專題09從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式

【題型歸納目錄】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

題型四：一次分式不等式的解法

題型五：實際問題中的一元二次不等式問題

題型六：不等式的恒成立問題

【知識點梳理】

【知識點梳理】

知識點一：一元二次不等式的概念

一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即

形如+或a?+6x+c<0(40)(其中a,b,c均為常數(shù),aH0)的不等式都是一元二次不

等式.

知識點二：二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)y=52+6x+c,我們把使"2+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=蘇+bx+c

的零點.

知識點三：一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.

知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系

對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為百、/且再V迎，設(shè)△=6?-4ac,它的解按照△>0,

A=0,A<0可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax?+6x+c(a>0)的圖像與x軸的位置關(guān)系也分為三

種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式ax2+6x+c>0(a>0)或ax2+6x+c<0(a>0)的解集.

A=Z)2-4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)

y=ax2++c

(a>0)的圖象aQ\^X2*k

有兩相等實根

ax2+fcr+。=0有兩相異實根

無實根

的根b

(a>0)Xj,X2(%1<X2)

第1頁共24頁

ax2++c>0(Ib1

{x|x<再或%>\x\x---fR

(a>0)的解集112力

ax2++。<0

卜上<x<x2^00

(。>0)的解集

知識點詮釋：

(1)一元二次方程辦2+&+，=0(°丁())的兩根再、々是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物

線>=辦？+6x+c與x軸的交點的橫坐標(biāo)；

(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；

(3)解集分△>0,A=(),△<0三種情況，得到一元二次不等式辦2+6x+c>0與#+6x+c<0的解集.

知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟

(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；

(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；

(3)求解所列出的不等式(組)；

(4)結(jié)合題目的實際意義確定答案.

知識點六：一元二次不等式恒成立問題

(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即依2+法+。>0(0工0)恒成立01；：：恒成立

<0

ax9+bx+c<0(。w0)=《

[A<0.

(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.

知識點七：簡單的分式不等式的解法

系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”

【典例例題】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

例1.(2023?高一課時練習(xí))不等式_4+》-/<0的解集是.

【答案】R

【解析】整理得Y一x+4>0,

第2頁共24頁

:拋物線y=/-x+4開口向上，A=(-l)2-4x4xl<0,

所以原不等式的解集為R.

故答案為：R

例2.(2023-iWj—'課時練習(xí))不等式:x~+2x+420的解集為

【答案】R

【解析】原不等式可變形為7+8X+16N0,

(X+4)2>0,

xeR,

則原不等式的解集是R.

故答案為：R

例3.(2023,高一課時練習(xí))(》-2乂》+3)>x-2的解集為

【答案】{x|x<-2或尤>2}

【解析】因為(x-2)(x+3)>x-2,

所以(x-2)(x+3)-(x-2)>0,

即(尤-2)卜+2)>0,

所以x<-2或無>2.

所以不等式的解集為{尤［x<-2或x>2}.

故答案為：卜|x<-2或x>2}

變式1.(2023?高一課時練習(xí))不等式V-2尤+1<0的解集為—

【答案】0

【解析】原不等式可以化為(尤-1)?<0,

因為在實數(shù)范圍內(nèi)，(X-20恒成立，

原不等式解集是。.

故答案為：0

變式2.(2023?高一課時練習(xí))不等式-6<--5》<24的解集為

【答案】{x13<x<2或3<尤<8}

f2-5x<24

【解析】原不等式等價于x，二八

x—5x>-6

x—5x—24<0

x-5x+6>0

—3<x<8-3<x<8

第3頁共24頁

故原不等式的解集為{x13<x<2或3<x<8}.

故答案為：{x13<x<2或3<x<8}

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

例4.（多選題）（2023?四川南充?高一四川省南充市白塔中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式a/+八+cwo

的解集為{x|xV-2或x23},則下列說法正確的是（）

A.a<0B.辦+（;>0的解集為{尤.<6}

C.8a+46+3c<0D.ex?+6x+。<0的解集為卜I-x<J

【答案】ABD

【解析】關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x\xV-2或尤23},

故.<0,且，。，整理得到。=-a,c=-6a,

-2x3=-

一a

對選項A：a<0,正確；

對選項B：ax+c>0,即Q（X—6）>0,解得X<6,正確；

對選項C：8〃+46+3。=8。-4。一18。=一14?！?,錯誤；

對選項D：ex2+bx+a<0即一6辦2一辦+Q<o,即dx^+x-ivo,

解得一彳<%<7，正確.

