第十章二元一次方程組大單元教學(xué)設(shè)計

主備人課型新授時間

課程標(biāo)準(zhǔn)課題第10章二元一次方程組課時課時

1.教材地位與內(nèi)容結(jié)構(gòu)

本章是初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的重要章節(jié)，承上啟下：既是對一元一次方程的拓展（從“單

一未知數(shù)”到“多元未知數(shù)”），也為后續(xù)學(xué)習(xí)三元一次方程組、一次函數(shù)及不等式

組奠定基礎(chǔ).教材圍繞“二元一次方程（組）的概念一解法（代入法、消元法）一應(yīng)用”

展開，強調(diào)從實際問題中抽象數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活”的理念.

大單元主

2.新課標(biāo)要求

題背景分

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，本章需聚焦“模型觀念”“應(yīng)用意識”

析（教材

等核心素養(yǎng)，要求學(xué)生能通過分析簡單實際問題中的數(shù)量關(guān)系，建立二元一次方程組

分析）

模型，并運用代數(shù)方法解決問題.

3.學(xué)情分析

七年級學(xué)生已掌握一元一次方程的解法，但對多元方程存在認知斷層，易混淆“方程”

與“方程組”的解法邏輯.教學(xué)中需通過對比教學(xué)（如“對比一元與二元方程的異

同”），引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實際問題一數(shù)學(xué)模型一符號運算一結(jié)果檢驗”的完整過程.

一、知識與技能

理解二元一次方程（組）及其解的概念，掌握代入消元法和加減消元法.

能根據(jù)實際問題列二元一次方程組，并檢驗解的合理性.

初步感知方程組解的情況（唯一解、無解、無窮多解）與系數(shù)的關(guān)系.

二、數(shù)學(xué)思考

通過對比一元與二元方程的解法，體會“消元”思想的核心價值，發(fā)展代數(shù)推理能力.

單元教學(xué)在探索方程組解的過程中，培養(yǎng)歸納、類比和符號化表達能力.

的目標(biāo)三、問題解決

能用方程組模型解決配套問題、工程問題、行程問題等經(jīng)典題型.

通過小組合作設(shè)計“生活預(yù)算方案”（如合理分配零花錢），提升綜合建模

能力.

四、情感態(tài)度

感受代數(shù)方法的普適性，增強對數(shù)學(xué)應(yīng)用的信心.

在探究活動中培養(yǎng)耐心與批判性思維（如主動檢驗方程解的合理性）.

活動一二元一次方程組

學(xué)習(xí)活動活動二解二元一次方程組

設(shè)計活動三實際問題與二元一次方程組

活動四三元一次方程組的解法

1.過程性評價

課堂觀察：記錄學(xué)生在小組討論中的參與度（如能否清晰表達"消元"步驟的邏輯）.

學(xué)習(xí)評價

作業(yè)分析：設(shè)計分層作業(yè)（基礎(chǔ)題：解方程組；拓展題：設(shè)計含參數(shù)方程組并討論解

設(shè)計

的情況）.

2.終結(jié)性評價

單元測試：包含概念理解（如判斷方程組類型）、技能應(yīng)用（如解復(fù)雜方程組）、綜

合題（如列方程組解決實際問題）.

項目展示：以"我的購物清單”為主題，學(xué)生用方程組模型設(shè)計最優(yōu)采購方案，并撰寫報

告.

3.評價量表示例

維度優(yōu)秀（4-5分）待改進（1-3分）

模型建立準(zhǔn)確抽象問題并列出規(guī)范方程組無法將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達式

代數(shù)運算靈活選擇消元法且步驟清晰機械套用公式，符號錯誤頻發(fā)

反思能力主動檢驗解的合理性并提出優(yōu)化方案忽略檢驗環(huán)節(jié)，解明顯不符合實際

在實施《二元一次方程組》單元教學(xué)后，需從實踐反饋中動態(tài)優(yōu)化教學(xué)策略.教學(xué)

中發(fā)現(xiàn)學(xué)生易混淆“代入法”與“加減法”的適用場景，對此可設(shè)計“方程組特征分

析表”，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察系數(shù)特點（如是否含簡單系數(shù)、相反項或倍數(shù)關(guān)系）自主

選擇解法，而非機械記憶步驟.針對計算過程中頻繁出現(xiàn)的符號錯誤或漏乘項問題，可

引入“分步書寫+同桌互查”機制，要求每一步運算標(biāo)注算理（如“為何此處需乘2?”），

反思性教

并通過錯誤案例示范強化規(guī)范意識.為突破“消元思想”的抽象性，可借助“天平平衡”

