試題試題2024北京清華附中高二4月月考數(shù)學(xué)2024.4（清華附中高22級）第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則等于（）A.B.C.2D.2.已知向量，則等于（）A.B.C.D.3.已知函數(shù)滿足，則等于（）A.3B.C.0D.4.已知平面與平面間的距離為3，定點(diǎn)，設(shè)集合，則S表示的曲線的長度為（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.6.已知直線恒過點(diǎn)，圓，則“直線的斜率為”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.在中，，則的面積為（）A.B.C.D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，下列判斷中正確的是（）A.B.數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列C.數(shù)列前項(xiàng)的乘積有最大值D.數(shù)列前項(xiàng)的乘積有最小值9.已知橢圓分別為左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足，則的長為（）A.B.C.D.10.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A.存在點(diǎn)平面B.對任意點(diǎn)C.存在點(diǎn)，使得與所成的角是D.不存在點(diǎn)，使得與平面所成的角是第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知點(diǎn)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)在橢圓上，則的周長為___________.12.古代名著中的《營造法式》集中了當(dāng)時(shí)的建筑設(shè)計(jì)與施工經(jīng)驗(yàn).下圖1為《營造法式》中的殿堂大木制作示意圖，其中某處木件嵌入處部分是底面為矩形的四棱錐，如圖2所示，其側(cè)面是邊長為的等邊三角形，，且平面底面，則該四棱錐的體積為___________.13.過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為___________.14.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個取值為___________.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其最小值?.點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線和軸的垂線，垂足分別為.其中為坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個結(jié)論：①；②不存在點(diǎn)，使得；③的值恒為；④四邊形面積的最小值為.其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.17.已知直線，圓.（1）若，求證：直線與圓相交；（2）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn).若的面積為1，求的值.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分.19.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)不在直線l上，直線與交于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率.20.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).21.設(shè)是正整數(shù)，如果存在非負(fù)整數(shù)使得，則稱是好數(shù)，否則稱是壞數(shù).例如：，所以2是好數(shù).（1）分別判斷是否為好數(shù)；（2）若是偶數(shù)且是好數(shù)，求證：是好數(shù)，且是好數(shù)；（3）求最少的壞數(shù).

參考答案第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.2.【答案】C【分析】由已知先求出，然后利用求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：C.3.【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解方程得到，然后代入求即可.【詳解】因?yàn)椋?，整理得，所以，解得，因?yàn)椋?，，所?故選：D.4.【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合球的定義和性質(zhì)分析求解.【詳解】在空間中，集合表示以點(diǎn)A為球心，半徑的球面，記表示平面，可知，所以S表示的曲線球A與平面所截得的圓周，設(shè)其圓心為，半徑為，可知，則，所以S表示的曲線的長度為.故選：B.5.【答案】C【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.6.【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切分析可知：直線的斜率不存在或直線的斜率為，結(jié)合充分?必要條件分析判斷.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，若直線與圓相切，則有：當(dāng)直線的斜率不存在，則直線，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，即，則圓心到線的距離，解得；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率為時(shí)，線與圓相切.可知“直線的斜率為”可以推出“直線與圓相切”，即充分性成立；“直線與圓相切”不可以推出“直線的斜率為”，即必要性不成立；所以“直線的斜率為”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.7.【答案】C【分析】應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得，再應(yīng)用余弦定理出，進(jìn)而得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，應(yīng)用三角形面積公式即可求得.【詳解】由，根據(jù)正弦定理得：，又，則，，解得，則，故選：C8.