23

故選：ABD

例5.（多選題）（2023?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級中學(xué)校考期末）已知關(guān)于工的不等式

"2+樂+°>0解集為{x|x<—3或x>4},則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集為⑸》<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ex?！?x+a<0的解集為，M:或

【答案】AD

【解析】關(guān)于x的不等式辦2+fcc+c>0解集為{H》<-3或x>4},

結(jié)合二次函數(shù)了=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的關(guān)系，

可得。>0,且-3,4是ax2+6x+c=0的兩根，A正確；

第4頁共24頁

所以bx+c>0即一辦一12。>0,，x<—12,即6x+c>0的解集為{引入<-12},B錯誤；

由于％的不等式52+法+°>0解集為{引x<-3或x>4},

故X=1時，6ZX2+/>%+c<0,即〃+b+c<0,C錯誤；

由以上分析可知不等式G?—及+4<0即-12分2+分+4<0,

因為Q>0,故12%2—%—1>0,「.％<—或%>—,

43

故不等式CX2—6X+Q<0的解集為{x|工<_：或1〉；〉,D正確，

故選：AD

例6.（多選題）（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為但％<-3或x24},

則下列說法中正確的是（）

A.a>0B.不等式bx+c>0的解集為{x|x〈T2}

C.a+b+c>QD.不等式c?—為+4<0的解集為kx<—；或

【答案】ABD

［解析］因為關(guān)于'的不等式“+樂+o之0的解集為{#W—3或x24},

所以?！?且方程a/+加+0=O的根為-3,4,故A正確；

bc

則--=1,—=-12,所以b=-a,c=-12〃，

aa

所以a+b+c=-1勿<0,故C錯誤；

則不等式fer+c〉0即為不等式-辦-12a>0,解得a<-12,

所以不等式樂+c>0的解集為卜卜<-12},故B正確；

不等式ex?-6x+Q<o即為不等式一12"2+ax+q<o,

即為12—_%一1〉o,解得x〉7或X<-:，

34

所以不等式cx'-bx+avO的解集為卜卜<-；或x>［,故D正確.

故選：ABD.

變式3.（多選題）（2023?湖南郴州?高一?？茧A段練習(xí)）若不等式以2-bx+c>0的解集是（T,2）,則下列

選項正確的是（）

A.a+b+c=QB.a<0

C.6>0且c<0D.不等式a/+cx+6>0的解集是R

【答案】AB

【解析】由于不等式加-6x+c>0的解集是（T2）,

所以a<0,B選項正確,

第5頁共24頁

1=2

-1+2=-

且“，即■a,則Z)=〃,c=-2〃，

-1x2=--2=-

a

所以Q+6+C=Q+Q-2Q=0,A選項正確，

b=a<0,c=-2a>0,C選項錯誤，

不等式ax?+cx+6〉o,即辦2一2辦+。〉0，

即》2-2尤+1=（x-1）2<0,無解，D選項錯誤.

故選：AB

變式4.（多選題）（2023?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）已知集合卜|/+如+6=0,。>0｝有且僅有兩個子集,

則下面正確的是（）

A.a2-b2>4

r21,

B.aH—<4

b

C.若不等式尤2+辦-6<0的解集為（再廣2）,則中2<0

D.若不等式V+加+6〈c的解集為（x”X2）,且上―刃=4,貝ljc=4

【答案】CD

【解析】由于集合H/+°龍+6=0,。>0｝有且僅有兩個子集，

所以方程/+ax+6=0只有一解，所以△=/一46=0,所以/=46,

由于。>0,所以b>0.

A,a2-Z>2=4Z）-Z>2=-（Z7-2）2+4<4,當(dāng)6=2,a=2a時等號成立，故A錯誤.

2

B,a+-=4b+->2sL^=4,當(dāng)且僅當(dāng)46=匕6=±〃=后時等號成立，故B錯誤.

bb\bb2

C,不等式/+辦-6<0的解集為（x”％）,所以方程x?+辦-6=0的兩根為為，%，所以再迎=-6<0,故C

正確.

D,不等式x?+ax+b〈c的解集為（占戶2）,即不等式d+ax+6-c〈0的解集為（西戶2）,且歸―引=4,貝ij

玉+x2=-a,x［x2=b-c,

則上一%2「=（%+々『一駕馬="之一4?-c）=4:=16,所以c=4,故D正確,

故選：CD

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

例7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若解不等式（。-％）>0.

