行列式的定義行列式的性質(zhì)計算方法目錄01

二階與三階行列式02n

階行列式的定義05克萊姆（Cramer）法則04行列式按行（列）展開03行列式的性質(zhì)線性代數(shù)二階與三階行列式第1.1節(jié)

二階與三階行列式

二、一、二階行列式二、三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式一、二階行列式1、二階行列式的引入用消元法解二元線性方程組(1)(2)消去未知數(shù)：線性代數(shù)二階與三階行列式得方程組的唯一解為當(dāng)

時，由方程組的4個系數(shù)確定兩式相減，得類似地，消去，得這是二元線性方程組滿足一定條件時的公式解，但這種形式不方便記.線性代數(shù)二階與三階行列式

定義1

由4個數(shù)排成二行二列（橫排稱行(row)，豎排稱列(column)）的數(shù)表即稱表達(dá)式

為上述數(shù)表所確定的二階行列式，并記作注意(1)二階行列式的記號；（2）實質(zhì)是兩行兩列的數(shù)表按一定運算規(guī)則作運算.2、二階行列式的定義線性代數(shù)二階與三階行列式列標(biāo)(表明該元素位于第j列）在行列式中，數(shù)稱為該行列式的元素或元.行列式

(determinant)一般用字母表示.元行標(biāo)(表明該元素位于第

i行)線性代數(shù)二階與三階行列式綠色的虛線稱為副對角線.紅色的實線稱為主對角線，例1

計算二階行列式解3、二階行列式的計算——對角線法則線性代數(shù)二階與三階行列式對于二元線性方程組當(dāng)時，方程組有唯一解：利用二階行列式的概念,方程組的解可以寫成系數(shù)行列式4、用行列式表示二元線性方程組的解線性代數(shù)二階與三階行列式例2

求解二元線性方程組解由于因此線性代數(shù)二階與三階行列式二、三階行列式1、三階行列式的引入三元線性方程組如何求解滿足一定條件下，解得線性代數(shù)二階與三階行列式定義2

設(shè)有9個數(shù)排成三行三列的數(shù)表記作述數(shù)表所確定的三階行列式，2、三階行列式的定義表達(dá)式稱為由上線性代數(shù)二階與三階行列式即(1)6項的代數(shù)和;

(2)每一項都是三個元素相乘；(3)每項相乘的三個元素取自不同行不同列.注線性代數(shù)二階與三階行列式（1）對角線法則（沙路法）（2）拓展對角線法3、三階行列式的計算+++沙路主對角線正號+沙路副對角線負(fù)號

嘗試計算例4

求解方程解方程左端的三階行列式由，解得或例3

計算三階行列式解按對角線法則，有線性代數(shù)二階與三階行列式線性代數(shù)二階與三階行列式小結(jié)二階行列式三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式.

二階與三階行列式是由解二元和三元線性方程組的需要產(chǎn)生的.線性代數(shù)n

階行列式第1.2節(jié)

n階行列式二、三、n階行列式四、n階行列式的其他定義形式一、全排列與逆序數(shù)二、對換線性代數(shù)一、全排列與逆序數(shù)如何計算

？

將個不同的元素排成一行，稱為這個元素的一個全排列，也簡稱

元排列，

個不同的元素所有可能的排列種數(shù)，稱為全排列數(shù)，通常用

表示.由分步乘法原理，例如，用1,2,3三個數(shù)字作排列，排列數(shù)3種情況2種情況1種情況123，132，213，231，312，321.它們是n

階行列式線性代數(shù)

對

個不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序,個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.

規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)次序后，在這

個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就說這兩個元素構(gòu)成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)(偶數(shù))的排列稱為奇排列(偶排列).n

階行列式一般地，

個自然數(shù)

的任意一個排列記作

，如果比

大且排在

前面的元素有

個，就說元素

的逆序數(shù)是.一個排列中全體元素的逆序數(shù)之和就是這個排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)可記為線性代數(shù)計算排列的逆序數(shù)的方法：

從左至右分別計算出排列中每個元素前面比它大的元素的個數(shù)（即每個元素的逆序數(shù)），然后把這些個數(shù)加起來即為所求排列的逆序數(shù).例1

求排列43512的逆序數(shù).解在排列43512中,4排在首位,逆序數(shù)為0;3的前面比3大的數(shù)有1個;于是排列43512的逆序數(shù)為5的前面比5大的數(shù)有0個;1的前面比1大的數(shù)有3個;2的前面比2大的數(shù)有3個;奇排列n

階行列式線性代數(shù)二、對換

將一個排列中任意兩個元素的位置對調(diào)，其余元素不動，而得到一個新排列的過程稱為對換．若對換的是相鄰的兩個元素，則稱為相鄰對換.定理1

一個排列進(jìn)行一次對換，排列改變奇偶性一次.相鄰對換的情形:排列的逆序數(shù)增加1或減少1，排列奇偶性改變.一般對換的情形:作m次相鄰對換作m+1次相鄰對換排列作奇數(shù)次相鄰對換，排列奇偶性改變.

