第五章

留數(shù)及其應(yīng)用第五章留數(shù)及其應(yīng)用1、孤立奇點(diǎn)2、留數(shù)3、留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用§1孤立奇點(diǎn)1、孤立奇點(diǎn)的定義定義1

.

)

(

,

0

,

)

(

0

0

0

0

的孤立奇點(diǎn)

為

則稱

內(nèi)解析

的某個(gè)去心鄰域

但在

處不解析

在

若

z

f

z

z

z

z

z

z

f

d

<

-

<

例如孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)未必是孤立的.

若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).2、孤立奇點(diǎn)的分類注2.1可去奇點(diǎn)：展式中不含z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?“可去”一詞的解釋?和函數(shù)（從新定義）因?yàn)?.2極點(diǎn)：展式中僅含有有限多個(gè)z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?2.3本性奇點(diǎn)：展式中含有無窮多個(gè)z-z0負(fù)冪項(xiàng),

特點(diǎn)?3、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)若z0為

f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：性質(zhì)1（可去奇點(diǎn)的判定定理）證：只須證顯然由極限定義即可其中由于性質(zhì)2（m級(jí)極點(diǎn)的特征）若為f(z)

的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：證：去心鄰域則例如：為f(z)的一個(gè)4級(jí)極點(diǎn)，為f(z)的單極點(diǎn).注意：在判斷孤立奇點(diǎn)類型時(shí)，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論.例如

利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn).性質(zhì)3

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是

在判斷函數(shù)的極點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)比較性質(zhì)2和性質(zhì)3.4、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系性質(zhì)4證明:先證明必要性.必要性證畢.充分性請(qǐng)自己完成.例如：結(jié)論：一個(gè)不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.性質(zhì)5分析例如，15性質(zhì)6

（極點(diǎn)的運(yùn)算性質(zhì)）性質(zhì)7

z0為

f(z)的本性奇點(diǎn)注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時(shí)，也有同實(shí)函數(shù)類似的羅必塔法則.由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得性質(zhì)8

(Weierstrass)定理例如：本性奇點(diǎn)答：解：又記5、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)23

定義4洛朗展式判別法則25

極限判別法例如：26

解：27

本講小結(jié)：28

和函數(shù)（從新定義）因?yàn)?9

和函數(shù)（從新定義）因?yàn)榈谖逭?/p>

留數(shù)及其應(yīng)用1、留數(shù)的定義§5.2留數(shù)1.1引入0

(高階導(dǎo)數(shù)公式)

0(柯西-古薩基本定理)

1.2定義1Residual注：2、留數(shù)定理定理1證明:Dcznz1z3z2于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法(留數(shù)法).

由復(fù)合閉路定理得：規(guī)則23、留數(shù)的計(jì)算如果

為

的1級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1證明:由條件,得規(guī)則3注可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù)

.2.在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.

為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如

為

m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)

m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),證畢.證明:

例1解:例2解:例3解:例4解:例5解:另解:例如取

m=6,

提示：還有其它奇點(diǎn)么？

被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3解:又記4、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)50

定義4洛朗展式判別法則極限判別法例如：解：(這個(gè)方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向).5、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義2注注意到：再由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到：定理2若在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在所有奇點(diǎn)（包括無窮點(diǎn)）處的留數(shù)之和為零.規(guī)則5證明：說明:定理2和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.解：函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).與以下解法作比較

:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.例7

計(jì)算積分C為正向圓周

:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為則由于與1在C的內(nèi)部,所以練習(xí)解:所以故3、留數(shù)的計(jì)算規(guī)則本講小結(jié)1、留數(shù)的定義2、留數(shù)定理第五章留數(shù)及其應(yīng)用§3留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.這類積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分.在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.解：例1于是因此法則3解：例2于是因此法則1法則2提示：不失一般性，設(shè)根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO再由（1），得計(jì)算(1)取輔助函數(shù)R(z)并求有限值奇點(diǎn);(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理;(3)最后得到留數(shù)之和乘以2πi.解：因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),

其位于上半平面的奇點(diǎn)是:（均為單極點(diǎn)）(1)取輔助函數(shù)并求有限值奇點(diǎn);故(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理

問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進(jìn)輔助半圓周，得到一個(gè)閉合路徑（半圓周加實(shí)軸）上的復(fù)變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無窮），并且可證明：根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO即：例４計(jì)算解：相當(dāng)于：思考：0例５計(jì)算例６計(jì)算解：先考察積分xy-rrcr

Ｏ-hhch

在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理，得（因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無奇點(diǎn).）xy-rrcr

Ｏ-hhch

取極限，令：則下面考察最后一項(xiàng)：82

再注意到g(z)在原點(diǎn)臨近有界，所以至此，我們得到本講主要內(nèi)容：考察三種類型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.作業(yè)：141頁11（2，3，5）第6章傅立葉變換6.1傅立葉積分6.2傅立葉變換6.3函數(shù)及其傅立葉變換6.4傅立葉變換的性質(zhì)6.1傅立葉積分6.1.1主值意義下的廣義積分定義1

