小專題2利用勾股定理探索兩點間距離公式

學習探究

探究平面直角坐標系中兩點間的距離，設Pi(x/%),「2(切，%).

⑴如圖1,當Pl,p2縱坐標相同時,PrP2=I/—尤21;;當PlH橫坐標相同時,PR=Iyi-y21.

x22

(2攻口圖2,P1C=|x2-x1\,P2C=|y2-y±I,由勾股定理，得PrP2=7(2-^i)+(72-y1)-

實戰(zhàn)演練

1.如圖，平面直角坐標系中,A(-4,0),C(l,0),以點A為圓心，AC長為半徑畫弧,交y軸正半軸于點B,則點B

的坐標為()

A.(0,3)B.(3,0)

C.(2,0)D.(0,2)

2.在平面直角坐標系中，點P(3,4),則點P到原點的距離為()

A.3B.-5

C.5D.4

3.在平面直角坐標系中，點A(2,-1),B(5,3),則AB的長為()

X,V13B.5C.4D.3

4.(教材習題變式)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標分別為A(1,2),C(5,2),B(5,4),則AB的長為

5.已知一個三角形各頂點坐標為A"1,4),B(-3,1),C(1,1),請判定此三角形的形狀.并說明理由.

6.如圖，已知A(3,0),B(0,4),在x軸上找一點C,使^ABC為等腰三角形，求所有點C的坐標.

小專題3方程思想在勾股定理中的運用

類型1單勾股列方程求解

[例1]如圖，在△ABC中,NC=9（r,AC=10,BC=6,EF為AB的垂直平分線，求AE的長.

解題思路:連接BE,設AE=x,貝!]BE=x,CE=.

根據(jù)勾股定理，得（CE2+BC2=BE2,

可列方程為.

解得x=.

針對訓練

1.（2023?隨州）如圖，在RtAABC中,/C=9（r,AC=8,BC=6,D為AC上一點若BD是/ABC的平分線廁AD=-

類型2雙勾股列方程求解

方法技巧1

作高，利用勾股定理構(gòu)建方程

條件：已知△ABC的三邊長.

AA

BD°BcD

方法:作ADLBC,垂足為D.

結(jié)論：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.

【例2]如圖，在4ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,AD，BC,求BD的長

根據(jù)勾股定理，得AD2=AB2-BD2=AC?—CD?,可歹I」方程為.

解得x=.

針對訓練

2.如圖，在△ABC中,BC=4,AC=13,AB=15或AABC的面積.

方法技巧2

共邊，利用勾股定理構(gòu)建方程

條件:/ACB=90。,CD_LAB于點D.

結(jié)論⑴AC,BC,AB,AD,DB,CD中，知二可求四；

⑵C"=AC2-AD2=BC2-BD2;

⑶心=AB2-BC2=AD2+CD2.

(4)BC2=AB2-AC2=BD2+CD2.

3.如圖，在△ABC中,NACB=90o,CD_LAB于點D,BD=2,CD=4,求AD的長.

ADB

小專題4利用勾股定理解決折疊問題

【例】如圖，在直角三角形紙片ABC中，/B=90o,AB=8,BC=6折疊三角形紙片ABC,使點A與BC的中

點D重合.折痕為MN,求線段BN的長.

【思路點撥】先求得BD的長，由翻折的性質(zhì)可知AN=DN,設BN=x，則AN=DN=8-x,在RtADBN中，由勾

股定理列出關于x的方程求解即可.

方法指導

解決折疊問題的關鍵是抓住對稱性.勾股定理的數(shù)學表達式是一個含有平方關系的等式,求線段的長時，可利用

勾股定理直接計算，也可設未知數(shù)，由勾股定理列出方程，運用方程思想解決問題.

針對訓練

1.如圖，在長方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF,則△A

BE的面積為()

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

卡'

AED\\

:\\

B\^^F--C

第1題圖第2題圖

2如圖，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°AC=4,BC=3.將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上

的點E處，折痕為AD,則BD的長為()

45

A-3B15C.-D.3

3如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3,EF分別在邊BC,CD上，將AB,AD分別沿AE,AF折疊點B.D恰

好都落在點G處.若BE=1,則EF的長為.

第3題圖第4題圖

4.如圖，在長方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射線BC上一動點，1為長方形ABCD的一條對稱軸，將4ABP沿

AP折疊，當點B的對應點B落在1上時,BP的長為.

5.如圖，在長方形ABCD中,E是AD的中點將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于點F.

⑴求證:DF=FG.

(2)若AB=6,BC2=96,求DF的長.