推論

奇（偶）排列對換成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇（偶）數(shù).n

階行列式1、以舊導(dǎo)新回顧三階行列式任一項不考慮正負(fù)號時可寫成,是1,2,3這3個數(shù)的某個排列，共有3！=6種，對應(yīng)上式右邊共6項.這里行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列

線性代數(shù)三、n階行列式觀察發(fā)現(xiàn)(1)展開式的每一項都恰是位于不同行、不同列的3個元素的乘積，n

階行列式各項前面所取的正負(fù)號與列標(biāo)排列的對應(yīng)情況：取正號的三項列標(biāo)排列分別是：取負(fù)號的三項列標(biāo)排列分別是：都是偶排列，取負(fù)號的三項列標(biāo)排列都是奇排列，因此各項所取的正負(fù)號可表示為均為偶排列均為奇排列123，231，312；321，132，213.線性代數(shù)觀察發(fā)現(xiàn)(2)各項的正負(fù)號與列標(biāo)排列的奇偶性有關(guān).取正號的三項列標(biāo)排列,其中

為該項列標(biāo)排列

的逆序數(shù).n

階行列式綜合觀察發(fā)現(xiàn)（1）和（2），知三階行列式可以寫成：線性代數(shù)其中

為排列

的逆序數(shù)，

是1,2,3的某排列，連加號表示對1，2，3這3個數(shù)的所有排列對應(yīng)的項求和.

n

階行列式，即得形如定義1

設(shè)有個數(shù)，排成行列的數(shù)表nn作出表中位于不同行不同列的個數(shù)的乘積n線性代數(shù)2.n階行列式的定義并冠以符號n

階行列式這樣的項，其中為自然數(shù)的一個排列，由于這樣的排列共有個，因而形如這樣的項共有項.所有這項稱為階行列式，記作線性代數(shù)的代數(shù)和n

階行列式簡記為其中數(shù)為行列式的

元.

即行列式中每個元素的下標(biāo)能表示該元素的位置時，行列式可以簡記.等號右邊稱為行列式

D的展開式.線性代數(shù)n

階行列式（1）階行列式是項的代數(shù)和；（2）階行列式的每一項都是位于不同行不同列的

個元素的乘積；（4）一階行列式不要與絕對值記號相混淆.（3）每一項的行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列時，由列標(biāo)排列的奇偶性決定該項前面的正負(fù)號；按此定義的二階、三階行列式與用對角線法則定義的二階、三階行列式顯然是一致的.線性代數(shù)說明n

階行列式3、幾種特殊形式的行列式（1）上三角形行列式可能不為0的元素

滿足即展開式的一般項為而

是

這n個數(shù)中互不相同的數(shù)，故只有故D展開式中可能不為0的項只有一項，符號為正.作為計算公式識記線性代數(shù)n

階行列式（2）下三角形行列式展開式中一般項可能不為0的元素

滿足即只能線性代數(shù)n

階行列式（3）對角行列式（4）其他特殊形式行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)n

階行列式線性代數(shù)小結(jié)與思考n階行列式思考n階行列式展開式中每一項都是位于不同行不同列的n個元素的乘積，如果交換乘積中相乘元素的順序后結(jié)果怎樣？n

階行列式線性代數(shù)四、n階行列式的其他定義形式n階行列式

的展開式中的一般項偶奇記則故即

與

奇偶性一樣.值不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列都作一次對換n

階行列式線性代數(shù)說明若干次對換后特別地對換成列指標(biāo)成自然排列，即一般項為于是，一般項（1）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時都做了一次對換；（2）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的奇偶性同時發(fā)生變化；（3）行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.交換乘積中任兩個元素的位置，將引起：n

階行列式線性代數(shù)n階行列式的其他定義形式更一般的有

其中n

階行列式線性代數(shù)課堂練習(xí)(1)判斷在四階行列式中，

應(yīng)取什么符號？(2)求多項式中的系數(shù)（3）P30第3題n

階行列式線性代數(shù)行列式的性質(zhì)第1.3節(jié)

行列式的性質(zhì)

二、一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1（

的轉(zhuǎn)置行列式）transpose記則線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)2

性質(zhì)1表明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也成立，反之亦然.對換行列式的兩行（列），行列式的值變號.設(shè)

是由

交換

i,j兩行得到的，則線性代數(shù)行列式的性質(zhì)其中記則故符號說明行列式的第

i行用

表示；行列式的第i列用

表示；對換行列式的

i,j兩行用

表示；對換行列式的

i,j兩列用

表示.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)

推論若行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式的值等于零.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.推論1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)4若行列式中有兩行(列)元素對應(yīng)成比例，則此行列式值為零.推論2行列式中某一行（列）的元素全為零時，行列式的值為零.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)5若行列式的某一行（列）的元素都是兩個數(shù)的和，例如第i行的元素都是兩數(shù)之和：則該行列式D等于下面兩個行列式之和：線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)5表明：行列式當(dāng)某一行（或列）為兩數(shù)之和時，行列式關(guān)于該行（或列）可分解為兩個行列式.思考：若n

階行列式每個元素都表示成兩數(shù)之和，則它可分解為幾個行列式呢？例如線性代數(shù)行列式的性質(zhì)性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.例如注意盡管涉及兩行（列）但僅“另一行（列）”變了線性代數(shù)行列式的性質(zhì)（1）轉(zhuǎn)置不變（2）對換取反（3）倍乘可提出（5）倍加不變（4）行(列)加法拆項法則同行(列)化零零行(列)化零同比化零行列式的性質(zhì)利用行列式的運算

，

，

和,,可以簡化行列式的計算，特別是利用運算

或

可以將行列式中許多元素化為0.計算行列式常用的一種方法就是利用運算

或

將行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值.

線性代數(shù)行列式的性質(zhì)把行列式化為上三角行列式的一般步驟為：

（1）若（1,1）元為0，先將第一行與其他行交換，使得交換后的行列式其第一列第一個元素不為0，然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個元素外，其余元素全化為0；

（2）用同樣的方法處理除去第一行第一列后余下的低一階的行列式，如此反復(fù)下去，直到使它變?yōu)樯先切辛惺?，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.

