2025年成都市中考數(shù)學(xué)試題及解析（2025年6月14日9:00-11:00，滿(mǎn)分150分）A卷（共100分）第I卷（選擇題，共32分）一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）題號(hào)12345678答案BCDBBADC1．如果某天中午的氣溫是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的氣溫是（B）(A)2℃ (B)-2℃ (C)-5℃ (D)-7℃【解析】傍晚的氣溫是5-7=-2℃.故選B.2．下列幾何體中，主視圖和俯視圖相同的是（C）(A) (B)(C)(D)【解析】球的主視圖和俯視圖相同.故選C.3．下列計(jì)算正確的是（D）(A)x+2y=3xy(B)(x3)2【解析】(A)x+2y不能合并；(B)(x3)2=x6；故選D.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(-2,a（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【解析】因?yàn)閍2+1>0，所以點(diǎn)P(-2,5．在第25個(gè)全國(guó)科技活動(dòng)周中，某班每位學(xué)生結(jié)合自己的興趣從元宇宙、腦機(jī)接口和人形機(jī)器人中選擇一項(xiàng)進(jìn)行深入了解，現(xiàn)將選擇結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表：人數(shù)元宇宙16腦機(jī)接口a人形機(jī)器人14根據(jù)圖表信息，表中a的值為（B）(A)8 (B)10 (C)12 (D)15【解析】表中a的值為16÷40%-16+146．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有善田一畝，價(jià)三百；惡田七畝，價(jià)五百．今并買(mǎi)一頃，價(jià)錢(qián)一萬(wàn)．問(wèn)善、惡田各幾何？其大意是：今有良田1畝價(jià)值300錢(qián)；劣田7畝價(jià)值500錢(qián)．今合買(mǎi)良、劣田1頃（100畝），價(jià)值10000錢(qián)．問(wèn)良田、劣田各有多少畝？設(shè)良田為x畝，劣田為y畝，則可列方程組為（A）(A) {x+y=100,300x+500(C){x+y=100,300x+500y=10000【解析】因?yàn)榱继飭蝺r(jià)×良田畝數(shù)+劣田單價(jià)×劣田畝數(shù)=10000，所以300x+5007y=100007．下列命題中，假命題是（D）（A）矩形的對(duì)角線相等 （B）菱形的對(duì)角線互相垂直（C）正方形的對(duì)角線相等且互相垂直 （D）平行四邊形的對(duì)角線相等【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以命題（D）是假命題.故選D.8．小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了一段時(shí)間后又跑步到書(shū)店買(mǎi)書(shū)，然后步行回家（小明家、書(shū)店、體育館依次在同一直線上），如圖表示的是小明離家的距離與時(shí)間的關(guān)系.下列說(shuō)法正確的是（C）（A）小明家到體育館的距離為2km（B）小明在體育館鍛煉的時(shí)間為45min（C）小明家到書(shū)店的距離為1km（D）小明從書(shū)店到家步行的時(shí)間為40min【解析】小明家到體育館的距離為2.5km；小明在體育館鍛煉的時(shí)間為45-15=30min；小明從書(shū)店到家步行的時(shí)間為100-80=20min.故選C.第II卷（非選擇題，共68分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）9．若ab=3，則a+bb的【解析】當(dāng)ab=3，則a+bb=ab+10．任意給一個(gè)數(shù)x，按下列程序進(jìn)行計(jì)算．若輸出的結(jié)果是15，則x的值為3.【解析】因?yàn)?x-3=15，所以x=3.故答案為3.11．正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線AD的長(zhǎng)為2.【解析】正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AD的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的兩倍.故答案為2.12．某蓄電池的電壓為定值．使用此電源時(shí)，用電器的電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系為I=36R，則電流I的值隨電阻R值的增大而減小（填“增大”或“減小”【解析】對(duì)于I=36R，因?yàn)?6>0，所以電流I的值隨電阻R值的增大而減小.13.如圖，在RtΔABC中，∠ABC=90°.AB=1,BC=2以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧；再以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AC上方交于點(diǎn)D，連接BD，則BD的長(zhǎng)為【解析】連接AD，CD.則AC是BD的垂直平分線.設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E.由勾股定理得AC=AB2+AB2=12+22=5.因?yàn)棣EB∽ΔABC，所以ABBE=ACCB，所以1BE=52，所以BE=三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）14．（本小題滿(mǎn)分12分，每題6分）（1）計(jì)算：(14)-（1）解：(14)-1-9+2cos?45°=4-3+2×22+2-2=3.由②得4x-2-3x≤6，則x所以原不等式組的解集為2<x≤8.15．（本小題滿(mǎn)分8分）某公司需要經(jīng)?？爝f物品，準(zhǔn)備從A，B兩家快遞平臺(tái)中選擇一家作為日常使用.