［解析］0<a<1,a<一,

a

第6頁共24頁

原不等式可化為<0,

解得a<x<—.

a

故原不等式的解集為卜卜<x<4.

例8.(2023?高一'課時練習(xí))解關(guān)于%的不等式/一2加工+加+1〉0.

【解析】不等式對應(yīng)方程一—2加x+加+1=0的判別式A=(-2加了-4(加+1)=4(沈2一加一1),

(1)當(dāng)A〉0,即冽〉匕好或加<上*5時，

22

由于方程—2mx+m+l=0的根是x=m±yjm2-m—\，

所以不等式的解集是｛x\x<m-\lm^-m-1或x〉加+yjm1—m—1｝；

(2)當(dāng)A=0,即〃，=生5時，不等式的解集為｛刈尤eR且xwM；

2

(3)當(dāng)A<0,即匕6〈加〈上正時，不等式的解集為R,

22

故機(jī)>或m<1,時，不等式的解集是｛x|x<m-^m2-m-1或x>m+y/m2-m-1｝；

機(jī)=上或時，不等式的解集為｛x|無wR且xwM；

2

匕在<〃?<1±^時，不等式的解集為R.

22

例9.(2023?高一課時練習(xí))已知函數(shù)〉=--(“+加+2°.

⑴若關(guān)于X的不等式y(tǒng)<0的解集為｛x[i<x<2｝,求。，6的值；

(2)當(dāng)6=2時，解關(guān)于x的不等式>>0.

【解析】(1)因為關(guān)于x的不等式歹<0的解集為｛x|l<x<2｝,

所以關(guān)于工的方程——(。+瓦)%+2〃=0的兩個根為1和2,

1a+b=3-

\_，解得。=1,6=2；

[2a=2

(2)當(dāng)2=2時,原不等式可化為％2一不+2)1+2〃>0,HP(x-d)(x-2)>0,

當(dāng)〃<2時，解得或x〉2；

當(dāng)。=2時，解得xw2；

當(dāng)a>2時，解得％<2或％〉〃；

綜上可知，當(dāng)〃(2時，原不等式的解集為(-8,〃)U(2,+8)；

當(dāng)a>2時，原不等式的解集為(-s,2)U(a,+8).

變式5.(2023?高一課時練習(xí))已知關(guān)于》的不等式辦2+2"+120對于VXER恒成立.

第7頁共24頁

⑴求。的取值范圍；

⑵在(1)的條件下，解關(guān)于X的不等式無2一》一/+.<0.

【解析】(1)當(dāng)。=0時，不等式120恒成立，

當(dāng)時，若不等式依？+2辦+1\0對于VxeR恒成立，

fa>0

則L，2彳…，解得0<。41，

[A=4o-4a<0

綜上，。的取值范圍為[0』.

(2)x2—x—a2+a<0y旦04a41,

.-.(x-a)[x-(l-a)]<0,X0<a<l,

①當(dāng)l-a>a,即OWa<—時，貝！]a<x<l-a；

2

②當(dāng)l-a=a,即a=g時，(x-g]<0,不等式無解；

③當(dāng)l-a<a,即工<aVl時，貝！jl-a<x<a,

2

綜上所述，當(dāng)OWa<g時，不等式的解集為｛x[a<x<l-力；

當(dāng)時，不等式的解集為0；

當(dāng);<aVl時，不等式解集為｛x|l-a<尤<a｝.

變式6.(2023?浙江杭州?高一杭師大附中?？计谥?己知函數(shù)了="2-無一。一人

(1)若分-x-"6<0的解集為卜1,2),求a,6的值.

(2)若。>0,求解不等式ad-x-a+lcO.

【解析】(1)???加-》-0-6<0的解集為卜L2),

；?方程辦2-x-a-b=0的兩個實根分別為一1,2,且。>0,

[a+1-a-b=0[a=\

則.，八八解得：L,?