學(xué)改進

實物模型，將代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為直觀的等量關(guān)系操作.此外，需關(guān)注學(xué)生模型意識的差異

性：對學(xué)困生提供“消元法步驟卡”降低認知負荷，對學(xué)優(yōu)生則設(shè)置“含參數(shù)方程組

解的情況探究”任務(wù)拓展思維深度.長期需跟蹤學(xué)生能否將方程組工具遷移至函數(shù)、不

等式等領(lǐng)域，通過“數(shù)學(xué)建模日記”記錄生活實例，形成“問題抽象一符號建模一結(jié)

果解釋”的完整思維閉環(huán)，最終實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”的素養(yǎng)躍升.

單元教學(xué)

結(jié)構(gòu)圖

教學(xué)設(shè)計

課題二元一次方程組

學(xué)習(xí)活動教,麗活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

設(shè)計新疆是我國本帛花的主要產(chǎn)出也之一.教師提問，學(xué)生獨立思考并舉手通過學(xué)生熟

近年來，機械化采棉已經(jīng)成為新強棉米回答.

悉的實際問

摘的主要方式.某彳F中棉大戶租用(臺大、

小兩種型號的采木帛機.1h就完成了8題引入，吸

hm2棉田的采摘.如果大型采棉機1h

引學(xué)生的課

完成2hm2棉田的采摘，小型采棉機1

h完成1hm2棉壓1的采摘，那么這個種堂注意力：

棉大戶租用了大、小型采棉機-各多少

臺？由淺入深，

激發(fā)學(xué)習(xí)興

h趣.

K<二一da

制

i

思考1:你能圈比圖中重要的數(shù)據(jù)嗎？①大型采棉機臺數(shù)+小型采棉

用引言的問

思考2：這個問題，包含哪些相等關(guān)系？機臺數(shù)=總臺數(shù)，

思考3：題引入本節(jié)

若設(shè)這個種棉大F」租用了X臺大型采②大型采棉機lh采摘面積+小

活動一：課內(nèi)容，列

棉機，y臺小型系棉機，你能用方程把型采棉機lh采摘面積=lh采摘

二元一次

這些相等關(guān)系表方R出來嗎？總面積.

方程組二元一次方

思考4：

程，為后面

若設(shè)這個種棉大F士租用了X臺大型采x+y=6

棉機，y臺小型睬棉機，你能用方程把

大型采棉機小型采棉大、小兩種型號的采棉]教學(xué)做好了

這些相等關(guān)系表力尺出來嗎？lh完成2hn)2Jlh完成Ihm：J機，lh就完成,了ghm】J

???

2x+y=8鋪墊.

x+v-6.

2.v-y-8.

有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)也

思考5:都是1.

剛才得到的兩個7亍程有什么特，點:?與一元一次方程最大的不同在

它們與一元一次7亍程有什么不同]?于未知數(shù)的個數(shù)有2個.

從實際出

方程含有兩,'未知數(shù),且含有未知發(fā)，引入二

數(shù)的式子都是整了弋，含有未知數(shù)的項的

元一次方程

次數(shù)都是1,這樣的方程叫作二元一次

方程.的概念，符

合學(xué)生的認

知過程.

1含有兩個未知數(shù)學(xué)生獨立思考然后討論列出方

條件1-<1所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1程，教師巡視，選兩名學(xué)生作答.

1方程的左右兩邊都是整式充分鼓勵學(xué)

三個未知數(shù)不是整式

(1)x+y=2t*(2)-5X=4>H-2^⑶x+^=l*生對于一元

A區(qū)考：下列方程中哪些是二元一次7

(4)2/-7x=l*(5)xy=4*(6)x+2=3*

不呈，哪些二F是?如果不是，請說明理莊1.一次方程的

此項的次此項的次只含有一

數(shù)是2次數(shù)是2次個未知數(shù)

⑵⑶*+>

(1)x+y=2l

設(shè)立.

⑷2/-7x=l(5)xy=4(6)x+2=3

"斷要點:（D是否為整式方程；②是I與根據(jù)條件列出關(guān)于字母參數(shù)的

q才兩個未勺E口數(shù)；式子：含有未知數(shù)的項的次數(shù)都

c分未知數(shù);欠數(shù)是否為1；④化簡后未4口是1,且兩個未知數(shù)的系數(shù)都不簡單定義完

當(dāng)攵的系數(shù):不為0.為0.進而得到相應(yīng)字母參數(shù)的

全應(yīng)該放

|m|2n-1值.