該公司讓七位相關(guān)員工對(duì)這兩家平臺(tái)從物品完好度、服務(wù)態(tài)度與物流時(shí)長(zhǎng)三項(xiàng)分別評(píng)分（單位：分），其中對(duì)平臺(tái)A的服務(wù)態(tài)度評(píng)分為：86,88,89,91,92,95,96；對(duì)平臺(tái)B的服務(wù)態(tài)度評(píng)分為：86,86,89,90,91,93,95．現(xiàn)將每項(xiàng)七個(gè)評(píng)分的平均值作為該項(xiàng)的得分，平臺(tái)A，B各項(xiàng)的得分如下表：物品完好度服務(wù)態(tài)度物流時(shí)長(zhǎng)平臺(tái)A92m90平臺(tái)B95n88（1）七位員工對(duì)平臺(tái)A的服務(wù)態(tài)度評(píng)分的極差（最大值與最小值的差）是10分；（2）求表格中m，n的值，并以此為依據(jù)，請(qǐng)判斷哪家平臺(tái)服務(wù)態(tài)度更好；（3）如果公司將物品完好度、服務(wù)態(tài)度、物流時(shí)長(zhǎng)三項(xiàng)的得分按5：3：2的比例確定平臺(tái)的最終得分，并以此為依據(jù)選擇平臺(tái)，請(qǐng)問(wèn)該公司會(huì)選擇哪家平臺(tái)？解：（1）七位員工對(duì)平臺(tái)A的服務(wù)態(tài)度評(píng)分的極差（最大值與最小值的差）是96-86=10分.故答案為10分；（2）m=86+88+89+91+92+故平臺(tái)A服務(wù)態(tài)度更好；將物品完好度、服務(wù)態(tài)度、物流時(shí)長(zhǎng)三項(xiàng)的得分按5：3：2的比例確定平臺(tái)的最終得分，則平臺(tái)A的最終得分是510×92+310平臺(tái)B的最終得分是510×95+310并以此為依據(jù)選擇平臺(tái)，該公司會(huì)選擇B平臺(tái).16．（本小題滿(mǎn)分8分）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量校園西門(mén)A與東門(mén)B之間的距離.如圖，無(wú)人機(jī)從西門(mén)A處垂直上升至C處，在C處測(cè)得東門(mén)B的俯角為30°，然后沿AB方向飛行60米到達(dá)D處，在D處測(cè)得西門(mén)A的俯角為63.4°．求校園西門(mén)A與東門(mén)B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈解：在RtΔACD中，∠ACD=90°，則tan∠D=ACCD，即tan63.4°=AC所以AC=60?tan63.4°=2×60=120在RtΔABC中，∠CAB=90°，則tan∠B=ACAB，即tan30°=120所以AB=120÷tan30°=120÷13答：校園西門(mén)A與東門(mén)B之間的距離約為207.6米．17.（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使弧EC=弧BC，連接BE，交AC于點(diǎn)F.（1）求證：BE∥CD；（2）若sin?D=23,BD=1備用圖（1）證明：法1：如圖1，圖1∵CD是過(guò)點(diǎn)C的作半圓O的切線，∴∠1=∠3（弦切角定理）圖1∵弧EC=弧BC，∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴BE∥CD；法2：如圖2，連接OC，則OB＝OC，∴∠OCB=∠OBC,∵CD是過(guò)點(diǎn)C作的半圓O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠3+圖2∵弧EC=弧BC,∴∠3=∠2,∴∠1=∠圖2（2）解：設(shè)半圓O的半徑為r，則OC=OB=r，∴OD=OB+BD=r+1,∵OC⊥CD,∴∠OCD=90∴3r=2r+2,解得r=2，即半圓O的半徑為2,AB=2r=4,圖3∵BE∥CD,∴∠ABE=∠D,∴sin∠圖3如圖3，連接AE.∵AB為直徑，∴∠AEB=9在RtΔABE中，sin∠ABE=AEAB=∴BE=A∵弧EC=弧BC,∴∠3=∠4,∴AF平分∠BAE，∴點(diǎn)F到AE，AB∴SΔAEFSΔABF=1（教學(xué)中若補(bǔ)充了三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，此處可直接由AF平分∠BAE，得AEAB∴EFBE=25，∴EF=25BE=25×（1）證明：連接OA，∵CD是切線，∴∠OCD=90°方法一:∵C是的中點(diǎn)，∴OC⊥BE，∴CD//BE方法二:∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ACO=∠BCD∵C是的中點(diǎn)，∴∠CBE=∠BAC=∠BCD，∴CD//BE（2）解：①求半徑：方法一：設(shè)半徑為r，OD=3+r在Rt△OCD中，∵，∴，∴方法二:過(guò)B作BG⊥CD于G，OC交BE于H.∵且BD=1，∴設(shè)半徑為r，由△DBG∽△DOC，，∴，∴方法三：過(guò)B作BG⊥CD于G，OC交BE于H，設(shè)半徑為r.∵且BD=1，∴，∵∠ABE=∠D，∴，∴，∴，∴方法四：過(guò)B作BG⊥CD于G，OC交BE于H，設(shè)半徑為r.∵且BD=1，∴由△OBH∽△ODC得，∴，∴②求EF：方法一：連接AE，∵AB是直徑，∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，，∴在Rt△ABE中：設(shè)，則在Rt△ABE中：，∴，∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA，∴，∴，由△ABF∽△ADC，得，∴∴方法二：連接AE∵AB是直徑，∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，，∴在Rt△ABE中：設(shè)，則.在Rt△ABE中：,∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴,∴方法三：連接AE,∵AB是直徑,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，.