第

六

節(jié)

二

重

積

分

二、一、二重積分的概念二、二、二重積分的性質(zhì)二、三、二重積分的計算高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分一、二重積分的概念問題平頂柱體的體積等于底面積乘以高，那么曲頂柱體的體積該如何求呢？

設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上連續(xù)、非負，則它的圖形是空間中一張連續(xù)的曲面.現(xiàn)有如右圖中立體，它以曲面

為頂，以以區(qū)域

為底，側(cè)面是以區(qū)域

的邊界為準線而母線平行于

軸的柱面.這種立體稱為曲頂柱體.方法：采用類似求曲邊梯形面積的方法來求曲頂柱體的體積.“分割

、近似替代

、求和

、取極限”高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分（1）分割

（2）近似替代在每個

則中任取一點步驟如下：高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分（3）求和

（4）取極限

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分解決步驟：（1）分割：（3）求和：（4）取極限：（2）近似替代：

除了曲頂柱體體積外，還有許多幾何、物理及其他科學技術(shù)問題都可歸結(jié)為求上述類型和式的極限.

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分定義設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上有界，將閉區(qū)域

任意分割成

個小區(qū)域

，并仍用

表示第

個小區(qū)域

的面積.在每個小區(qū)域

上任取一點

作和式用

表示各個小區(qū)域直徑的最大值.如果

時，上述和式的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)

在區(qū)域

上的二重積分，記為

，即其中

稱為積分區(qū)域，

稱為被積函數(shù)，

稱為被積表達式，

稱為面積元素，

與

稱為積分變量.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分對二重積分定義的說明（1）二重積分

只與被積函數(shù)

及積分區(qū)域

有關(guān).（2）定義中對積分區(qū)域

的劃分是任意的.直線網(wǎng)來劃分

，則面積元素為

二重積分記為在直角坐標系中用平行于坐標軸的（3）當被積函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上連續(xù)時，二重積分

必存在.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分二重積分的幾何意義當被積函數(shù)

時，二重積分

表示曲頂柱體的體積．例如表示圓心在原點，半徑為1的上半球的體積.特別地，當

時，

表示積分區(qū)域

的面積.當被積函數(shù)

時，二重積分

表示曲頂柱體體積的負值．當被積函數(shù)在

上有正有負時，二重積分等于

平面上方柱體的體積減去

平面下方柱體的體積.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1（線性）性質(zhì)2（區(qū)域可加性）

性質(zhì)1和2均可推廣到有限多情形.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分性質(zhì)3

特別地，有

性質(zhì)4

（二重積分估值不等式）高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分性質(zhì)5

（二重積分中值公式）幾何解釋：

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分三、二重積分的計算1、在直角坐標系中計算二重積分（1）

型區(qū)域

若積分區(qū)域

可表示為其中函數(shù)與

在區(qū)間上連續(xù).這樣的積分區(qū)域

為

型區(qū)域.特點：

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分當

時，二重積分

的值等于以

區(qū)域

為底，以曲面

為頂?shù)那斨w的體積下面用已知平行截面面積的立體體積公式來計算如圖，陰影部分曲邊梯形面積為

一般地，過

上任意一點

且平行于

平面的平面與曲頂柱體相交所得截面的面積為

該積分y為積分變量，把x看作常數(shù)，對y積分.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分于是為方便起見，常寫成下面的形式先對y后對x的二次積分所以得二重積分的計算公式需要說明的是，雖討論中假定

，但實際上公式的成立不受此條件限制.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分若積分區(qū)域

可表示為其中函數(shù)與

在區(qū)間上連續(xù).這樣的積分區(qū)域

為

型區(qū)域.（2）

型區(qū)域

特點：

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分當積分區(qū)域為Y型區(qū)域時，可將二重積分化為先對

后對

的二次積分先對x后對y的二次積分注意：（1）若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域，如右圖，則有例

交換積分次序，高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分

（2）若積分區(qū)域既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，則可用平行于坐標軸的直線將它分成幾個部分，使每部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域.如下圖.

根據(jù)二重積分對積分區(qū)域具有可加性，可得整個區(qū)域上的二重積分.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分直角坐標系下二重積分的計算步驟：(1)畫出積分區(qū)域，確定積分區(qū)域的類型，從而確定積分次序.(2)確定積分變量的上下限.后積分變量，先定限，投影確定上下限.先積分變量，后定限，作線確定上下限.

例如X型積分區(qū)域，后積分變量是x，就把積分區(qū)域D投影到x軸，得一區(qū)間，就是x的范圍，從而區(qū)間前端點是x的下限，后端點是x的上限；

然后穿過積分區(qū)域D的內(nèi)部作平行于y軸的直線，方向和y軸同向，穿入點的縱坐標y的表達式就是y的下限，穿出點y的表達式就是y的上限.（即穿過區(qū)域作平行于坐標軸的直線，方向和坐標軸同向，先交下限寫，后交上限見）(3)按次序計算兩次定積分即可.注意：二次積分的上限不小于下限.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分例1

計算二重積分其中積分區(qū)域解也可以高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分把區(qū)域D看作X型區(qū)域，則例2設(shè)D是由直線

與拋物線

所圍成的閉區(qū)域，試求（1）閉區(qū)域D的面積

（2）以曲面

為頂，以D

為底的曲頂柱體的體積V.解由

得交點為(2)由二重積分的幾何意義，得高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分所圍成的區(qū)域.解

積分區(qū)域D如圖所示，把D看作Y

型區(qū)域，則D可表示為故

例3

計算二重積分

其中D是由直線

高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分于是若把D看作X型區(qū)域，則可將D分為

和

兩部分：高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分為頂點的三角解

例6

計算二重積分

其中

是以形閉區(qū)域.由被積函數(shù)可知，先對

y積分不行，因此取

為Y型區(qū)域，即

故注意二重積分化為二次積分時，積分次序的選擇十分關(guān)鍵.選積分次序時，需要同時考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點.選積分次序的原則是：①能積分

②少分片

③計算簡.高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分2、在極坐標系中計算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域用極坐標表示較簡單（如圓形、扇形），且被積函數(shù)容易用極坐標表達（如含有

等形式

），可考慮用極坐標來計算.

設(shè)有極坐標系下的積分區(qū)域D滿足：從極點出發(fā)穿過區(qū)域內(nèi)部的射線與區(qū)域的邊界曲線相交不多于兩點.設(shè)函數(shù)

在區(qū)域

上連續(xù)，則在極坐標下可以寫成

用一組以極點為圓心的同心圓（r=常數(shù)）和從極點出發(fā)的一組射線（=常數(shù)）將區(qū)域D分割成

n個小區(qū)域,如圖.

這時小區(qū)域

的面積為于是面積元素高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分因此這是二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式.

在極坐標系下，二重積分一般可化為先對

后對

的二次積分，根據(jù)積分區(qū)域的特點分為以下幾種情況：（1）極點在區(qū)域D之外，如圖,此時區(qū)域D可表示成故高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分（2）極點在區(qū)域D的內(nèi)部，如右圖,此時區(qū)域D可表示成故（3）極點在區(qū)域D的邊界上，如圖,此時區(qū)域D可表示成故高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分

例5

計算

，其中區(qū)域解所以在極坐標系下，積分區(qū)域

D可表示成高等數(shù)學第6.6節(jié)二重積分解

所以

例6

計算

，其中區(qū)域D是圓域

在第