司1.已知1m-l|x+y=3夫千

《于x、y的二元一次方程，則m+n手.

|m|=l)

1=-1

|m-ljxO/—1？=1—m-k-n=0

2?-l=1JL

F口才問題，中得到的兩個等量關(guān)系，必珍貢讓學(xué)生經(jīng)歷

F司時滿足,也就是未知數(shù)x,y必須5可合作探究的

至

寸滿足方1過程，通過

類比一元一

x+j=6①

次方程得出

2x+v-8②

二元一次方

巴這兩個:）程合在一起，寫成程(組)的概

念；培養(yǎng)學(xué)

[x+y=69生發(fā)現(xiàn)問

2、+y=，3,

題，解決問

聲尤組成了一個方程組.題和直觀想

含有i兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)白勺象能力.

弋子都是P整式，含有未知數(shù)的項的次唆攵

電V是1,-至有兩個方程，像這樣的7

不呈組叫作一元一次方程組.

教師提出問題，激發(fā)學(xué)生積極探

兩個整式方程尋解決問題的辦法，通過合作探通過表格的

條件|Y方程組中一共含有兩個未知數(shù)究從而解決問題.形式呈現(xiàn)符

合要求的X

含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1

與y的值，

思考：下列方程組中，哪些是二元一次幫助學(xué)生有

方程組，哪些不是?為什么？效觀察.

發(fā)展抽象能

力和推理能

[x+p=4fx2=9

Bc

-[2x+3y=l(5b-4c=6[y=2x力，初步培

[2=6

DJX+>=8EF.養(yǎng)模型意識

[x=.i[x+y=8和觀念.

判斷要點：

①兩個方程是否為整式方程；

②方程組是否含兩個未知數(shù)；通過引例進

③未知數(shù)次數(shù)是否為1.一步學(xué)習(xí)二

元一次方程

滿足方程x+y=6,且符合問題的實的解，通過

際意義的x,y的值有哪些？把它們填學(xué)生歸納二

入表中.元一次方程

的解的特

X12345

點，培養(yǎng)學(xué)

y54321

生的歸納總

一般地，使二元一次方程兩邊的值結(jié)能力.

相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次

方程的解.

二元一次方程的解的特點：

⑴二元一次方程的解都是成對的兩個

數(shù)，一般要用大括號聯(lián)立表示，如x=2,

y=4是二元一次方程x+y=6的一組解，

可寫為

“2、

y=4,

(2)一般地，二元一次方程有無數(shù)組解，可以強調(diào)二

即有無數(shù)多對數(shù)值滿足這個二元一次

方程.但如果對未知數(shù)的取值附加某些元一次方程

限制條件，那么也可能解的數(shù)量是有限應(yīng)該有無數(shù)

的.

⑶在二元一次方程中，只要給定其中組解.

一個未知數(shù)的值,就可以相應(yīng)地求出另

一個未知數(shù)的值.

二元一次方

程只有一組

X1345

y54321解.

2x+y78/91011

[x+y=6,①7

廠公共解

2x+y=8②I>,=4.培養(yǎng)學(xué)生的

自主學(xué)習(xí)能

聯(lián)系前面的問題可知，這個種棉大戶租

力和歸納總

用了2臺大型采棉機,4臺小型采棉機.

結(jié)能力，鍛

二元一次方程組的解的特點煉學(xué)生的實

⑴二元一次方程組的解要用大括號聯(lián)踐能力.

立起來，分兩行書寫，如方程組

[3x+2y=8,

(3x—2y=4

通過典型例

的解應(yīng)寫成題讓學(xué)生鞏

固新知，培

儼=2養(yǎng)學(xué)生邏輯

ly=1

思維能力，

⑵一般地，二元一次方程組的解只有鍛煉學(xué)生的

一組，但也有特殊情況，如方程組推理能力.

培養(yǎng)發(fā)散思

[x+y=2,維能力，完

1x+y=3

善學(xué)生列方

無解，方程組教師提出問題，學(xué)生獨立思考并程組解決實

舉手回答.際問題的認

(x+y=2,教師在黑板上展示例題，提示學(xué)知結(jié)構(gòu)，從

(2x+2y=4.