用歸納不難證明任何n階行列式總能只利用行運算或只利用列運算把它化為上三角行列式或化為下三角行列式.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.8

計算行列式解二、應(yīng)用舉例線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.9

計算

n階行列式解特點：每行的和一樣處理：從2列起，各列加到第一列，然后提公因子線性代數(shù)行列式的性質(zhì)有其他計算方法嗎？線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.10

計算行列式解注意

幾個運算寫在一起時，各個運算先后次序一般不能顛倒.因為后一次運算是作用在前一次運算結(jié)果上的.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.11試證即分塊下三角形行列式

等于主對角線上各分塊行列式的乘積.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)證明線性代數(shù)行列式的性質(zhì)線性代數(shù)行列式按行（列）展開第1.4節(jié)

行列式按行（列）展開

二、一、余子式及代數(shù)余子式二、展開法則二、三、展開法則的推論線性代數(shù)行列式按行（列）展開第4節(jié)

行列式按行（列）展開

能否用低階行列式來表示高階行列式？以三階行列式為例來探討：線性代數(shù)行列式按行（列）展開一、余子式及代數(shù)余子式

定義2

在階行列式中，把元所在的第行和第列劃去后，余下的元素（依原來的排法）所構(gòu)成的階行列式，稱為元

的余子式，記作

；

記

稱為元的代數(shù)余子式.某元素的余子式或代數(shù)余子式與該元素所在行(列)中的元素?zé)o關(guān).（因為都劃掉了）例如

三階行列式

中(2,1)元的余子式為代數(shù)余子式為線性代數(shù)行列式按行（列）展開二、展開法則

引理一個

階行列式

，如果第行所有元素除

元

外全為零，那么該行列式等于

與它的代數(shù)余子式的乘積，即

例如線性代數(shù)行列式按行（列）展開證按分塊下三角行列式的結(jié)論，有又從而再證一般的情形,此時此時先證的情形，線性代數(shù)行列式按行（列）展開

將的第行依次與第行，第行，第1行交換

，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開再將第列依次與第列，第列，第1列交換，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開

注意到行列式中（1,1）元的余子式就是行列式

中

的余子式

而中(1,1)元為

，第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果，有于是注：該引理對于列也成立.線性代數(shù)行列式按行（列）展開

定理4

（展開法則）

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或證線性代數(shù)行列式按行（列）展開類似地，可以得到關(guān)于列的結(jié)論.線性代數(shù)行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開法則：

利用這一法則結(jié)合行列式的性質(zhì)可以簡化行列式的計算.利用性質(zhì)去“造0”，利用展開法則去降階，從而簡化行列式的計算.按第

i行展開按第j列展開應(yīng)用展開法則雖然實現(xiàn)了降階

，但需要計算的低一階的行列式的個數(shù)多了.選擇什么樣的行或列展開可以減少運算量呢選零元多的行或列去展開行列式可以減少運算.線性代數(shù)行列式按行（列）展開展開法則應(yīng)用舉例例1.8

計算行列式解“造0”降階線性代數(shù)行列式的性質(zhì)例1.12

計算階行列式未寫出的元素均為0.線性代數(shù)行列式的性質(zhì)解按第1行展開，有由此遞推公式遞推下去，得線性代數(shù)行列式按行（列）展開例1.13證明范德蒙德(Vandermonde)行列式注：n個變元在n個列上；從列看：每列都是首項為1的等比數(shù)列；從行看：冪一致，變元兩兩不同；從右邊看：結(jié)果等于所有變量對的“逆序差（按照逆序作差）”之積.連乘號線性代數(shù)行列式按行（列）展開

證用數(shù)學(xué)歸納法.因為所以當(dāng)

時

（1）式成立.假設(shè)（1）式對

階范德蒙行列式成立，要證（1）式對

階范德蒙行列式也成立.為此，設(shè)法把

降階：從第

行開始，依次后行減去前行的

倍，有線性代數(shù)行列式按行（列）展開按第一列展開，并把每列的公因子提出，就得n-1階范德蒙德行列式由歸納假設(shè),故第2行各元素兩兩不同.可認(rèn)為行列式D的第二行的元素與第一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和線性代數(shù)行列式按行（列）展開三、展開法則的推論（代數(shù)余子式的另一重要性質(zhì)）以三階行列式為例來探討可以展開式寫在等號前，行列式寫在等號后，作為公式用線性代數(shù)行列式按行（列）展開一般地，對于n階行列式，也有可作為公式線性代數(shù)行列式按行（列）展開對列作相仿討論，也有

推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：設(shè)有線性代數(shù)行列式按行（列）展開補充例題

設(shè)

的元的代數(shù)余子式記為

，求.解線性代數(shù)二階與三階行列式小結(jié)行列式按行（列）展開法則及推論

元素的余子式與代數(shù)余子式某元素的余子式與代數(shù)余子式與該元素所在行所在列中的元素?zé)o關(guān).線性代數(shù)行列式按行（列）展開D中(3,3)元的余子式也是

中(1,1)元的余子式.線性代數(shù)克拉默法則第1.5節(jié)

克萊姆法則

二、一、克拉默法則二、齊次線性方程組相關(guān)結(jié)論線性代數(shù)克拉默法則如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，即一、克拉默法則設(shè)有

個

元線性方程構(gòu)成的方程組線性代數(shù)克拉默法則那么方程組(1)有唯一解，且可表示為其中

是將行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項列代替后所得到的階矩陣，即線性代數(shù)克拉默法則證

設(shè)

是方程組的解，按行列式的性質(zhì)，

有因為系數(shù)行列式

，故為方程組唯一的解.線性代數(shù)克拉默法則

例1.14

求解線性方程組解

因為系數(shù)行列式

所以由克萊姆法則知該方程組有唯一解.而線性代數(shù)克拉默法則故方程組的唯一解為線性代數(shù)克拉默法則

注意：克萊姆法則解決的是方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組.一般線性方程組的求解下一章會討論.