[4a-2-a-b=0[6=1

(2)ax2-x-a+l<0中，

當(dāng)a>0時，則A=1—4a(—a+l)=(2a-l)220,

ax2—x—a+1<0化為(ax+a—l)(x—1)<0,

若一^1〉1時，即0<a<,，解得1<%<—1+2，

ala

Q—11

若-----=1時，即。=二，無解,

a2

若一心<1時，即0>工，解得一l+工〈尤<1：

a2a

第8頁共24頁

綜上，當(dāng)0<。<7時，+1<0的解集為（1,-1H）;

2a

當(dāng)時，々7_4+1<0的解集為°；

當(dāng)〃時，"2—X—〃+1<0的解集為（―1+1,1）

2a

題型四：一次分式不等式的解法

例10.（2023?全國?高一專題練習(xí)）不等式上」>0的解集為

x+2---------

【答案】卜]》>1或彳<-2}

【解析】根據(jù)分式不等式解法可知二>0等價于（x-l）（x+2）>0,

x+2

由一元二次不等式解法可得X>1或x<-2；

所以不等式3>0的解集為{x|x>l或》<-2}.

x+2

故答案為:{x|x>l^x<-2}

例11.（2023?上海青浦?高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是

X3------

【答案】（-8,0）U（3,+8）

【解析】解:因為所以xwO,兩邊同時乘以3x2可得：

x3

3x</,解得x<0或x>3,所以解集為:（-℃,0）U（3,+oo）

故答案為：（-0°,0）U（3,+<?）

y-L4

例12.（2023?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）不等式三產(chǎn)二41的解集為.

【答案】（-?,-2]U[1,+?）

【解析】由于#+2X+2=（X+1）2+1>0,

丫+4

所以不等式即不等式x+4vd+2x+2,

x+2x+2

即V+x-ZNO,解得xV-2或尤21,

y-L4

故不等式2；、41的解集為（一叫一2]1^1,+8）,

x+2x+2

故答案為：（-*-2]UU,+⑹

變式7.（2023?遼寧丹東?高一丹東市第四中學(xué)校考期末）不等式三三40的解集是

3+2x

【答案】f-1,4

第9頁共24頁

T?Oo[(x一蹴2x+3)V0=二U44

【解析】

3+2x[2x+3w02

x—4

即不等式三<0的解集是

故答案為：[-|,4

變式8.（2。23?四川巴中?高一四川省平昌中學(xué)校考階段練習(xí)）不等式三>2的解集為——

c1

【答案】x\—2<x<一

2

色一則二一-匕目

【解析】>2,2=>0

x+2x+2x+2

等價于（1-2x）（x+2）>0,解得一2<x<],

即不等式上>2的解集為

故答案為：jxl-2<x<2r

變式9.（2。23?上海寶山?高一上海交大附中校考階段練習(xí)淺于x的不等式。的解集是一

【答案】（20,23]

丫一23x-20w0

【解析】不等式^化為:解得20<x?23，

(x-23)(%-20)<0

所以不等式vo的解集是（20,23].

x-20

故答案為：（20,23].

題型五：實際問題中的一元二次不等式問題

例13.（2023?全國?高一專題練習(xí)）2022年7月1日，迎來了香港回歸祖國25周年，為了迎接這一歷史性時

刻，某商店購進(jìn)一批香港回歸25周年紀(jì)念章，每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能

賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷售收

入，則這批紀(jì)念章的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A.（10,20）B.[15,20）C.（16,20）D.[15,25）

【答案】B

【解析】由題意，得x[45-3（15）]>600,即/一30x+200<0,解得10<x<20.

又每枚的最低售價為15元，，154》<20.

故選：B.

例14.（2023?高一課時練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價

第10頁共24頁

銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元

以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A.（10,20）B.[15,20）C.（18,20）D.[15,25）

【答案】B

【解析】由題意，^x[45-3（x-15）]>600,即*-30x+200<0,，（工一1。）（工一20）<0,解得10<x<20.又

每盞的最低售價為15元，,15Vx<20.

故選：B.

例15.（2023?全國?高一專題練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能

賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400

元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A.1x|10<x<16|B.1x|12<x<18j

C.1x|15<x<20jD.1x|10<x<201

【答案】C

【解析】結(jié)合題意易知，翩-2（xT5）汝>400,

BPX2-30X+200<0,解得10<X<20,

因為x〉15,所以15<1<20,

這批臺燈的銷售單價X的取值范圍是{x|15<x<20},

故選：C.