∴在Rt△ABE中：設(shè)，則.在Rt△ABE中：,∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法四：連接AE,∵AB是直徑,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則.在Rt△ABE中：,∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法五：作BG⊥CD，OC與BE交點(diǎn)記為H.由，BD=1得∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△ADC，得，∴∴ 方法六：作BG⊥CD，OC與BE交點(diǎn)記為H.由，BD=1得∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴∴方法七：作BG⊥CD，OC與BE交點(diǎn)記為H.由，BD=1得∴,∴∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴,∴方法八：作BG⊥CD，OC與BE交點(diǎn)記為H.由，BD=1得∴,∴在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴.∴方法九：連接AE，作CM⊥AB∵AB是直徑,∴∠E=90°,∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則,在Rt△ABE中：,∴∴,∴.且,,.∴.方法十：過(guò)F作FN⊥AB，連接AE.∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△CDB，得,∴...................................8分∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：....................................10分方法十一：過(guò)F作FN⊥AB，連接AE.∵∠CAD=∠BCD，∠D=∠D,∴△DBC∽△DCA,∴，∴由△ABF∽△ADC，得，∴.∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：,.方法十二：過(guò)F作FN⊥AB，連接AE.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△CDB，得,∴∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN.在Rt△BFN中：,.方法十三：過(guò)F作FN⊥AB，連接AE.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC，得，∴.∵AC平分∠BAE，∠E=∠ANF=90°,∴EF=FN....................................9分在Rt△BFN中：,.方法十四：作EN⊥AC,連接AE.∵AB是直徑,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則.在Rt△ABE中：,∴∴,,,.∴由△ENF∽△BCF得..∴.方法十五：OC與BE的交點(diǎn)記為H，連接AE.∵AB是直徑,∴∠E=90°,∴AE//OC,∴△EFA∽△HFC,∴由BF//CD，得,∴.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則,在Rt△ABE中：,∴,∴∵C是的中點(diǎn),∴.∴.方法十六：過(guò)E作EK//AB交AC延長(zhǎng)線于K，連接AE.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則在Rt△ABE中：,∴,∴.∵AC平分∠BAE，∴EK=AE由△EFK∽△BFA得：∴.方法十七：連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于G，作CM⊥AB于M.∵OC=2，OD=3，∠OCD=90°,∴由AC平分∠BAG，∠G=∠AMC=90°,可得：....................................8分∵BE//DG，∴.∴.方法十八：連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于G，作CM⊥AB于M.∵OC=2，OD=3，∠OCD=90°，∴由AC平分∠BAG，∠G=∠AMC=90°,可得：∵AB是直徑,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則在Rt△ABE中：,∴，∴.∵BE//DG，∴.∴.方法十九：連接AE，作CM⊥AB于M.在Rt△ODC中：∵，,,∴由△ABF∽△ADC,得∵AB是直徑,∴∠E=90°.∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中，設(shè)，則在Rt△ABE中：,∴∴,,,∴,∴.且.由相交弦定理：，得：方法二十：連接AE，作CM⊥AB于M.在Rt△ODC中：∵，,∴由△ABF∽△ADC,得∵AB是直徑,∴∠E=90°∵∠ABE=∠D，,∴在Rt△ABE中：設(shè)，則在Rt△ABE中：,∴∴,,,∴,∴.由△BCF∽△ACB，,.由相交弦定理：，得：.18．（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=kx的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（a，2），與x軸的交點(diǎn)為（1）求k的值；（2）直線AO與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，若∠ACD=90°，求直線（3）P為x軸上一點(diǎn)，直線AP交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E（異于A），連接BE，若ΔBEP的面積為2，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），∴-3+b=0．解得b=3．