第4.5節(jié)

向

量

空

間一、向量空間的概念二、二、向量空間的基和維數(shù)線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間定義7向量的數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合

為一個(gè)向量空間．設(shè)

為非空的

維向量的集合，若集合

對(duì)于向量的加法及一、向量空間的概念對(duì)線(xiàn)性運(yùn)算封閉的非空向量集合即為向量空間.集合

對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉是指:(1)任取

，有

；

(2)任取

，

有

.例如n維向量的全體

是一個(gè)向量空間.(可知必含零向量）線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間例1元齊次線(xiàn)性方程組的解集判斷下列向量的集合是否為向量空間.稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組的解空間.非齊次線(xiàn)性方程組的解集設(shè)

為兩個(gè)已知的

維向量，集合稱(chēng)為由向量

所生成的向量空間，記為

也可記為是否是否是線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間一般地，由向量組

所生成的向量空間為也可記為例4.16設(shè)向量組

與

向量組

等價(jià)，記試證證設(shè)

，則

可由

線(xiàn)性表示.因

可由線(xiàn)性表示，故

可由

線(xiàn)性表示，即.因此類(lèi)似可證綜上，有即

等價(jià)的向量組生成的向量空間一樣.線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間定義8設(shè)有向量空間

及

，若

，就稱(chēng)

是

的子空間.例如任何由

維向量所組成的向量空間都是

的子空間.二、向量空間的基和維數(shù)定義9若向量

是向量空間

中的

個(gè)向量

，且滿(mǎn)足

（1）

線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）

中任一向量都可由

線(xiàn)性表示，那么向量組

稱(chēng)為向量空間

的一個(gè)基，

稱(chēng)為向量空間

的維數(shù)，記為

，并稱(chēng)

為

維向量空間.基所含向量的個(gè)數(shù)線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間說(shuō)明

（1）只含有零向量的向量空間稱(chēng)為0維向量空間，因?yàn)樗鼪](méi)有基．

（2）若把向量空間

看作向量組，那么

的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.例如

任何

個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的

維向量都可以作為的一個(gè)基.維向量空間為.例如齊次線(xiàn)性方程組的解空間的一個(gè)基

，則解空間可表示為若能找到解空間（解空間的基叫基礎(chǔ)解系）線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間定義10一向量

可惟一地表示為設(shè)向量

是向量空間

的一個(gè)基

，若

中任

則稱(chēng)有序數(shù)組

稱(chēng)為向量

在基

下的坐標(biāo)，并記作線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間例如向量

在基

下的坐標(biāo)就是該向量的分量.因此單位坐標(biāo)向量組在中取單位坐標(biāo)向量組為基，則叫做

n維向量空間

的自然基.線(xiàn)性代數(shù)4.5向量空間例4.17

設(shè)驗(yàn)證

是

的一個(gè)基，并求

這個(gè)基下的坐標(biāo).解對(duì)矩陣

施行初等行變換：線(xiàn)性代數(shù)