由上例可看出用克萊姆解方程組并不方便，因為它需要計算很多行列式.但它把方程組的解用一般公式表示出來，這在理論上是重要的.

常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，常數(shù)項不全為零的線性方程組稱為非齊次線性方程組.一般線性方程組線性代數(shù)克拉默法則二、齊次線性方程組相關(guān)結(jié)論

元齊次線性方程組未知量全取零的解稱為零解；未知量不全取零的解稱為非零解.定理6

若齊次線性方程組

的系數(shù)行列式,則它只有零解.

定理6

若齊次線性方程組

有非零解，則它的系數(shù)行列式

逆命題也成立線性代數(shù)克拉默法則例1.15

問

取何值時，齊次線性方程組

有非零解？解

齊次線性方程組有

非零解，則其系數(shù)行列式的值為0,即解得線性代數(shù)克拉默法則1.用克萊姆法則解方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克萊姆法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).小結(jié)02矩

陣主要內(nèi)容矩陣的概念分塊矩陣矩陣的運算逆矩陣目錄2.1

矩陣2.2

矩陣的運算2.3

逆矩陣2.4矩陣的分塊線性代數(shù)矩陣第2.1節(jié)

矩

陣

二、一、引入二、矩陣的定義二、三、幾種特殊的矩陣線性代數(shù)矩陣

矩陣是由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家阿瑟·凱利首先提出，他被公認(rèn)為矩陣論的奠基人.矩陣最早來源于方程組的求解，它就是用來表示方程組的系數(shù)和常數(shù)項的.作為求解線性方程組的工具，矩陣形式在我國東漢前期的《九章算術(shù)》中就已經(jīng)出現(xiàn)并使用.但那時并沒有現(xiàn)今理解的矩陣概念，雖然它與現(xiàn)有的矩陣形式上相同，但在當(dāng)時只是作為線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)表示與處理方式.

矩陣正式作為數(shù)學(xué)中的研究對象出現(xiàn)，則是在行列式的研究發(fā)展起來后.邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在實際的歷史上則恰好相反.

中文中出現(xiàn)矩陣概念最早是1922年。1922年，程廷熙在一篇介紹文章中將矩陣譯為“縱橫陣”.1935年，在當(dāng)時的審定的《數(shù)學(xué)名詞》中，“矩陣”作為譯名首次出現(xiàn).

1993年，中國自然科學(xué)名詞審定委員會公布的《數(shù)學(xué)名詞》中，“矩陣”被定為正式譯名，并沿用至今.矩陣的提出線性代數(shù)矩陣一、引入

n個未知數(shù)m個線性方程構(gòu)成

n元線性方程組方程組的常數(shù)項未知數(shù)

系數(shù)線性代數(shù)矩陣

n

元非齊次線性方程組常數(shù)項

不全為零

n元齊次線性方程組常數(shù)項全為零齊次線性方程組一定有零解（未知數(shù)全取0的解），但不一定有非零解.線性代數(shù)矩陣對于線性方程組需要討論：是否有解？有解時是否唯一？有解時如何求解？非齊次線性方程組的這些問題取決于它的系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的矩形數(shù)表，即

齊次線性方程組的這些問題取決于它的系數(shù)所構(gòu)成的矩形數(shù)表，即

線性代數(shù)矩陣二、矩陣的定義

定義1

由個數(shù)

排成

行

列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作線性代數(shù)矩陣這

個數(shù)

稱為矩陣

的元素，簡稱元.位于矩陣

的第

行第

列的元素稱為矩陣

的

元.以數(shù)

為元的矩陣可簡記作

或矩陣也記作

.元素是實數(shù)（復(fù)數(shù)）的矩陣稱為實矩陣（復(fù)矩陣）.

說明：矩陣是一個矩形數(shù)表，外框成矩形，內(nèi)部數(shù)據(jù)成行成列，每行每列交叉處只有一個位置，每個位置放一個數(shù).

線性代數(shù)矩陣

行列式外形：正方形記號：數(shù)表夾在兩豎線間

實質(zhì)：數(shù)表確定的表達(dá)式簡記：

矩陣外形：矩形記號：數(shù)表用括弧括起來

實質(zhì)：成行成列的數(shù)表簡記：矩陣和行列式的區(qū)別線性代數(shù)矩陣

若兩個矩陣為同型矩陣,并且它們的對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣

與矩陣

相等，記作（一模一樣）

定義2

若兩個矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等,則稱它們?yōu)橥途仃?