小專題5利用勾股定理解決最短路徑問題

類型1平面中的最短路徑問題

【例1】如圖，在△ABC中,/ACB=9(T,AC=3,BC=4,P為直線AB上一動點，連接PC,則線段PC的最小值是一

［例2］如圖.A(O,1),B(3,2),點P為x軸上任意一點，則PA+PB的最小值為,

方法指導

模型圖例基本策略

確定動點p所在的直線；

利用對稱性，將同側(cè)的A,B兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)

A\￥

兩點A：B,則最短路徑即為線段AB;

模型一

A常構(gòu)造直角三角形（RSCBA'）,利用勾股定

理求解

A

利用“垂線段最短”確定最短路徑；

模型二

1構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

BI

針對訓練

1.如圖，在RtAABC中,NC=9（r,BC=8,/ABC的平分線BD交AC于點D,且BD=10,E是邊AB上一動點廁

DE的最小值為

2.如圖,△ABC為等腰直角三角形AB=BC=2,Q為BC的中點,P為邊AC上一動點，則BP+PQ的最小值

為.

類型2幾何體中的最短路徑問題

［例3］（教材習題變式）如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm,底面半徑等于3cm.在圓柱的底彳73

面點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B的食物，需要爬行的最短路程是多少（兀取一、

3）?

【思路點撥】要求螞蟻爬行的最短路程，需將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（即立體圖形的平面展開圖），把圓柱

沿著過點A的直線AA，剪開，因為“兩點之間，線段最短”，所以螞蟻應沿著平面展開圖中線段AB這條路線走.

方法指導

幾何體中最短路徑基本模型如下：

類型圖例

3B

居

一

4

0

4

層

一

4

長

方

體

甲乙丙

將立體圖形展開成平面圖形T利用“兩點之間，線段最短”確定最短路線T構(gòu)造直角三角

基本思路

形一利用勾股定理求解

針對訓練

3.如圖，圓柱形容器的底面周長是24cm,高為17cm,在外側(cè)底面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器

的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長是

()

A.20cmB.843cm

C.V433cmD.24cm

x-----X

------

?24cm

S匕

%匕%.5cm

3.5cm

第3題圖第4題圖

4.如圖，一個無蓋的長方體盒子的長、寬、高分別為3.5cm,3.5cm,24cm,一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的

表面爬到盒頂?shù)狞cB,則它爬行的最短路程是______cm.

5.如圖，有一個邊長為6的正方體木箱，點Q在上底面的棱上,AQ=2,一只螞蟻從點P出發(fā)沿木箱表面爬

行到點Q，則螞蟻爬行的最短路程是.

第5題圖第6題圖

6.（本專題T4變式）如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經(jīng)過

四個側(cè)面纏繞一圈達到點B,那么所用細線最短需要_______cm.

7.如圖，一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20,3,2,A和B是這個臺階兩個相對的端點，點

A有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點B的最短路程是.

第7題圖

8.（2023.廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一

滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到

內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

9.如圖，長方體的高為5cm,底面長為4cm,寬為1cm.

⑴點Ai到點C2之間的距離是多少？

（2）若一只螞蟻從長方體的表面點A?爬到點Ci,則爬行的最短路程是多少?

A

Bi

小專題2利用勾股定理探索兩點間距離公式一教材P26練習T2的變式與拓展

1.A2.C3.B4.2V5

5.解:△ABC是等腰三角彩理由如下：：AB=VC-1+3)2+(4-1)2=后,BC=

7(-3-I)2+(1-I)2=44C=V(-l-I)2+(4-I)2=V13,.-.48=XC,XB2+^C2*BC2.AABC為等月要三

角形.

6.解:設C(x,0).VA(3,0),B(0,4),.\AB=V32+42=5,4C=|3-x|,BC=+咋.①當AB=AC時,△ABC為

等腰三角形.|3-x|=5,解得x=-2或x=8.點C的坐標為(-2,0)或(8,0);②當AB=BC時,△ABC為等腰三角形

代+16=5,解得x=3或x=-3.當x=3時，點A,C重合，不合題意，舍去....點C的坐標為(-3,0);③當AC=BC時,△ABC

為等腰三角形.；.|3-x|=解得x=.點C的坐標為(-！0).綜上所述，點C的坐標為(-2,0)或(8,0)或(-3,

0)或

小專題3方程思想在勾股定理中的運用

【例1】10—%(10—X)2+62=X2y

【例2】14-Xis2-x2=132-(14-x)29

針對訓練

1.5

2.解:過點A作ADXBC于點口.設(CD=x.vAC2-CD2=AB2-BD2,：.132-x2=152-(4+刀尸,解得x

=5..-.AD=-JAC2-CD2=V132-52=12.SAABC=\BC-AD=|x4X12=24.

3.解:設AD=x.在RtAACD中”AC2=AD2+CD2=x2+42.在RtABCD中，BC2=CD2+BD2=42+22.在

RtAABC中,AC2+BC2=AB2,即x2+42+42+22=(x+2產(chǎn)解得x=8.AD=8.

小專題4利用勾股定理解決折疊問題

【例】解:；D為BC的中點，BD=CD=3.設BN=x，則AN=DN=8-x.在RtABDN中，由勾股定理得((8-x)2=

/+32,解得“=||.故BN的長為|