1分∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a，2），∴-a+3=2．解得a=1． 1分∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），∴．1分方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，分別過(guò)點(diǎn)A，D作l的垂線，垂足為M，N．∵直線AO與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-2）．∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-2）．∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．則點(diǎn)N坐標(biāo)為（t，-2）．由△CDN∽△ACM，得．即．1分解得或（舍去）．∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，）．1分∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為．1分方法二：∵直線AO與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-2），直線AC的函數(shù)表達(dá)式為．由∠ACD=90°，設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為．代入C（-1，-2），得．解得．∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為．1分聯(lián)立得或（與點(diǎn)C重合，舍去）．∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，）．1分設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為，則解得∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為．1分方法三：∵直線AO與反比例函數(shù)圖象在第三象限交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-2）．∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∵∠ACD=90°，∴，即解得或（舍去）．1分∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，），1分∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為．1分（3）方法一：∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴直線AE的函數(shù)表達(dá)式為．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．1分=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，∵△BEP的面積為2，∴．即．解得．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．1分=2\*GB3②當(dāng)且s≠1時(shí)，∵△BEP的面積為2，∴．即．解得．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，∵△BEP的面積為2，∴．即．解得（舍去）．綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．2分方法二：=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)E在第三象限時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)E，A作，，垂足為點(diǎn)F，H．∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，.∵,∴． 1分∴．∴．∵點(diǎn)A（1，2），∴．∵△PEF∽△PAH，∴，即，解得或（舍去）．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．1分=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)E在第一象限時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)E，A作，，垂足為點(diǎn)F，H．∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，.∵,∴．∴．∴．∵點(diǎn)A（1，2），∴．∵△PEF∽△PAH，∴，即，解得或（舍去）．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)E在第一象限點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，同上述方法計(jì)算得無(wú)解.綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或． 2 分方法三：∵△BEP的面積為2，∴．．1分即.解得或.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．2分B卷（共50分）一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）19．多項(xiàng)式4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是4x（填一個(gè)即可）【解析】4x2+4x+1=(2x+1)2，4x4+4x2+1=(2x2+1)2.