變式10.（2023?高一課時練習(xí)）某村辦服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x（件）與售價p（元/件）的關(guān)系

為p=3002x；生產(chǎn)x件的成本尸500+30x（元），為使月獲利不少于8600元，則月產(chǎn)量x滿足（）

A.55<x<60B.60<x<65C.65<x<70D.70<x<75

【答案】c

【解析】由題意可得（300-2x）x-（500+30x）N8600,

即f-135x+455040，

貝i]（x_65）（x-70）W0,

故65VxV70,

故選：C

變式11.（2023?全國?高一假期作業(yè)）某種雜志原以每本3元的價格銷售，可以售出10萬本.根據(jù)市場調(diào)查,

雜志的單價每提高01元，銷售量就減少1000本.設(shè)每本雜志的定價為x元，要使得提價后的銷售總收入不

低于42萬元，則x應(yīng)滿足（）

A.6?羽7B.5?%,7C.5?%,6D.4?%,6

【答案】A

第11頁共24頁

x—3

【解析】設(shè)提價后雜志的定價設(shè)為X元，則提價后的銷售量為：10-三X0.1萬本，根據(jù)銷售的總收入不

低于42萬元，列出不等式求解即可.設(shè)提價后雜志的定價設(shè)為尤元，則提價后的銷售量為：萬

本，

因為銷售的總收入不低于42萬元，

列不等式為：[10-鏟X?！共?42,

即(x-6)(x-7),0,即6?7,

故選：A.

題型六：不等式的恒成立問題

例16.(2023?高一課時練習(xí))若不等式公-2》+52/一3。對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為

()

A.[-1,4]B.(-oo,-2)o[5,+co)

C.(-8,-1)。[4,+司D.[-2,5]

【答案】A

【解析】X2-2X+5=(X-1)2+4>4,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

故°2一3°44,故

故選：A.

例17.(2023?高一課時練習(xí))已知不等式機(jī)f+4mx一4<0對任意實數(shù)x恒成立，則加的取值范圍是()

A.|—1<m<OjB.<m<0j

C.｛加|刃4-1或機(jī)>0｝D.[m\-l<m<0|

【答案】D

【解析】①若％=0,則-4<0恒成立，滿足題意；

…，[m<0

②機(jī)N0,則｛人2,z-n，

[A=16加+16m<0

[m<0

.,/.-l<m<0.

[-l<“7<0n

綜上所述-1<加V0.

故選：D

例18.(2023?高一課時練習(xí))已知函數(shù)y=(a-2)/+2(a-2)》-4,若對任意實數(shù)x,函數(shù)值恒小于0,則

a的取值范圍是()

A.(-2,2]B.[-2,2]

C.(-no,-2)U[2,+co)D.(-a>,-2]U(2,+co)

【答案】A

第12頁共24頁

【解析】當(dāng)〃=2時，y=T<0恒成立，則。=2；

當(dāng)Qw2時，依題意，二次函數(shù)y=(〃-2)%2+2(〃-2)%-4的圖象總在x軸下方，

于是("2)2+16("2)<。,解得一2<。<2,則-2<"2；

綜上所述：a的取值范圍是(-2,2].

故選：A.

變式12.(2023?高一課時練習(xí))已知xw(T,5]時，生三>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

1+X

A.(-l,+oo)B.[-l,+oo)C.(5,+co)D.[5,+oo)

【答案】C

【解析】設(shè)曰>0的解集為4,

因為xe(-1,5]時，產(chǎn)>0恒成立，所以(-1,5上工，

由^___>o+>0,即(l+x)(x—〃)<0,

當(dāng)〃>一1,解得一1cx<Q,即4=(一1,可，可得〃〉5；

當(dāng)4<-1,解得即/=(〃,-1],不合題意；

當(dāng)Q=—1,解集為0,不合題意；

綜上所述：實數(shù)〃的取值范圍是(5,+◎.

故選：C.

變式13.(2023?安徽馬鞍山?高一統(tǒng)考期末)已知對一切XE[2,3],ye[3,6],不等式⑺?一孫+^之。恒成

立，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.m<6B.-6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【答案】C

【解析】???xe[2,3],”[3,6],則乂已口，

x32

X

又?:mx2-xy+y2>0，_&XG[2,3],X2>0，

令”*[1,3],則原題意等價于對一切，<1,3],加小―/恒成立,

二y的開口向下，對稱軸,=

2

第13頁共24頁

則當(dāng)/=1時，J=，-〃取到最大值J^ax=1-仔=0,

故實數(shù)冽的取值范圍是加20.

故選：C.