（外形一樣，即型號一樣）線性代數(shù)矩陣(1)行矩陣：只有一行元素的矩陣稱為行矩陣,又稱為行向量.為避免元素間的混淆，行矩陣也記作（2）列矩陣：只有一列元素的矩陣稱為列矩陣，又稱為列向量.三、幾種特殊的矩陣線性代數(shù)矩陣（4）方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣.n記作行數(shù)與列數(shù)都等于

的矩陣

稱為

階矩陣或n階方陣，

方陣中從左上角到右下角的對角線稱為主對角線，主對角線上的元素稱為對角元.n階方陣（3）零矩陣：元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O.注意：不同型的零矩陣顯然是不同的.線性代數(shù)矩陣（5）三角矩陣：主對角線下（上）方的元素都為0的方陣稱為上（下）三角矩陣，即上三角矩陣下三角矩陣線性代數(shù)矩陣（1）

（6）對角矩陣：主對角線以外的元素全為0的方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣,即

特點：方陣的主對角線以外的元素全為0.主對角線上的元素可以為0，也可以不等于0.對角矩陣也記作線性代數(shù)矩陣（1）（7）純量矩陣（數(shù)量矩陣）：主對角線上的元素都相等的對角矩陣稱為純量矩陣或數(shù)量矩陣，即（8）單位矩陣：主對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣.單位矩陣常用

E表示，也有用

I表示.n階單位矩陣可表示為線性代數(shù)矩陣小結(jié)（1）矩陣的概念（2）幾種特殊的矩陣（方陣、行矩陣、列矩陣、對角陣、純量矩陣、單位矩陣、三角矩陣）線性代數(shù)矩陣的運算第2.2節(jié)

矩陣的運算

二、一、矩陣的線性運算三、矩陣的轉(zhuǎn)置運算二、矩陣的乘法運算四、方陣的行列式五、矩陣的共軛運算線性代數(shù)矩陣的運算一、矩陣的線性運算1、矩陣的加法說明：(1)只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運算；（2)矩陣的加法運算即對應(yīng)位置的元素相加.

定義3

設(shè)有兩個

矩陣則矩陣

與的和記作

，并規(guī)定為

線性代數(shù)矩陣的運算矩陣加法運算規(guī)律：設(shè)

都是

矩陣，則

設(shè)

矩陣

，記稱

為矩陣

的負(fù)矩陣，由此定義矩陣的減法為兩同型矩陣相減即對應(yīng)位置的元素相減.顯然有線性代數(shù)矩陣的運算2、數(shù)與矩陣的乘法定義4注意：矩陣數(shù)乘與數(shù)乘行列式運算的差異.例如但數(shù)

與矩陣

的乘積記作

或

，規(guī)定為線性代數(shù)矩陣的運算數(shù)與矩陣相乘的運算規(guī)律：設(shè)

都是

矩陣，

為數(shù)，則

矩陣加法運算和數(shù)與矩陣的乘法運算合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.問題：矩陣經(jīng)線性運算（加法和數(shù)乘）所得結(jié)果與參與運算的矩陣有何一樣和參與運算的矩陣是同型的.矩陣的線性運算具有封閉性.線性代數(shù)矩陣的運算

手機、電腦中保存的數(shù)字圖像其實是用矩陣描述的.利用矩陣的線性運算可以簡單地實現(xiàn)圖像的融合、遮罩等效果.例如，設(shè)圖1中的日出照片對應(yīng)的矩陣為

，心形圖案對應(yīng)的矩陣為.對兩個矩陣分別執(zhí)行線性運算，效果如圖2.圖1兩矩陣對應(yīng)的圖像圖2

兩圖像矩陣運算后的結(jié)果線性代數(shù)線性方程組和矩陣引例

n個變量

與m個變量

之間的關(guān)系式

線性變換的系數(shù)

構(gòu)成矩陣

稱為線性變換的系數(shù)矩陣.表示一個從變量

到變量

的線性變換，其中

為常數(shù).線性變換和矩陣之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.二、矩陣的乘法運算(矩陣與矩陣相乘)線性代數(shù)矩陣的運算

歷史上，英國數(shù)學(xué)家AutherCayler為了描述線性變換的復(fù)合而引入矩陣乘法運算的.

設(shè)有兩個線性變換

將（2）代入（1），便得新的線性變換

線性變換(1)與(2)的乘積線性代數(shù)矩陣的運算

線性變換與矩陣對應(yīng)，于是新的線性變換所對應(yīng)的矩陣定義為線性變換（1）和（2）對應(yīng)矩陣的乘積，即線性代數(shù)矩陣的運算并把此乘積記作

定義5

設(shè)

是一個

矩陣，

是一個

矩陣，矩陣乘法運算的定義那么規(guī)定矩陣

與矩陣

的乘積是一個

矩陣

，其中只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，兩矩陣才能相乘.注線性代數(shù)矩陣的運算乘積矩陣的型號：“要兩頭”說明可乘原則：“中相等”乘積矩陣中的元素：乘積矩陣

的

位置上的元素

如下計算：對應(yīng)元素乘積之和線性代數(shù)矩陣的運算線性變換的矩陣表示形式

線性變換可表示為記為相當(dāng)于用矩陣左乘

得到線性代數(shù)矩陣的運算線性方程組的矩陣表示形式

線性方程組可表示為記為未知數(shù)矩陣常數(shù)項矩陣系數(shù)矩陣線性代數(shù)矩陣的運算例2.3設(shè)矩陣求解有意義，未必有意義.發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)矩陣的運算例如在矩陣乘法中必須注意矩陣相乘的順序.是

左乘

的乘積；是

右乘

的乘積.即使

與

都有意義，它們也不一定相等.即使

與

都有意義，并且同型，它們也不一定相等.線性代數(shù)矩陣的運算例2.3

設(shè)求

與

解發(fā)現(xiàn)（1）一般地（2）兩個非零矩陣的乘積可能等于零矩陣.即線性代數(shù)矩陣的運算例2.4

設(shè)求

及

解該題發(fā)現(xiàn)說明消去律不成立！線性代數(shù)矩陣的運算

矩陣乘法一般不滿足的運算律（1）矩陣乘法一般不滿足交換律，即一般地，（因為矩陣乘法運算是有條件的.）（2）矩陣乘法一般不滿足消去律.（什么條件下可消去A呢？）矩陣乘法滿足的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;結(jié)合律分配律（假定運算均可行）線性代數(shù)矩陣的運算對于兩個n階方陣,若,則稱方陣