設(shè)函數(shù)在實(shí)軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限存在,則稱在主值意義下在區(qū)間上的廣義積分收斂,記為例1

計(jì)算為實(shí)常數(shù)）解我們可以證明

為實(shí)數(shù))令則例2設(shè)計(jì)算積分解上式(1)稱為函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為的傅里葉積分(簡(jiǎn)稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù)存在如下關(guān)系

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在上絕對(duì)可積則有：

6.1.2傅氏積分存在定理

為連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)也叫做的傅氏積分表達(dá)式

6.2.1傅立葉變換的概念6.2傅立葉變換叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?例3

求函數(shù)的傅氏變換

解例4求函數(shù)的傅氏變換

和傅氏積分表達(dá)式.

解若上式右端為于是6.2.2傅氏變換的物理意義—頻譜

稱為的頻譜函數(shù)

其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即6.3－函數(shù)及其傅立葉變換

在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.

6.3.1函數(shù)的定義

（1）看作矩形脈沖的極限（2）函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

1函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段來表示,如下圖

o1如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)6.3.2函數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.

6.3.3函數(shù)的傅立葉變換

由于=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即與也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即6.3.4一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對(duì)

例5

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為

的積分表達(dá)式為

例6證明的傅氏變換為證明=?所以例7

求正弦函數(shù)的傅氏變換

可以證明??6.4傅立葉變換的性質(zhì)

6.4.1線性性質(zhì)

?=?設(shè)為常數(shù)則=?

?6.4.2對(duì)稱性質(zhì)

若=?則以為自變量的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?6.4.3相似性質(zhì)

=?若則??6.4.4平移性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??例8

求??解因?yàn)樗?（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??例9已知?求?解??顯然一般地?且則6.4.5微分性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)

若=??一般地,若?則?例10證明?證明因?yàn)樗???一般地?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若=?則?或?例11已知?求?解?6.4.6積分性質(zhì)

若=??則在這里必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為?6.4.7傅氏變換的卷積與卷積定理

1．上的卷積定義

若給定兩個(gè)函數(shù),則積分

稱為函數(shù)的卷積,記為卷積滿足下列性質(zhì)例12

對(duì)函數(shù)計(jì)算卷積解所以2．傅氏變換的卷積定理=?=?(1)若則??=?=?(2)頻譜卷積定理則?若第八章拉普拉氏變換122

第八章拉普拉斯變換主要內(nèi)容1、拉氏變換的概念和存在定理

2、拉氏變換的性質(zhì)

3、卷積和卷積定理4、拉氏逆變換及其應(yīng)用123

§1拉普拉斯變換的概念1、問題的提出

傅氏變換具有廣泛的應(yīng)用，但有前提條件，除了滿足狄氏條件之外，還要求函數(shù)在絕對(duì)可積：即

實(shí)際上這個(gè)條件非常強(qiáng)，對(duì)函數(shù)的要求較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點(diǎn).這就限制了傅氏變換的應(yīng)用.124

另外，通常在實(shí)際應(yīng)用中的許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)往往在t<0時(shí)是無意義的，或者不需要考慮的，像這樣的函數(shù)也不能取傅氏變換.我們的問題是：如何對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修改才能克服上述缺點(diǎn)呢？125

對(duì)于一個(gè)函數(shù),有可能因?yàn)椴粷M足傅氏變換的條件,因而不存在傅氏變換.為此將乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了.而大家知道指數(shù)函數(shù)下降的速度很快.

因此,幾乎所有的實(shí)用函數(shù)乘上u(t)，再乘上后得到的函數(shù)的傅氏變換都存在.126

這樣，對(duì)于給定的函數(shù)，經(jīng)過兩次修改再取傅氏變換后，結(jié)果產(chǎn)生了一種新型的積分.這就引出了拉普拉斯變換：127

定義

設(shè)函數(shù)

f(t)當(dāng)

t

0時(shí)有定義,而且積分

在

s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)稱為函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換(簡(jiǎn)稱拉氏變換),記為

F(s)=L[f(t)].2、拉氏變換的定義128

注：(1)F(s)稱為

f(t)的拉氏變換(或稱為象數(shù)).而

f(t)為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L-1[F(s)]也可記為

f(t)

F(s).129

解：根據(jù)拉氏變換的定義,有例1

求單位階躍函數(shù)這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,且有所以130

例2

求指數(shù)函數(shù)解：根據(jù)拉氏變換的定義,有這個(gè)積分在Re(s)>k時(shí)收斂,且有所以k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k).131

3、拉氏變換存在定理從上面的例題中可以看出，拉式變換的條件比傅氏變換的條件弱得多。1.f(t)滿足什么條件時(shí)它的拉氏變換存在?2.當(dāng)F(s)存在時(shí)，s的范圍是怎樣的？3.F(s)具有哪些性質(zhì)？132

拉氏變換的存在定理：

若函數(shù)f(t)滿足:

在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的

半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).