【答案】C【分析】根據(jù)已知求的方法求出通項(xiàng)公式，然后逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，代入上式，即，符合上式，所以，故A錯誤；由可知，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯誤；因?yàn)椋?，，，，，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列前項(xiàng)的乘積有最大值，最大值為，故C正確，D錯誤.故選：C.9.【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理可得，再利用向量求的長.【詳解】由橢圓方程可知：，可得，在中，由余弦定理可得，即，解得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，可得，所以的長為.故選：A.10.【答案】D【分析】設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解.選項(xiàng)A，取平面的一個法向量，將平面平面轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)B，轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)C，與所成的角是轉(zhuǎn)化為；選項(xiàng)D，由平面，結(jié)合選項(xiàng)C可知.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又，∴，又，則，∴，選項(xiàng)A，取平面的一個法向量，令，解得，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，與垂直，而平面，故平面，故A項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，則，故對任意點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，則，令，化簡得，解得，或，故存在點(diǎn)，使得與所成的角是，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，連接，在正方體中，由底面是正方形，則，由平面，平面，則，又平面，平面，，則平面，即是平面的一個法向量，由C項(xiàng)分析可知，存在點(diǎn)，使得與所成的角是，即存在點(diǎn)，使得與平面所成的角是，故D項(xiàng)錯誤.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小彪5分，共25分.11.【答案】18【分析】根據(jù)橢圓的定義求出以及的長，從而得到的周長.【詳解】因?yàn)闄E圓，由橢圓定義可得，，所以的周長為.故答案為：18.12.【答案】【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直關(guān)系，從而得四棱錐的高，進(jìn)而求出體積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由側(cè)面是邊長為的等邊三角形，得，已知平面底面，又平面，平面底面，所以底面，即四棱錐的高為，且，又底面矩形的面積為，則四棱錐的體積.故答案為：.13.【答案】2【分析】根據(jù)題意先求直線方程以及圓心到直線的距離，進(jìn)而結(jié)合垂徑定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，可知其斜率為，且直線過原點(diǎn)，可知直線方程為，即，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑，可得圓心到直線的距離，所以所截得的弦長為.故答案為：2.14.【答案】1（不唯一）【分析】分別畫出函數(shù)和的圖像，再根據(jù)條件求解.【詳解】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒有最小值，是它的漸近線，點(diǎn)在上，，，如上圖，當(dāng)時(shí)，不存在最小值，；故答案為：（不唯一）.15.【答案】①③④【分析】由函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值求出的值驗(yàn)證結(jié)論①；設(shè)，點(diǎn)到直線的距離表示出，由是否有解判斷結(jié)論②；計(jì)算的值判斷結(jié)論③；④四邊形面積表示成的函數(shù)，利用基本不等式求最小值判斷結(jié)論④.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋渥钚≈禐?，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，沒有最小值，不合題意，則有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以在上有最小值，得，解得，結(jié)論①成立；，設(shè)，則，，由點(diǎn)到直線的距離可得，，時(shí)，解得，此時(shí)，結(jié)論②錯誤；，結(jié)論③成立；所在直線方程為，與方程聯(lián)立，解得，則有，則，四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以四邊形面積的最小值為，結(jié)論④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值求出的值，得到的解析式，設(shè)坐標(biāo)，表示出和，判斷是否有解，計(jì)算是否為定值，利用基本不等式求四邊形面積的最小值.16.【答案】（1）（）；（2）【分析】（1）通過先展開再合一構(gòu)造新的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求解增區(qū)間；（2）根據(jù)定義域求出整體的范圍，再根據(jù)函數(shù)圖像求出值域.【小問1詳解】（1），令（），解得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，所以，如圖所示，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由圓的方程求出圓心和半徑，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可證明；（2）利用垂徑定理求出弦長，進(jìn)而利用面積公式得到關(guān)于的方程，直接求解即可.【小問1詳解】由圓可知，圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，直線與圓相交.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，即，解得或，由（1）可得，，所以，，整理得，，即，解得，，所以.18.