2024—2025學(xué)年高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁19題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.的值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式整理為特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式求解三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算求解，【詳解】，所以，故選：D3.在中，D是AB邊上點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算即可得到.【詳解】.故選：A.4.已知向量，，若，則（）A.1， B.，3 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋?，解得：或故選：B5.正方體中，則與底面ABCD所成角的正弦值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義，確定直線與平面的夾角，利用求其大?。驹斀狻恳?yàn)闉檎襟w，所以平面，所以為直線與平面的夾角，設(shè)，在中，，所以，故選：D．6.已知l為空間的一條直線，，為空間的兩個不同平面，則下列命題錯誤的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：若，則可能平行，可能相交，所以A錯誤；對于選項(xiàng)B：若，那么經(jīng)過垂線的平面與另一平面垂直，所以，所以B正確；對于選項(xiàng)C：若，兩平面平行，那么一平面內(nèi)的任意一條直線與另一平面平行，所以，所以C正確；對于選項(xiàng)D：若，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，所以D正確.故選：A.7.若，是夾角為的單位向量，則與夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式可解.【詳解】，，，，所以，因?yàn)椋瑒t與夾角為.故選：C.8.已知棱長為2的正四面體，E、F分別BD和BC的中點(diǎn)，M是線段AE上的動點(diǎn)，N為平面ADF上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)平面時，取得最小值，在直角三角形中求解即可.【詳解】因?yàn)闉檎拿骟w，所以，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱，因?yàn)辄c(diǎn)在平面，故，所以，故當(dāng)平面時，取最小值，因?yàn)槭沁呴L為2的正四面體，所以在中，當(dāng)平面時，為等邊三角形的重心，此時在中，，故的最小值為，故答案為：二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)部分圖像可求解析式，然后利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可逐項(xiàng)判斷.【詳解】由圖可知，又過，所以，解得，，所以，即，又，，則，對于A，，所以不是函數(shù)的對稱軸，故A錯誤；對于B，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，時，，又在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，時，，，，故D正確；故選：BCD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，若對于曲線上的任意點(diǎn)P，都存在曲線上的點(diǎn)Q，使得成立，則稱函數(shù)具備“性質(zhì)”．則下列函數(shù)具備“性質(zhì)”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“性質(zhì)”的定義可逐項(xiàng)驗(yàn)證.詳解】設(shè)，，對于A，，當(dāng)時，方程無解，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，有解，當(dāng)時，，當(dāng)且時，，令，則，易得，所以，綜上，，使成立，故B正確；對于C，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且時，，令，則，易知，所以，綜上，，使成立，故C正確；對于D，，當(dāng)時，無解，故D錯誤；故選：BC.11.如圖1在中，，，．D，E分別在AB，AC上且．將沿DE翻折得到圖2且，記三棱錐外接球球心為，球表面積為，三棱錐外接球球心為，球表面積為，則在圖2中，下列說法正確的有（）A.B.直線AB與DE所成角的正弦值為C.平面BCDED.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由題可證平面，，，求得，再利用勾股定理可證，對于B，由，可知就是異面直線AB與DE所成角或其補(bǔ)角，再求得正弦值即可；對于C，D，可得在中點(diǎn)處，在中點(diǎn)處，再利用線面平行的判定和球的表面積公式即可判斷；【詳解】在，，，，所以，，，，，，又平面，所以平面，即平面，又平面，所以，又，，，又，即，故A正確；，就是異面直線AB與DE所成角或其補(bǔ)角，又，所以，故B錯誤；對于C，，都是以為斜邊的直角三角形，所以三棱錐外接球球心為在斜邊中點(diǎn)處，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，都是以為斜邊的直角三角形，所以三棱錐外接球球心為在斜邊中點(diǎn)處，在中，，分別為中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，故C正確；對于D，設(shè)球，半徑為，則，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.長方體的長寬高分別為，，，則該長方體外接球的體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)長方體的特征和勾股定理求出外接球半徑，然后根據(jù)公式求出球的體積即可.【詳解】設(shè)長方體外接球的直徑為，則根據(jù)勾股定理可得.所以長方體外接球的半徑為.所以長方體外接球的體積為.故答案為：.13.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用兩角和差的余弦公式計(jì)算化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切計(jì)算求解．【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以兩式相加得，兩式相減得，則．故答案為：．14.函數(shù)，若在有兩個零點(diǎn)，，則______．【答案】##【解析】【分析】首先將原函數(shù)化簡成正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知關(guān)于對稱，得到之間的關(guān)系式，然后將所求式子進(jìn)行化簡，利用二倍角的余弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn)，所以，即.令，則，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，關(guān)于對稱，所以，即.所以，所以.因?yàn)?，所以，所?故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.復(fù)數(shù)z滿足（1）若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，求m的值；（2）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求m的值；（3）設(shè)復(fù)數(shù)，若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則虛部為0可解；（2）由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，且虛部不為0；（3）由復(fù)數(shù)相等的條件，可得，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求值域即可.【小問1詳解】復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以.【小問2詳解】復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以，解得.【小問3詳解】，，即，又，所以時，，時，，所以的取值范圍為.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中中，向量，，．（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）求三角形ABC的周長；（3）求向量在向量上的投影的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得即可得到B、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量的加法得到，利用向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算即可；（3）由向量在向量上投影為即可計(jì)算.【小問1詳解】，，又，所以，，，所以，.【小問2詳解】，，所以三角形ABC的周長為.【小問3詳解】向量在向量上的投影為所以向量在向量上的投影為.17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）函數(shù)在上的值域；（3）求在的解集．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．（2）由的取值范圍求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．（3）利用整體的思想結(jié)合余弦函數(shù)的圖象列不等式求解即可.【小問1詳解】，令解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】，因?yàn)椋?，可得，則，即函數(shù)在上的值域?yàn)椋拘?詳解】由題設(shè)，即因?yàn)椋?，所以，可得．所以不等式解集為?8.如圖，在三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形，D為線段AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求證：直線平面；（3）求二面角大小余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的性質(zhì)得，則證得線面垂直；（2）設(shè)，連接，由中位線定理得，從而可得線面平行．（3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可.【小問1詳解】由三棱柱中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形，可知三棱柱為正三棱柱，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妗拘?詳解】連接，且，連接在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以平面平面所以平面．【小問3詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由知平面平面，，又，，平面，平面平面，，又，，平面，平面，平面，，為二面角的平面角，在中，由面積相等得，即，解得，，同理在中可求得，，在中，，在中，由余弦定理可得，，在中，．所以二面角大小的余弦值為.19.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）在中，O為的外心，角A所對邊的長為a．（?。┤?，，點(diǎn)P在BC上，且（），求的取值范圍；（ⅱ）若的外接圓半徑為1，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式及二倍角公式、輔助角公式化簡，再用周期可求出；（i）由題意可求出，，設(shè)，由平面向量線性運(yùn)算和平面向量基本定理得到與的關(guān)系，將化成關(guān)于的表達(dá)式即可求解范圍；（ii）運(yùn)用正弦定理得到，進(jìn)而得到，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，則，求