（1）在t

0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

（2）當(dāng)t

時(shí),f(t)的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c

0,使得

|f(t)|

Mect,0

t<

則f(t)的拉氏變換注：定理的條件是充分的.例3

求

f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換.解：根據(jù)拉氏變換的定義,有所以同理可得134

解：例4

求冪函數(shù)

f(t)=tm(m為正整數(shù))的拉氏變換.注意到所以-函數(shù)及其性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用中，有拉氏變換表可以查用.本節(jié)小結(jié)1、理解拉氏變換的定義；2、掌握拉氏變換存在定理.§2拉氏變換的性質(zhì)

說明：凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理的條件，并且把這些函數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù)都統(tǒng)一地取為C.

證明：根據(jù)定義和積分的性質(zhì)即可證明.1、線性性質(zhì)拉氏逆變換也有類似的性質(zhì)，請(qǐng)自己寫出來.2、微分性質(zhì)證明：根據(jù)定義，有推論(1)像原函數(shù)的微分性質(zhì)139

此性質(zhì)可以將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.因此，它對(duì)微分方程求解有著重要的作用.特別地，若例1已知求解：因?yàn)閯t140

例2

利用微分性質(zhì)求的拉氏變換，其中為正整數(shù).解：因?yàn)樗杂谑?41

(2)象函數(shù)的微分性質(zhì)：一般地，有證明：例3

求的拉氏變換.解：因?yàn)樗跃毩?xí)：求函數(shù)的拉氏變換。第八章拉普拉氏變換3、積分性質(zhì)證明：設(shè)則于是即重復(fù)應(yīng)用上式，可以得到另外，關(guān)于像函數(shù)的積分，有如下公式：特別地，在*式中令s=0，則例4

求的拉氏變換.解：因?yàn)樗杂谑撬伎碱}：4、位移性質(zhì)或者證明：

根據(jù)定義，得例5

求的拉氏變換.解：因?yàn)樗岳?

求的拉氏變換.解：因?yàn)樗?、延遲性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得或者因則令注:例：解：由前面的注我們知道6、相似性質(zhì)證明：由拉氏變換的定義知練習(xí)題求下列函數(shù)的拉氏變換：本講內(nèi)容小結(jié)：

主要介紹了拉氏變換的幾個(gè)性質(zhì).重點(diǎn)掌握微分性質(zhì)；積分性質(zhì)；位移性質(zhì).§3卷積

卷積是積分變換中的一個(gè)重要概念，這一運(yùn)算在實(shí)際問題如線性系統(tǒng)分析中有著重要應(yīng)用.

下面著重介紹卷積的概念與卷積定理.1、卷積定義

設(shè)函數(shù)

f1(t),f2(t)在整個(gè)數(shù)軸上有定義,則稱為函數(shù)

f1(t)與

f2(t)的卷積,記為

f1(t)*f2(t).即

若當(dāng)自變量為負(fù)時(shí)，函數(shù)值為0，則上式可表示為：-------拉氏變換下的卷積的定義.注：不同變換下的卷積定義不同.2、卷積的性質(zhì)2.1交換律2.2結(jié)合律2.3分配律思考題：例1

設(shè)求

f1(t)*f2(t).f1(t)ttf2(t-t)O1tOo1解：代入定義，計(jì)算積分即可.練習(xí)：請(qǐng)計(jì)算解：根據(jù)卷積的定義，得例2求函數(shù)的拉氏卷積.于是例3求函數(shù)的拉氏卷積.提示：3、卷積定理

卷積在積分變換中有著十分重要的的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在卷積定理上.定理1或者證明：根據(jù)定義，有(2)利用卷積定理可以來求一些函數(shù)的拉氏變換逆變換.

卷積定理可以將不太容易計(jì)算的卷積運(yùn)算化為普通乘法，這就使得卷積在線性系統(tǒng)分析中成為特別有用的方法.注：(1)

卷積定理可以推廣到多個(gè)函數(shù).解：例4

的逆變換.故由卷積定理知解：例4

的逆變換.故由卷積定理知第八章拉普拉氏變換166

§4拉氏逆變換

本節(jié)介紹了更一般的方法，利用像函數(shù)通過反演積分或留數(shù)方法求像原函數(shù).167

1、反演積分公式

函數(shù)f(t)的拉氏變換，實(shí)際上就是的傅氏變換，即

因此，當(dāng)滿足傅氏積分定理的條件時(shí)，在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處，有168

即169

公式（1）就是從像函數(shù)F(s)求像原函數(shù)f(t)的一般公式，稱為反演積分公式.證明思路：如圖，引進(jìn)輔助半