與

是可交換的.例如若

則所以.線性代數(shù)矩陣的運算矩陣乘法相關(guān)的一些結(jié)論（1）同階對角陣的乘積“橫著刷進(jìn)去”（2）對角陣與矩陣的乘積“按行刷進(jìn)去”線性代數(shù)矩陣的運算“豎著刷進(jìn)去”“按列刷進(jìn)去”（3）有關(guān)單位矩陣的乘積可見：單位矩陣E

在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.（4）純量矩陣與任何與其同階的方陣都是可交換的線性代數(shù)矩陣的運算思考：矩陣A與A何時可乘？A為方陣時方陣的冪設(shè)

為

階方陣，定義

的冪為其中

為正整數(shù).即

就是

個

連乘（

約定

）.由矩陣乘法運算滿足結(jié)合律，不難得知方陣的冪滿足運算律：其中

為非負(fù)整數(shù).線性代數(shù)矩陣的運算對于兩個階方陣與，一般來說只有

可交換時等號成立.由于矩陣的乘法運算滿足結(jié)合律，所以由結(jié)合律，括弧隨便打若則線性代數(shù)矩陣的運算例

2.4

設(shè)

求解由歸納法，不難得到，所以線性代數(shù)矩陣的運算拓展：矩陣乘法的簡單應(yīng)用矩陣乘法在圖形變換中的應(yīng)用圖像處理，3D游戲，虛擬現(xiàn)實技術(shù)中矩陣乘法在機械臂控制的應(yīng)用多個機械關(guān)節(jié)完成的復(fù)合動作(平移、旋轉(zhuǎn))就是通過若干個矩陣乘法運算來控制機械臂完成指定動作的.線性代數(shù)矩陣的運算三、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義

6

把

矩陣

的行換成同序數(shù)的列得到一個

矩陣,稱為

的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如線性代數(shù)矩陣的運算矩陣的轉(zhuǎn)置的運算規(guī)律（假設(shè)運算都是可行的）穿脫原則下面證明（4）.

設(shè)記則顯然故即運算規(guī)律（2）和（4）可推廣到有限個矩陣的情形.線性代數(shù)矩陣的運算例

2.5

已知解法1所以求因為解法2線性代數(shù)矩陣的運算

設(shè)

為

階方陣，如果滿足

，即則稱

為對稱矩陣.例如是一個對稱矩陣.對稱矩陣的特點：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.

定義7線性代數(shù)矩陣的運算

設(shè)

為

階方陣，如果滿足

，即則稱

為反對稱矩陣.例如是一個反對稱矩陣.

反對稱矩陣的特點：主對角線上的元素全為0,其它元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)元素互為相反數(shù).

定義8可見線性代數(shù)矩陣的運算

例2.6

設(shè)列矩陣

滿足

，

為

階單位矩陣

，

證明

是對稱矩陣，且證因為所以

是對稱矩陣.注意

是n階方陣，與E可交換.線性代數(shù)矩陣的運算四、方陣的行列式

定義9

由

階方陣

的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣

的行列式，記作

或例如注意

方陣和行列式是兩個不同的概念.方陣是一個正方形數(shù)表，行列式是正方形數(shù)表（方陣）按一定的運算法則所確定的一個數(shù).線性代數(shù)矩陣的運算方陣的行列式的運算規(guī)律設(shè)

為

階方陣，

為數(shù)，則（由行列式性質(zhì)1

）（由矩陣的數(shù)乘運算及行列式性質(zhì)3）雖然不一定有.線性代數(shù)矩陣的運算證

設(shè)下面證(3).則記

階行列式而由行列式的性質(zhì)，又有線性代數(shù)矩陣的運算加到第n+1列故線性代數(shù)矩陣的運算例2.7

設(shè)

是

階方陣，滿足且求解所以

即線性代數(shù)矩陣的運算五、共軛矩陣

定義10

由

為復(fù)矩陣，

為

的共軛復(fù)數(shù)，記

則稱

為矩陣

的共軛矩陣.共軛矩陣的運算規(guī)律（設(shè)

為復(fù)矩陣，

為復(fù)數(shù)，且運算都有意義）線性代數(shù)逆矩陣第2.3節(jié)

逆

矩

陣

二、

一、逆矩陣的定義三、逆矩陣的運算性質(zhì)

二、方陣可逆的條件及逆矩陣的求法二、四、逆矩陣的初步應(yīng)用定義導(dǎo)入線性代數(shù)逆矩陣一、逆矩陣的定義在數(shù)的乘法中，當(dāng)數(shù)時，總存在唯一的數(shù)，使得

再者，從矩陣乘法的角度來看，單位矩陣

類似數(shù)中的1.此數(shù)

稱為

的倒數(shù)（或稱為

的逆

），

記作相仿地，對于矩陣

，如果存在矩陣

，使得那么矩陣

可否稱為矩陣

的逆矩陣呢？線性代數(shù)逆矩陣

定義11

設(shè)

A

為n

階方陣

，如果存在

n

階方陣

B，

使得

AB=BA=E，則稱方陣

A是可逆的，并把矩陣

B稱為

A的逆矩陣，簡稱逆陣.說明：（1）可逆矩陣一定是方陣，且它的逆陣也一定是方陣；但方陣不一定可逆.（2）可逆矩陣與其逆矩陣是互為逆矩陣的.線性代數(shù)矩陣的運算