從-1,1,2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)分別作為a，b的值，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0【解析】分六種情況列表如下：序號(hào)abb2根的情況1-111+4>0有實(shí)數(shù)根2-124+4>0有實(shí)數(shù)根31-11-4<0無(wú)實(shí)數(shù)根4124-4=0有實(shí)數(shù)根52-11-8<0無(wú)實(shí)數(shù)根6211-8<0無(wú)實(shí)數(shù)根則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有實(shí)數(shù)根的概率為36=1如圖，⊙O的半徑為1，A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)．若四邊形OABC為平行四邊形，連接AC，則圖中陰影部分的面積為π6.【解析】如圖，連接OB.∵OA=OC，∴平行四邊形OABC是菱形.在ΔOAB中，OA=OB=AB，∴ΔOAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB,∴SΔABC=S扇形AOB=16π×1如圖，在ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，AD=3,CD=2,∠CBD=45°，則tan∠ACB的值點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，若∠CED=∠ABD，則CE的長(zhǎng)為217【解析】法1：如圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，作DG⊥BC于點(diǎn)G，作DF⊥AH于點(diǎn)F，則四邊形DFHG為矩形，∴DG=FH,DF=HG,DF∥HG,DG∥AH,在RtΔBDG中，∠DBC=45°，∴ΔBDG是等腰直角三角形，∴BG=DG∵AB=AC，∴BH=CH，∠ACB=∠ABC.∵DF∥BC,∴ΔADF∽ΔACH，∴DFCH=ADAC=ADAD+CD=∴設(shè)DF=3x，CH=5x.∴HG=DF=3x，BH=CH=5x，DG=BG=BH+HG=5x+3x=8x，CG=CH-HG=5x-3x=2x，∴BD=DG2+BG在RtΔCDG中，tan∠ACB=DGCG=8x2x=4，∵2x2+8x2=22，∴BD=82x=83417，∵∠CED=∠ABD,∠ACB=∠E+∠CDE,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ABC=∠ACB，∴∠CDE=∠CBD=45°，又∠E＝∠E，ΔDEC∽ΔBED,∴DEBE=CEDE=CDBD=283417=34∵DE∴(834CE)2=（1017+CE）?CE，∵CE≠0，∴32故答案為4，法2：如圖，AB=AC=AD+CD=3+2=5，在AB上取點(diǎn)F，作∠FDB=∠CED=∠ABD=∝，所以∠AFD=2∝.則設(shè)BF=DF=x，則AF=AB-BF=5-x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°+∝,∴∠A=180°-2（45°+∝）=90°-2∝在ΔAFD中，∠A=90°-2∝，∠AFD=2∝.則∠ADF=90°.在RtΔAFD中，因?yàn)锳D2+FD2=AF2，所以32+所以9+x2=25-10x+x2，所以10x=16，解得∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°+∝=∠CDE+∠E，又∠E=∝，∴∠CDE=45°.作CG⊥DE于點(diǎn)G,∵CD=2，∠CDE=45°,∴DG=CG=2.在RtΔAFD中，tan∠AFD=tan2∝=ADFD=385又因?yàn)閠an2∝=2tan∝1-tan2∝=158∴(3tan∝+5)(5tan∝-3)=0,∴tan∝=35(負(fù)值舍去)，則tan∠ACB=tan（∝+45°）=1+tan∝1-tan∝=1+35在RtΔCEG中，因?yàn)閟in∝=CGCE，所以334=2CE，所以CE=217注：這里用了高中的和角，倍角三角函數(shù).23．分子為1的真分?jǐn)?shù)叫做“單位分?jǐn)?shù)”，也叫“埃及分?jǐn)?shù)”．古埃及人在分?jǐn)?shù)計(jì)算時(shí)總是將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，如：35=12+110..將311拆分成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)相加的形式為14+【解析】第一空：拆分3第1步，設(shè)方程：設(shè)311=1a+1b第2步，變形方程：通分得311=第3步，試值法：嘗試a>當(dāng)a＝4時(shí)，代入方程得12b=11(4+b)，解得b=44.驗(yàn)證：14+第二空：拆分2k（奇數(shù)k＞2第1步，設(shè)2k=1m第2步，構(gòu)造分母：對(duì)于任意奇數(shù)k(k>2)，令m=k+12第3步，驗(yàn)證：代入得1m+1n=2k，恒成立.故答案為1二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）24．（本小題滿(mǎn)分8分）2025年8月7日至17日，第12屆世界運(yùn)動(dòng)會(huì)將在成都舉行，與運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“蜀寶”“錦仔”相關(guān)的文創(chuàng)產(chǎn)品深受大家喜愛(ài).某文旅中心在售A，B兩種吉祥物掛件，已知每個(gè)B種掛件的價(jià)格是每個(gè)A種掛件價(jià)格的45，用300元購(gòu)買(mǎi)B種掛件的數(shù)量比用200元購(gòu)買(mǎi)A種掛件的數(shù)量多7（1）求每個(gè)A種掛件的價(jià)格；（2）某游客計(jì)劃用不超過(guò)600元購(gòu)買(mǎi)A，B兩種掛件，且購(gòu)買(mǎi)B種掛件的數(shù)量比A種掛件的數(shù)量多5個(gè)，求該游客最多購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)A種掛件．解：（1）方法一：設(shè)每個(gè)A種掛件的價(jià)格為x元，根據(jù)題意，得.2分解得x=25.1分經(jīng)檢驗(yàn)，x=25是所列方程的根且符合題意． 