【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可證，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）若條件①：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，建系，利用空間向量求面面夾角；若條件②：根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面，建系，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，且，又因?yàn)闉榫匦?，且分別為的中點(diǎn)，則，且，可得，且，即為平行四邊形，則，且平面，平面，所以平面.【小問2詳解】若選條件①：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，可得，所以平面與平面夾角的余弦值；若選條件②：連接，可知，即，可得，且，，平面，所以平面，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，可得，所以平面與平面夾角的余弦值.19.（1）（2）2【分析】（1）根據(jù)短軸長求出，再由離心率，及求出，，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程，得出，，根據(jù)題意表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再由斜率公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長為4，所以，，因?yàn)殡x心率為，所以，又，所以，，所以橢圓的方程.【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，化簡可得，令，即，，，因?yàn)椴辉谥本€l上，所以，即，則直線方程為：，令，則，因?yàn)橹本€與交于點(diǎn)，所以，所以，將，代入，可得，所以直線的斜率為2.20.【答案】（1）（2）；遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）1【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出相應(yīng)的等式，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)解析式可求得其定義域；結(jié)合（1）的結(jié)果，可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在定理，即可判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).，【小問1詳解】由函數(shù)可知其定義域?yàn)?，則，故，，因?yàn)榍€在處的切線方程為，故，，解得；【小問2詳解】由（1）可知，需滿足，則其定義域?yàn)椋欢?，由于，令，解得，令，解得且，即的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問3詳解】由（2）可知時(shí)，取得極大值，當(dāng)且x無限趨近于0時(shí)，的值趨向于負(fù)無窮大，即在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)且x無限趨近于0時(shí)，的值趨向于正無窮大，當(dāng)且x無限趨近于1時(shí)，的值趨向于負(fù)無窮大，由此可作出函數(shù)的圖象：結(jié)合，，可知在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為1.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理去判斷，特別是特殊值的選取以及正負(fù)判斷，計(jì)算比較復(fù)雜.21.【答案】（1）都是好數(shù)（2）證明見解析（3）【分析】（1）直接由好數(shù)的定義驗(yàn)證即可.（2）證明是好數(shù)時(shí)，分是否存在使得兩種情況討論即可，證明是好數(shù)時(shí)，將表達(dá)式中的數(shù)分成四類，即：，從而即可證明.（3）注意到表達(dá)式，由此聯(lián)系到用二進(jìn)制表示，通過歸納得知最小的壞數(shù)是3，最小的壞數(shù)是11，最小的壞數(shù)是43，最小的壞數(shù)是171，且注意到，應(yīng)該是在破壞數(shù)碼和，通過分析得知，壞數(shù)要滿足二進(jìn)制至少有個數(shù)碼是1，而且在二進(jìn)制表示左右兩頭的1之間0段的數(shù)目至少是，由此即可猜出最小的壞數(shù)是，從而證明即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所?2是好數(shù)；因?yàn)?，所?3是好數(shù)；因?yàn)?，所?4是好數(shù).【小問2詳解】由題意是好數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，是非負(fù)整數(shù)，分以下兩種情形來說明是好數(shù)，情形一：若存在，不妨設(shè)為，此時(shí)或，則當(dāng)時(shí)，，或，因此，或，即此時(shí)是好數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由題意，因此不妨取，即，因?yàn)槭桥紨?shù)，所以，從而是好數(shù)；情形二：若不存在，則任取，均有，當(dāng)然也有，而此時(shí)或，則當(dāng)時(shí)，，或，由情形一可知，當(dāng)時(shí)，，因此，或，即此時(shí)是好數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由題意，因此不妨取，即，因?yàn)椋瑥亩呛脭?shù)；綜上所述：若是偶數(shù)且是好數(shù)，則是好數(shù).若是偶數(shù)且是好數(shù)，接下來我們說明是好數(shù)，即已知是偶數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，由以上分析可知或，或是偶數(shù)，且，，，不妨設(shè)，，，，所以，因?yàn)榫桥紨?shù)，所以是偶數(shù)，是偶數(shù)，所以，，綜上所述，若是偶數(shù)且是好數(shù)，則也是好數(shù).【小問3詳解】記，設(shè)：①若的二進(jìn)制表示中只有至多有個1，那么顯然是好數(shù)；②若的二進(jìn)制表示中有至少有個1，那么的二進(jìn)制表示至多有位.此時(shí)，的二進(jìn)制表示中的那些0隔出了若干個1串.如果一個1串的長度為1，它一定能表示為，如果一個1串的長度大于1，它一定能表示為，假設(shè)是壞數(shù)，長度為1的1串的數(shù)量為，長度大于1的1串的數(shù)量為，那么就意味著，記，如果我們標(biāo)出每個1串最左邊和最右邊的1，那么這些1兩兩不相鄰，且總數(shù)目為，但事實(shí)上，由于一共