復(fù)變函數(shù)與積分變換 課件 第五章留數(shù)及其應(yīng)用1_第1頁
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文檔簡介

第五章

留數(shù)及其應(yīng)用第五章留數(shù)及其應(yīng)用1、孤立奇點(diǎn)2、留數(shù)3、留數(shù)在計算定積分中的應(yīng)用§1孤立奇點(diǎn)1、孤立奇點(diǎn)的定義定義1

.

)

(

,

0

,

)

(

0

0

0

0

的孤立奇點(diǎn)

為

則稱

內(nèi)解析

的某個去心鄰域

但在

處不解析

在

若

z

f

z

z

z

z

z

z

f

d

<

-

<

例如孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)未必是孤立的.

若函數(shù)的奇點(diǎn)個數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).2、孤立奇點(diǎn)的分類注2.1可去奇點(diǎn)：展式中不含z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?“可去”一詞的解釋?和函數(shù)（從新定義）因?yàn)?.2極點(diǎn)：展式中僅含有有限多個z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?2.3本性奇點(diǎn)：展式中含有無窮多個z-z0負(fù)冪項(xiàng),

特點(diǎn)?3、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)若z0為

f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價：性質(zhì)1（可去奇點(diǎn)的判定定理）證：只須證顯然由極限定義即可其中由于性質(zhì)2（m級極點(diǎn)的特征）若為f(z)

的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價：證：去心鄰域則例如：為f(z)的一個4級極點(diǎn)，為f(z)的單極點(diǎn).注意：在判斷孤立奇點(diǎn)類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論.例如

利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，二級極點(diǎn).性質(zhì)3

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是

在判斷函數(shù)的極點(diǎn)時，請比較性質(zhì)2和性質(zhì)3.4、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系性質(zhì)4證明:先證明必要性.必要性證畢.充分性請自己完成.例如：結(jié)論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.性質(zhì)5分析例如，15性質(zhì)6

（極點(diǎn)的運(yùn)算性質(zhì)）性質(zhì)7

z0為

f(z)的本性奇點(diǎn)注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實(shí)函數(shù)類似的羅必塔法則.由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得性質(zhì)8

(Weierstrass)定理例如：本性奇點(diǎn)答：解：又記5、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)23

定義4洛朗展式判別法則25

極限判別法例如：

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