變式14.（2023?云南?高一校聯(lián)考期中汨知不等式"2+區(qū)+C>0的解集為{x|-2<x<3},且對于VxG[1,5],

不等式加+Q加x+2c>0恒成立，則加的取值范圍為（）

A.卜8,4句|B.卜巴4百）C.[13,+oo）D.（一叫13）

【答案】B

【解析】由不等式ax?+bx+°>o的解集為{工[一2<x<3},可知一2,3為方程辦2+法+o=0的兩個根，

bc

故Q<0且—=—2+3=1,—=（—2）x3=—6,即6=—a,c=-6a,

aa

則不等式bx2+amx+2c>0變?yōu)?ax2+amx-12a>0，

io

由于。<0,XE[1,5],則上式可轉(zhuǎn)化為加<x+—在[1,5]恒成立，

x

又X+空22、口2=46,當(dāng)且僅當(dāng)x=2g時等號成立，

X\X

故7〃<4^/3.

故選：B.

變式15.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若關(guān)于尤的不等式/_4工_2_040有解，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[a\a>-2}B.{a\a<-2}C.{a\a>-6}D.{a\a<-61

【答案】C

【解析】若關(guān)于x的不等式工2—4工一2—.40有解，

則A=16+4（2+a）Z0,解得-6.

故選：C.

變式16.（2023?北京?高一?？计谥校┯馿R,使江-4x+a>0成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（-2,+co）C.（-oo,-2）U[0,+co）D.（-<?,-2）0（2,+<?）

【答案】B

【解析】當(dāng)。=0時，原式變?yōu)?4x>0,解得x<0,滿足條件；

當(dāng)。>0時，顯然*eR,使蘇-4x+a>0成立；

當(dāng)a<0時，要使ox?-4x+a>0有解，則需要A=（7）°-4axa=T（.2一⑷>0,

解得—2<a<2,又a<0,所以-2<q<0.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是（-2,+8）.

故選：B.

變式17.（2023?河北邯鄲?高一校考階段練習(xí)）設(shè)aeR,若關(guān)于x的不等式尤?一6+120在14x42上有解,

則（）

第14頁共24頁

55

A.a<2B.a>2C.a<—D.a>—

22

【答案】C

【解析】由V—冰+120在上有解，得^—2a在1W2上有解，

x

則。4三±1],由于H±l=x+L而x+工在1WXW2單調(diào)遞增，

IX/maxXXX

故當(dāng)x=2時，x+工取最大值為：，故awg,

x22

故選：C

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)xeR,則“x(x-4)<0”是“卜-1|<1"的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】解不等式以工—4)<0得0<x<4,

不等式卜-1|<1化為-1<尤-1<1，所以0<x<2,

因為｛x[0<x<2｝為｛x[0<x<4｝的真子集，

所以“x(x-4)<0”是小-1|<1"的必要不充分條件.

故選：B

2.(2023?遼寧高二校聯(lián)考階段練習(xí))關(guān)于x的不等式辦2+法+。>0e/0)的解集為(-3,1),則不等式

ex1++a<0的解集為()

A.f-pl'jB.卜(?,一；卜(1,+⑹

【答案】A

【解析】因為關(guān)于x的不等式af+bx+c>0（a+0）的解集為,

bc

所以a<0,且—3+1=—,—3x1=—,

aa

所以Z?=2〃，c--3a,

所以ex2+bx+a<0化為3x2-2x-l<0,

解得T<x<i.

第15頁共24頁

故選：A.

3.（2023?高一課時練習(xí)）不等式（龍+:（”一3）±o的解集為（）

2x+l

B.-1,一；]U（3,+8）

A.-1,——U[3,+GO）

C.T,_g]u[3,+co）D.卜l，-1u（3,+oo）

【答案】C

i解析】不等式亶4。等價于山川

利用數(shù)軸標(biāo)根法可得或x23,所以不等式解集為

故選：C

4.（2023?湖南邵陽?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式——5x+6>0的解集為（）

A.{x\2<x<3}B.

{x|x<2}

C.{x\x>3}D.{x|x<2或x>3}

【答案】D

【解析】由不等式5X+6〉0,可得（X—2）（X—3）>0,解得X<2或X〉3,

所以不等式的解集為或x〉3}.

故選：D.

5.（2023?高一課時練習(xí)）不等式|x-1閨燈的解集為（）

A.1,+jB.g+JC.D.

【答案】D

第16頁共24頁

1

【解析】因為|尤-1閆尤故(x-9l)W故一2X+120,故XW：,

故選：D.