生仔細審題，找出問題的突破而對本章的

有無數(shù)組解.點.學(xué)生思考并嘗試解答.教師講學(xué)習(xí)內(nèi)容、

解完后，詢問學(xué)生是否理解每一學(xué)習(xí)方法和

步的操作，鼓勵學(xué)生提出疑問.研究思路有

例2.判斷解：把x=2,尸-3代入方程①的左邊，得左邊=2X2-(-3)=7=右邊，一個較清晰

(x=2,所以)是方程①的解的認識，對

把尸代入方程②的左邊，得左邊右邊，所

Iy=-3x=2,-3=2+2X(-3)=-4=今后學(xué)習(xí)的

以)是方程②的解

是不是二元一次方程組多元方程的

硝；上3)金二元一次方程喊“二1)??■

解法有基本

(2x-y=7,的思路.

U+2y=-4

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所

的解.講的內(nèi)容.

含有兩個未扣我.并且含有未知#!的或子部

是整式,含有未知數(shù)的項的次那是1的方程叫

H'^^■1做二元-次方程.

課堂小結(jié)目隘一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩

個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解.

1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？

含有兩個未如敷，且含有未知《!的式子都是

整式，含有未知效的項的次做都JEI的兩個方程

2.二元一次方程和二元一次方程的解組成的方程組四做二元一次方他組.

的二元一次方程組的兩個方程的公式解.叫做

的概念是什么？B二元一次方程ta的解.讓學(xué)生進一

3.二元一次方程組和二元一次方程組步鞏固所學(xué)

的解的概念是什么？知識，加強

學(xué)生對本節(jié)

知識的掌

當(dāng)堂練習(xí)握，培養(yǎng)應(yīng)

1.下列不是二元一次方程組的是用意識，鍛

()學(xué)生獨立思考后小組討論，選派煉運用能力

代表作答，教師順勢總結(jié).和解題能

（x+y=3,/+/=1，

A.IB,■

5-3=1[y+x=2

y=1ly=3x+4

fx+2>'=10,

2.二元一次方程組?>'=2X

的解是（）

A.《\x=3

[y=31尸6

□飛=乙D.J，x=4,

[y=4?

1、=2

3.《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題,

其譯文為:有大小兩種容器，已知5個大

容器和1個小容器的總?cè)萘繛?斛（斛

是過去的一種量器）,1個大容器和5個

小容器的總?cè)萘繛?斛.大、小容器的

容量分別是多少斛?設(shè)大容器的容量是

X斛，小容器的容量是V斛.根據(jù)題意，可

列方程組為.

在上一節(jié)中，我們已經(jīng)看到，直接教師提出問題，學(xué)生先獨立問題情境

思考，再舉手回答問題.是上節(jié)課的

設(shè)兩個未知數(shù):租用了x臺大型采棉機,生活實際情

y臺小型采棉機，可以列方程組境問題，增

二元一次方程組中有兩強求知欲，

對所學(xué)知識

個未知數(shù)，如果消去其中一個未產(chǎn)生親切

活動二：

知數(shù)，那么就可以把二元一次方感.

解二元一

次方程組程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一教師

次方程.我們可以先求出一個未以復(fù)習(xí)的形

式回顧上節(jié)

知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù).課的重點內(nèi)

這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、容，為下面

的實際問題

逐一解決的思想，叫作消元思的出現(xiàn)做好

臺大型采棉機,那么這個問題可以怎么想.鋪墊埋下伏

筆.

解決？

我們發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第一第一步：在已知方程組的兩個方

個方程x+y=6可以寫為y=6-x.由于兩程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠?，將?/p>

組織學(xué)生合

個方程中的y都表示租用小型采棉機的某個未知數(shù)用含有另一個未

作探究，重

的臺數(shù)，所以可以通過等量代換，把第知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

視知識的發(fā)

二個方程2x+y=8中的y換為6-x,這第二步：把此代數(shù)式代入沒有變

生過程，讓

個方程就化為一元一次方程形的一個方程中，可得一個一元

學(xué)生通過自

2x+(6-x)=8.解這個一元一次方程，得一次方程.

己努力歸納

x=2.把x=2代人y=6-x,得y=4,從而得第三步：解這個一元一次方程，

結(jié)論，更加

到這個方程組的解.得到一個未知數(shù)的值.

深刻的理解

LI三第四步：回代求出另一個未知數(shù)

消元思想和

..IT的值，把方程組的解表示出來.

(x+y=6,.?代入法解二

l2x+y=8.2r+(6-x)=16.[“一元”

第五步：檢驗(口算或在草稿紙

元一次方程

合作交流：你從上面的學(xué)習(xí)中體會

上進行筆算)，即把求得的解代

組.

到代人法的基本思路是什么？主要步

入每一個方程看是否成立.

驟有哪些呢？與你的同伴交流.