所以，每個(gè)A種掛件的價(jià)格為25元．1分方法二：375-200=175，2分175÷7=25.1分所以，每個(gè)A種掛件的價(jià)格為25元．1分（2）方法一：設(shè)該游客購(gòu)買(mǎi)A種掛件y個(gè)，根據(jù)題意，得 2分解得y≤． 1分因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，該游客最多購(gòu)買(mǎi)11個(gè)A種掛件. 1分方法二：設(shè)該游客最多購(gòu)買(mǎi)A種掛件y個(gè)，根據(jù)題意，得 1分解得y=． 1分因?yàn)閥為正整數(shù)，且總費(fèi)用不超過(guò)600元，所以y的最大值為11.1分所以，該游客最多購(gòu)買(mǎi)11個(gè)A種掛件. 1分方法三：根據(jù)題意列表格如下：A種個(gè)數(shù)A種費(fèi)用B種個(gè)數(shù)B種費(fèi)用A、B兩種總費(fèi)用125612014525071401903758160235410091802805125102003256150112203707175122404158200132604609225142805051025015300550112751632059512300173406402分因?yàn)橛慰陀?jì)劃用不超過(guò)600元購(gòu)買(mǎi)A，B兩種掛件，所以，由所列表格知，該游客最多購(gòu)買(mǎi)11個(gè)A種掛件.2分25．（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F落在□ABCD內(nèi)，射線AF交射線DC于點(diǎn)G，交射線BC于點(diǎn)P，射線EF交CD邊于點(diǎn)Q.【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)CE=BE時(shí)，點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，求證：ΔEFP?ΔECQ；【問(wèn)題探究】（2）在（1）的條件下，若CG=3,GQ=5，求DQ的長(zhǎng)；【拓展延伸】（3）如圖2，當(dāng)CE=2BE時(shí)，點(diǎn)P在BC邊上，若CQDQ=1n，求CGDG的值.圖2圖2圖1解：（1）由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AB=AF，BE=FE，∠B=∠AFE．在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC． ∴∠B＋∠BCD=180°．∴∠EFP=180°-∠AFE=180°-∠B=∠ECQ．1分 ∵BE=EC，BE=EF，∴EF=EC．1分 又∵∠FEP=∠CEQ，∴△EFP≌△ECQ． 1分方法一：設(shè)DQ=x，則DG=x+5，CD=x+8． ∴AF=AB=CD=x+8．∵△EFP≌△ECQ，∴EP=EQ，∠P=∠EQC．∴EP-EC=EQ-EF，即CP=FQ．又∵∠CGP=∠FGQ，∴△CGP≌△FGQ．∴FG=CG=3，GP=GQ=5．1分AG=AF+FG=x+11．∵AD∥BC，∴．即1分解得x=4．即DQ=4．1分（說(shuō)明：若證△GDA∽△GCP，或△GDA∽△GFQ，可與方法一得到相同的方程）方法二：同方法一，得FG=CG=3，GP=GQ=5．1分AP=AF+FG+GP=x+16．∵AB∥CD，∴∠B=∠PCG，∠PAB=∠PGC．∴△ABP∽△GCP．∴．即．1分解得x=4．即DQ=4．1分方法三：同方法一，得FG=CG=3，GP=GQ=5． 1分AF=AB=x+8，AG=x+11．

R延長(zhǎng)AB，QE交于點(diǎn)R．由∠BER=∠CEQ，BE=CE，∠EBR=∠ECQ，R得△BER≌△CEQ．∴BR=CQ=8.則AR=AB+BR=x+16．∵AB∥CD，∴∠R=∠EQC，∠RAF=∠FGQ．∴△AFR∽△GFQ．∴．即．1分解得x=4．即DQ=4．1分方法四：連接CF，PQ．由EC=EF，EP=EQ，且∠CEF=∠PEQ，得∠ECF=∠EPQ=∠EFC=∠EQP．∴CF∥PQ．1分可得△ECF∽△EPQ，△CGF∽△QGP．∴．∴．∴．1分由AD∥BC，可得△AGD∽△PGC．∴．∴DG=3CG=9.∴DQ=DG-GQ=9-5=4.1分方法五：連接CF，PQ．同方法四，得CF∥PQ．1分得．∴．∵BE=CE，∴．1分∴．同方法二，得△ABP∽△GCP．∴．∴AB=4CG=12．則DC=AB=12．∴DQ=DC-CG-GQ=12-3-5=4.1分方法六：連接CF，PQ，BF．同方法四，得CF∥PQ．1分得．∴．由BE=CE=EF，可得∠BFC=90°．即CF⊥BF．由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AE⊥BF．∴CF∥AE．∴．1分由△EFP≌△ECQ，得FP=CQ=8．∴．即DC=AB=AF=12．∴DQ=DC-CG-GQ=12-3-5=4.1分（3）設(shè)BE=t，則EF=BE=t，CE=2BE=2t，AD=BC=3t．同（1），得∠EFP=∠ECQ，∠FEP=∠CEQ．∴△EFP∽△ECQ．∴．1分由，得．又∵AF=AB=CD，∴．∴． 方法一：延長(zhǎng)AD，EQ交于點(diǎn)H．由AD∥BC，得∠H=∠CEQ，∠HDQ=∠ECQ，∠HAF=∠EPF．∴△DQH∽△CQE，△PFE∽△AFH．∴，． 1分H∴DH=nCE=2nt．

∴AH=AD+DH=(2n+3)t．H∴．∴．1分由AD∥BC，得∠GPC=∠GAD，∠GCP=∠GDA．∴△GPC∽△GAD．∴．1分M方法二：∵．∴．M過(guò)點(diǎn)Q作BC的平行線，交AP于M，則QM∥AD∥BC．又∵，∴．∴．∴．∵QM∥BC，∴． 1分∴．∴．∴．∵EC=2BE，∴．∴． 1分∵AD∥BC，AB∥CD，∴． 1分TK方法三：∵，AB=AF，∴．TK作EK⊥AB于K，作ET⊥AP于T．∵∠BAE=∠FAE，∴EK=ET．設(shè)△ABE與△APE的面積分別為S1，S2，則．1分∴,∴,