6.(2023?山東聊城?高二山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí))關(guān)于實數(shù)x的一元二次不等式辦2+6x+c>0的解

集為(-2,1),則不等式01+1)+縱尤+i)+c<3融的解集為()

A.(0,2)B.(-鞏0)

C.(2,+co)D.(-oo,0)U(2,-H?)

【答案】D

【解析】由題意可得："2+6x+c=0的解為-2,1,且。<0,

U=-l

,a.,\b=a

可得，解得c，

c[c=-2a

—=—2

貝I」不等式+1)+b(x+l)+c<3辦，即為Q[2+1)+Q(X+1)-2Q<3",

且〃<0,則|+1)+(工+1)—2〉3x,整理得％2—2X>0,

解得x<0或x〉2,即解集為(-*0)U(2,+s).

故選：D.

7.(2023?高一課時練習(xí))已知》￡(-1,5]時，二>0恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍是()

1+x

A.(-l,+oo)B.[-1,+8)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】C

【解析】設(shè)產(chǎn)>0的解集為/,

因為xe(-l,5]時，臺:>0恒成立，所以(-1,5仁Z,

由￡x>0得(1+力(0_X)>0,即(l+x)(x-a)<0,

當(dāng)。>-1,解得-l<x<a,即N=(T,a],可得a>5；

當(dāng).<-1,解得即/=不合題意；

當(dāng)。=-1,解集為0,不合題意；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是(5,+8).

故選：C.

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))若不等式-—(。+1)》+。40的解集是[-4,3]的子集，則。的范圍是()

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

【答案】A

第17頁共24頁

【解析】原不等式可化為（x-a）（x-l）WO.

當(dāng)a<l時，不等式的解集為[a,1],此時只要a2-4即可，即-44a<1；

當(dāng)a=l時，不等式的解為x=l,此時符合要求；

當(dāng)a>l時，不等式的解集為[1,a\,此時只要。43即可，即l〈a￡3.

綜上可得：-4<a<3.

故選：A.

二、多選題

2

9.（2023?廣東深圳?高一深圳外國語學(xué)校校考期中）已知關(guān)于x的不等式x+bx+c>0的解集為&|xV-2或

x>3）,則（）

A.b=~\

B.c=-6

C.不等式ex?-bx+1<0的解集是

D.不等式^之。與J+bx+cNO的解集相同

x+2

【答案】AB

【解析】因為關(guān)于x的不等式/+6x+cW0的解集為｛x|x<-2或xN3｝,

、,,「-2+3=-6\b=-1.“

所以-2和3為方程/+6x+c=0的兩根，所以《，解得〈,故A正確，B正確；

[-2x3=c[c=-6

不等式CX2-6X+1<0即_6/+苫+1<0,所以6X2-X-1>0,即（3x+l）（2無一1）>0,

解得或x<-g,所以不等式cx2-bx+l<0的解集為，故C錯誤；

不等式七口2。等價于[（“二3）（：+2）'0,解得xz3或x<-2,故不等式士20的解集為｛尤|x23或

x<-2）,所以D錯誤；

故選：AB

10.（2023?山東德州?高二?？茧A段練習(xí)）對任意實數(shù)x,不等式2船?+日一3<0恒成立，則實數(shù)人可以是

（）

A.0B.-24C.-20D.-2

【答案】ACD

【解析】當(dāng)左=0時，不等式可化為-3<0恒成立，符合題意；

優(yōu)<0

當(dāng)無力0時，要使得不等式2履2+h一3<0恒成立，則滿足人,八，

[A=k2+24k<0

解得-24（左<0,

綜上可得，實數(shù)上的取值范圍為（-24,0],

結(jié)合選項，實數(shù)上可以是0,-20,-2.

第18頁共24頁

故選：ACD.

11.（2023?高一課時練習(xí)）某商場若將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備

采用提高售價來增加利潤.已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件.那么要保證每天所

賺的利潤在320元以上，每件銷售價可能為（）

A.13元B.15元C.17元D.18元

【答案】AB

【解析】設(shè)銷售價定為每件x元，利潤為y元，

貝Uy=（x-8）［100-10（x-10）］,

依題意有（x-8）［100-10（x-10）］>320,

即x2-28x+192<0,

解得12Vx<16,

所以每件銷售價應(yīng)為12元到16元之間，故每件銷售價可能為13元或15元，

故選：AB.

12.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知集合+"+6=0,。>0｝有且僅有兩