歸納：把二元一次方程組中一個方

程的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)教師組織學(xué)生合作探究，先獨立

的式子表示出來，再代入另一個方程，思考，再小組合作充分討論；每體驗獲得方

實現(xiàn)消元，從而求得方程組的解，這種小組挑選一名代表展示小組討法，分享成

解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱論結(jié)果.

代入法.果的滿足

!代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：感.

!第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠蹋?/p>

將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來；

!第二步：把此式子代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程；i

!第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值；

?第四步：回代求出另一個未知數(shù)的值；?

i第五步：把方程組的解表示出來；j

i第六步，檢驗(口算或在草稿紙上進行筆算)，即把求得的解代入學(xué)生暢所欲言，互相補充，小組

每一個方程看是否成立.

!MM*TMR*-HMK?派中心發(fā)言人進行總結(jié)發(fā)言.最

后，由老師出示幻燈片.

代入法求二元一次方程組的技巧：把未知的知

用代入法解二元一次方程組時，

挑選系數(shù)簡單的方程變形.識交給學(xué)

當(dāng)方程組中含有用一個未知數(shù)表生，讓他們

示另一個未知數(shù)的關(guān)系式時,直接

代入；在合作學(xué)習(xí)

當(dāng)方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1

的過程中，

或-1時，選擇系數(shù)為1或-1的

方程進行變形；體會到可以

當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1

時，一般選擇未知數(shù)系數(shù)的絕對答：由①得x=等③用自己的能

值較小的方程變形.將③代入②得3x等—力去解決新

4y=23'

思考：你會解下面這個方程組嗎？解得y問題，探索

(3%+5y=5①=—2

新方法，從

[3x-4y=23(2)把y=-2代入③得x

除了代入消元，還有其他的方法嗎？=5而獲得成功

所以原方程組的解為

(X=5的喜悅.這

問題1：觀察方程組：iy=-2?

(3x+5y=5①

t3%-4y=23②樣一來又大

(1)未知數(shù)X的系數(shù)有什么特點？大調(diào)動了學(xué)

(2)怎么樣才能把這個未知數(shù)x消去

?這樣做的依據(jù)是什么？生的學(xué)習(xí)熱

(3)把兩個方程的左邊與左邊相減，解：①一②得9y=—18

右邊與右邊相減.你得到了什么結(jié)果？(消去了未知數(shù)X,達到了消情，培養(yǎng)和

元的目的)

解得提高了學(xué)生

例1.解方程組:+=：?y=-2.

把y=—2代入①，

學(xué)習(xí)的主動

得3x+5X(-2)=5

看一看：y的系數(shù)有什么特點？

x=5.

想一想：先消去哪一個比較方便呢？用性和合作精

什么方法來消去這個未知數(shù)呢？所以原方程組的解為11當(dāng)?

神，同時又

思考：從上面的解答過程中，你發(fā)現(xiàn)了使學(xué)生的觀

二元一次方程組的新的解法嗎？解：①+②得7%=14

x=2察力和語言

用加減法解二元一次方程組的時把x=2代入①得6+7y=9

候，什么條件下用加法、什么條件下用表達能力得

3

減法？

7到了鍛煉.

所以原方程組的解為

當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)互(x=2

為相反數(shù)時，我們可以把兩方程相加，1^=1

當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相等時，通過讓學(xué)生

我們可以把兩方程相減，從而達到消元

的目的，進而求得二元一次方程組的操作，培養(yǎng)

解.

學(xué)生動手的

像上面這種解二元一次方程組的

方法，叫做加減消元法，簡稱加減法.能力，并引

教師組織學(xué)生合作探究，先獨立

思考，再小組合作充分討論發(fā)學(xué)生的思

例2.解方程組：儼一"i°?

考，加深對

[5x+6y=42②

問題：直接相加減不能消掉一個未知解：方法一：利用加減消元法消本節(jié)概念的

數(shù)，怎么辦？如何把同一未知數(shù)的系數(shù)

變成一樣呢？

去未知數(shù)y.印象.將兩

@X3,@X2得

件一12y=3（③個方程相加

思考：能否先消去X再求解？[10%+12y=84（4）

方法二:利用加減消元法消去未知數(shù)X.③+④得19%=（或相減）

解：①X5,（2）X3,得114

C15x-20y=50③r=6消去一個未

（15x+18y=126④把久=6代入②）得

知數(shù)，將方

④一③得38y=7630+6y=42,

y=2y=2.程組轉(zhuǎn)化為

把y=2代入②得5%+12=42

所以原方程組的解

x=6一元一次方

所以原方程組的解為1;二?.

程來解.這

當(dāng)同一未知數(shù)的系數(shù)