．1分∵AB∥CD，∴∠GCP=∠B，∠G=∠PAB．∴△GPC∽△APB．∴．又∵AB=CD，∴．∴． 1分26．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx過(guò)點(diǎn)（-1,3），且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,直線y=kx-k與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線AB與y軸交于點(diǎn)D，與直線x=2交于點(diǎn)E.若拋物線y=(x-h)2-1與線段(3）過(guò)點(diǎn)C與AB垂直的直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，M，N分別是AB，PQ的中點(diǎn)．試探究：當(dāng)k變化時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在定點(diǎn)T，使得TC總是平分∠MTN？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）方法一：∵拋物線y=ax2+bx過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，∴解得 2分∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為. 1分方法二：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，設(shè)函數(shù)解析式為∴解得 2分∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 1分方法三：注意到拋物線過(guò)原點(diǎn)，則原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為.1分設(shè)，代入點(diǎn)得. 1分所以?huà)佄锞€的函數(shù)解析式為. 1分 （2）方法一：當(dāng)時(shí)，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)時(shí)，．則．當(dāng)時(shí)，．則. ①當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立.由，解得. 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)符合題意． 2分②當(dāng)拋物線恰好過(guò)點(diǎn)時(shí)，．解得. 1分結(jié)合拋物線圖象平移可得的取值范圍是. 1分方法二：當(dāng)時(shí)，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)時(shí)，．則．當(dāng)時(shí)，．則.由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.而拋物線.設(shè)直線為，則點(diǎn)D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為.若拋物線與線段DE有公共點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為拋物線與線段有公共點(diǎn).當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立. 由，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)符合題意．2分當(dāng)點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，．解得. 1分結(jié)合直線圖象平移可得的取值范圍是. 1分（3）由題意，可知.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.聯(lián)立則是方程的兩根．，.設(shè)線段中點(diǎn)，則，.即. ∵PQ⊥AB，∴直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為．同理，可求得. 1分方法一：假設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在定點(diǎn)，使得總是平分.如右圖示，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，即在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，則在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè).分別過(guò)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足分別為.∵∴△MTE∽△NTF.∴.即 . 1分∵，，∴.1分整理，得. 1分由題意，上式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則.解得. 所以，拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在，使得總是平分.1分方法二：假設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在定點(diǎn)，使得總是平分.則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線TM上．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是． 當(dāng)k≠±1時(shí)，1分∴直線的函數(shù)表達(dá)式為. 1分整理，得.1分∴直線過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)T滿(mǎn)足總是平分.特別地，當(dāng)k=±1時(shí)，平分也成立.綜上，拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在，使得總是平分.1分方法三：假設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在定點(diǎn)，使得總平分，則.1分所以.