定理

1

若方陣

可逆，則其逆矩陣唯一.證設(shè)和都是可逆方陣的逆矩陣，則不能寫成從而所以

的逆矩陣唯一.的逆矩陣記作.若

，則.若方陣

可逆，則有線性代數(shù)矩陣的運算

定義12

設(shè)

為

n

階方陣，記

二、方陣可逆的條件及逆矩陣的求法1、伴隨矩陣的定義及性質(zhì)其中

行列式

的元素

的代數(shù)余子式

，

稱為矩陣

的伴隨矩陣.線性代數(shù)矩陣的運算證

設(shè)

因為類似地，有

定理

2

設(shè)

為

的伴隨矩陣，則有于是線性代數(shù)逆矩陣2、方陣可逆的條件證設(shè)可逆，即有，使兩邊取行列式，有所以定理3

方陣

可逆的充分必要條件是

且有

先證必要性.再證充分性.由定理2中伴隨矩陣的性質(zhì)又故有線性代數(shù)逆矩陣公式變形注（1)若可逆，則有與的互為倒數(shù).于是，按逆矩陣的定義，知

可逆，且有

(2)求可逆方陣

的逆矩陣公式為線性代數(shù)逆矩陣當(dāng)

時，稱

為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣.可見可逆矩陣都是非奇異矩陣.證即因而

與

都可逆,且

說明：要驗證方陣可逆，只需驗證或

即可.故——逆矩陣定義的簡化版推論

設(shè)

都為

階方陣，若

（或

），則

與

均可逆，且線性代數(shù)逆矩陣3、逆矩陣的求法解

知

存在.且公式法例2.8

設(shè)方陣

，求.由線性代數(shù)逆矩陣所以故線性代數(shù)逆矩陣證故

可逆，思路：從等式中分解因子或湊因子，依定義證.由得即例2.9

已知方陣滿足

試證可逆,并求它的逆矩陣.

且定義法線性代數(shù)逆矩陣設(shè)矩陣

滿足

則

？

注意到同階對角陣的乘積還是對角陣，而單位矩陣是對角陣.線性代數(shù)逆矩陣三、逆矩陣的運算性質(zhì)(1)若可逆，則亦可逆，且(2)若

可逆，數(shù)，則可逆，且(3)若為同階方陣且均可逆，則亦可逆，且穿脫原則(4)若可逆，則亦可逆，且（可逆陣的消去律）(6)可逆時，有練習(xí)：設(shè)A為3階方陣，求（可推廣）(5)若可逆，則線性代數(shù)逆矩陣注意：一般來說另外，當(dāng)可逆時，還可定義當(dāng)為整數(shù)時，有可逆矩陣與其伴隨矩陣相關(guān)的一些結(jié)論（1）若

可逆，則

也可逆，且注意到P6413題線性代數(shù)逆矩陣可逆可逆

（反證）假設(shè)不可逆，則，從而由可逆陣的消去律，可得

，

從而，這與可逆矛盾.因可逆，所以（2）若

可逆，則

也可逆.結(jié)論：可逆可逆

故假設(shè)不即有

可逆.成立，線性代數(shù)逆矩陣結(jié)論：證明

：（反證）假設(shè)

，即

可逆.

因為

所以由伴隨矩陣性質(zhì)，證

得于是，由可逆陣的消去律，可得

，從而，這與假設(shè)可逆矛盾.所以假設(shè)不成立，即有對n階方陣

，有P6414題線性代數(shù)逆矩陣四、逆矩陣的初步應(yīng)用

在密碼學(xué)中，逆矩陣可以用于加密信息.它將明文字母通過一定規(guī)則轉(zhuǎn)換為數(shù)字向量，然后利用一個密鑰矩陣進(jìn)行線性變換得到密文向量.只有知道密鑰矩陣的合法接收者才能正確解密.

在計算機圖形學(xué)中，圖形變換時逆矩陣可用于求逆變換.例如，對一個圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換后，如果需要恢復(fù)到原始狀態(tài)，可使用相應(yīng)變換矩陣的逆矩陣進(jìn)行逆變換操作.這些應(yīng)用都可歸結(jié)為解矩陣方程.線性代數(shù)逆矩陣逆矩陣應(yīng)用一：解矩陣方程例2.10

設(shè)解足都存在，且求矩陣使其滿于是由得線性代數(shù)逆矩陣即于是線性代數(shù)逆矩陣應(yīng)用二：求對角陣的相似矩陣的若干次冪或多項式例2.11

設(shè)求解可逆，且從而而故線性代數(shù)逆矩陣結(jié)論1記表示方陣的

次多項式.設(shè)

為

的

次多項式，

為

階矩陣，關(guān)于方陣

的多項式可以像數(shù)

的多項式一樣相乘或分解因式.結(jié)論2結(jié)論3記對角陣

則線性代數(shù)矩陣分塊法第2.4節(jié)

矩陣的分塊二、一、分塊矩陣二、分塊矩陣的運算線性代數(shù)矩陣分塊法一、分塊矩陣對于行數(shù)和列數(shù)較多的矩陣，運算時常采用分塊法，使大矩陣的運算轉(zhuǎn)化為小矩陣的運算.用若干條縱線和橫線把大矩陣分成若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為原矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.一個矩陣可以按不同的方式分塊，究竟采用哪一種方式分塊，要根據(jù)矩陣的具體運算來確定.（大化小，整化零的思想）（分塊時以使出現(xiàn)特殊子塊）線性代數(shù)矩陣分塊法例如對矩陣可如下分塊：其中為二階單位陣，線性代數(shù)矩陣分塊法二、分塊矩陣的運算分塊后的矩陣，把每一個子塊當(dāng)成元素，按類似于普通矩陣的運算法則進(jìn)行運算.1、分塊矩陣的加（減）法運算設(shè)矩陣與是同型矩陣，且采用相同的分塊法，得分塊矩陣為其中對應(yīng)子塊同型，則線性代數(shù)矩陣分塊法2、分塊矩陣的數(shù)乘運算設(shè)為數(shù)，則3、分塊矩陣的乘法運算設(shè)為矩陣，為矩陣，分塊為其中

的列數(shù)分別等于

的行數(shù)，那么左矩陣

的列的分法與右矩陣的行的分法一致.注意線性代數(shù)矩陣分塊法其中例2.12

設(shè)

求線性代數(shù)矩陣分塊法則解記其中而所以線性代數(shù)矩陣分塊法4、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運算設(shè)則（先大轉(zhuǎn)，再小轉(zhuǎn)）比如線性代數(shù)矩陣分塊法5、特殊的分塊方陣的運算若方陣分塊為（未寫出的子塊都是零子塊），其中，只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都是零矩陣，且在主對角線上的子塊都是方陣，那么稱為分塊對角矩陣.

行塊數(shù)=列塊數(shù)線性代數(shù)矩陣分塊法分塊對角矩陣的性質(zhì)：當(dāng)時，有可逆，且若，其中

與

為同階方陣，則線性代數(shù)矩陣分塊法例2.13

設(shè),求解記其中由于線性代數(shù)矩陣分塊法所以線性代數(shù)矩陣分塊法

例2.14

設(shè)

分別為

階和

階可逆矩陣，求分塊矩陣的逆矩陣.解

設(shè)所求逆矩陣分塊為則即線性代數(shù)矩陣分塊法比較等式兩邊對應(yīng)子塊，有所以注意到

可逆，解得線性代數(shù)矩陣分塊法類似地，設(shè)

階方陣

和

方陣

都可逆，則有分塊矩陣及

都可逆，且練習(xí)P6523題線性代數(shù)矩陣分塊法一般矩陣的兩種特殊的分塊法設(shè)矩陣

A的n個列向量.矩陣

A的m個行向量.線性代數(shù)矩陣分塊法從分塊矩陣重新來看矩陣的乘法（宏觀地看）線性代數(shù)矩陣分塊法對線性方程組則線性方程組的其他表示形式解為解向量為記以向量

為未知元線性代數(shù)矩陣分塊法若系數(shù)矩陣按行分塊，則線性方程組

可記作即亦即線性代數(shù)矩陣分塊法若系數(shù)矩陣按列分塊，則線性方程組

可記作即亦即03矩陣的初等變換與線性方程組概念矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩應(yīng)用線性方程組解的判定及求解方法目錄01

矩陣的初等變換03矩陣的秩04線性方程組的解02

初等矩陣線性代數(shù)矩陣的初等變換第3.1節(jié)

矩陣的初等變換

二、一、矩陣初等變換的定義二、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣線性代數(shù)矩陣的初等變換定義1

下面3種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）交換矩陣的兩行（交換兩行，記作）；（2）將矩陣某一行的所有元素乘以非零數(shù)（第行乘以記作)；（3）將矩陣某一行各元素的倍加到另一行對應(yīng)元素上去.（第行的倍加到第行上，記作）.把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣初等列變換的定義（所用記號是把“”換成“”）.一、矩陣初等變換的定義

矩陣的初等變換是矩陣的一種非常重要的運算，它在求逆矩陣、求矩陣的秩、解線性方程組（矩陣方程）、求向量組極大線性無關(guān)組及矩陣?yán)碚摰奶接懼?，都起著非常重要的作?矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.線性代數(shù)矩陣的初等變換

矩陣的3種初等變換均可逆，且其逆變換與原變換是同類型的初等變換.逆變換初等變換

如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與矩陣等價，記作~行等價，記作若矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣，則稱矩陣與矩陣~若矩陣經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣，則稱矩陣與矩陣

列等價，記作~矩陣之間的等價關(guān)系具有自反性、對稱性和傳遞性.線性代數(shù)矩陣的初等變換例如

利用矩陣的初等行變換可以將一個矩陣化簡.何為簡？

線性代數(shù)矩陣的初等變換

定義

非零矩陣若滿足（1）非零行在零行的上面；（2）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的右面,則稱此矩陣為行階梯形矩陣.

為

行階梯形矩陣

，它的特點是：可以畫一條以每一個非零行（元素不全為0的行）為一個臺階的階梯線，使得階梯線左下方的元素全為0.線性代數(shù)矩陣的初等變換

為行最簡形矩陣，它的特點是：首先為行階梯形矩陣，且每個非零行的首非零元為1，首非零元所在列的其他元素都為0.

定義

若

是行階梯形矩陣，并且還滿足（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在列的其他元素均為0，則稱此矩陣

為行最簡形矩陣.對

進(jìn)一步施行初等行變換，可得線性代數(shù)矩陣的初等變換

例如這里矩陣稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：全為0.左上角是一個單位矩陣，其余元素對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形式更簡單的矩陣.

利用歸納法不難證明，任何非零矩陣總可經(jīng)有限次初等行變換化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.利用矩陣的初等行變換，把一個矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣，是一種很重要的運算.線性代數(shù)矩陣的初等變換對任何矩陣總可經(jīng)過有限次初等變